Точки Лагранжа

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Точки Лагранжа

Глушанко У.Е. 1Шурпелева Е.Н. 1
1Лицей БГУ
Иванова П.А. 1
1ГНУ "ИНСТИТУТ ФИЗИКИ им. Б. И. Степанова НАН Беларуси"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1 Введение

Темп космических достижений определяется не только способностями современных ученых-физиков решать определенные задачи, важны еще и финансовые возможности страны, которая запускает космическую миссию. Желание расширить возможности таких миссий при низких затратах потребовало новых подходов к старой проблеме космических путешествий: «Современные проблемы требуют современных решений»1. Многие недавние космические миссии имеют сложные и сильно «некеплеровские» орбиты, которые связаны с тонкой динамикой гравитационных проблем трех и N тел.

Для задачи трёх тел в 1912 году Карлом Зундманом было получено общее аналитическое решение в виде рядов. Хотя эти ряды и сходятся для любого момента времени и с любыми начальными условиями, но сходятся они крайне медленно. Из-за крайне медленной сходимости практическое использование рядов Зундмана невозможно. Также для задачи трёх тел Генрихом Брунсом и Анри Пуанкаре было показано, что её общее решение нельзя выразить через алгебраические или через однозначные трансцендентные функции координат и скоростей. На данный момент в общем виде задача N тел для может быть решена только численно, причём даже для ряды Зундмана даже при современном уровне развития вычислительной техники использовать практически невозможно (рис. 1) [1, 3, 9, 15].

В 1772 году математик Жозу Луи Лагранж вычислил в своем исследовании «Проблема трех тел», что гравитационное поле Земли должно нейтрализовать гравитационное притяжение самого большого объекта в Солнечной системе – Солнца – в пяти областях пространства – точках Лагранжа. Более точно точки Лагранжа представляют собой частный случай при решении так называемой ограниченной задачи трёх тел – когда орбиты всех тел являются круговыми и масса одного из них намного меньше массы любого из двух других [3, 9].

Рисунок 1 – Приблизительные траектории трёх одинаковых тел, находившихся в вершинах неравнобедренного треугольника и обладавших нулевыми начальными скоростями

2 Основная часть

Определение движения трех тел, взаимно притягивающих друг друга с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, называется задачей трех тел. Рассмотрим задачу трёх тел, где первое тело - тело большей массы, второе тело - тело меньшей массы, третье тело - тело, находящееся в одной из точек Лагранжа [1, 3, 9, 15].

Точки Лагранжа – точки, во вращающейся системе из двух массивных тел, в которых третье тело с пренебрежимо малой массой, не испытывающее воздействие никаких других сил кроме гравитационных, со стороны двух первых тел, может оставаться неподвижным относительно этих тел. В этих точках гравитационные силы, действующие на малое тело, уравновешиваются силами инерции [1, 9].

Лагранж показал, что если третье тело обладает определенным значением начальной скорости, то конфигурация, которую образуют все три тела, всегда остается подобной самой себе, а движение всех тел происходит по коническим сечениям одинакового вида [1,3,9,15]. В итоге возможны следующие случаи:

1) три тела расположены на одной прямой и обращаются, оставаясь на ней, вокруг общего центра масс;

2) три тела расположены в вершинах равностороннего треугольника и обращаются вокруг общего центра масс так, что треугольник остается все время равносторонним.

2.1 Решение ограниченной задачи трех тел

Рассмотрим расположение точек Лагранжа более подробно (рис. 2).

 

Рисунок 2 – Точки равновесия в задаче трёх тел для системы Земля-Солнце

Все точки Лагранжа лежат в плоскости орбит массивных тел и обозначаются заглавной латинской буквой L с числовым индексом от 1 до 5. Первые три точки расположены на линии, проходящей через оба массивных тела. Эти точки Лагранжа называются коллинеарными и обозначаются L1, L2 и L3. Точки L4 и L5 называются треугольными или троянскими. Точки L1, L2, L3 являются точками неустойчивого равновесия, в точках L4 и L5 равновесие устойчивое [1, 3, 9, 10, 15].

Объектами исследования стали системы: Солнце – планета, планета – спутник, Плутон – Харон, экзопланетарная система 2MASS J04414489+2301513 b (примечательна наименьшей звездной массой (звезда вокруг которой обращается планета – коричневый карлик) по сравнению со всеми известными экзопланетарными системами), а также двойная черная дыра GW150914 (именно от этой системы впервые были обнаружены гравитационные волны).

