Изучение свойств треугольника через оригами

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Иванидзе К.Н. 1

---

1МБОУ СОШ №6

Марковская С.В. 1

---

1МБОУ СОШ №6, г.Мытищи

Работа в формате PDF

417.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Первые базовые знания о геометрических фигурах мы получаем в начальной школе. В пятом классе мы начали знакомиться с геометрическими понятиями на уроках математики и на внеурочных занятиях курса «Наглядная геометрия». И хотя занятия построены интересно, и учитель пытается разъяснить нам каждую деталь, некоторые ребята, и я в том числе, стали испытывать трудности с задачами из учебника. Как потом я узнала от нашего учителя, даже ученики в 9 классе испытывают трудности с модулем «геометрия» на экзаменах по математике.

Изучение геометрии направлено на формирование у школьников логического мышления, пространственного воображения, умения находить новые пути решения задач, выдвигать и доказывать гипотезы. Поэтому у меня появился вопрос почему же так трудно идет изучение геометрии в школе? На мой взгляд одной из причин является оторванность геометрии от практической жизни школьника превращающее её в сухую науку с отсутствием достаточной наглядности. Мне стало интересно как представить школьникам основы геометрии понятными и интересными им способами? Рассказы учителя и увлечение поделками из бумаги помогли мне полюбить оригами, а через оригами мне постепенно стала нравится геометрию.

Оригами, являющееся древним искусством пронизано геометрией. Ведь первое, что мы берем в руки, прежде чем изготовить поделку – это квадрат или прямоугольник из листа бумаги. Сгиб на бумаге – то же самое, что прочерченная на листе прямая линия. Как оказалось, есть даже такая наука – оригаметрика, и с помощью нее можно разобраться в геометрических понятиях.

Разобравшись, сама, я решила провести мастер-классы по оригаметрике для своих одноклассников и школьников из параллели. Я еще ранее поняла, что лучше всего знания закрепляются тогда, когда делишься ими с другими. В четвертом классе я занималась наставничеством со своими сверстниками и второклассниками, а позже подготовила и успешно защитила проект на эту тему.

Я разработала план выполнения научно-исследовательской работы,

опираясь на свой предыдущий опыт. Мой план состоит из трех этапов:

- подготовительный продолжительностью 26 дней, в рамках которого мной был сформулировала гипотезу по проекту, определена цель проекта и его задачи, а также определены объект и предмет исследования, актуальность и практическую значимость работы, изучена историю оригами;

- поисковый продолжительностью 41 день, во время которого была собрана информация по основным геометрическим понятиям, был проведен анализ и подготовлены материалов для мастер-классов, разработана анкета для участников мастер-классов, организовано входное анкетирование учащихся, организовано проведение практических занятий в параллелях и проведение итогового анкетирования;

- аналитический продолжительностью 12 дней, за которые я определила результативность тестирования, провела анализ проблем, выявила перспективы рассмотренной методики и проекта в целом.

Если по результатам итогового тестирования его участники покажут результаты лучше, чем при предварительном тестирование, то я буду считать, что мой проект помог им улучшить свои знания по геометрии и лучше понять проработанный материал.

Гипотеза: обучение через оригамику окажется более результативным, чем обычные методы.

Цель научно-исследовательской работы: разработать методику изучения свойств треугольника с помощью оригамики.

Цель работы раскрывалась в следующих задачах:

- Изучение истории оригамики.

- Подбор дидактических материалов для цикла мастер-классов по «бумажной геометрии» для учеников 6 класса.

- Входное анкетирование учащихся 6 классов.

- Проведение практических занятий в параллелях 6 классов.

- Итоговое анкетирование.

- Определение результативности, анализ проблем и перспектив рассмотренной методики.

Актуальность: Данная тема актуальна, поскольку задачи, связанные с геометрией, традиционно вызывают у учащихся затруднения, они есть среди заданий ГИА и ЕГЭ, а значит, необходимо как можно раньше на доступном материале знакомить школьников с элементами геометрии.

Цельизадачинаучно-исследовательской работы обусловилииспользование следующихметодов:

- Анализлитературыи Интернет–ресурсов;

- Наблюдение,беседа;

- Анкетирование.

- Моделирование.

Объектнаучно-исследовательской работы – элементы и свойства треугольника.

