Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину

Калугина С.Г. 1
1МБОУ СОШ ГО ЗАТО Сибирский
Зенокина Н.В. 1
1МБОУ СОШ ГО ЗАТО Сибирский
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

«График – это говорящая линия, которая может о многом рассказать»

М. Б. Балк

Задания на построение графиков функции «модуль» и задачи с параметрами традиционно - это одна из самых трудных тем математики, поэтому она всегда включена в задания повышенного и высокого уровня ГИА и ЕГЭ.

Понятие «модуль» изучается в школе с 6 класса, причем на уровне, только определения и вычисления, несмотря на то, что он широко применяется во многих разделах школьного курса математики, например, в изучении абсолютной и относительной погрешностей приближенного числа; в геометрии и физике будут изучаться понятия вектора и его длины (модуля вектора). Понятия модуля применяется в курсах высшей математики, физики и технических наук, изучаемых в высших учебных заведениях.

Перед выпускниками стоит проблема – удачно экзамены.

В этом году на уроках математики мы познакомились с понятием линейной функции и научились строить ее график. Было показано, что этот ее график берется за основу построения функции «модуль». Кроме того, учитель сказала, что уравнения бывают с одним и несколькими модулям. Я решила глубже изучить эту тему, тем более, что она мне пригодится при сдаче экзаменов.

Тема «Графический метод решения уравнений, содержащих абсолютную величину»

Цель работы: исследование возможности рационального построения графиков с модулями для решения уравнений, содержащих модуль и параметр

Задачи:

  • Изучить теорию по решению методов уравнений с модулем.

  • Научиться решать уравнения 1 степени, содержащие знак абсолютной величины.

  • Классифицировать графические методы решения уравнений.

  • Проанализировать достоинства и недостатки различных методов построения графиков функции «модуль».

  • Узнать, что такое параметр

  • Применить рациональные методы для решения уравнений с параметром

Объект – методы решения уравнений с модулем

Предмет - графический метод решения уравнений

Методы исследования: теоретические и практические:

теоретические - это изучение литературы по теме исследования; интернет – информации;

практические - это анализ информации, полученной при изучении литературы, результатов, полученных при решении уравнений с модулем различными способами;

сравнение способов решения уравнений предмет рациональности их использования при решении различных уравнений с модулем.

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Определение: Модулем (абсолютной величиной) действительного числа а называется само это число, если а ≥0, или противоположное число – а, если а<0; модуль нуля равен нулю.

Модуль - это расстояние на координатной прямой от нуля до точки.

Уравнение с модулем – это уравнение, содержащее переменную под знаком абсолютной величины (под знаком модуля). Решить уравнение-это значит найти все его корни, или доказать, что корней нет.

Методы решения уравнений с модулем:

1. По определению модуля - «снятие модуля». Решение происходит на основе определения.

2. Аналитический метод- решение уравнений с использованием преобразований выражений, входящих в уравнение и свойств модуля.

3. Метод интервалов: раскрытие модуля на интервалах и полуинтервалах, образованными «нулями» модулей.

4. Графический метод. Суть этого способа заключается в том, чтобы построить графики данных функций, представляющих левую и правую часть уравнения. В случае, если графики пересекутся, то абсциссы точек пересечений данных графиков будут являться корнями данного уравнения.

Методы построения графиков функции с модулем

1. По определению. Строятся две прямые у=кх+в, где х>0, у=-кх+в, где х <0

2. Метод симметрии. Строится график у=кх+в, при х>0. Часть прямой при х <0 отображается относительно оси абцисс.

3. Преобразование функций:

а) у=|x|+n график сдвигается вверх по оси ординат на в единиц

б) у=|x|-n график сдвигается вниз по оси ординат

с) у=|x+n| график сдвигается влево по оси абцисс

d )у=|x-n| график сдвигается вправо по оси абцисс

4. Метод интервалов. Координатная прямая разбивается на интервалы и полуинтервалы нулями модулей. Далее, используя определение модуля, для каждой из найденных областей получим уравнение, которое необходимо решить на данном промежутке и получить функцию.

5. Метод расширения областей нулей. В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение: алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков.

Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутримодульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.

Имеем уравнение ax+b=c. В этом уравнении х – неизвестное, a,b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами. Одно уравнение с параметрами задает множество уравнений (для всех возможных значений параметров).

Это все уравнения, которые задает уравнение с параметрами ax+b=c.

Решить уравнение с параметрами – это значит:

  1. Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.

  2. Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения.

Выводы: Таким образом, существуют разные методы построения графиков с модулем, которые необходимо исследовать на возможность их рационального применения.