В данной работе мы исследовали динамику движения выбранных нами объектов при решении ограниченной задачи трех тел. Для постановки задачи мы выбрали систему из трех тел таким образом, чтобы объект массой М2 обращался вокруг другого объекта массой M1 (при чем ) по круговой орбите (или очень близкой к круговой. Тогда пусть третье тело массой M3 много меньшей, чем массы двух других объектов, движется в гравитационном поле двух других тел (для задачи, гравитационным полем третьего тела можно пренебречь, в виду его незначительности). Движение рассмотрим во вращающейся системе координат, чтобы тела с массами M1 и M2 оставались неподвижными в этой системе.

Запишем уравнения движения в плоскости. Если решать задачу «в лоб» и начать записывать уравнения движения в ненормированной и неинерциальной системе координат, то по итогу мы придем к очень громоздким выражениям в большом количестве. Потому мы используем нормированные значения для расстояний и массы третьего тела. Для начала введем коэффициент, который будет зависеть от масс M1 и M2:

. (1)

Далее нормируем расстояния между объектами таким образом, чтобы оно было равно 1, и тогда во вращающейся системе отсчета, нормированной на вращение с единичной угловой скоростью, два тела могут располагаться на оси Х в точках (-µ, 0) и (1 - µ, 0). Положение третьего тела зададим координатами (x, y) во вращающейся системе отсчета. Массу третьего тела M3 мы возьмем равной 1. Тогда кинетическая энергия этого третьего тела относительно инерциальной системы отсчета, но записанной в системе, вращающейся с единичной угловой скоростью, представляет собой следующее выражение:

. (2)

Теперь зададим расстояние от третьего тела до тела с массой M1 как r1, до тела M2 как r2. С учетом координат, получим:

, (3)

. (4)

С учетом (1) – (4) запишем гравитационный потенциал энергии третьего тела:

. (5)

Лагранжиан третьего тела найдем как разницу кинетической энергии тела и его потенциальной энергии:

. (6)

Теперь уравнения движения можно получить, просто записав соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа:

, (7)

где – эффективный потенциал,

. (8)

Выполнив преобразования Лежандра, мы получили энергию третьего тела:

+ . (9)

Получается, что точки Лагранжа – это критические точки эффективного потенциала – 5 точек, и именно в этих точках поверхность является эквипотенциальной [9, 10].

Используя среду Wolfram Matematica мы построили поверхность и изоповерхность эффективного потенциала, а также нашли численные значения координат точек Лагранжа вокруг рассматриваемых систем. Полученные результаты приведены в Приложении А. Для примера на рисунке 3 показана поверхность эффективного потенциала для системы Земля – Луна.

Рисунок 3 ­– Поверхность эффективного потенциала для системы Земля – Луна

Также мы изменили значения масс, таким образом, что M1 = 2∙M2, получили следующую поверхность (рис. 4).

Рисунок 4 – Поверхность эффективного потенциала для системы масс M1 и M2, где M1 = 2∙M2

Таким образом, при данном уровне энергии Е третье тело может двигаться только в области, заданной неравенством ; это называется областью Хилла (Роша) и получается пересечением графика эффективного потенциала с горизонтальной плоскостью (рис. 5) [9, 10].

В дальнейшем мы оставляем за собой перспективу развития этой темы, для более подробного исследования точек L1 и L2, которые являются центрально-седловыми, и вокруг которых имеется целое семейство периодический орбит, которые называются орбитами Лиссажу. При движении по такой орбите спутник движется вокруг точки Лагранжа без включения двигателей, что является крайне выгодной орбитой [9]. В настоящее время все запускаемые белорусские спутники являются только геостационарными. В дальнейшем такое исследование для системы Земля-Луна можно было бы использовать для запуска белорусских спутников по орбите Лиссажу, что открыло бы для нашей страны новые перспективы – это подтверждает актуальность нашей работы.

 

Полость Хилла (Роша)

Рисунок 5 – Изоповерхность эффективного потенциала для двойной черной дыры GW150914

2.1 Космические аппараты, использующие орбиту Лиссажу

Далее приведем некоторые космические станции, которые используют орбиту Лиссажу для выполнений миссий, а также несколько запущенных спутников и обсерваторий, которые расположены в точках Лагранжа.

