XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Связь оригами и математики

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Орлова М.А. 1

---

1МБОУ СОШ № 125

Бродягина И.Л. 1

---

1МБОУ СОШ № 125

Работа в формате PDF

1.5 MB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

С оригами я познакомилась, как и многие, еще в дошкольном возрасте. В детском саду с огромным удовольствием складывала из бумаги кораблики, самолетики, тюльпаны и кошечек. Конечно, это было не обучение, а игра в которой обычный листок чудесным образом превращался в игрушку. Сейчас я могу сама, используя книги или инструкции из Интернета, создавать фигуры из бумаги. Ведь oригами – это удивительное искусство бумажной пластики.

В процессе создания фигур я обратила внимание на то, что сталкиваюсь с такими математическими понятиями, как: угол, линия, точка, диагональ, вершина угла, половина и т.д. Мне стало интересно исследовать эту проблему: связано ли складывание фигурок из бумаги и математика. И если связано, то как?

Оригами – это идеальный модульный конструктор. Освоив несколько приемов сложения бумаги, можно из обычного листа не только делать игрушки, но и различные фигуры без каких-либо дополнительных приспособлений (циркуля или линейки). Во время создания нужной фигурки у автора развивается способность контролировать с помощью мозга движения рук и пальцев, улучшается пространственное воображение. Все вышесказанное указывает на актуальность моего исследования: «Связь оригами и математики»

Объект исследования: процесс создания фигур из бумаги.

Предмет исследования: модульное оригами.

Цель работы: установить взаимосвязь искусства оригами и математической науки.

Гипотеза: Искусство оригами тесно связано с математикой.

Задачи:

1. Ознакомиться с историей оригами и основными этапами его развития;

2. Узнать, что собой представляют базовые формы и приемы оригами;

3. Описать этапы сборки сюрикена в технике модульного оригами;

4. Исследовать связь математики и оригами;

5. Показать практическое применение математических законов в оригами.

Методы исследования: сбор и анализ информации, обобщение изученного материала, практическая работа.

В ходе работы мною была изучена энциклопедическая и учебная литература по данной тематике, а также Интернет-ресурсы. Безусловно, вопрос связи математики и оригами изучали и другие исследователи. На своем опыте я убедилась, что применение творческого подхода к изучению математических азов, может не только положительно повлиять на заинтересованность обучающегося в предмете, но и позволит лучше усваивать материал, а значит, повысит успеваемость в школе.

Глава 1. Что такое оригами?

1.1 Понятие об оригами.

Каждый человек наверняка хоть раз в жизни создавал самое простенькое изделие из квадратного листа бумаги, кораблик или самолетик, а летом сооружал себе головной убор из газеты. И бумажные кораблики, и пилотка сделаны по принципу оригами. Лист бумаги в умелых руках мастера может превратиться в животное, птицу, растение, маску. В общем, во все, что угодно. Ограничение здесь лишь одно – ваше воображение. Готовая бумажная фигурка называется оригами.

«Оригами – это искусство складывания из бумаги, свое название получило от японских слов «ори» – складывать и «гами» – бумага»¹. Оригамист – человек занимающийся оригами.

«Техника выполнения оригами – это определенная цепочка взаимопревращений исходного листа квадрата от начала работы и до полного его завершения»².

Как правило, в оригами применяют квадратные листы бумаги, но для некоторых моделей нужна другая форма. Кроме того, иногда для старых, традиционных моделей могут потребоваться надрезы, а для современных — объединение нескольких листов. Слово «оригами» обладает экзотическим очарованием и для того, кто его прежде не слышал, может показаться волшебным и загадочным. Но его японское происхождение создает путаницу, поскольку люди предполагают, что и сама техника также зародилась в Японии, а это не совсем верно

