Удивительный мир фракталов: бесконечность и красота в математике

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Удивительный мир фракталов: бесконечность и красота в математике

Павлюшин А.В. 1
1БОУ г. Омска "Гимназия № 19"
Карамелева Ю.В. 1
1БОУ г. Омска "Гимназия № 19"
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Актуальность темы. С давних времен люди пытались понять строение объектов, имеющих сложную структуру. Научное обоснование строения таких объектов появилось лишь во второй половине XX века благодаря Бенуа Мандельброту. С его именем связано возникновение новой области математики – «фрактальной геометрии».

С помощью фрактальной геометрии можно описать облака, деревья, молнии, береговые линии, горы и даже павлиний хвост [2, с. 7]. Фракталы завораживают, вызывают интерес и стремление разгадать их тайны.

Гипотеза. Предположим, что в основе построения сложных объектов лежат определенные закономерности. Что если соблюдение четкой последовательности действий с отдельными элементами позволит создать целый объект, повторяющий форму исходного элемента? Знания таких закономерностей позволяют по-новому взглянуть на окружающий мир, используя таинственное слово «фрактал».

Объект исследования: сущность фрактальных объектов.

Предмет исследования: свойства фракталов и алгоритм их построения.

Цель исследования: описать основные характеристики фракталов, проанализировать их многообразие и закономерности образования.

Задачи исследования:

  1. ознакомиться с литературой по данному вопросу;

  2. провести опрос одноклассников;

  3. выделить признаки фракталов и определиться с понятием «фрактал»;

  4. описать основные виды фракталов;

  5. сделать демонстрационный материал;

  6. раскрыть применение фракталов в повседневной жизни;

  7. сформулировать вывод о значении фракталов.

По результатам проведенного исследования будут определены дальнейшие направления разработки выбранной темы.

Глава 1. Фрактальная геометрия в системе научных знаний

§ 1.1. Возникновение фрактальной геометрии

В Древней Греции верили, что объекты окружающего мира воспроизводятся по одним и тем же схемам и правилам.

Наблюдательные люди издавна замечали, что структура некоторых природных объектов повторяется при рассмотрении их «вблизи» и «издалека». Приближаясь к таким объектам, можно заметить, что их форма в целом остается почти неизменной. В природе подобными формами обладают подсолнух и брокколи, морские раковины, папоротники, снежинки, горные расселины, береговые линии, сталактиты и сталагмиты, молнии.

Закономерности, лежащие в основе строения таких объектов, удалось объяснить и описать с появлением в 1970-х годах фрактальной геометрии. Ее основателем являлся сотрудник научно-исследовательского центра IBM французский математик польского происхождения Бенуа Мандельброт.

Без вычислительной техники фрактальная геометрия не могла бы сформироваться и заинтересовать научное сообщество.

Основная мысль Бенуа Мандельброта была такова: многие сложные природные объекты (горы, облака, побережья, капилляры) обладают одним и тем же геометрическим свойством – они не изменяются в разных масштабах.

Он писал: «совершенно убежден, что ученые будут удивлены и восхищены, узнав, что многие формы, которые они должны были бы называть …странными, запутанными, извилистыми, изогнутыми, морщинистыми и т.п., теперь можно описывать строгим количественным способом» [7, с. 252].

В 1975 году для описания таких объектов в своей книге «Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность» Бенуа Мандельброт использовал новое слово «фрактал». Оно происходит от латинского fractus («сломанный, разбитый»), то есть образованный несимметричными фрагментами.

У фрактальной геометрии появился логотип «фрактал Мандельброта», который стал украшением обложек журналов и выставок компьютерного искусства восьмидесятых годов XX века.

Бенуа Мандельброт не изобрел фракталы, а описал их тайны.

Как только мы понимаем, как надо правильно смотреть на такие объекты, получаем сложные, но упорядоченные структуры.

§ 1.2. Понятие и свойства фракталов

Первое, на что мы обращаем внимание, увидев фракталы, - это их сложное строение. Кажется, что тайну фрактала невозможно разгадать.

