XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Очевидное-невероятное: почему квадрат равен кругу?

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ледовский Е.Н. 1

---

1МОАУ "Лицей № 6"

Костюкова А.А. 1

---

1МОАУ "Лицей №6"

Работа в формате PDF

1.4 MB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Однажды я услышал, что кубик Рубика это самая известная топологическая головоломка. Но, что значит «топологическая» было непонятно. Выяснилось, что топология это раздел математики и меня очень заинтересовала эта тема. Я решил углубить свои познания в этой области.

Оказалось, что топология она окружает нас повсюду и даже бывает полезна, когда нам нужно распутать наушники или завязать на обуви шнурки,что определяет актуальность выбранной темы исследования.

Гипотеза: топология – это развивающийся раздел математики, который находит применение в жизни.

Объект исследования: топология

Предмет исследования – свойства листа Мебиуса, задача о четырех красках.

Цель исследования заключается в знакомстве с понятием «топология», исследование опытным путем свойства листа Мебиуса, решение задачи о четырех красках

Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:

– изучить информацию, литературу по теме исследования, определить понятие «топология»;

– изучить историю возникновения топологии;

– исследовать опытным путем свойства листа Мебиуса;

– решить задачу о четырех красках;

– создать мульт-проект «Хочу все знать!».

1 Что такое топология?

1.1 Понятие топологии

Если взять кусок глины и начать его растягивать, сжимать, или складывать без разрывов, то форма и свойства этого куска глины остаются теми же. Топология — это область математики, которая изучает свойства фигур, которые не меняются при деформациях. Топология также изучает, какие фигуры можно превратить друг в друга без разрывов. Топологию называют резиновой геометрией. Например, маленький шарик можно надуть в большой, потом его можно превратить в эллипс (рисунок 1).

Рисунок 1 – Пример с шариком

Топология интересна тем, что изучает свойства фигур без внимания к размерам. Это помогает нам лучше понять, какие фигуры похожи друг на друга и как они могут меняться. Возьмем квадрат, мы знаем, что это фигура, у которой стороны и углы равны, а в топологии квадрат – это сплошная замкнутая линия. С точки зрения топологии квадрат и круг равны (рисунок 2).

Рисунок 2 – Пример с квадратом и кругом

Докажем это опытным путем. Возьмем резиновое кольцо, растягивая его, мы получим квадрат (рисунок 3).

Рисунок 3 – Пример с резиновым кольцом

Вывод: по топологии круг и квадрат – это замкнутые линии, и они равны. Обратно, из квадрата мы можем получить круг.

1.2 История возникновения топологии

Историю возникновения топологии связывают с курьёзным случаем. Служанка профессора Лейпцигского университета Августа Фердинанда Мебиуса неправильно сшила концы ленты, за что получила нагоняй от жены профессора и едва не была уволена. Но профессор, повертев в руках ленту, пришёл в восторг. Лента имела только одну поверхность.

Эта история произошла в 1865 году. Открытая поверхность получила имя в честь описавшего ее математика и астронома. Лист Мебиуса положил начало новой науке – топологии.

2 Лист Мебиуса. Опыты с листом Мебиуса

Лист Мебиуса – бумажная лента, повернутая одним концом на полуобороте (то есть на 180 градусов), и склеенная с его другим концом (рисунок 4).

Рисунок 4 – Пример листа Мебиуса

Чтобы понять, в чем состоит особенность листа Мебиуса, проведем опыты с ним и с обычным бумажным кольцом.

Опыт 1. Поставим точку на стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока снова не придем в отмеченную точку (рисунок 5).

Рисунок 5 – Опыт 1

Вывод: поверхность листа Мебиуса является непрерывной.

Опыт 2. Закрасим полностью только одну сторону колец (рисунок 6).

Рисунок 6 – Опыт 2

Вывод: лист Мебиуса имеет только одну сторону.

Опыт 3. Разрежем кольцо по средней линии (рисунок 7).

Рисунок 7 – Опыт 3

Повторим опыт 1 на полученных кольцах.