Genesis (Дженезис)–космический аппарат НАСА, предназначенный для сбора и доставки на Землю образцов солнечного ветра. Был запущен 8 августа 2001, вернулся на Землю 8 сентября 2004. Из-за ошибки при установке одного из датчиков ускорения приземление прошло нештатно — парашют не раскрылся, и капсула с образцами на высокой скорости врезалась в землю. Тем не менее после анализа обломков учёным удалось получить некоторое количество образцов. Миссия Genesis использовала уникальную орбиту, на проектирование которой ушло 3 года. После взлёта производилось единственное включение маршевых двигателей, которое выводило аппарат на орбиту Лиссажу (орбиту Ляпунова) вокруг точки Лагранжа L1 системы Земля-Солнце. В течение трёх лет аппарат совершил 4 оборота по этой орбите, не включая даже корректирующие двигатели, чтобы не загрязнять образцы. Затем аппарат, в соответствии с выбранной траекторией и без включения маршевого двигателя, совершил пятимесячный перелёт дальностью более 3 миллионов километров к точке L2, облетел её и при помощи гравитации Луны вышел на посадочную траекторию [5].

AdvancedCompositionExplorer (ACEorExplorer 71) (Расширенный обозреватель композиций)спутник был запущен 25 августа 1997 года. Его задача – определение элементного и изотопного состава различных образцов исходного материала (межзвездных облаков), в следствии сжатия которого в ядрах звезд начинаются термоядерные реакции. Эти наблюдения были использованы для:

  • Создания изотопного состава Солнца на основе выборки солнечного материала.

  • Определить элементный и изотопный состав короны со значительно большей точностью.

  • Установить характер изотопных различий между галактическими космическими лучами и веществом Солнечной системы.

  • Измерение элементного и изотопного состава межзвездных и межпланетных ионов захвата.

  • Определить изотопный состав "аномальной компоненты космических лучей", который представляет собой образец местной межзвездной среды [7].

2.2 Космические аппарты, расположенные в точке L1

Точка L1 лежит на прямой, соединяющей два тела с массами M1 и M2 ( ), и находится между ними, вблизи второго тела. Её наличие обусловлено тем, что гравитация тела M2 частично компенсирует гравитацию тела M1. При этом чем больше M2, тем дальше от него будет располагаться эта точка. Объекты, которые движутся вокруг Солнца ближе, чем Земля, как правило, имеют меньшие орбитальные периоды, чем у Земли, если они не входят в зону влияния земного притяжения. Если объект находится непосредственно между Землёй и Солнцем, то действие земной силы тяжести отчасти компенсирует влияние гравитации Солнца, за счёт этого происходит увеличение орбитального периода объекта. Причём чем ближе к Земле находится объект, тем сильнее этот эффект. И наконец, на определённом приближении к планете – в точке L1 – действие земной силы тяжести уравновешивает влияние солнечной гравитации настолько, что период обращения объекта вокруг Солнца становится равным периоду обращения Земли [11].

L1в системе Солнце-Земля – идеальное место для размещения космической обсерватории для наблюдения Солнца, которое в этом месте никогда не перекрывается ни Землёй, ни Луной. Также солнечный ветер, достигает L1 примерно за час до того, как достигнет Земли. Например, в точке L1располагается InternationalSun/EarthExplorer 3 (ISEE-3) (Международный исследователь Солнца/Земли 3). Его первоначальная миссия заключалась в исследовании солнечно-земных связей на внешних границах магнитосферы Земли (рис. 7); подробном изучении структуры солнечного ветра вблизи Земли и ударной волны, а также формы взаимодействия между солнечным ветром и магнитосферой Земли; продолжении исследования космических лучей и солнечного излучения в межпланетной области около 1 а. е. [5].

После завершения своей первоначальной миссии 10 июня 1982 года ISEE-3 продолжал работу. Он был переименован в «Международный исследователь комет» (ICE). Основной научной целью ICE было изучение взаимодействия солнечного ветра с кометной атмосферой. В 1984 году аппарат вышел на гелиоцентрическую орбиту для перехвата первой цели миссии — кометы Джакобини — Циннера. Комета Джакобини — Циннера - короткопериодическая комета из семейства Юпитера. Диффузный объект 10,5—11,0m звёздной величины. Комета обладает довольно коротким периодом обращения вокруг Солнца — чуть более 6,4 года [5].

Рисунок 7 ­– Магнитосфера Земли

11 сентября 1985 года аппарат ICE прошёл сквозь хвост кометы.И следующей целью была комета Галлея – яркая (хорошо видимая невооруженным глазом) короткопериодическая комета, возвращающаяся к Солнцу каждые 75—76 лет. Является первой кометой, для которой определили эллиптическую орбиту и установили периодичность возвращений. В конце марта 1986 года ICE пролетел сквозь хвост кометы на расстоянии 28 миллионов километров от ядра [5].

