Функции целой и дробной части действительного числа

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Функции целой и дробной части действительного числа

Чудайкина В.Ю. 1
1МОУ Лицей10 имени Д.И. Менделеева
Садовникова О.П. 1
1МОУ Лицей10 имени Д.И. Менделеева
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
 
 
 
   
     
   
 

1.Введение

Объектом исследования в моей работе являются функции целой и дробной части действительного числа, а предметом исследования– свойства этих функций, графики, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств, текстовые задачи, содержащие эти функции.

Актуальность работы:c седьмого класса мы начали изучать понятие функции, познакомились с элементарными функциями, их свойствами, графиками. В своём учебнике по алгебре, а также в сборниках по подготовке к экзаменам, олимпиаде по математике я встретила задания, содержащие функции целой и дробной части числа. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, я заинтересовалась этими функциями и захотела узнать о них и об их свойствах как можно больше. В своей работе мне бы хотелось показать все многообразие заданий, требующих для своего решения применение свойств этих функций.

Гипотеза: использование данного материала на уроках математики расширяет кругозор учащихся по функциям, а также помогает подготовиться к олимпиадам и к экзамену по математике.

Цель моей работы: научиться применять свойства функций целой и дробной части числа при решении уравнений, неравенств и задач, совершенствуя тем самым уровень своей математической подготовки.

Я поставила перед собой следующие задачи:

1.Изучить простейшие свойства функций целой и дробной части действительного числа, графики этих функций.

2.Рассмотреть различные методы решения задач, содержащих эти функции.

3.Собрать и обобщить материал по данным функциям.

4. Познакомить учащихся лицея с подготовленным материалом.

Практическая значимость работы: я считаю, что моя работа пригодится учителям доступно и красочно рассказать учащимся о функциях целой и дробной части действительного числа.

Использованные методы – сбор материала, его анализ и обобщение.

2.Основная часть

2.1. Теоретическая часть

2.1.1.Определение и свойства целой части действительного числа.

Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число n, такое, что n ≤ x. Обозначается целая часть действительного числа x символом [x]. Символ [x] был введен немецким математиком К.Гауссом (1771–1855) в 1808г. для обозначения целой части числа x. Соответствие x→[x] называется также функцией антье (от французского слова Entier – «целый») и обозначается E(x). Этот знак предложил в 1798г. французский математик А.Лежандр (1752-1833).

Примеры:[5]= 5; [-6]= -6; [1,7]= 1; [7,2]= 7; [-2,3]= -3; [-7,9]= -8; [0]= 0;[π]= 3.

Свойства целой части числа:

1.Из неравенства [y] = n следует, что а) n-целое число; б) y=n+α, где 0 ≤ α ≤ 1;

в) 0 ≤ y – n <1.

2.Если [u] = [v], то u=m+ α, v = m + β, где 0 ≤ α <1 и 0 ≤ β <1, и поэтому

u – v = α – β и -1< u – v <1.

3.Если [x + y] = x, то x – целое число и 0 ≤ y <1.

4.Если n – целое число, то [n + x] = n + [x].

5.Неравенство равносильно неравенству x < [a] + 1.

6.Неравенство [x] > a равносильно неравенству x ≥ [a] + 1.[5]

2.1.2. График и свойства функции целой части действительного числа.

Г рафик функции строится непосредственно по точкам, исходя из определения целой части числа:

П ростейшие свойства функции y=[x]

  1. Область определения функции y=[x] есть множество всех действительных чисел.

  2. Область значений функции y=[x] есть множество всех целых чисел Z.

  3. Функция y=[x] кусочно-постоянная.

  4. Функция y=[x] неубывающая, т.е. для любых x1 и x2 из R таких, что x1 ≤ x2, имеет место неравенство [x1] ≤ [x2].

  5. Для любого целого числа n и любого действительного числа x выполняется равенство: [x+n]=[x] + n.

  6. Если x – нецелое действительное число, то справедливо следующее равенство: [-x]= -[x]-1.

  7. Для любого действительного числа x верно соотношение [x] ≤ x [x]+1, причем равенство [x]= x достигается тогда и только тогда, когда x – целое число.[5];[10];[12]

2.1.3.Определение дробной части действительного числа

Определение. Дробной частью действительного числа x называется величина x - [x] обозначается {x}.

Примеры:{0}= 0; {0,5}= 0,5; {5,8}= 0,8; {-0,2}= 0,8; {-2,3}= 0,7.[9]

2.1.4. Определение и свойства функции дробной части

действительного числа.