1.2. Из истории оригами

Искусство создания бумажных моделей насчитывает более 2000 лет, и его история полна ярких страниц. Оригами появилось в Китае на рубеже I и II веков нашей эры. Произошло это не случайно, ведь именно здесь впервые стали делать бумагу. Долгое время оригами было доступно исключительно высшим сословиям, представители которого учились этому мастерству, наряду с получением музыкального образования и освоением правил составления хокку. В VI веке оригами достигло Японии. Жители этой страны придают бумаге особое значение и наделяют ее большой ценностью. Бумага изготавливается из дерева, а вырубать деревья японцам строго-настрого запретили предки. «Принято верить, что в каждом предмете и явлении живет «ками» – маленькое божество. Оно поселяется и в бумажных фигурках, которые используются при совершении ритуалов и обрядов»³. Местные самураи складывали фигурки из лент, чтобы дарить друг другу перед сражением. А на свадьбу бумажные бабочки сопровождали жениха и невесту, символизируя их чистые и легкие души. После того как Япония открыла свои границы для остального мира, оригами быстро разошлись по всему свету.

Новый этап в развитии оригами относится ко второй половине XX века и связан с именем знаменитого японского мастера Акира Ёсидзава. Он работал на машиностроительной фабрике, где помимо основной деятельности, ему поручили учить новичков читать чертежи. При этом он начал активно использовать оригами, объясняя коллегам с помощью складывания фигурок из бумаги, азы математических понятий. Эти занятия имели успех и вызывали неподдельный интерес.

Акира Ёсидзава является признанным мировым мастером оригами. Он сделал оригами авторским, придумав сотни оригинальных фигурок. Именно он изобрел единую универсальную систему знаков, с помощью которых можно записать схему складывания любой фигурки.

«В 1945 году, в конце Второй мировой войны, на японский город Хиросима была сброшена американская атомная бомба, унесшая жизни более 75 000 человек. Оставшиеся в живых были обречены на смерть от заболевания крови, вызванного облучением. Среди них была Садако Сасаки. Когда она лежала в больнице, один из друзей сложил для нее оригами – бумажного журавля. Эта птица в Японии издавна считается священной, живущей тысячу лет и исполняющей самые заветные мечты, но желание могло исполниться у человека, который сам сложил фигурку. Поверив в легенду, Садако принялась складывать оригами – тысяча бумажных журавлей стали ее последней надеждой на исцеление. Ко дню своей смерти она успела свернуть из бумаги 644 журавлика. Позже её друзья свернули недостающих. Спустя некоторое время японские дети организовали свой клуб и стали собирать деньги на памятник всем детям, погибшим от атомной бомбы. За три года они сумели собрать нужную сумму, и в этом им помогли не только японские школьники, но и их сверстники еще из девяти различных стран. В конце 1958 года в Хиросиме был разбит парк Мира, и в нем появился монумент, о котором мечтали друзья Садако. С тех пор и до наших дней каждый год 6 августа, в день бомбардировки, этот монумент покрывается гирляндами, состоящими из тысяч и тысяч бумажных журавликов.

Япония была не единственной страной, где развивалось искусство создания бумажных моделей. Оно, и причем совершенно самостоятельно, возникло также в Мавритании, откуда вместе с арабскими завоевателями проникло в Европу, в Испанию случилось это в VIII веке нашей эры. Арабы всегда славились как искусные математики и астрономы, и потому неудивительно, что и в свои бумажные модели они привнесли сложные элементы и расчеты. Более того, бумажные модели использовались у них в качестве учебных пособий. Мавританское искусство создания бумажных моделей расцвело к XIII веку, и отголоски его сохранились вплоть до наших дней. Изучением мавританского стиля оригами занимался известный испанский философ и поэт Мигель де Унамуно (1864—1936)»⁴.

Сейчас центры оригами открыты в 26 государствах планеты. Оригами развивается, во многих странах созданы общества оригамистов; каждый год проводятся выставки и конференции.

1.3. Азбука оригами.

Произведения искусства, созданные руками мастеров оригами из обычной бумаги, способны поразить воображение. Разумеется, нужно потратить не один год, чтобы в совершенстве освоить различные способы складывания оригами. В данном разделе мы опишем самые частые условные знаки, обозначения и схемы, которые используются при создании оригами (Приложение 1. С.19):

1 . Сгиб. Обозначается пунктирной линией. Эта линия показывает, что часть листа бумаги, разграниченную ею, нужно сложить на себя или от себя.