Предметнаучно-исследовательской работы –применениеметодов оригами в изучении геометрии.

Практическая значимость работы состоит в разработке наглядных методов для практического изучения свойств треугольника и его элементов с помощью оригами.

Основная часть

1. Оригамика

Оригамика или оригаметрия— это объединение оригами и геометрии, которое содержит оригинальность иного подхода к геометрическим задачам:

1. Основные понятия: точка, сгиб, лист, не имеющий границ.

2. Роль точек играют вершины углов листа бумаги и точки пересечения следов (линий) сгиба между собой и с краями листа.

3.Роль прямых играют края листа бумаги и следы (складки, линии) сгибов, которые образуются при его складывании.

Впервые складывание из бумаги фигур как дидактический метод для объяснения детям некоторых простых правил геометрии применил известный немецкий педагог Фридрих Фребель (1782 - 1852). Эта идея не получила в педагогике XIX века дальнейшего развития, поскольку оригами не было знакомо европейцам так, как оно известно в наши дни. Лишь в конце XX века японский математик Хумиани Хузита, живущий в Италии, начал говорить про Теорию решения задач на построение перегибанием листа бумаги. Помимо этого, оригами применяется в геометрии для доказательства теорем и решения задач.

Такой подход оживляет и заметно облегчает освоение абстрактных геометрических понятий, убеждает в правильности классических утверждений, побуждает к дальнейшим исследованиям, конструированию. При этом мышление сочетается с ручной работой, развитием глазомера и аккуратность, что крайне важно для школьника средней школы.

С помощью оригами можно доказать несколько теорем геометрии:

- сумма углов любого треугольника равна 180 градусов;

- построить высоты, медианы и биссектрисы треугольника,

пересекающиеся в одной точке.

Из бумаги школьнику легко построить своими руками объемные геометрические тела и исследовать их свойства: параллелепипед, пирамида и другие многогранники.

1.1 Основные геометрические понятия

Для создания методического материала по проведению мастер-классов с участниками 6 классов необходимо собрать и проанализировать информацию по основным геометрическим понятиям, что поможет определиться, какие именно знания и умения лучше отрабатывать с учащимися 6 классов.

Слово «геометрия» в переводе с греческого означает «землемерие». Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творениями природы и человека. Лучше ориентироваться в нем, открывать новое, понимать красоту и мудрость окружающего мира помогают новые знания.

Геометрия зародилась в глубокой древности. Строя жилища и храмы, украшая их орнаментами, размечая землю, измеряя расстояния и площади, человек применял свои звания о форме, размерах и взаимном расположении предметов, он использовал свои геометрические знания, полученные из наблюдений и опытов. Почти все великие ученые древности и средних веков были выдающим геометрами. Древнегреческий философ Платон, проводивший беседы со своими учениками в роще Академа, откуда и пошло название «академия», одним из девизов своей школы провозгласил: «Не знающие геометрии не допускаются!». Было это примерно 2400 лет тому назад. Из геометрии вышла наука математика. Обратимся к некоторым понятиям о геометрических фигурах, которые нам в дальнейшем понадобятся при решении задач с куском бумаги.

1. 2. Многоугольники

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство многоугольников. Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.

К многоугольникам относятся треугольник, прямоугольник, четырехугольник, шестиугольник и т.д. Рассмотрим самый простой из многоугольников – треугольник.

1. 2. Треугольник

Треугольник – геометрическая фигура, которая состоит и трех точек, не лежащих на одной прямой и отрезков, попарно соединяющих эти точки.

Точки называются вершинами треугольника, а отрезки – сторонами треугольника.

В А, В, С – вершины треугольника

АВ, ВС, АС – стороны треугольника

С

А

Треугольник является самым простым многоугольником. Но простым – еще не значит неинтересным.

Треугольники можно разделить на группы по числу сторон:

нет равных сторон – разносторонний треугольник;

две стороны равны – равнобедренный треугольник;

все стороны равны – равносторонний треугольник.

Треугольники можно разделить на группы в зависимости от углов:

все углы острые – остроугольный треугольник;

есть прямой угол – прямоугольный треугольник;

есть тупой угол – тупоугольный треугольник.