ГЛАВА 2. АНАЛИЗ МЕТОДОВ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ, СОДЕРЖАЩИХ МОДУЛЬ, И ПРИМЕНЕНИЕ

Изучая виды уравнений с модулем, мы увидели, что их можно и разделить по типам и методам решения.

Таблица. Классификация типов уравнений и их методов решения.

Тип уравнения

Вид уравнения

Метод решения

1.Уравнение с одним модулем

|x|=a

|x n|=a

|x| n=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Аналитический

2.Уравнение, содержащее 2 модуля

|x n| |x m|=a

1.По определению модуля

2.Графический

3.Метод интервалов

4.Аналитический

3.Вложенные модули

|||x n| m||=а

1.По определению модуля

2.Графический

Вывод: таким образом, классификация уравнений дает нам общие методы решения всех типов уравнений - это по определению модуля и графический метод.

Анализ построения графиков.

Тип 1. Построение у=|x|

По определению.

1.Строим прямую у=х

2.Выделяем часть прямой при х 0

3.Строим прямую у=-х

4.Выделяем часть прямой при х<0

Метод симметрии

1.Строим прямую у=х

2.Строим симметрию относительно оси абцисс при х<0

Вывод: метод симметрии рациональнее

Тип 2.

Задание: построить график

1.Метод интервалов

1. на получаем у=-х+3+1-х-4;

у = -2х

2. на получаем у=-х+3-1+х-4;

у = -2

3. на получаем у=х-3-1+х-4;

у = 2х-8

4.Строим все прямые.

5.Выделяем части прямых на интервалах

2.Метод расширения областей нулей

1. Нули: 3 и 1; расширенная область: 2,4,0

2. Вычисляем значения в: 3,1,2,4,0

это: -2, -2, -2, 0, 0

3. Расставляем точки с их координатами и соединяем

Вывод: Метод расширения области нулей рациональнее

Тип 3. Вложенные модули-«матрешка»

И сследуем построение у=||х|-1|

1. По определению модуля

По определению главного модуля имеем:

1) х>0 у=|х|-1

2) х<0 у=-|х|+1

2. «Снимаем» следующий модуль:

Модуль: у=х-1, х>0 и у=-х+1 х<0

у=-х+1 х>0 у=х-1 х<0

3. Строим графики

Вывод: метод симметрии рациональнее.

П рименение рациональных методов построения графиков к решению уравнений с модулем и параметром

1.Решить уравнение :

Строим у= и у=0,5-х

1.Нули: 0,1

2. Расширенная область: -1,2

3. (0;-1), (1;1), (-1;-1) (2;1)

4. Проводим отрезки и лучи

Ответ: 0,5

2. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение , имеет ровно 1 корень.

Решение:

,

Преобразуем: -4+а=3

и -4+а=-3

- +7=а - -1=а

Построим графики функций у = а, , .

При а =7 прямая пересекает график только в одной точке. Значит, данное уравнение имеет ровно один корень при а =7.

Ответ: 7.

  1. При каком значении параметра уравнение имеет 4 корняа=|||х|-2|-2|?

Решение: применив поэтапно метод симметрии и преобразований:

Первый раз: у=

Второй раз: у==|||х|-2|-2|

Построим прямую у=а

Ответ: при а=2 уравнение имеет 4 корня

4.Решить уравнение: |х – 1| + | х – 2| + | х – 3| = 6

1 способ решения: метод интервалов.

Найдем нули подмодульных выражений.

х – 1=0, х – 2 = 0, х – 3 = 0

х = 1, х = 2, х =3.

1.Отметим нули подмодульных выражений на координатной оси, разделив его на промежутки.

Получилось 4 промежутка: а) (- ∞ ; 1] б) (1; 2 ] в) (2; 3 ] г) (3; +∞ ).

2. Решим исходное уравнение на каждом из промежутков, раскрывая модули для данного промежутка.

а) ( -∞ ; 1] , | х – 1| = – (х – 1) ; |х – 2| = – (х – 2) | х – 3| = – (х – 3 ). На данном промежутке уравнение | х – 1| + | х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению – (х – 1) – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 0. Этот корень принадлежит промежутку а) ( – ∞ ; 1], следовательно на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х = 0.

б) (1; 2] , |х – 1| = х – 1; |х – 2| = – (х – 2) |х – 3| = – (х – 3). На данном промежутке уравнение |х – 1| + |х – 2| + |х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 – (х – 2) – (х – 3) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = -2. Этот корень не принадлежит промежутку б) (1; 2] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

в) (2; 3] , | х – 1| = х – 1; | х – 2| = х – 2 | х – 3| = -(х – 3). На данном промежутке

уравнение | х – 1| + | х – 2| + | х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 + х – 2 – ( х – 3 ) = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 6. Этот корень не принадлежит промежутку в) ( 2; 3] следовательно, на рассматриваемом промежутке исходное уравнение не имеет корней.

