«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА В СОВРЕМЕННОМ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ НА ПРИМЕРЕ ТЕМЫ: «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

«НАЧАЛА» ЕВКЛИДА В СОВРЕМЕННОМ УЧЕБНИКЕ ГЕОМЕТРИИ НА ПРИМЕРЕ ТЕМЫ: «ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ»

Заборских П.А. 1
1ПМАОУ "Школа №32"
Заборских Д.В. 1
1ПМАОУ "Школа №32"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Истоки геометрии теряются во тьме веков. Кое – кто, возможно, считает, что различные замысловатые линии и поверхности можно встретить только в книгах учёных – математиков. Однако стоит внимательно осмотреться, и мы сразу обнаружим вокруг нас всевозможные геометрические фигуры. Оказывается, их очень много. Просто мы их раньше не замечали. Сколько разнообразных геометрических линий и поверхностей использует человек в своей деятельности – при строительстве жилищ, фабрик, заводов, мостов, машин, в транспорте. Пользуется он ими не из простой любви к интересным геометрическим фигурам, а потому, что свойства этих геометрических линий и поверхностей позволяют с наибольшей простотой решать разнообразные технические задачи. Из этого следует, что геометрия играет очень большую роль.

В 7 классе я стал изучать геометрию, она мне очень нравится. И я решил узнать, как возникла геометрия?

По дошедшим до нас египетским папирусам и древневавилонским текстам известно, что уже за 2 тыс. лет до н. э. люди умели определять площади треугольника, прямоугольника, трапеции и т. д. В древнем Вавилоне были известны частные случаи теоремы Пифагора.

И всё же, геометрия как наука ещё не существовала.

И только в Греции в VI веке до н. э. произошло коренное преобразование способа изучения геометрии, здесь и возникла она как наука. Сами греки связывали рождение геометрии с деятельностью Пифагора и его школы.

Древнегреческие учёные понимали, что установить правильность какого – либо свойства для всех фигур можно только с помощью логического доказательства. Но как это сделать и можно ли?

Усилия многих геометров были направлены на то, чтобы отыскать все аксиомы, необходимые для построения геометрии.

Было несколько попыток такого рода, но наиболее совершенная из них – знаменитые «Начала» Эвклида.

Цель исследования: рассмотреть основные учебники геометрии, используемые в современных школах на примере темы «Четырехугольники» и выявить различия с книгами «Начал» Евклида.

Задачи исследования:

1. Рассмотреть историю возникновения «Начал» Евклида и ознакомиться с распределением материала в них.

2. Определить особенности изложения темы «Четырехугольники» в популярных учебниках геометрии.

3. Осуществить сравнение изложений, представленных в «Началах» и учебниках.

4. Сделать выводы о «совпадении» рассмотренных изложений.

В первой главе исследования мы рассматривали теоретические основы построения материала в «Началах» Евклида, во второй – рассмотрели современные учебники геометрии и осуществили сравнение изложений темы: «Четырехугольники».

Глава I. Теоретические основы

1.1 «Начала» Евклида: история создания

В Александрии в III — II вв. до н. э. сосредоточились знаменитые математики того времени: Евклид, Эратосфен, Аполлоний. К Александрийской математической школе относится также Архимед, хотя он жил в Сиракузах. В этот период геометрия отделяется от философии и достигает высокого уровня совершенства.

К первым представителям Александрийской школы принадлежит Евклид [2], который жил около 300 г. до н. э. Из трудов Евклида, кроме «Начал», до нас дошли: «Данные» — задачи, решаемые с помощью геометрической алгебры; «О делении фигур» — задачи на построение; «Феномена» (явления) — астрономическое сочинение; «Оптика». Другие произведения утеряны. «Начала» распространялись в многочисленных рукописных копиях, которые на протяжении десятков и сотен лет комментировались, снабжались примечаниями и исправлениями. Начиная с III в. до н. э. и до середины прошлого века «Начала» считались образцом строго логического изложения геометрии. Евклид исходит из определений геометрических понятий и аксиом. Каждое геометрическое предложение формулируется в общих выражениях, затем конкретно указывается на чертеже то, что дано и что требуется доказать или построить. После доказательства следует заключение, повторяющее начальную формулировку и заканчивающееся словами: «что и требовалось доказать» или «что и требовалось сделать».