Сумма углов в любом треугольнике равна 180 градусов. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

1. 2. Элементы и свойства треугольника

Если в треугольнике соединить середины двух сторон, то получим отрезок, который называется средней линией треугольника. Средняя линия параллельна третьей стороне треугольника и в два раза короче ее по длине.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к противолежащей стороне. В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами треугольника, а в тупоугольном – находятся вне треугольника. Высоты треугольника пересекаются в одной точке внутри треугольника (для остроугольного треугольника), на вершине треугольника (для прямоугольного треугольника) или за его пределами (для тупоугольного треугольника).

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Биссектрисой треугольника называется отрезок, проведенный из вершины треугольника на противолежащую сторону и являющийся частью биссектрисы угла при этой вершине.

В равнобедренном треугольнике высота, медиана и биссектриса, проведенные из вершины треугольника, совпадают и делят его на два равных треугольника.

В равностороннем треугольнике совпадают высота, медиана и биссектриса, проведенные из любой вершины. При этом они делят треугольник на два равных (совпадающих при наложении) треугольника.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к его самой большой стороне (гипотенузе), равна половине этой стороны.

Собрав теоретическую информацию, я начала подготовку материала для проведения мастер класса и выбрала для отработки следующие задания:

Построение медиан треугольника.

Построение высот треугольника.

Построение биссектрис треугольника.

Сумма углов треугольника.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника.

Построение и свойства равнобедренного треугольника.

Построение и свойства равностороннего треугольника.

Построение и свойства прямоугольного треугольника.

Построение и свойства средней линии треугольника.

Перед началом мастер-классов я провела входное анкетирование, чтобы оценить знания учащихся 6 классов по разработанной мной анкете (Приложение 1).

По результатам входного тестирования подтвердилась актуальность проведения мастер-классов. По результатам входного тестирования выяснилось, что 55% участников не знают, как построить медиану, 65% участников не могут построить биссектрису и 65 % школьников ответили, что не могут построить высоту треугольника затрудняются. В начале данного проекта я сомневалась в необходимости и полезности моего проекта. После подведения результатов входящего тестирования я поняла, что моя работа может помочь участникам мастер-классов освоить основы геометрических понятий, связанных с треугольниками.

2. Изучение свойств треугольника методами оригами

Для наглядности демонстрации мной было подготовленно девять заданий и девять комплектов демонстрационных материалов. Я планировала продемонстрировать их перед классом со своими одноклассниками. Но во время первого выступления многие мальчики пытались шутить и мешали мне выступать. Поэтому к следующему выступлению я решила подготовится основательнее, а учительница предложила провести его в параллельном классе. При подготовке ко второму выступлению я записывала ролики и просматривала их, чтобы сделать выступление более понятным и интересным для слушателей. После нескольких дней подготовки я выступила в другом классе и результат второго выступления был более успешным. Мы обсудили с учителем, что еще изменить и позже я уже вновь выступила перед своим классом.

2.1. Построение медиан треугольника.

Возьмем произвольный треугольник из бумаги. Перегнем одну из его сторон пополам так, чтобы края сгиба сошлись. Так мы обозначили середину стороны треугольника. Теперь из противоположной этой стороне вершины сделаем сгиб к найденной точке. Этот сгиб, проходящий из вершины треугольника на середину противоположной стороны, и есть медиана треугольника. Точно так же сделаем из двух других вершин. Если разогнуть бумагу, то мы увидим, что линии сгибов, то есть три медианы треугольника, пересеклись в одной точке (Рисунок 1).

2.2. Построение высот треугольника

Возьмем остроугольный треугольник. Из любой вершины наметим сгиб так, чтобы края противоположной стороны треугольника при этом соединились, наложившись друг на друга. Полученная линия и будет высотой треугольника, или перпендикуляром из вершины треугольника на противоположную сторону. Очевидно, что она делит треугольник на два прямоугольных треугольника. Построим таким же образом еще две высоты. Разогнув бумагу, мы увидим, что три высоты треугольника также пересекаются в одной точке (Рисунок 2).

А теперь возьмем прямоугольный треугольник. Сгиб для одной из высот мы получим без труда, а вот две другие высоты построить не сможем: ведь две стороны треугольника уже пересекаются под прямым углом, поэтому высоты из двух острых углов пройдут по самим сторонам треугольника.

В тупоугольном треугольнике также можно построить лишь одну высоту с помощью сгибов: две другие высоты должны пройти вне самого треугольника, поэтому сгибами их изобразить невозможно (Рисунок 3).