г) ( 3; +∞ ] , |х – 1| = х – 1; | х – 2| = х – 2 | х – 3| = х – 3 . На данном промежутке

уравнение | х – 1| + | х – 2| + | х – 3| = 6 равносильно уравнению х – 1 +х – 2 + х – 3 = 6. Решая это уравнение, получаем корень: х = 4 Этот корень принадлежит промежутку г) (3; + ∞ ), следовательно на рассматриваемом промежутке исходное уравнение имеет единственный корень х= 4.

3 .Таким образом, исходное уравнение | х – 1| + | х – 2| + | х – 3| = 6 имеет два корня: х = 0 и х = 4.

Ответ: 0 ; 4.

2 способ решения: метод расширения областей нулей

1.Нули: 1,2,3; расширенная область: 0,4

2.Вычисляем значения в: 3,1,2,4,0

3.Расставляем точки с их координатами и соединяем

4.Строим прямую у=6 и находим точки пересечения прямой с графиком

x

0

1

2

3

4

y

6

3

2

3

6

Ответ: 0 ; 4.

5. Постройте график функции   и найдите значения m, при которых прямая y=m имеет с ним ровно две общие точки.

Решение. Раскроем модули:

Получаем, что график функции совпадает с прямой при  совпадает с прямой  при   и совпадает с прямой   при .

График изображен на рисунке.

Прямая y=m имеет с графиком данной функции ровно две общие точки при m= - 3 или m=0.

 Ответ: m = - 3, m = 0.

6. Сколько корней имеет уравнение относительно параметра а ?

Ответ: при a>2 - два корня, a=2 - один корень, a<2 - нет корней.

Сведем анализ результатов в таблицу:

Метод

Тип

Знания и умения

Недостатки

По определению

1, 2, 3

  1. Определение модуля

  2. Знать: как определяются координаты точек прямых

  3. Уметь выделять часть прямой по неравенству

  4. Уметь строить точки по их координатам

  5. Уметь вычислять координаты точек

-громоздкие решения

-применение большого объема знаний

-при «снятии» модуля можно допустить ошибки

Метод симметрии

1, 2, 3

  1. Знать и уметь применять преобразование функции

  2. Строить симметрию относительно оси абцисс

-знание алгоритмов преобразования графиков

Метод интервалов

2

  1. Находить нули модуля

  2. Определять интервалы и полуинтервалы

  3. Раскрывать модули

  4. Вычислять модули

  1. Приводить подобные слагаемые

  2. Уметь строить точки по их координатам

  3. Строить прямые

-громоздкие решения

-много вычислений и преобразований при снятии нулей

-занимает много времени

-правильность определения интервалов и полуинтервалов

Метод расширения области нулей

2

  1. Находить нули модуля

  2. Уметь расширять область нулей

  3. Уметь вычислять модули в этих точках

  4. Уметь строить точки по их координатам

- допуск ошибок в вычислениях

Метод преобразований функций

1

  1. Знать алгоритм преобразования

  2. Уметь строить точки по их координатам

  3. Уметь вычислять координаты точек

  4. Уметь применять алгоритм преобразования

- знание алгоритмов преобразования графиков

Вывод: анализируя таблицу, делаем вывод, что метод симметрии и преобразования графиков удобно использовать при заданиях содержащих один модуль или вложенные модули, а если задание содержит два или более двух модулей, то рациональнее использовать метод расширения области нулей, так как содержат меньше всего действий для построения, а значит экономят время.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в ходе проделанной работы нам удалось изучить и проанализировать разные методы построения графиков. В результате анализа и сравнения методов построения графиков получили следующие выводы:

-перевод алгебраической задачи на язык графиков позволяет избежать громоздких решений;

-при решении уравнений, содержащих модуль и параметр, графический способ является более наглядным и сравнительно более простым;

-при построении графиков, содержащих 2 модуля и «матрешку» практичнее метод симметрии;

-хотя графический способ решения уравнений является приближенным, т.к. точность зависит от выбранного единичного отрезка, толщины карандаша, углов под которыми пересекаются линии и т.д., но этот метод позволяет оценивать кол-во корней уравнений для решения уравнений с параметром.

Учитывая, что одни из самых популярных заданий на ЕГЭ и ГИА уравнения с модулем, то, что главным моим результатом является то, что я могу решать уравнения с модулем и параметром графическим способом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Данкова И. «Предпрофильная подготовка по математике», Москва, 2006г.

  2. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2003.

  3. Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж, 1994.

  4. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2.Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2007

  5. Ястребинецкий Г.А. Задачи с параметрами. М,2006г.

Просмотров работы: 51