График функции строится непосредственно по точкам, исходя из определения дробной части числа.

Простейшие свойства функции y={x}

1.Область определения функции y = {x} есть множество всех действительных чисел.

2.Область значений функции y = {x} есть полуинтервал [0;1).

3.Функция y = {x} ограничена, т.е. для любого действительного числа x имеет место соотношение: 0 ≤ {x} <1.

4.Для любого целого числа n и любого действительного числа x выполняется равенство: {x+n} = {x}, т.е. функция y = {x} – периодическая с основным периодом, равным единице.

5.Если x – нецелое действительное число, то справедливо равенство: {-x} = 1- {x}.[5];[10];[11]

2.2. Практическая часть

2.2.1. Решение уравнений.

Уравнения вида k[x]=x

Задача 1. Решите уравнение 2[x]=х.[5]

Решение. Делим обе части уравнения 2[x]=х на 2. В результате получаем
. По определению целой части числа , т.е. , , откуда х = 2n. Подставляя [x] =x-{x} в левую часть уравнения , получаем х-{x}= , откуда . Так как область значений {x} есть полуинтервал [0;1), то [0;1), т.е. х [0;2). Учитывая, что х=2n, n Z, получаем решение исходного уравнения x = 0.

Ответ: 0.

Уравнения вида k{x}=x

Задача 2. Решите уравнение 3{x}= х.[5]

Решение. Согласно вышеперечисленному алгоритму, так как 3≠0, то делим обе части уравнения на 3, в результате чего получаем {x} = . Так как {x} [0;1), то [0;1), а x [0;3). Подставляя выражение для {x} получаем x - [x]= , откуда х = [x]. Поскольку [x] Z, то х Z, т.е. х = n, n Z, откуда х = . Принимая во внимание, что х из интервала [0;3), получаем решения исходного уравнения: х=0, х = . Ответ: 0, .

Уравнения вида [ax]=bx+c

Задача 3. Решите уравнение [3x]=x+1.[5]

Решение. Так как [3x] Z, то х+1 Z, откуда х Z. Тогда 3х Z и, следовательно, [3x]=3х. При этом исходное уравнение сводится к уравнению 3х=х+1. Учитывая, что х Z, получаем, что уравнение не имеет действительных корней. Ответ: нет корней.

Уравнения вида {ax}=bx+c

Задача 4. Решите уравнение {x}=5x+2. [5]

Решение. Так как {x} [0;1), то 5х+2 [0;1), откуда х . Подставляя в левую часть уравнения выражение {x}=x- [x], получаем [x]= - 4x- 2. В силу того что х и что х = , получаем при n = -1 корень исходного уравнения х = . Ответ: .

Уравнения вида [f(x)]=g(x)

Задача 5. Решите уравнение = .[5]

Решение. Так как область значений есть множество целых чисел, то

= n, n Z, откуда x=2n-1. Значит x принимает значения из множества всех нечётных действительных чисел. Поскольку = – , исходное уравнение принимает вид - = , откуда = Так как для 0≤ <1, то 0≤ <1. Учитывая, что x =2n-1, найдём корни уравнения: х=5 и х=7. Ответ:5, 7.

Задача 6. Решите уравнение [ ] = .

Решение. Область определения для данного уравнения есть интервал (1;+∞). Введем новую переменную t= , где t с учетом области определения уравнения принимает значения из множества натуральных чисел. Выражая х, получаем . Тогда исходное уравнение принимает вид =t или - =t. Из свойства дробной части числа следует, что 0 ≤ – t <1, где t принимает значения из множества натуральных чисел. Получаем t =1. Следовательно, корень данного уравнения х=2. Ответ: 2.

Уравнения, содержащие модуль

Задача 7. Решите уравнение [x]= .[5]

Решение. Найдём нули подмодульных выражений, для чего решим уравнения х-1=0 и х+1=0. В результате получаем, что область определения данного уравнения (множество всех действительных чисел) разбивается точками х=-1 и х=1 на три промежутка ( 1),(-1;1),(1;+ ). Рассмотрим данное уравнение на каждом:

1.Пусть х ( ;-1). В этом случае =1-х и = - х-1. Тогда данное уравнение примет вид [x]= (1-х-(-х-1)), откуда [x]=1, т.е. х [1;2). Но так как мы рассматривали уравнение на промежутке ( ;-1), то в данном случае т.е. решений нет.