2.3. Построение биссектрис треугольника.

Чтобы получить линию биссектрисы треугольника, достаточно в любой его вершине соединить стороны угла, который эту вершину образует, так, чтобы края сторон наложились друг на друга. Угол при вершине треугольника при этом делится пополам. В любом треугольнике три биссектрисы пересекаются в одной точке (Рисунок 4).

2.4. Сумма углов треугольника

Возьмемпроизвольныйтреугольникизбумаги.Слегка наметим его высоту, сделав сгиб из вершины треугольника на противоположную сторону так, чтобы края бумаги наложились друг на друга. Согнем к этой точке все три вершины треугольника. Мы получили фигуру, похожую на конверт, то есть три угла в месте сгиба образовали развернутый угол или прямую линию. А развернутый угол, как мы знаем, равен 180 градусам. А значит, сумма всех углов треугольника равна 180 градусов (Рисунок 5 и Рисунок 6).

2.5. Сумма острых углов прямоугольного треугольника

Если мы выполним эти сгибы на прямоугольном треугольнике, то убедимся, что сумма двух его углов равна 90 градусам: ведь третий, прямой угол равен 90 градусов, а сумма всех трех – 180 градусов. Следовательно, сумма острых углов прямоугольного треугольника 90 градусов (Рисунок 7).

2.6. Построение и свойства равнобедренного треугольника

Из бумажного квадрата сгибанием можно получить равнобедренный треугольник. Возьмем квадратный кусок бумаги и сложим его пополам по вертикали (книжкой). Сгиб, который мы получили, называется средней линией квадрата. Наметим на нем какую-нибудь точку и сделаем к ней сгибы из двух противоположных вершин квадрата. Мы получили треугольник, у которого две боковые стороны равны. Наш первый сгиб, который был средней линией квадрата, в нашем треугольнике будет одновременно высотой, медианой и биссектрисой. Перегнув этот треугольник по медиане, проведенной из вершины, мы увидим, что половины совпадают. Это значит, у равнобедренного треугольника равны и угла при основании (Рисунок 8).

2.7. Построение и свойства равностороннего треугольника

По тому же методу, что и равнобедренный треугольник, мы можем получить треугольник равносторонний. Для этого на средней линии квадрата нужно взять уже не произвольную точку, а такую, чтобы расстояние от нее до двух противоположных вершин квадрата было равно стороне квадрата (для этого воспользуемся линейкой или циркулем). Проведя из найденной точки сгибы к вершинам квадрата, мы получим равносторонний треугольник. У него есть интересные свойства. Так, любая его медиана, высота и биссектриса совпадают друг с другом и делят при этом треугольник на два равных (совпадающих при наложении) треугольника. А все три медианы, высоты или биссектрисы делят треугольник на 6 равных прямоугольных треугольников, в чем легко убедиться, разрезав исходный треугольник по линиям сгибов. Точка пересечения трех медиан, высот или биссектрис называется в геометрии ортоцентром. Нетрудно посчитать, что все углы такого треугольника равны 60 градусам (Рисунок 9).

2.8. Построение и свойства прямоугольного треугольника

Разрезав прямоугольник по диагонали, легко получить два прямоугольных треугольника. А если мы разрежем квадрат, то получим два равнобедренных прямоугольных треугольника. Легко посчитать, что острые углы у такого треугольника равны 45 градусам. С помощью сгиба проведем в любом прямоугольном треугольнике медиану, которая соединит вершину прямого угла с серединой самой большой его стороны или гипотенузы.

Медиана разделила треугольник на два треугольника. В случае, если мы взяли равнобедренный прямоугольный треугольник, они окажутся равны друг другу. Перегнем любой из полученных треугольников пополам так, чтобы половина гипотенузы наложилась на медиану. Мы видим, что они в точности равны друг другу, то есть в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы (Рисунок 10).

2.9. Построение и свойства средней линии треугольника

Средняя линия треугольника соединяет середины любых двух его сторон и параллельна третьей. Для большей наглядности возьмем равнобедренный треугольник. Наметим, соединив попарно вершины треугольника, середины двух его сторон. Проведем через них сгиб. Это и есть средняя линия. Проведем остальные две. Разогнув бумагу, мы увидим, что наш треугольник разделился на 4 равных треугольника, в чем легко убедиться, разрезав по линиям сгибов. При этом одна из сторон маленького треугольника равна половине стороны большого (исходного) (Рисунок 11).