На протяжении многих столетий до XIX в. геометрия изучалась в школах по «Началам» Евклида. Наши современные учебники имеют много общих черт с «Началами»: планиметрия и стереометрия излагаются раздельно, каждая из них примерно в том же порядке, что и у Евклида; теоремам предшествуют определения и аксиомы. Многие теоремы, изложенные в современных учебниках, по содержанию совпадают с теми, которые имеются в «Началах», методы доказательства в большинстве случаев те же. Однако некоторые различия все же имеются: в «Началах» даже не упоминается о непосредственном измерении площадей и объемов фигур, а только об их сравнении. Так, например, у Евклида нет теоремы о том, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту; имеется только теорема о том, что треугольник равновелик половине параллелограмма с тем же основанием и той же высотой. В «Началах» нигде не говорится о числе π и его приближенном значении. Евклид не вычисляет длин, площадей и объемов, а находит посредством геометрических построений соотношения между величинами геометрических фигур. Вот почему и сами слова «длина», «площадь», «объем», которые для нас означают некоторые числа, отсутствуют в «Началах». А поэтому все теоремы и их доказательства излагаются в чисто геометрической форме.

В современных школьных учебниках геометрии в отличие от «Начал» прибегают к наглядным приемам, а также к задачам прикладного характера. Тем не менее, можно утверждать, что «Начала» наложили на элементарную геометрию и ее преподавание в школе неисчезающий отпечаток.

1.2 Содержание «Начал»: о чем говорит каждая книга

В «Началах» излагаются планиметрия, стереометрия, арифметика, отношения по Евдоксу. В классической реконструкции Гейберга весь труд состоит из 13 книг. К ним традиционно присоединяют две книги о пяти правильных многогранниках, приписываемые Гипсиклу Александрийскому и школе Исидора Милетского.

Изложение в «Началах» ведётся строго дедуктивно. Каждая книга начинается с определений. В первой книге за определениями идут аксиомы и постулаты. Затем следуют предложения, которые делятся на задачи (в которых нужно что-то построить) и теоремы (в которых нужно что-то доказать). Определения, аксиомы, постулаты и предложения пронумерованы, например, ссылка «I, Определения, 2» — второе определение первой книги.

I книга. Первая книга начинается определениями. За определениями Евклид приводит постулаты. Наиболее интересен в аксиоматике Евклида последний, знаменитый пятый постулат. Среди других, интуитивно очевидных постулатов, он нарочито чужероден, его громоздкая формулировка закономерно вызывает некоторое чувство протеста и желание отыскать для него доказательство. Такие доказательства уже в древности пытались построить Птолемей и Прокл; а в новое время из этих попыток появилась неевклидова геометрия. Следует отметить, что первые 28 теорем I книги относятся к абсолютной геометрии, то есть не опираются на V постулат.

За постулатами следуют аксиомы, которые имеют характер общих утверждений, относящихся в равной мере как к числам, так и к непрерывным величинам.

За аксиомами следуют три теоремы, представляющие собой задачи на построение. При доказательстве четвёртой теоремы (I, Предложения, 4), выражающей признак равенства треугольников, Евклид использует метод наложения, никак не описанный в постулатах и аксиомах.

Затем рассматриваются различные случаи равенства и неравенства треугольников; теоремы о параллельных прямых и параллелограммах; так называемые «местные» теоремы о равенстве площадей треугольников и параллелограммов на одном основании и под одной высотой. Заканчивается I книга теоремой Пифагора.