Вывод: при таком разрезании лист Мебиуса утратил свойство непрерывности.

Опыт 4. Разрежем кольцо, отступая от края на треть ширины (рисунок 8).

Рисунок 8 – Опыт 4

Повторим опыт 1 на полученных кольцах.

Вывод: при таком разрезании большое кольцо утратило свойство непрерывности, значит это не лист Мебиуса, а маленькое кольцо-лист Мебиуса.

2.1 Применение листа Мебиуса

Удивительные свойства листа Мебиуса используются в самых различных изобретениях.

О казывается, лопасти бетономешалки или обычного бытового миксера, полоса ленточного конвейера делают в виде ленты Мебиуса, что позволяет им работать дольше.

Если вы посмотрите на американские горки, то заметите, что машинки, которые ездят по этим горкам, и сверху, и снизу, и вверх ногами, и по спирали, всегда возвращаются на то место, откуда они начали свой путь.

Форма листа Мебиуса успешно применяется в архитектуре.

Во многих городах мира установлены памятники листу Мебиуса. Такой необычный памятник можно увидеть и в Москве.

3 Задача о четырех красках

С тех пор, как появились первые географические карты, появился вопрос о том, как их лучше всего раскрашивать. В связи с этим, географы поставили перед математиками задачу, на первый взгляд казавшуюся довольно простой: каким минимальным количеством красок может быть раскрашена карта так, чтобы каждая из соприкасающихся на ней фигур имела свой цвет? Мы рассмотрим известную в топологии задачу о четырех красках. Эта задача замечательна тем, что она интересна и детям, и взрослым.

Задача о четырёх красках:всякую карту можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы любые две области, имеющие общий участок границы, были раскрашены в разные цвета».

Для лучшего понимания решения этой задачи разберем на примерах различных изображений (карт) с двумя, тремя и четырьмя цветами.

Поставим перед собой задачу: можно ли карту Оренбургской области раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие два соседних района не были покрашены в один цвет?

Вывод: раскрашивая географическую карту Оренбургской области, было обнаружено на опыте, что не важно на сколько районов разбита область и как они расположены, карта может быть раскрашена с соблюдением указанного правила не более, чем четырьмя красками (рисунок 9).

Рисунок 9 – Раскрашивание географической карты Оренбургской области

4 Создание мульт-проекта «Хочу все знать!»

Благодаря задачи о четырех красках, появилось много логических игр. В своем проекте я рассказываю о двух играх, которые будут интересны, и детям, и взрослым. Они развивают внимательность и сообразительность, способность находить нестандартные решения. Это не только разминка для ума, но и интересный вид отдыха.

Отзывы от учеников 3 «В» класса о мульт - проекте «Хочу все знать!» на тему «4 краски» (рисунок 10).

Рисунок 10 – Отзывы ребят о мульт-проекте «Хочу все знать!»

Заключение

^{Работа над проектом помогла мне понять, что такое топология и где она применяется. Я узнал о листе Мебиуса и опытным путем установил его свойства. Меня увлекла задача о четырех красках и в своем мульт-проекте я рассказал о логических играх, которые будут интересны детям и взрослым.}

Список использованных источников

1. Альфорс Л. Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве. – М.: Мир, 1986. – 112 с.

2. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант» для младших школьников, 1975, № 8

3. Левитин К.Е. Геометрическая рапсодия. – М.: Знание, 1984. – 176 с.

4. Топологические свойства ленты Мёбиуса [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://mydocx.ru/12-72675.html, свободный.

5. Лист Мёбиуса [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/proiect_list_miebiusa, свободный.

6. Энциклопедия Википедия [Электронный ресурс]. – Режим доступа: ru.wikipedia.org, свободный.

7. Толковый словарь Ожегова [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://gufo.me/dict/ozhegov?letter=r&page=4, свободный.

8. Сайт kopilkaurokov.ru [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://kopilkaurokov.ru/matematika/planirovanie/zadacha_chietyriekh_krasok, свободный.

9. Сайт infourok.ru [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-teorema-o-chetireh-kraskah-klass305750.html, свободный.