Однако, пристально вглядываясь в узоры и геометрические фигуры, мы с удивлением замечаем, что фрактальный объект образован множеством его уменьшенных «копий», расположенных в строго определенной последовательности.

Майкл Барнсли сравнивал фракталы с русской матрешкой как «символ бесконечной вставленности миров друг в друга» [5, с. 12].

Попробуем выделить основные свойства фрактала.

  1. Фрактал – это математический объект со сложной структурой.

  2. Сам фрактал имеет ту же форму, что и его части. Он обладает самоподобием. Внутри фрактала обнаруживаются мини-объекты, подобные целому.

3. Фрактал строится путем многократного повторения определенной последовательности действий. Алгоритм построения фрактала прост: «делай то, затем это».

При построении фрактала форма его частей остается прежней, меняется их положение, размер или ориентация.

  1. Фрактал зависит от изначальных условий его построения.

Таким образом, фракталами являются сложные математические объекты, состоящие из частей, подобных целому, выстроенных в определенной последовательности.

Удивительное свойство фрактала заключается в том, что, независимо от масштаба наблюдения, он представляет одну и ту же форму.

Бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из простых элементов при помощи двух действий: копирования и изменения масштаба [4, с. 81].

В зависимости от способа построения выделяют геометрические, алгебраические и стохастические фракталы [10]. Подробнее с ними мы познакомимся в следующей главе данной научно-исследовательской работы.

При выполнении работы были опрошены 24 ученика 2 класса.

Результаты опроса (приведены в приложении № 1) показали, что около половины детей (11 из 24) считают возможным описать строение природных объектов (снежинок, молнии, брокколи, гор и т.д.) с помощью математики. Однако о фракталах слышал только 1 из 24 детей.

Мнения учеников о возможности объединения изображенных на слайде объектов (геометрических фракталов) в одну группу разделились поровну (12 – за, 12 - против). Внимательно присмотревшись к треугольнику Серпинского, большинство детей (21 из 24) заметили, что данный объект образован из подобных ему объектов меньшего размера. Только 7 из 24 детей согласились с тем, что фрактал Мандельброта можно описать с помощью математики.

После моего опроса-презентации все 24 ученика единогласно ответили, что хотели бы подробнее узнать о фракталах.

Выводы по главе 1.

В первой главе работы кратко описана история появления фрактальной геометрии, сформулировано понятие «фрактал», выделены его признаки, приведены результаты практической части исследования, проанализированы результаты опроса одноклассников.

Глава 2. Виды фракталов

§ 2.1. Геометрические фракталы

Геометрические фракталы - самый привычный для нас вид фракталов. Их построение может понять даже человек, далекий от математики.

В основе построения геометрических фракталов лежит геометрическая фигура (линия или многоугольник), которая делится на части или преобразуется.

Геометрическими фракталами являются пыль Кантора, снежинка Коха, треугольник и квадрат Серпинского, Кривая дракона, дерево Пифагора [3].

Рассмотрим алгоритм их построения.

Пыль Кантора. Берем отрезок, делим его на три равные части и убираем среднюю. Повторяем так с каждым образовавшимся отрезком. В результате бесконечного количества повторений и получается пыль Кантора (Рис. 1).

Снежинка Коха. Возьмем равносторонний треугольник, разделим каждую сторону треугольника на три части. Среднюю часть заменяем равносторонним треугольником без нижнего основания. Данные действия повторяем для каждого нового треугольника (Рис. 2).

Рис. 1. Пыль Кантора Рис. 2. Снежинка Коха

Целое семейство фракталов названы именем польского математика Вацлава Серпинского.

Треугольник Серпинского. Стороны равностороннего треугольника делим пополам. Внутри исходного треугольника соединяем середины смежных сторон тремя отрезками и получаем четыре одинаковых треугольника. Перевернутый треугольник в центре из фигуры исключаем. Затем такие же действия повторяем для трех оставшихся равносторонних треугольников. Эту фигуру Вацлав Серпинский придумал в еще 1915 году, салфеткой Серпинского назвал ее Бенуа Мандельброт из-за сходства с дырчатой прокладкой под головкой цилиндров автомобилей того времени (Рис. 3).

