Очевидное-невероятное: почему квадрат равен кругу?

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Очевидное-невероятное: почему квадрат равен кругу?

Ледовский Е.Н. 1
1МОАУ "Лицей № 6"
Костюкова А.А. 1
1МОАУ "Лицей №6"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Однажды я услышал, что кубик Рубика это самая известная топологическая головоломка. Но, что значит «топологическая» было непонятно. Выяснилось, что топология это раздел математики и меня очень заинтересовала эта тема. Я решил углубить свои познания в этой области.

Оказалось, что топология она окружает нас повсюду и даже бывает полезна, когда нам нужно распутать наушники или завязать на обуви шнурки,что определяет актуальность выбранной темы исследования.

Гипотеза: топология – это развивающийся раздел математики, который находит применение в жизни.

Объект исследования: топология

Предмет исследования – свойства листа Мебиуса, задача о четырех красках.

Цель исследования заключается в знакомстве с понятием «топология», исследование опытным путем свойства листа Мебиуса, решение задачи о четырех красках

Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:

– изучить информацию, литературу по теме исследования, определить понятие «топология»;

– изучить историю возникновения топологии;

– исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса;

– решить задачу о четырех красках;

– создать мульт-проект «Хочу все знать!».

1 Что такое топология?

1.1 Понятие топологии

Если взять кусок глины и начать его растягивать, сжимать, или складывать без разрывов, то форма и свойства этого куска глины остаются теми же. Топология — это область математики, которая изучает свойства фигур, которые не меняются при деформациях. Топология также изучает, какие фигуры можно превратить друг в друга без разрывов. Топологию называют резиновой геометрией. Например, маленький шарик можно надуть в большой, потом его можно превратить в эллипс (рисунок 1).

Рисунок 1 – Пример с шариком

Топология интересна тем, что изучает свойства фигур без внимания к размерам. Это помогает нам лучше понять, какие фигуры похожи друг на друга и как они могут меняться. Возьмем квадрат, мы знаем, что это фигура, у которой стороны и углы равны, а в топологии квадрат – это сплошная замкнутая линия. С точки зрения топологии квадрат и круг равны (рисунок 2).

Рисунок 2 – Пример с квадратом и кругом

Докажем это опытным путем. Возьмем резиновое кольцо, растягивая его, мы получим квадрат (рисунок 3).

   

Рисунок 3 – Пример с резиновым кольцом

Вывод: по топологии круг и квадрат – это замкнутые линии, и они равны. Обратно, из квадрата мы можем получить круг.

1.2 История возникновения топологии

Историю возникновения топологии связывают с курьёзным случаем. Служанка профессора Лейпцигского университета Августа Фердинанда Мебиуса неправильно сшила концы ленты, за что получила нагоняй от жены профессора и едва не была уволена. Но профессор, повертев в руках ленту, пришёл в восторг. Лента имела только одну поверхность.

Эта история произошла в 1865 году. Открытая поверхность получила имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лист Мебиуса положил начало новой науке – топологии.

2 Лист Мебиуса. Опыты с листом Мебиуса

Лист Мебиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на полуобороте (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом (рисунок 4).

Рисунок 4 – Пример листа Мебиуса

Чтобы понять, в чем состоит особенность листа Мебиуса, проведем опыты с ним и с обычным бумажным кольцом.

Опыт 1. Поставим точку на стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока снова не придем в отмеченную точку (рисунок 5).

Обычное бумажное кольцо

Лист Мебиуса

Линия проходит вдоль всего кольца только по одной стороне, сходясь в начальной точке.

Линия проходит по двум сторонам, сходясь в начальной точке.

Рисунок 5 – Опыт 1

Вывод: поверхность листа Мебиуса является непрерывной.

Опыт 2. Закрасим полностью только одну сторону колец (рисунок 6).

Обычное бумажное кольцо

Лист Мебиуса

Одна сторона закрашена, другая нет.

Весь лист оказался закрашенным.

Рисунок 6 – Опыт 2

Вывод: лист Мебиуса имеет только одну сторону.

Опыт 3. Разрежем кольцо по средней линии (рисунок 7).

Обычное бумажное кольцо

Лист Мебиуса

Получили два, более узких кольца.

Получили одно большое перекрученное кольцо в виде восьмерки.

Рисунок 7 – Опыт 3

Повторим опыт 1 на полученных кольцах.

Вывод: при таком разрезании лист Мебиуса утратил свойство непрерывности.

Опыт 4. Разрежем кольцо, отступая от края на треть ширины (рисунок 8).