2. Пусть х (-1;1). В этом случае =1-х и =х+1. Тогда данное уравнение примет вид [x]= (1-х-(х+1)), откуда [x]=-х, т.е. х=0. Так как х=0 принадлежит рассматриваемому промежутку, то в этом случае х=0-корень данного уравнения.

3.Пусть х . В этом случае =х-1, =х+1 и исходное уравнение примет вид [x]= (х-1-(х+1)), откуда [x]=-1, т.е. х [-1;0), но так как x ), то на рассматриваемом промежутке данное уравнение не имеет корней. Выясним, являются ли корнями уравнения нули подмодульных выражений. Если х=1, то [x]=1, а =-1, т.е. х=1 не является корнем данного уравнения. Если х=-1, то [x]=-1, а =1, т.е. х=-1 также не является корнем данного уравнения. Мы получили, что корнем данного уравнения является х=0. Ответ: 0.

Уравнения, содержащие тригонометрические функции

Задача 8. Решите уравнение sin

Решение. sin - простейшее тригонометрическое уравнение. Его решениями будут:

Так как принимает только целые значения, а - число иррациональное, то из двух равенств совокупности выполняется только первое при k=0. Таким образом, =0 и уравнение равносильно двойному неравенству 0 <1. Решая неравенство, получаем х > .[1]

Ответ: х > .

Задача 9. Решите уравнение [tgx]=2cos x.[1]

Решение. Оценим правую часть уравнения 0 2cos x Значит, 0 [tgx] и так как [tgx] , то [tgx] может принимать только значения 0, 1, 2.

Рассмотрим три случая.

1.Пусть [tgx]=0. Тогда из равенства [tgx]=2cos x следует, что cosx=0. Функция tgx в точках х = ,n не существует, т.е. при [tgx]=0 уравнение решений не имеет.

2. Пусть [tgx]=1. Тогда 2cos x=1, откуда cosx= и х = Так как [tgx]=1,то из множества решений уравнения cosx= подходит только

х =

3.Пусть [tgx]=2. Тогда cos x=1, откуда x = πk, где k Z. При данных значениях [tgx]=0, что противоречит предположению. Следовательно, при [tgx] =2 уравнение решений не имеет. Ответ:

Разные уравнения, содержащие целую и дробную части числа

Задача 10. Решите уравнение [19x]+98[x]=1998.[6]

Решение. Заменим уравнение системой

Решая третью систему приведённой цепочки преобразований при k=17, получим 17 х <17 . Ответ: .

Задача 11. Решите уравнение х + .

Решение. Переносим правую часть влево и раскладываем на множители, при этом получаем:

(х-[x]) =0, решениями которого будут все отличные от нуля целые числа и решения уравнения 1 (3). Переходя к дробной части, получим уравнение {x}=х , из которого следует, что . Решениями двойного неравенства являются

и, следовательно, [x] = 10; 9. Теперь из уравнения системы (3) находим х=

Также заметим, решениями уравнения будут все целые числа, что мы получили из уравнения: (х-[x])=0.

Ответ: , ,

Задача 12. Решите уравнение [2]

Решение.

Так как tg , то . Полученное уравнение равносильно уравнению , при , По формуле cos( )=cos cos -sin sin получим cos( )=0. Так как то cosх=0,откуда х=

Ответ:

Задача 13. Решите уравнение [3]

Решение. Найдём область допустимых значений уравнения.

Решением данной системы будут х 0. Рассмотрим два случая: 0 х<1 и х 1. Если х 1, то [х] 1 и В этом случае уравнение решений не имеет. Если же 0 х<1, то [х]=0 и уравнение принимает вид 2 =1, откуда х= . Ответ: .

Задача 14. Решите уравнение [sinx]{sinx}=sinx[6]

Решение. Так как область значений функции sinx отрезок [-1;1], то рассмотрим следующие случаи:

1. Если sinx целое число, то sinx=±1, sinx=0. Так как дробная часть целых чисел равна 0, то {sinx}=0 и, следовательно, из значений 1,-1 и 0 подходит только 0.

sinx=0 x=πn , n Z.

2. Если sinx (0;1), то [sinx]=0, и исходное уравнение примет вид:

0.{sinx}=sinx sinx=0. Но по предположению sinx (0;1), значит, корней не существует.

3. Если sinx (-1;0), то [sinx]= -1. По определению дробной части числа {sinx}=sinx - [sinx]=sinx+1, и в этом случае уравнение примет вид -1(sinx+1) = sinx, sinx= - . Полученное значение принадлежит интервалу (-1;0). Решив уравнение, получим x = (-1)k+1. + πk, k .