После выполнения основных задач второй миссии аппарат продолжил изучение излучения Солнца. 5 мая 1997 года НАСА официально завершило миссию ICE, отключив все научные приборы и оставив только радионесущий сигнал (сигнал, выполняющий роль переносчика информации) для телеметрии (набор методов сбора информации и измерения параметров, позволяющих отслеживать необходимые данные об объектах, которые находятся непосредственно рядом либо удаленно) [5].

В точке L1 располагалась LISA Pathfinder(Следопыт для лазерной интерферометрической космической антенны) – завершившаяся космическая миссия Европейского космического агентства (ЕКА), предназначенная для проверки технологий, необходимых для планируемой постройки обсерватории LISA. Целью миссии LISA, запуск которой запланирован на 2034 год, является возможность регистрировать гравитационные волны и проверка общей теории относительности [5].

SOHO (Solar and Heliospheric Observatory – Солнечная и гелиосферная обсерватория) — космический аппарат для наблюдения за Солнцем. Совместный проект ЕКА и НАСА. Был запущен 2 декабря 1995 года, выведен в точку Лагранжа L1 системы Земля—Солнце и приступил к работе в мае 1996 года. Основной задачей аппарата является изучение Солнца. Приборы аппарата в автоматическом режиме собирают информацию о состоянии солнечной атмосферы, глубинных слоях Солнца, солнечном ветре и об активности солнечной короны [5].

2.2.1 Точка L1 в системе Земля-Луна

GGS WIND — космический аппарат, запущенный в рамках международной Глобальной геокосмической программы (GGS от англ. Global Geospace Science Program), предназначенный для изучения солнечного ветра («винд», от (англ. wind, букв. ветер) и его взаимодействия с поверхностью Земли, обеспечения полной информацией о плазме, энергичных частицах и магнитном поле для магнитосферных и ионосферных исследований [5].

DeepSpaceClimateObservatory (DSCOVR) (Глубокая космическая климатическая обсерватория) – предназначен для получения изображений освещенной Солнцем Земли в 10 диапазонах длин волн и мониторинга полного отраженного излучения [5].

2.3 Космические аппараты, расположенные в точке L2

Эффект, подобный тому, что вызывает L1, возникает и на стороне Земли за ее орбитой. L2 расположена в 1,5 миллионах километров прямо "за" Землёй. L2- отличное место для наблюдения за большей частью Вселенной. Космическому аппарату здесь не нужно вращаться вокруг Земли, поэтому он избавлен от необходимости входить и выходить из тени нашей планеты, нагреваться и остывать, искажая обзор [5, 11]. У ЕКАесть ряд миссий, которые уже используют или будут использовать этот регион:

Миссия Planck(Планк) преследовала широкий спектр научных целей, включая:

  • Обнаружение с высоким разрешением полной интенсивности и поляризации анизотропии изначального реликтового излучения.

  • Создание каталога скоплений галактик с помощью эффекта Сюняева-Зельдовича. Эффект Сюняева -Зельдовича – изменение интенсивности радиоизлучения реликтового фона из-за обратного эффекта Комптона на горячих электронах межзвёздного и межгалактического газа [5].

  • Наблюдения гравитационного линзирования (гравитационная линза – массивное тело, изменяющее своим гравитационным полем направление распространения электромагнитного излучения, подобно тому как обычная линза изменяет направление светового луча) реликтового излучения, а также интегрального эффекта Сакса-Вольфа. Эффект Сакса-Вольфа — влияние гравитационного красного смещения от крупномасштабных неоднородностей гравитационного поля Вселенной на фотоны реликтового излучения. В результате спектр реликтового излучения становится анизотропным [5].

  • Наблюдения ярких внегалактических радио (активные галактические ядра) и инфракрасных (пылевые галактики) источников.

  • Наблюдения Млечного Пути, включая межзвездную среду, распределение синхротронного излучения и измерения галактического магнитного поля.

  • Исследования Солнечной системы, включая планеты, астероиды, кометы.

В период с сентября 2009 по ноябрь 2010 года «Планк» успешно закончил основную часть своей исследовательской миссии, перейдя к дополнительной, завершившейся 23 октября 2013 года [5].

Global Astrometric Interferometer for Astrophysics (Gaia)(Гайя)- космическая обсерватория ЕКА, запущенная в 2013 году и рассчитанная на эксплуатацию до 2025 года [5].