Квадрат Серпинского. Все стороны квадрата делим на три равные части. Соединяем зеркальные точки на противоположных сторонах отрезками. Из получившихся 9 одинаковых квадратов удаляем центральный квадрат. Процедуру повторяем с оставшимися квадратами (Рис. 4).

Рис. 3. Треугольник Серпинского Рис. 4. Квадрат Серпинского

Треугольник и квадрат Серпинского с помощью компьютера можно строить до бесконечности. Первые 4 ступени треугольника и 3 ступени квадрата у меня получилось нарисовать на листе бумаги, а квадрат – еще и смоделировать из деталей конструктора Лего (приложение № 2).

Кривая дракона. Для ее построения возьмем отрезок. Повернем его на 90 градусов вокруг одной из вершин и добавим к исходному. Получим прямой угол из двух отрезков. Затем повернем угол на 90 градусов по часовой стрелке вокруг вершины и добавим полученную ломаную к исходной. Повторяя данные действия с каждой полученной ломаной, мы будем получать все более сложные ломаные, напоминающие дракона (Рис. 5).

Кривую дракона можно сделать из полоски бумаги. Сначала сгибаем ее несколько раз пополам, а потом разворачиваем так, чтобы все углы сгибов были прямые.

Проводя опрос о фракталах, я показал одноклассникам способ построения Кривой дракона из полоски бумаги. Сделать этот фрактал получилось у всех.

Дерево Пифагора. Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. Позже немецкий инженер Альберт Босман во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку, создал дерево Пифагор.

Чтобы построить дерево Пифагора, рисуем «домик», состоящий из квадрата и «крыши» – равностороннего прямоугольного треугольника. Затем с каждой стороны треугольной крыши строим квадраты и новые «крыши» - треугольники. Каждое такое действие позволяет получить дерево Пифагора меньшего размера (Рис. 6).  

Рис. 5. Кривая Дракона Рис. 6. Дерево Пифагора

Указанные выше геометрические фракталы могут быть построены с помощью карандаша и линейки, главное понять и правильно повторить последовательность их построения.

§ 2.2. Алгебраические фракталы

Алгебраические фракталы строятся на основе математических формул. Алгоритм их построения основан на многократных математических вычислениях.

К данному виду фракталов относятся фракталы Мандельброта и Жюлиа. Они содержат уменьшение копии всей фигуры целиком.

Фрактал Мандельброта строится по простым правилам, понятным тому, кто умеет складывать и умножать. Однако данные вычисления придется выполнить несколько триллионов раз! Поэтому этот фрактал был открыт только с появлением современных компьютеров.

Подробно изучив множество Мандельброта, французский математик Андриен Дуади и американец Джон Хамал Хаббард записали формулу этого множества: z+с, где: z – число, которое последовательно возводят в квадрат, с – константа (постоянная величина).

Суть формулы проста: нужно взять число, умножить его на само себя и сложить с константой. Эти действия повторяются над каждым полученным результатом снова и снова. Результат зависит от выбора начальной точки и константы (Рис. 7).

Рис. 7. Фрактал Мандельброта

Фрактал Жюлиа был изобретен французским математиком Гастоном Жюлиа. Удивительно, но множества Жюлиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта. Единственная разница в том, как используется эта формула. Существуют разные типы множеств Жюлиа
(Рис. 8). Встречается мнение, что соединенные вместе фракталы Жюлиа образуют фрактал Мандельброта.

Рис. 8. Фракталы Жюлиа

§ 2.3. Стохастические фракталы

Стохастические фракталы (от греческого «stochasis» – догадка, предположение) возникают, когда в алгоритм их построения вводится случайная величина. Результат построения таких фракталов точно предсказать невозможно. Они лишены точного геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте свойства целого.