II книга — теоремы так называемой «геометрической алгебры». III книга — предложения об окружностях, их касательных и хордах, центральных и вписанных углах. IV книга — предложения о вписанных и описанных многоугольниках, о построении правильных многоугольников. V книга — общая теория отношений, разработанная Евдоксом Книдским. VI книга — учение о подобии геометрических фигур. Эта книга завершает евклидову планиметрию. В целом содержание «Начал» покрывает значительную часть античной теоретической математики. Однако некоторая часть известного древнегреческим математикам материала осталась вне этого труда — например, конические сечения (Евклид посвятил им отдельный труд, который не сохранился), длина окружности, теория приближённых вычислений.

Глава II. Учебники геометрии в современной школе (анализ построения темы Четырехугольники»)

В настоящее время на полках книжных магазинов можно встретить большое количество учебников по геометрии для средней школы. Все они, с точки зрения обывателя, отражают геометрию, написанную в «Началах» Евклида. Действительно, построение современного школьного курса геометрии основывается на первой книги «Начал» Евклида, которая содержит в себе основные геометрические определения. Но можно с уверенностью сказать, что ряд определений и классификаций с течением времени модифицировался и на данном этапе отличается от классификаций Евклида. Рассмотрим это на примере темы «Четырехугольники», отраженной в популярных учебниках геометрии [3, 9, 5].

2.1 Историческая справка о четырехугольниках

В древних египетских и вавилонских документах встречаются следующие виды четырехугольников: квадраты, прямоугольники, равнобедренные и прямоугольные трапеции. В частности, в клинописных математических табличках встречаются прямоугольные треугольники, рассеченные параллелями к одному из катетов на прямоугольной трапеции.

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, называется параллелограммом.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, который был введен Евклидом. Он называл параллелограмм “параллельно-линейной площадью”[8].

Понятие параллелограмма и некоторые его свойства были известны пифагорейцам.

В «Началах» Евклида доказывается следующая теорема: в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны, а диагональ разделяет его пополам. Евклид не упоминает о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит их пополам. Он не рассматривает ни прямоугольника, ни ромба. Полная версия параллелограммов была разработана к концу средних веков и появилась в учебниках лишь с 17 века. Все теоремы о параллелограммах основываются непосредственно или косвенно на аксиоме параллельности Евклида [8].

Первые геометры, в том числе и Евклид, мыслили прямоугольник, параллелограммом, вписанным в круг. Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Слово «ромб» тоже греческого происхождения, оно означало в древности вращающееся тело, веретено, юлу. Образ ромба был связан первоначально с сечением, проведенным в обмотанном веретене. Есть и другое значение. Термин «ромб» образован от греч. ρομβος — «бубен». Кстати, название карточной масти бубны, знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми [8]. Слово «ромб» впервые употребляется у Герона и Паппа Александрийского.

Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Термин «квадрат» происходит от латинского quadratum (quadrare- сделать четырехугольным), перевод с греческого – четырехугольник [8].

Трапеция – это четырёхугольник, где две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Трапеция – слово греческое, означавшее в древности «столик». В «Началах» термин «трапеция» применяется не в современном, а в другом смысле: любой четырехугольник (не параллелограмм). «Трапеция» в нашем смысле встречается впервые у древнегреческого математика Посидония (1 век). В средние века трапецией называли, по Евклиду, любой четырехугольник (не параллелограмм); лишь в 18 веке это слово приобретает современный смысл [8].

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

2.2 Анализ учебников по теме «Четырехугольники» в школьном курсе математики основной школы

Понятие четырехугольник вводится в зависимости от того, как и когда введено понятие многоугольника:

  1. в учебнике Л.С. Атанасяна четырехугольник вводится как частный вид многоугольника;

  2. в учебнике А.В. Погорелова понятие многоугольника вводится значительно позже, поэтому дается определение, аналогичное определению треугольника: «Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться».

В теме «Четырехугольники» рассматриваются выпуклые и невыпуклые четырехугольники. Основанием для классификации выпуклых четырехугольников является наличие параллельных сторон: в случае одной пары параллельных сторон из класса четырехугольников выделяется множество трапеций, в случае двух пар параллельных сторон – множество параллелограммов. При классификации всех четырехугольников за основание классификации принимается сначала взаимное расположение противоположных сторон – не параллельность или параллельность их, вследствие чего множество всех выпуклых четырехугольников разбивается на три класса:

1.четырехугольники, не имеющие параллельных сторон;

2.трапеции (одна пара параллельных сторон);

3.параллелограммы (две пары параллельных сторон).