Космическая миссия Gaia ставит перед собой следующие задачи:

  • Наблюдения за слабо светящимися объектами.

  • Наблюдение большого количества объектов в галактике также важно для понимания динамики этой галактики.

  • Измерение астрометрических и кинематических свойств звезды необходимо для понимания различных звездных популяций, особенно наиболее удаленных.

JamesWebbSpaceTelescope (Космический телескоп «Джеймс Уэбб»)–перед космическим телескопом стоят четыре основные задачи [8]:

  • Поиск света от первых звезд и галактик, образовавшихся во Вселенной после Большого взрыва;

  • Изучение формирования и эволюции галактик;

  • Понять процесс звездообразования и формирования планет;

  • Изучить планетарные системы и происхождение жизни;

Spektr-RG (Спектр-РГ)– переход кL2 занял три месяца, в течение которых проводилась проверка и калибровка двух телескопов. Следующие четыре года планировалось потратить на проведение восьми обзоров всего неба. В качестве цели на три года после этого запланированы наблюдения отдельных скоплений галактик и AGN (активных галактических ядер) [5, 11].

  • 21 октября 2019 года "Спектр-РГ" завершил 100-дневный круиз к точке L2. 17 октября 2019 года основной инструмент eROSITA достиг света, который был светом от первых звезд. Изображение первого света ART-XC было получено 30 июля 2019 года.

Comet Interceptor (Комета-перехватчик) - роботизированный космический аппарат под руководством Европейского космического агентства (ЕКА), запуск которого запланирован на 2029 г. Космический аппарат будет "припаркован" в L2 и в течение трех лет будет ждать пролета долгопериодической кометы с приемлемой траекторией и скоростью [5].

2.4 Космические аппараты, расположенные в точке L3

Находится за Солнцем, напротив Земли, сразу за орбитой нашей планеты. С помощью L3 можно наблюдать дальнюю сторону Солнца. Тем не менее, на этой орбите нет никаких известных объектов [3, 5, 11].

До начала космической эры среди писателей-фантастов была очень популярна идея о существовании на противоположной стороне земной орбиты в точке L3 другой аналогичной ей планеты, называемой «Противоземлёй», которая из-за своего расположения была недоступна для прямых наблюдений. Однако на самом деле из-за гравитационного влияния других планет точка L3 в системе Солнце – Земля является крайне неустойчивой. Так, во время гелиоцентрических соединений Земли и Венеры по разные стороны Солнца, которые случаются каждые 20 месяцев, Венера находится всего в 0,3 а. е. от точки L3 и таким образом оказывает очень серьёзное влияние на её расположение относительно земной орбиты. Кроме того, из-за движения Солнца вокруг центра масс системы Солнце – Юпитер, при котором оно последовательно занимает положение по разные стороны от этой точки, и эллиптичности земной орбиты, так называемая «Противоземля» всё равно время от времени была бы доступна для наблюдений и обязательно была бы замечена. Ещё одним эффектом, выдающим её существование, была бы её собственная гравитация: влияние тела размером уже порядка 150 км и более на орбиты других планет было бы заметно. С появлением возможности производить наблюдения с помощью космических аппаратов и зондов было достоверно показано, что в этой точке нет объектов размером более 100 м. Орбитальные космические аппараты и спутники, расположенные вблизи точки L3, могут постоянно следить за различными формами активности на поверхности Солнца — в частности, за появлением новых пятен или вспышек, — и оперативно передавать информацию на Землю (например, в рамках системы раннего предупреждения о космической погоде NOAASpaceWeatherPredictionCenter). Кроме того, информация с таких спутников может быть использована для обеспечения безопасности дальних пилотируемых полётов, например, к Марсу или астероидам [3, 5, 11].

2.5 Космические аппараты, расположенные в точке L4 и L5

В точках L4иL5 располагаются стабильные орбиты, если отношение масс двух больших тел превышает 24,96. Это условие выполняется как для систем Земля-Солнце и Земля-Луна, так и для многих других пар тел в Солнечной системе [3, 5, 11].

L4 - это точка Лагранжа между Солнцем и Землей, расположенная вблизи орбиты Земли на 60° впереди Земли. В 2010 году в системе Солнце — Земля в троянской точке L4 обнаружен астероид 2010 TK7, а в 2020 году — 2020 XL5. В L5 пока не обнаружено троянских астероидов, но там наблюдается довольно большое скопление межпланетной пыли. в сентябре-октябре 2009 года два аппарата STEREOсовершили транзит через точки L4 и L5. Hayabusa2 прошел вблизи L5 весной 2017 года и 18 апреля 2018 года сделал снимки окрестностей в поисках земных троянцев [3, 5, 11].