Несмотря на то, что этот вид фракталов строится на основе математических формул, в процессе построения параметры в них случайным образом изменяются. Это приводит к появлению причудливых форм, очень похожих на природные. В отличие от геометрических и некоторых алгебраических, стохастические фракталы можно построить лишь при помощи компьютера (Рис. 9).

Рис. 9. Стохастические фракталы

Выше были рассмотрены наиболее известные фракталы. На первый взгляд казалось, что разгадать механизм их построения невозможно. Однако все они были разгаданы благодаря знаниям в области математики.

Выводы по главе 2.

Во второй главе предложена классификация фракталов в зависимости от способа их образования. Приведены известные геометрические фракталы, раскрыты алгоритмы их построения. Кроме того, описаны алгебраические и стохастические фракталы, их описание сопровождается наглядными иллюстрациями.

Глава 3. Значение и применение фракталов в повседневной жизни

Фрактал называют символом революционного переворота представлений о мире.

Многие природные объекты и явления можно описать с помощью фрактальной геометрии.

Высокий утес по форме напоминает небольшой холм, а тот, в свою очередь, похож на большую гору. Маленький фрагмент береговой линии ничем не отличается по форме от фрагмента в 10 раз больше [6, с. 90].

Брокколи состоит из крохотных соцветий, каждое из которых имеет ту же форму, что и капуста в целом (Рис. 10).

Деревья тоже представляют собой фракталы (Рис. 11). Их маленькие ветки и сучья напоминают силуэт целого дерева. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, то есть ветка подобна всему дереву [1]. 

Каждая мелкая часть снежинки воспроизводит форму целой (Рис. 12).

В теле человека много фрактальных структур: кровеносные сосуды, бронхи, нервная система, почки (Рис. 13). Функции этих систем различаются, но имеют некоторые общие физиологические свойства.

Рис. 10 Рис. 11 Рис. 12 Рис. 13

Фракталы не только красивые и завораживающие математические объекты. Они имеют важное прикладное значение и находят практическое применение в неожиданных областях.

Радиоэлектроника. Фракталы используются при проектировании антенн в мобильных телефонах (Рис. 14), обеспечивают запись данных на CD и DVD
[9, с. 258]. Возможность использования фракталов в антенных устройствах для более эффективного приема волн обнаружил инженер Натан Коэн, который создал самодельную антенну, вырезав ее из алюминия в форме кривой Коха.

Компьютерная графика. С помощью фракталов изображают многие элементы рельефа местности, природные явления (горы, волны и т.д.). При таком подходе компьютер хранит не готовый объект, а лишь формулу его отрисовки, что значительно экономит память (Рис. 15). С появлением фракталов появилось также цифровое искусство, которое быстро стало популярным.

Математическое моделирование. Фракталы позволяют моделировать некоторые физические явления и геологические процессы.

Экономика. Знания о фракталах применяются в биржевой торговле: используются для прогноза изменения цен и курсов валют. Это открытие было сделано еще Бенуа Мандельбротом, который обнаружил некую симметрию в колебаниях цен на хлопок за последние сто лет [8, с. 25].

Архитектура. Парижская башня, спроектированная Гюставом Эйфелем, самоподобна и состоит из ферм на основе треугольников. В конструкции этой башни отдельные элементы больших ферм сами представляют собой фермы, состоящие из ферм меньшего размера (Рис. 16). Такой принцип построения конструкций обеспечивает их прочность.

Музыка. В канонах Баха одна и та же тема играет на фоне самой себя. Тема задается первым голосом; спустя определенное время вступает второй, исполняя ее же. Через такое же время вступает третий голос и так далее.

Медицина. Знания о фракталах помогают распознавать раковые клетки (схема строения нормальных и раковых клеток отличаются).

Рис. 14 Рис. 15 Рис. 16

Выводы по главе 3.

В третьей главе мною раскрыты важность и значение фракталов в повседневной жизни, показано, что мы постоянно, день ото дня, используем результаты применения фрактальной геометрии.