2 . Перегиб. Эта операция обозначается переломленной стрелкой. По сути, перегиб – это складка. Этот знак обозначает, что вам следует сначала согнуть лист строго по линии, а затем разогнуть его. Смысл операции заключается в нанесении этой складки.

3 . Выгиб наружу. Этот сгиб обозначается длинными стрелками, которые показывают направление сгибания части изделия. Суть этой операции: угол изделия нужно загнуть наружу, придавая ему форму шапочки. Предварительно необходимо сделать перегиб.

4 . Сгиб внутрь, или «карманная» складка. Этот сгиб обозначается прерывистой стрелкой, которая указывает направление линии сгиба. Суть операции: необходимо раздвинуть края изделия и угол согнуть внутрь (между краями). Также нужно сделать предварительный перегиб.

5 . Заворот. Знак этой операции включает в себя пунктирные линии и спиралевидную стрелку. Суть операции изделие нужно завернуть, соблюдая сгибы в местах пунктирных линий.

6. Равные части обозначаются значком с двойным штрихом на непрерывной линии. Части изделия, на которых проставлены эти значки, должны быть равными между собой.

7 . Раскрытие. Обозначается также крупной стрелкой, но прямой. Этим знаком обозначают те участки, которые нужно раскрыть.

8 . Другие обозначения. Каждое пособие по оригами публикует «азбуку» сборки вместе со схемами. Другие обозначения можно посмотреть в Приложении 1 (С.19)

1.4. Виды и техника оригами

Модульное оригами. В зависимости от способа соединения модулей между собой можно получить ту или иную конструкцию. Модели модульного оригами могут быть как плоскими, так и трёхмерными. Первые обычно представлены многоугольниками: звёздами, вертушками и кольцами, вторые же – правильными многогранниками или их композициями (Приложение II. С.19).

Простое оригами. При создании моделей в данной технике ищется минимальный набор складок, который бы отражал основные черты складываемой фигурки. Также одним из отступлений относительно традиционного оригами является необязательность однозначного задания новых складок уже существующими элементами – многие складки проводятся на глаз. Однако это не есть недостаток, так как в силу принципа минимального складывания, где каждая складка обладает максимальной выразительностью, невозможность сложить две одинаковые модели выливается в огромные возможности для детского творчества (Приложение III. С. 20).

Складывание по развёртке. Один из видов оригами, представляющий собой чертёж, на котором изображены все складки готовой модели. Складывание по развертке бывает удобно для описания сложной модели, когда обычная запись бывает слишком громоздкой. Более существенно, однако, то, что данный вид оригами стал использоваться при проектировании современных сверхсложных моделей. (Приложение IV. С.21)

Мокрое складывание. В данной технике можно складывать любые модели, хотя лучше всего подходят простые фигурки, особенно животных. Перед началом складывания мокрым способом желательно сложить модель обычным образом, чтобы хорошо изучить процесс складывания. Считается, что мокрое складывание сложнее сухого, и новичку может показаться весьма трудным (Приложение V С.22).

Наноригами. Сложная разновидность оригами. Это трёхмерный конструктор с малюсенькими элементами. Принципы наноригами используются в нанотехнологиях (Приложение VI. С. 23).

Киригами. Вид работы с бумагой при помощи ножниц. Ножницы дают большую свободу действий и более чёткие формы (Приложение VI. С. 24).

Таким образом, мы проанализировали, что настоящее искусство оригами не ограничивается использованием только бумаги. Сегодня многие любители оригами смело экспериментируют с новыми материалами, ищут и находят новые технические приемы создания моделей. Это открывает перед любителями оригами еще больше возможностей проявить свои творческие таланты.

Глава 2. Оригами и математика

2.1 Основные понятия в схемах оригами

Оригами дает нам возможность увидеть множество новых математических конструкций и открыть целую математическую вселенную.

Б ольшинство классических моделей в оригами выполняются из квадрата.