Ответ: πn; (-1)k+1. + πk, k .

2.2.2. Решение неравенств.

Неравенства,содержащие целую часть

Задача 15. Решите неравенство [9]

Решение. Если неравенство справедливо при а то выполняется неравенство х<[а]+1. Так как , то исходное неравенство равносильно неравенству <4. Решением последнего неравенства являются х

Неравенства, содержащие дробную часть

Задача 17. Решите неравенство {x}>0,5[7]

Решение. Исходя из определения дробной части действительного числа, получим решения неравенства: (n+0,5; 1+n) , при n Z.

Ответ: (n+0,5; 1+n), n Z.

Неравенства с модулем

Задача 18. Решите неравенство .

Решение. Рассмотрим два случая.

  1. Пусть 0. Тогда = -1 и неравенство принимает вид

3.

Получаем систему неравенств откуда х [4;+∞).

  1. Пусть < 0. Тогда = 1- и неравенство принимает вид

1- 3. Получаем систему неравенств откуда х (-∞;-1).

Поскольку данное неравенство эквивалентно совокупности

то решение неравенства является множество точек (-∞;-1) [4;+∞). Ответ: (-∞;-1) [4;+∞).

2.2.3.Решение систем уравнений

Задача 19 . Решите систему уравнений [7]

Решение. Сложим соответственно левые и правые части уравнений системы

х+y+z+

Так как х= полученное уравнение примет вид 2(x+y+z)=6,6, x+y+z=3,3. Вычтем из полученного уравнения сумму первых двух уравнений системы, получим уравнение вида Последнее равенство выполняется, когда оба слагаемых равны 0. Таким образом, y Подставим значения в систему. Первое уравнение системы примет вид х+ =1,1. Так как х принимает целые значения, а то равенство возможно, если х=1, =0,1. Второе уравнение системы примет вид y+ =2,2. Так как y ,а , то равенство возможно, если [z]=2, y=0,2. В итоге получаем: х=1, y=0,2, z=2,1.

Ответ: (1; 0,2 ;2,1).

2.2.4.Решение текстовых задач.

Задача 20.

Известно, что младшему брату не более 8, но не менее 7 лет. Если количество полных лет младшего брата увеличить в 2 раза, а количество неполных лет (т.е. месяцев) его возраста утроить, то в сумме получится возраст старшего брата.

Указать возраст каждого из братьев с точностью до месяцев, если известно, что суммарный их возраст равен 21 году и 8 месяцам.[5]

Решение. Пусть х (лет) – возраст младшего брата, тогда [x] – количество полных лет, а {x} – количество неполных лет (месяцев) его возраста. Согласно условию задачи 2[x]+3{x} (лет) – возраст старшего брата; суммарный возраст обоих братьев равен: 2[x]+3{x}+[x]+{x}=21 (года). Решая это уравнение, получим, что 7 лет и 2 месяца – это возраст младшего брата, а 14 лет и 6 месяцев – возраст старшего брата.

Задача 21.Известно, что количество полных метров в ленте в 4 раза больше количества неполных метров (т. е. сантиметров). Определить максимально возможную длину ленты.[9]

Решение. Пусть х (см) – длина ленты. Заметим, что х = [x] + {x} , где [x] – количество полных метров длины ленты, а {x} – количество её неполных метров, т. е. сантиметров. По условию задачи: 4{x} = [x], откуда . Так как

(это следует из области значений дробной части от числа), то [0;1) или [x] . Для того чтобы длина ленты была наибольшей, требуется, чтобы [x] принимала наибольшее допустимое значение, т. е. [x] = 3. Тогда и максимально возможная длина ленты 3 м и 75 см.

Ответ: Максимально возможная длина ленты 3 м и 75 см.

2.2.5. Построение графиков.

  1. y= [14]

Так как для любого числа m (m 0) и любого x R числа x+m и x m принадлежат множеству R и верно равенство = , то любое целое число m, m 0, является периодом функции.

Функция не является непрерывной, а функция y является примером непрерывной периодической функции, не связанной явно с тригонометрическими функциями.

  1. y [14]

Если = 1,0 или 1,то если 0 < <1, то ; если 1 < < 0, то

3)y [14]

Если , то ; если ,то ; если

0 < < 1, то ; если < < 0, то

Так как ,то графики функций y и y можно получить сдвигом вдоль оси ox графиков функций y и

y соответственно на влево.