Заключение

Результаты проведенного исследования показали, что фрактальная геометрия позволила изменить привычный взгляд на окружающую действительность. Как писал Майкл Барнсли: «Фрактальная геометрия изменит Ваше представление о мире. Вы рискуете утратить детское восприятие облаков, пены, галактик, листьев, цветов, скал, водных брызг... Никогда вновь Ваше впечатление о мире не станет прежним» [5, с. 12].

Существует много компьютерных программ и онлайн-сервисов, которые генерируют фракталы с заданными параметрами. Для математиков они выступают инструментом исследования, остальным людям дают возможность насладиться красотой и сложностью этих объектов.

Практическая значимость.

Возникновение фрактальной геометрии дало мощный старт развитию радиоэлектроники, компьютерной графики, цифрового искусства. Знание о фракталах позволяет системно подходить к описанию и пониманию природных объектов, экономических процессов.

Фракталы бросают вызов пытливым умам, помогают развивать внимание и логическое мышление. Знакомясь с фракталами, ученики приобретают новые знания и навыки. Для демонстрации фракталов я нарисовал треугольник и квадрат Серпинского, смоделировал квадрат Серпинского из конструктора Лего.

Перспективы разработки темы.

Теория фракталов совсем молода, ее изучают только пятьдесят лет. В данной работе внимание было уделено истории возникновения и общим представлениям о фракталах, доступным для учащихся начальных классов. Однако фрактальная геометрия не стоит на месте, появляется все больше возможностей для изучения природных явлений и процессов с помощью фракталов. Поэтому в дальнейшем планируется более подробное описание и изучение отдельных видов фракталов и направлений их применения в разных сферах нашей жизни.

Список используемой литературы

  1. Бесконечность математики: что такое фракталы и как они устроены (https://www.techinsider.ru/science/8906-krasota-povtora-fraktaly, 26.11.2023).

  2. Бинимелис Басса М.И. Новый взгляд на мир. Фрактальная геометрия (пер. с испанского). Мир математики в 40 т. Т. 10. М.: Де Агостини, 2014. – 144 с.

  3. Геометрические (конструктивные) фракталы (https://elementy.ru/posters/fractals/geometric, 26.11.2023).

  4. Гусев И.Е. Математика для каждого образованного человека. М.: ООО «Издательство АСТ», 2019. – 210 с.

  5. Деменюк С.Л. Суперфрактал. Спб.: ООО «Страта», 2015. – 196 с.

  6. Луар К., Пино Ф. Знакомьтесь, Математика! (пер. с французского).
    М.: Пешком в историю, 2016. – 108 с.

  7. Манкевич Р. История математики: от счетных палочек до бессчетных вселенных (пер. с анлийского). М.: Ломоносовъ, 2011. – 256 с.

  8. Монвиж-Монтвид А. Игра с картинками. Журнал «ЮНЫЙ ЭРУДИТ». 2023, № 10 (254). – 22-25 с.

  9. Стюарт И. Невероятные числа профессора Стюарта (пер. с английского). М.: Альпина нон-фикшн, 2022. – 422 с.

  10. Фракталы: что это такое и какие они бывают (https://skillbox.ru/media/code/fraktaly-chto-eto-takoe-i-kakie-oni-byvayut/, 26.11.2023)

Приложение № 1

Опросный лист «Мир фракталов»

1. Как Вы думаете, можно ли с помощью математики объяснить строение природных объектов (например, снежинки, молнии, брокколи, береговой линии, гор и т.д.)? Изображение объектов приведено на слайде.

2. Слышали ли вы когда-нибудь слово «фрактал»?

3. Как Вы думаете, можно ли все изображенные на слайде объекты объединить в одну группу?

4. Заметили ли Вы, что изображенный на слайде объект образован из подобных ему объектов меньшего размера?

5. Можно ли описать этот объект с помощью математики?

6. Получилось ли у вас построить фрактал «Кривая Дракона»?

7. Хотели ли бы Вы подробнее узнать о фракталах?

Приложение № 2

Демонстрационные материалы

Треугольник и квадрат Серпинского (фото рисунков А3)

Квадрат Серпинского из деталей конструктора Лего

Просмотров работы: 57