В процессе изготовления простых моделей мы знакомимся с очень нужными понятиями, такими как диагональ, центр и сторона квадрата, средняя линия. С точки зрения математики, целью оригамиста является точное определение местоположения одной или более точек листа, задающих складки, необходимые для формирования окончательного объекта. Процесс складывания подразумевает выполнение последовательности точно определенных действий по следующим правилам:

1. Линия определяется либо краем листа, либо линией сгиба бумаги;

2. Точки определяются пересечениями линий;

3. Все складки определяются единственным образом – путем

совмещения различных элементов листа – линий или точек;

4. Сгиб формируется единственной складкой.

Деление на части является основами раздела математики – геометрии.

С помощью сгибов из квадрата можно получить следующие правильные многоугольники:

Кроме того, в процессе изучения простых моделей мы знакомимся с очень нужными математическими и геометрическими понятиями. Ниже приведем пример некоторых из них:

1. Виды линий (прямая, кривая, наклонная, горизонтальная);

2. Прямая линия и ее свойства (параллельные и перпендикулярные линии, пересекающиеся, скрещивающиеся);

3. Понятие угла (вершина, стороны угла);

4. Виды углов (прямой, тупой, острый);

5. Треугольник и его элементы (высота, основание, боковые стороны);

6. Виды треугольников (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный);

7. Квадрат, прямоугольник (противоположные стороны, смежные, периметр).

Таким образом, оригами можно использовать на занятиях по математике в таких заданиях, как: найти горизонтальные линии, вертикальные, наклонные линии; найти все квадраты; найти все треугольники; складывание квадрата, смежные стороны, диагональ. А если развернуть фигурку оригами и посмотреть на складки – можно увидеть обилие многоугольников, соединенных друг с другом. Работать можно как по линиям сгиба изделия, так и в процессе его сборки.

2.2 Создание сюрикена

В процессе складывания фигур оригами мы знакомимся с различными геометрическими фигурами: треугольником, квадратом, трапецией и т.д., учимся легко ориентироваться в пространстве и на листе бумаги, делить целое на части, находить вертикаль, горизонталь, диагональ, узнаём многое другое, что относится к геометрии и математике

Для своей исследовательской работы мы взяли изделие «Сюрикен» (восьмиконечная модель звездочки). Оно относится к модульному оригами. На его примере мы и будем находить связь с математикой.

Во-первых, все фигуры в оригами выполняются из геометрических фигур, значит это – первая точка соприкосновения оригами с математикой.

Для изготовления нашей звезды нам понадобится восемь равных квадратов.

1. Складываем квадрат пополам. Получается прямоугольник.

2. Нижний левый угол подгибаем, выравнивая по правому краю.

3. Полностью раскрываем складки. Сгибаем к центру два верхних угла.

4. Складываем лист пополам.

5. И спользуя линии сгибов из второго шага, «продавливаем» нижнюю часть фигуры к середине, чтобы получился параллелограмм.
   Вот так выглядит деталь с другой стороны.

Т аким же образом изготовим ещё 7 модулей. И переходим к сборке.

6. В ставляем каждый модуль в предыдущий со стороны свободного края. Выступающие углы подворачиваем, чтобы детали меньше распадались.

П родолжаем работу, пока не закончатся все модули.

Нам важно, чтобы открытые края последнего элемента располагались по обе стороны первого, с которого начиналась сборка. Тогда мы сможем без труда трансформировать «сюрикен».

А теперь самое интересное – превращение. Держим наш восьмиугольник с обеих сторон и толкаем внутрь, пока он не начнёт раскрываться, превращаясь в звезду.

Таким образом, при создании модели «Сюрикен» мы увидели, что в схеме создания встречаются следующие понятия: квадрат, прямоугольник, середина, угол, восьмиугольник, край, модуль, часть, параллелограмм, центр.

Значит оригами действительно связано с математикой. Собрав модульную конструкцию, мы увидели, что они напоминают геометрические тела. А это уже оригаметрия – раздел, который связывает искусство оригами с математикой.