Заключение

Мастер-классы я проводила на внеурочных занятиях по наглядной геометрии. Перед этим провела анкетирование участников.

В результате входного анкетирования выяснилось, что 26% участникам нравится наглядная геометрия, а 39% - нет, остальные не определились. Оказалось, что 55% участников не знают, как построить медиану, и лишь 16% дали полный правильный ответ. На вопрос, могут ли они построить биссектрису, 65% участников ответили отрицательно. Полных правильных ответов было 13%. Аналогично построить высоту треугольника затрудняются 65 %, полный правильный ответ дали 23% участников. 39% участников знают, как вычислить периметр треугольника, 6% дали неправильный ответ. Не знают, как вычислить площадь треугольника, 45%, правильный ответ дали 26%. Тем не менее, большинство участников, 57% хотели бы лучше узнать геометрию, и лишь 20% не проявляют к ней интереса (Приложение 3 - Диаграмма 1).

По завершении цикла занятий я провела аналогичную диагностику с теми же вопросами. Предполагалось, что практическое овладение оригамикой помогает усвоить теоретический материал. Сопоставив результаты двух мониторингов, я сделала вывод, что практические занятия по геометрии помогли ребятам лучше усвоить материал. Так, если до проведения занятий большинство учеников затруднялись дать определения элементов треугольника, то после мастер-классов таких ответов было гораздо меньше (25%). Большинство одноклассников на вопрос «помогли ли тебе занятия оригами?» ответили «да» (Приложение 3 - Диаграмма 2)

Считаю, что моя гипотеза оказалась верна: школьники лучше усваивают геометрию, если обучение идет через оригами, а значит, наглядно, тесно связано с мелкой моторикой рук. Человек так устроен, что лучше запоминает не то, что слышит, а то, что видит, особенно, если делает что-то своими руками. Мне самой эта работа принесла много пользы, т.к. я стала лучше понимать геометрию, научилась разбираться в чертежах и перестала бояться задач на построение. В дальнейшем я планирую разработать способы решения разных геометрических задач через оригамику и также поделиться результатами со своими сверстниками.

Возможно, в следующем году наш класс возьмет шефство над детьми помладше и научит их азам геометрии уже в 5 классе. Тогда им будет намного легче освоить эту науку. Я убедилась, что если объясняешь что-то другим, показываешь, как это делается – то сама лучше начинаешь понимать материал. С детства родители говорили мне, ссылаясь на ученых, что мышление, речь и мелкая моторика рук очень тесно связаны между собой.

По результатам итогового тестирования участников мастер-классов моя работа помога им улучшить свои знания по геометрии и лучше понять проработанный материал.

Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 кл. Москва «Просвещение»

2. Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Москва, «Наука»

3. Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. Москва «Просвещение»

4. Петраков И.С. Математика для любознательных. Москва «Просвещение».

5. Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия. Москва МИРОС, КПЦ «Марта»

6. Энциклопедия для детей. Математика. «Аванта+»

Приложение 1

АНКЕТА

Пожалуйста, ответьте на несколько вопросов:

Представься________________________________

1. Тебе нравится наглядная геометрия?

______________________________________________________________________________________________________________________________

2. Напиши, как построить медиану в треугольнике

______________________________________________________________________________________________________________________________

3. Как построить биссектрису?

______________________________________________________________________________________________________________________________

4. Как построить высоту в треугольнике?

______________________________________________________________________________________________________________________________

5. Как вычислить периметр треугольника?

______________________________________________________________________________________________________________________________

6. Как вычислить площадь треугольника?

______________________________________________________________________________________________________________________________

7. Как считать, связаны ли геометрия и оригами?

______________________________________________________________________________________________________________________________

СПАСИБО ЗА УЧАСТИЕ!

Приложения 2

Рисунок 1

Р исунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

Р исунок 5

Р исунок 6

Р исунок 7

Р исунок 8

Р исунок 9

Р исунок 10

Рисунок 11

Приложение 3

Диаграмма 1. Результаты входного мониторинга мерац

Диаграмма 2. Результаты заключительного мониторинг