2.2.6.Задачи для самостоятельного решения

Задача 22. Решите уравнение 19[x]+97{x}=1997.[7]

Задача 23. Решите уравнение [7x]=х+12.[8]

Задача 24. Решите уравнение [4]

Задача 25. Решите уравнение .[3]

Задача 26. Решите неравенство [x] .[5]

3. Заключение.

Все поставленные в проекте цели и задачи выполнены. В ходе исследования я рассмотрела большое количество пособий по математике, с целью отобрать и решить задачи, содержащие изучаемые функции. Многие из заданий содержаться в сборниках по подготовке к олимпиадам и экзаменам, следовательно, подобный класс задач может присутствовать в математических олимпиадах разного уровня и в итоговой аттестации по математике, что также является поводом для изучения данной темы. Также материал может быть использован на факультативах, элективных курсах и при самостоятельном изучении. Я выступила с сообщением по данной теме на уроке математики в 10-11 классах и разобрала решения нескольких заданий, содержащих данные функции. Моя работа может быть использована учителями для проведения практических занятий с учащимися выпускных классов и для подготовки к Единому Государственному Экзамену.

4. Список литературы.

1. Корянов А.Г. - Брянск; Прокофьев А.А. - Москва; 2011г. - 66 с. Пособие по решению заданий типа С6. Задачи на целые числа (от учебных задач до олимпиадных).

2. «Математическая шкатулка». Автор: Ф.Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3. «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М.Б.Балк, Г.Д.Балк. Москва «Просвещение», 1971.

4. Задачи с параметром и другие сложные задачи.  Козко А.И., Чирский В.Г.

5. Математический журнал «Математика в школе», выпуск №8, 2003г. Авторы: В.А. Еровенко, О.В.Михаськова.

6. «Олимпиадные задания по математике». Автор: С.П. Ковалёва. Издательство «Учитель».

7. «Школьные математические олимпиады». Пособие для учителей. 4-е издание,2009г. Издательский дом «Дрофа».

8. «Уравнение с переменной под знаком целой и дробной части». Автор: А.Н. Вороной.

9. «Целая и дробная часть числа в задачах». Автор: Н.И.Фирстова. Журнал «Математика в школе» №10, 2003г.

5.Интернет - ссылки

10.http://kvant.mccme.ru/pdf/2002/05/36.pdf

11.http://kus-lin.narod.ru/42.htm

12.http://kus-lin.narod.ru/41.htm

13.http://www.roman.by/r-89362.html

14.http://www.prosv.ru/ebooks/Potapov_Algebra_11kl/1.xht

6.Приложение

(решение задач из пункта 2.2.6. «задачи для самостоятельного решения»)

Задача 22. Решите уравнение 19[x]+97{x}=1997.

Решение. Из условия следует, что 0 {x}= <1. Требуется найти количество целых чисел n,удовлетворяющих неравенствам: 0 <1, 0 1997-19n < 97; 1900 19n 1997; 100 < n 105 . Искомое количество равно пяти. Следовательно, число корней исходного уравнения равно 5. Ответ: 5.

Задача 23. Решите уравнение [7x]=х+12.

Решение. Так как [7x] Z, то х+12 Z, откуда х Z. Тогда 7x Z и, следовательно, [7x]= 7x. При этом исходное уравнение сводится к уравнению 7х= х+12. Учитывая, что х Z, получаем х=2. Ответ: 2.

Задача 24. Решите уравнение

Решение. Произведём замену , х= Подставим полученное выражение в исходное уравнение По определению целой части числа ; t 0 -39 Так как t ,то t=0 или t=1. Если t=0, то х = . Если t=1, то х = . Ответ: .

Задача 25. Решите уравнение .

Решение. Если х-решение этого уравнения, то равенство будет выполняться только тогда, когда

где k= Для совместности последней системы необходимо, чтобы выполнялись условия 2k+3<3k+5 b 3k+2<2k+5, из которых находим, что k=-1,0,1,2. Решая теперь систему (2) при этих значениях параметра k, получим решения уравнения. Ответ: х [1;2) [3;7) [8;9).

Задача 26. Решите неравенство [x] .

Решение. Воспользовавшись равенством [x]=х-{x}, преобразуем неравенство к виду {x} . Так как [0;1), то множеством решений неравенства, указанного в условии, является , где n Ответ:

Просмотров работы: 117