2.3. Современное видение оригами

В наше время оригами с математической точностью шагает по планете семимильными шагами. Ученные придумали использовать приёмы оригами в космосе, а именно Миура-ори – схема жесткого складывания, которая использовалась для развертывания больших установок солнечных батарей на космических спутниках.

«Первоначально эта технология употреблялась для складывания бумажных документов, карт местности, упаковки. Такая карта компактна, в сложенном виде представляет плоскую фигуру, но ее можно развернуть и свернуть одним движением, а отсутствие многослойных складок уменьшает нагрузку на бумагу»⁵.

Таким образом, мы доказали, что оригами и математика, словно две сестры, которые не терпят неточности и поспешности. Само оригами дает полет фантазии, а математика эту фантазию облачает в «платье науки». Математика – это одна из сторон оригами и наоборот, оригами является одной из направляющих математики. Оригами – это семейный, коллективный досуг, сближающий, улучшающий психологический фон семьи и коллектива. Каждая фигура оригами – это своя история, своя легенда и множество вариантов применения в жизни.  

Заключение

Как наглядное средство лист бумаги применяется в обучении математике с давних пор. Но на уроках математики важно не то, какую фигурку мы сложили из бумаги, а наоборот. Разверните любую бумажную поделку. Линии сгиба образовали треугольники, квадраты, четырехугольники. К тому же, разворачивая поделку, можно наблюдать преобразование объемной фигуры в плоский лист бумаги. А значит, упражнения с листом бумаги позволяют знакомиться с различными математическими фигурами и изучать их простейшие свойства.

Исходя из всего вышеизложенного мною, я могу сделать выводы:

1. Искусство оригами тесно связано с математикой и может стать хорошей основой для её изучения;

2. Данная тема дает большие возможности для проявления исследовательских и творческих умений при решении задач.

Гипотеза, которую я ставила в начале работы «Искусство оригами тесно связано с математикой», подтвердилась. Кроме того, оригами развивает память, мышление, пространственное воображение, сообразительность.

Мне было очень интересно исследовать данную тему. В дальнейшем я продолжу свою работу, так как это поможет мне находить новые способы решения определенных задач, а также изучать геометрию.

Список использованных источников и литературы

1. Афонькин, С. Ю. Оригами. Волшебный квадрат / С. Ю Афонькин, Е. Ю. Афонькина. – М. : Аким, 2002. – 188 с.

2. Афонькин, С. Ю. Энциклопедия оригами для детей и взрослых / С. Ю. Афонькин, Е. Ю. Афонькина. – СПб. : Кристалл, 2000. – 272 с.

3. Белим, С. Н. Задачи по геометрии, решаемые методами оригами / С. Н. Белим. – М. : Аким, 1998. – 63 с.

4. Белим, С. Н. Правильные многоугольники в оригами / С. Н. Белим, С. В. Белим. – Омск, 2003. – 62 с.

5. Весновская, О. В. Оригами. Орнаменты, кусудамы, многогранники / О.В. Весновская. – Чебоксары, : Руссика, 2003. – 46 с.

6. Граматин, А. А. Оригами. Уроки для начинающих / А.А. Граматин. Ростов-на-Дону : ИД Владис, 2011. – 144 с.

7. Кондрашова, Л. «Оригами. Большая энциклопедия» / Л. Кондрашова. – М. : Эксмо, 2004.– 328 с.

8. Оригами для начинающих: условные обозначения, базовые формы. Термины, используемые в оригами. [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://bookcovers.ru/origami-for-beginners-symbols-basic-forms-terms-used-in-origami.html

9. Оригами и математика. [Электронный ресурс]. – Режим доступа : https://moluch.ru/young/archive/18/1281/.

10. 10. Понятие об оригами. [Электронный ресурс]. – Режим доступа :

11. https://topuch.com/ponyatie-ob-origami/index.html.

12. Проснякова, Т. Н. Забавные фигурки. Модульное оригами: золотая библиотека увлечений / Т. Н. Проснякова. – М. : АСТ-Пресс Книга, 2011. – 104 с.

П риложение I

Приложение II

Приложение III

Приложение IV

Приложение V

Приложение VI