Обычное бумажное кольцо

Лист Мебиуса

Получили два кольца, одно узкое, другое широкое.

Получили два сцепленных кольца, одно большое, другое маленькое.

Рисунок 8 – Опыт 4

Повторим опыт 1 на полученных кольцах.

Вывод: при таком разрезании большое кольцо утратило свойство непрерывности, значит это не лист Мебиуса, а маленькое кольцо-лист Мебиуса.

2.1 Применение листа Мебиуса

Удивительные свойства листа Мебиуса используются в самых различных изобретениях.

О казывается, лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера, полоса ленточного конвейера делают в виде ленты Мебиуса, что позволяет им работать дольше.

Если вы посмотрите на американские горки, то заметите, что машинки, которые ездят по этим горкам, и сверху, и снизу, и вверх ногами, и по спирали, всегда возвращаются на то место, откуда они начали свой путь.

Форма листа Мебиуса успешно применяется в архитектуре.

Во многих городах мира установлены памятники листу Мебиуса. Такой необычный памятник можно увидеть и в Москве.

3 Задача о четырех красках

С тех пор, как появились первые географические карты, появился вопрос о том, как их лучше всего раскрашивать. В связи с этим, географы поставили перед математиками задачу, на первый взгляд казавшуюся довольно простой: каким минимальным количеством красок может быть раскрашена карта так, чтобы каждая из соприкасающихся на ней фигур имела свой цвет? Мы рассмотрим известную в топологии задачу о четырех красках. Эта задача замечательна тем, что она интересна и детям, и взрослым.

Задача о четырёх красках:всякую карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета».

Для лучшего понимания решения этой задачи разберем на примерах различных изображений (карт) с двумя, тремя и четырьмя цветами.

Раскрасить соседние области, страны так, чтобы они были разным цветом, используя при этом наименьшее количество красок.

Задание 1. Сколько красок требуется для правильной раскраски карты, образованной окружностями, изображенными на рисунке?

   

Задание 2. Сколько красок требуется для правильной раскраски карты, образованной прямыми и кривыми линиями, изображенными на рисунке? (мы не считаем страны соседними, если у них одна общая точка).

   

Задание 3. Сколько красок требуется для правильной раскраски карт, изображенных на рисунке?

   

Задание 4. Страны находятся на острове и все выходят на море. Сколько красок требуется для правильной раскраски карт, изображенных на рисунке?

   

Поставим перед собой задачу: можно ли карту Оренбургской области раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие два соседних района не были покрашены в один цвет?

Вывод: раскрашивая географическую карту Оренбургской области, было обнаружено на опыте, что не важно на сколько районов разбита область и как они расположены, карта может быть раскрашена с соблюдением указанного правила не более, чем четырьмя красками (рисунок 9).

Рисунок 9 – Раскрашивание географической карты Оренбургской области

4 Создание мульт-проекта «Хочу все знать!»

Благодаря задачи о четырех красках, появилось много логических игр. В своем проекте я рассказываю о двух играх, которые будут интересны, и детям, и взрослым. Они развивают внимательность и сообразительность, способность находить нестандартные решения. Это не только разминка для ума, но и интересный вид отдыха.

Отзывы от учеников 3 «В» класса о мульт - проекте «Хочу все знать!» на тему «4 краски» (рисунок 10).

Рисунок 10 – Отзывы ребят о мульт-проекте «Хочу все знать!»

Заключение

Работа над проектом помогла мне понять, что такое топология и где она применяется. Я узнал о листе Мебиуса и опытным путем установил его свойства. Меня увлекла задача о четырех красках и в своем мульт-проекте я рассказал о логических играх, которые будут интересны детям и взрослым.

Список использованных источников

  1. Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве. – М.: Мир, 1986. – 112 с.

  2. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» для младших школьников, 1975, № 8

  3. Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984. – 176 с.

  4. Топологические свойства ленты Мёбиуса [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://mydocx.ru/12-72675.html, свободный.

  5. Лист Мёбиуса [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/proiect_list_miebiusa, свободный.

  6. Энциклопедия Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: ru.wikipedia.org, свободный.

  7. Толковый словарь Ожегова [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://gufo.me/dict/ozhegov?letter=r&page=4, свободный.

  8. Сайт kopilkaurokov.ru [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://kopilkaurokov.ru/matematika/planirovanie/zadacha_chietyriekh_krasok, свободный.

  9. Сайт infourok.ru [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-teorema-o-chetireh-kraskah-klass305750.html, свободный.

Просмотров работы: 58