3 Заключение

В данной работе были исследованы поверхности и изоповерхности эффективного потенциала, точки Лагранжа для систем Солнце – Планета, планета – спутник, Плутон – Харон, экзопланетарной системы 2MASS J04414489+2301513 b, и двойной системы черных дыр GW150914. Продемонстрированы способы решения ограниченной задачи трех тел. Выполнен обзор на существующие решения задачи N-тел, а также задач при N = 3. Изучены космические миссии, с запуском космических аппаратов в точках Лагранжа, либо обращающиеся по траектории Лиссажу. Было обнаружено, что многие системы обладают крайне неустойчивыми точками Лагранжа, так как масса менее массивного тела в системе слишком мала для её устойчивости. Перспектива развития этой темы заключается в исследовании более энергетически выгодных орбит для запуска космических аппаратов в том числе белорусских. При движении по орбите Лиссажу спутник движется вокруг точки Лагранжа без включения двигателей, что является крайне выгодной орбитой. В настоящее время все запускаемые белорусские спутники являются только геостационарными. Эффективность данной орбиты продемонстрирована другими космическими миссиями. Найденные численные значения координат точек либрации будут использованы в дальнейшем при разработке траектории Лиссажу, что обуславливает практическое применение данных исследований.

Списоклитературы

  1. Зигель, К. Л. Лекции по небесной механике. Архивная копия от 2 февраля 2021 на Wayback Machine/К. Л. Зигель – М.: ИЛ, 1959. – 300 c.

  2. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика: учебное пособие/Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. – 4–е изд. – М., исп. – М. : Наука Гл. Ред. Физ.–мат. Лит., 1988.–216 с.

  3. Берри, А. Краткая история астрономии/ А. Берри – 2–е изд. – М.–Л.: ГТТИ, 1946. – 363 с.

  4. Дубошин, Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы/ Г. Н. Дубошин – М.: Наука, 1975. – 800 с.

  5. Siddiqi, A. A. Beyond Earth: A Chronicle of Deep Space Exploration, 1958–2016 The NASA history series (second ed.)/ А. А. Siddiqi – 2nd ed. – Washington, DC: National Aeronautics and Space Administration, Office ofCommunications, 2018. – 374 с.

  6. Rovey, J. Propulsion and Energy: Electric Propulsion (Year in Review). – Aerospace America, 2009. – 44 с.

  7. Stone, E. C. The Advanced Composition Explorer / E. C.Stone, A. M. Frandsen,R. A. Mewaldt; /Kluwer Academic Publishers. – Netherlands, 1998.–23 с.

  8. Greenhouse, Matt. The James Webb Space Telescope Mission//JWST Project Office. NASA Goddard Space Flight Center, 2016. – 36 с.

  9. Koon, W. S. Dynamical Systems, the Three–Body Problem and Space Mission Design/ W. S. Koon [et al]., 2005. – 315 с.

  10. Chobotov, V. A. Orbital Mechanics/ V. A. Chobotov – American Institute of Aeronautics and Astronautics, 1999. – 458 с.

  11. Lissauer, J. J. Solar System Dynamics: Regular and Chaotic Motion. Encyclopedia of the Solar System / J. J. Lissauer, C. D. Murray, 2014. – 61с.

  12. Abbott, B. P. Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger/ B. P. Abbott// J. of the PHYSICAL REVIEW LETTERS. – 2016. – Vol. 116. – P. 1–16.

  13. Аскерова, А.А. Точки Лагранжа в системе Марс–Фобос/А.А. Аскерова, В.А. Столбова // Политехнический молодежный журнал. – 2018. – №10. С. 1–7.

  14. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. Москва, Наука, 1977. – 432 с.

  15. Маркеев А.П. Точки либраций в небесной механике и космодинамике. Москва, Наука, 1978. – 312 с.

  16. Дубошин Н.Г. Небесная механика. Аналитические и качественные методы. Москва, Наука, 1978. – 456 с.

  17. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. Москва, Наука, 1965. – 416 с.

  18. Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. Москва, Изд-во МГУ, 1975. – 308 c.

1 Фраза-шутка, используемая на просторах интернета, для описания креативных подходов к решению проблемы.

Просмотров работы: 34