За основание классификации параллелограммов принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно параллелограммы и ромбы), а также отсутствие или наличие прямого угла (собственно параллелограммы и прямоугольники). В основу классификации ромбов кладется отсутствие или наличие прямого угла (собственно ромбы и квадраты). При классификации прямоугольников за основание принимается равенство или неравенство смежных сторон (собственно прямоугольники и квадраты). Классификация трапеции проводится сначала по длине боковых сторон (равнобокая и неравнобокая трапеции); затем неравнобокие трапеции в свою очередь разбиваются на прямоугольные и непрямоугольные.

Описанный процесс составления классификации четырехугольников, в частности выпуклых четырехугольников, в основу которого положена последовательная целенаправленная деформация каждой вновь полученной фигуры (получить сначала параллельные, а потом и равные стороны, затем прямые углы), позволяет отчетливо выяснить генетический характер образования каждого частного вида выпуклых четырехугольников. Из четырехугольника с непараллельными сторонами получаются трапеции и параллелограммы, из параллелограммов – прямоугольники и ромбы, из ромбов и прямоугольников – квадраты.

Выяснение этого генезиса – происхождения одной фигуры из другой – помогает более отчетливому восприятию самих геометрических образов, выяснению связей между ними, а в силу этого позволяет распространять свойство одной более общей фигуры, например, параллелограмма, на частные виды ее, на прямоугольник, ромб и квадрат.

В действующих в настоящее время пособиях [3, 5, 9] осуществляется одинаковый подход во введении частных параллелограммов: прямоугольников, ромбов и квадратов. Частные виды четырехугольников рассматриваются в соответствии с условной единой методической схемой:

1. дается определение (через ранее изученный вид четырехугольников);

2. указываются элементы;

3. формулируются и доказываются свойства и признаки;

4. рассматривается задача на построение этого четырехугольника.

Квадрат в одних учебниках вводится как четырехугольник, который одновременно является прямоугольником и ромбом. В других – квадрат определяется как частный вид прямоугольника. В большинстве учебников трапеция рассматривается после параллелограмма и его частных видов. Тема имеет большие возможности для развития логического мышления.

Изучениесвойств четырехугольников обычно не вызывают затруднений. При установлении различных свойств и признаков параллелограмма широко используются свойства и признаки равных треугольников, свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третей, признаки параллельности.

Впервые, в школьном курсе математики, с четырехугольниками школьники встречаются в начальной школе. Изучение четырехугольников, а именно прямоугольника и квадрата, идет поверхностно. В основном изучается периметр и площадь, так как при решении задач на нахождение площади и периметра отрабатывается умение применять операции сложения, вычитания, умножения и деления. В 5 и 6 классах школьники также встречаются с четырехугольниками. Как и в начальной школе, изучение идет поверхностно. К прямоугольнику и квадрату добавляются параллелограмм и трапеция. Более подробно тема «Четырехугольники» изучается в курсе геометрии в восьмом классе. Рассмотрим, как предлагается изучение данной темы разными авторскими коллективами в учебниках геометрии.

  1. «Геометрия, 7-9 класс», автор Л.С. Атанасян

Тема «четырехугольники» изучается в начале восьмого класса. На её изучение отводится целая глава. Первый параграф данной главы посвящен многоугольникам. Последний пункт данного параграфа (п. 41) посвящен четырехугольнику. Автор не дает определения четырехугольника, он просто говорит, что четырехугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Дает определение противоположных сторон и вершин. Приводит пример выпуклого и невыпуклого четырехугольника. На основании суммы углов выпуклого n-угольника делается вывод, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360º.

Второй параграф посвящен параллелограмму и трапеции. При изучении параллелограмма дается его определение, и доказываются его свойства. В следующем пункте параграфа рассказывается о признаках параллелограмма. В отличие от А.В. Погорелова Л.С. Атанасян рассматривает три признака параллелограмма. Это позволяет быстрее решать задачи на доказательство. Последний пункт параграфа отводится трапеции. В этом пункте дается определение трапеции и рассматриваются виды трапеции. В этом учебнике также предлагается для изучения теорема Фалеса, но в явном виде она не выделена отдельным пунктом [5].

Третий параграф посвящен прямоугольнику, ромбу и квадрату. Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма. Так как прямоугольник и ромб являются параллелограммом, то они обладают всеми свойствами параллелограмма. Также в учебнике рассматривается особые свойства прямоугольника и ромба. В конце параграфа отдельным пунктом выделена осевая и центральная симметрия. В конце главы предлагаются задачи.

Изучение четырехугольников в учебнике Л.С. Атанасяна идет по следующей схеме: параллелограмм→трапеция→прямоугольник→квадрат→ромб

2. «Геометрия, 7-11 класс», автор А. В. Погорелов

Тема «Четырехугольники» изучается в восьмом классе.

Определение прямоугольника и ромба даются на основе параллелограмма. Доказывается признак параллелограмма. Доказываются свойства параллелограмма, прямоугольника и ромба. Рассматривается по одной задаче на каждое свойство параллелограмма. Для ромба и прямоугольника предлагаются задачи на использование определения. Определение квадрата дается на основе прямоугольника. Так же говорится, что квадрат является ромбом, так как стороны квадрата равны. На основе этого делается вывод, что квадрат обладает свойствами прямоугольника и ромба. Приводится пример использования определения при решении задачи.

Так же здесь изучается теорема Фалеса и средняя линия треугольника. После рассматривается еще один вид четырехугольника – трапеция. Вводятся определения трапеции и средней линии трапеции. Доказывается теорема о средней линии трапеции. Далее доказывается теорема о пропорциональных отрезках и рассказывается, как построить четвертый пропорциональный отрезок.

Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:

параллелограмм→прямоугольник→ромб→квадрат→трапеция

3. «Геометрия, 7-9 класс», автор И.Ф. Шарыгин

Тема «Четырехугольники» изучается в главе «Подобие».

Первый параграф данной главы посвящен теме «Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат». Свойства и признаки параллелограмма объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что из определения прямоугольника следует параллельность его противоположных сторон, то есть прямоугольник является частным случаем параллелограмма. Приводится доказательство теоремы о свойствах прямоугольника.

Свойства и признаки ромба также объединены в одну теорему, доказательство которой здесь же приводится. Автор отмечает, что квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и ромба, так как он является и прямоугольником, и ромбом. Еще один вид четырехугольника, а именно трапеция, изучается после теоремы Фалеса и теоремы о средней линии треугольника. Трапеция определяется как четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Определены термины основания, боковые стороны трапеции. Доказана теорема о средней линии трапеции.

Таким образом, изучение четырехугольников идет по следующей схеме:

параллелограмм→прямоугольник→ромб→квадрат→трапеция

2.3 Сравнение введения четырехугольников в «Началах» и современныхучебниках

Согласно исследованию основных евклидовых определений, проведенному А.В. Родиным [6], можно проследить цепочку введения основных определений на основе разветвленной структуры верификаций. Поясним, что понимается под верификацией. «Отличительный признак родовидового деления указанного типа называют верификатором, а саму процедуру такого деления, приводящую к платоновскому реальному определению – верификацией» [6, С. 123].

Тогда классификация четырехугольников может быть получена на основе следующей последовательности верификаций.

Т акая классификация четырехугольников с современной точки зрения выглядит неестественной. Сначала Евклидом выделяется квадрат (по равенству всех сторон и всех углов), потом последовательно появляются прямоугольник (равные углы, но только попарно равные стороны), ромб (равные стороны, но только попарно равные углы), ромбоид (в современном понимании – параллелограмм, попарно равные стороны и углы) и трапеция (не имеет, в общем случае, попарно равных сторон и углов).

Рассмотрим теперь последовательность введения видов четырехугольников в современных учебниках геометрии. Сначала мы рассматриваем четырехугольник общего вида. Следующим выделяется параллелограмм – четырехугольник, у которого стороны попарно параллельны. Таким образом, первоначально верификация проводится не по равенству, а по параллельности сторон, хотя в дальнейшем видим, что в виде свойств вводится и равенство сторон и углов. Далее рассматриваем случай параллельности только двух сторон четырехугольника, что позволяет выделить трапецию.

После верификации по параллельности можно выделить последовательную верификацию по равенству и тогда из всех параллелограммов выделяются: прямоугольник (параллелограмм, у которого все углы прямые); ромб (параллелограмм, у которого все стороны равны); квадрат (прямоугольник, у которого все стороны равны, или ромб, у которого все углы прямые).

Тогда последовательность верификаций будет выглядеть следующим образом:

В ыделенные различия позволяют сказать, что современный курс геометрии строится отлично от построения первой книги «Начал» Евклида. Евклид долгое время не пользуется понятием параллельности прямых и строит свою классификацию четырехугольников на основе последовательного выделения равных элементов. Если же обратиться к современной классификации, то видим, что первоначально, основываясь на параллельности сторон из всех четырехугольников общего вида, выделяется параллелограмм, являющийся одним из важнейших четырехугольников, из которого по ряду признаков появляются ромб, прямоугольник и квадрат, т.е. можно построить схему взаимного соотношения «классов» четырехугольников.

Заключение

В процессе работы мы выяснили, что развивая технику измерений, совершенствуя свои знания реального мира, неизбежно приходим к необходимости построения геометрии, отличной от евклидовой геометрии. Однако, евклидова геометрия является отличным орудием практики, инженерной техники и т. п. Смешон бы был инженер, который стал бы учитывать, что две вертикальные линии отвеса не параллельны, а пересекаются в центре Земли. Евклидова геометрия в таких вопросах с большей точностью описывает реальный мир, и не случайно изучение свойств пространства люди начали именно с евклидовой геометрии.

Таким образом, важно выяснить, что имеется общего между современными учебниками геометрии и книгами «Начал» Евклида. В своей работе мы рассмотрели содержание, как труда Евклида, так и одни из самых популярных учебников геометрии. В результате мы пришли к выводу, что современные учебники хоть и составлены на основе евклидовой геометрии, но имеют некоторые различия с ними.

Библиографический список

  1. Башмакова, И. Г.Арифметические книги «Начал» Евклида [Текст]/ И.Г. Башмакова // Историко-математические исследования.— М.-Л.: ГИТТЛ, 1948.— Вып. 1. — С. 296—328.

  2. Выгодский, М. Я. «Начала» Евклида [Текст]/ М. Я. Выгодский // ИМИ – 1948. - вып I.

  3. Математика. Геометрия: 7-9-е классы: базовый уровень [Текст]/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев [и др.]. – 14-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2023. – 416 с.

  4. Маркушевич, А. И. О классификации иррациональностей в X книге «Начал» Евклида [Текст]/ А.И. Маркушевич // ИМИ – 1949 - вып. II.

  5. Погорелов, А.В. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст]/ А.В. Погорелов. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 240 с.

  6. Родин, А.В. О геометрических определениях первой книги «Начал» Евклида [Текст]/А.В. Родин//Вопросы философии, 1996. - № 3. – С. 117-142.

  7. Рыбников, К. Русские издания «Начал» Евклида [Текст]/ К. Рыбников // Успехи математических наук. – 1941. - № 9 - стр. 318—321.

  8. Четырёхугольник. Материал из Википедии — свободной энциклопедии // http://ru.wikipedia.org/wiki

  9. Шарыгин, И.Ф. Геометрия. 7-9 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений [Текст]/ И.Ф. Шарыгин – М.: Дрофа, 2012. – 462 с.

Просмотров работы: 93