XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Спидкубинг или удивительная математика внутри Кубика Рубика

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Алмазов М.А. 1

---

1Гимназия Жуковка

Воеводина Е.С. 1

---

1Гимназия Жуковка

Работа в формате PDF

217.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1. Введение.

Впервые данную головоломку подарил мне мой старший брат. Сначала я долго крутил кубик Рубика пытаясь его собрать. Позже родители научили меня самому простому алгоритму из всех, для этого алгоритма не требовалось запоминать множество комбинаций, но он был долгим и сборка занимала много времени. Первые несколько раз я собирал кубик за минуту 50 секунд по этому методу. Через месяц я полностью разобрался в этом алгоритме и родители купили мне магнитный кубик от лучшей компании по производству головоломок Gan.

Я хотел научиться собирать кубик Рубика ещё быстрее и начал изучать разные методы его сборки. Метод сборки Джессики Фридрих показался мне наиболее сбалансированным: он был не слишком сложным и быстрым. Я около двух недель тренировался сборке по данному методу и начал собирать кубик в 3 раза быстрее чем раньше, мой рекорд: 26 секунд. Позже мою коллекцию пополнили: Кубик 2 на 2, Скьюб, Умный кубик Рубика и робот для его сборки. Робот умеет собирать и разбирать кубик рубик, он может собирать определённые комбинации на кубике для обучения. Робот собирает кубик рубик примерно за 7-8 секунд. Робот работает только в связке с умным кубиком, умный кубик считывает движения и вращения. Через месяц двоюродный брат подарил мне Мегаминкс

Слишком много непонятных слов? Тогда всё по порядку.

Гипотеза:
Кубик Рубика не только игрушка, но и сложная математическая головоломка

Методы исследования:

1. Анализ информации;

2. Составление презентации;

3. Опровержение или подтверждение гипотезы

Цель исследования:

Изучить игру и понять его устройство

2. История возникновения.

В 1974 году 29-летний Эрно Рубик, в будущем первый официальный миллионер восточно-европейского социалистического блока, а тогда обычный молодой преподаватель живущий в одной квартире с родителями, трудился на факультете интерьерного дизайна будапештской в Академии прикладных искусств и ремесел Будапешта

Он преподавал венгерским студентам промышленный дизайн и архитектуру. Увлекался также геометрией и трёхмерным предметным моделированием, находя его идеальным средством для развития в учащихся навыков пространственного воображения. Как это обычно и бывает с выдающимися изобретениями, проект кубика вынашивался не один год. В начале изобретение представляло собой набор из 27 деревянных кубиков с разноцветными гранями (всего 27 х 6=156 цветных граней).

По одной из версий, при помощи данного учебного пособия Рубик пытался втолковать непонятливым воспитанникам основы математической теории групп. Задача изобретателя была такова: заставить отдельные разноцветные кубики свободно вращаться на своих местах, не нарушая конструктивного единства всего приспособления.

Изобретая наглядное пособие по трехмерному предметному моделированию для студентов Рубик пробовал различные материалы — дерево, картон, бумага, наносил на грани цифры и символы, но все-таки отдал предпочтения окрасу сторон в различные цвета.

Существует легенда, что конструкцию механизма ему подсказала галька, он поместил на место центрального кубика крестовину, вокруг которой свободно вращались, не рассыпаясь, остальные кубики.

Массовое изготовление началось в конце 1977 года, когда одна из венгерских фирм выпустила под Рождество пробную партию новых головоломок. Игрушка не выходила за пределы страны. К счастью головоломка случайно попалась на глаза предпринимателю Тибору Лакзи, приехавшему на Родину по делам. Он увлекался математикой и взялся за ее коммерческую раскрутку.

Тибор Лакзи: ”Когда я впервые увидел Эрно Рубика и предложил ему немного денег, это было похоже на милостыню. Рубик был ужасен. Но я уже знал, что передо мной стоит гений. Мы продадим миллионы головоломок, — сказал я ему.”

Первые кубики были тяжелы и небезопасны в использовании, их отказывались экспортировать на запад. В 1980 году появилась более легкая и безопасная версия, тогда же кубик сменил имя с магического куба на кубик Рубика. Игрушка прижилась, только в Венгрии, Португалии и Германии головоломку по-прежнему называют магический куб, а китайцы, отвергнувшие оба варианта названия, называют его венгерский куб.

Головоломка «Кубик Рубика» в своё время привлекала внимание, как говорится, «всех групп населения» и получила широчайшее распространение. Её с удовольствием стали собирать и школьники, и академики, находя в ней достоинства, сообразные уровню учености, образования и склонности к исследованиям.

В последние годы интерес к Кубику несколько угас. Стремительное развитие компьютерных игр ощутимо пошатнуло всю индустрию настольных игр и головоломок.

Математика внутри

Кубик Рубика размером 3x3x3 имеет шесть граней, каждая своего цвета. Центральный кубик каждой грани прикреплён к внутренней крестовине, скрепляющей все элементы куба. Центральные кубики могут только вращаться вокруг своей оси. Одни и те же цвета всегда располагаются напротив друг друга; на стандартном кубе белый цвет находится напротив жёлтого, красный – напротив оранжевого, синий – напротив зелёного.

Если разобрать кубик Рубика, можно увидеть, что он состоит из трёх типов составных блоков. Первый тип: центральная крестовина, на которой удерживаются центральные кубики каждой грани. Второй тип – маленькие кубики размером 1x1x1. Угловые кубики имеют три цветные стороны, бортовые кубики – две. Кубик Рубика имеет одну крестовину, восемь угловых кубиков и двенадцать бортовых кубиков.

С помощью математики мы можем узнать общее количество способов, которыми можно перемешать кубик Рубика: 43 252 003 274 489 856 000. В виде математической формулы это число можно представить следующим образом: (3⁸8!)(2¹²12!)/12.

Первый элемент, 3⁸, определяет количество возможных вариантов вращения восьми угловых кубиков. Угловой кубик можно вставить в паз, который может поворачиваться тремя разными способами. То есть для каждого из восьми угловых кубиков множитель равняется 3, поэтому происходит умножение до 3⁸.

Далее учитываем перемещения каждого углового кубика. Всего угловых пазов восемь, поэтому у первого углового кубика есть восемь вариантов. У второго углового кубика остается семь вариантов, у следующего слева кубика – шесть вариантов и так далее, вплоть до последнего углового кубика, который должен войти в последний угловой паз. Это даёт факториал 8!.

Таким образом, первая часть формулы (3⁸8!) осуществляет подсчёт всех способов, которыми угловые кубики могут размещаться в кубе. Значение 3⁸ – это их ориентация, а 8! – их положение.

В следующей части формулы (2¹²12!) применяется тот же принцип, но теперь для ребер. Рёбра имеют только две ориентации, поэтому 12 рёбер могут иметь в общей сложности 2¹² ориентаций. Всего имеется 12 положений, поэтому 12! представляет собой количество способов, которыми кубики могут быть размещены в таких положениях.

Что ещё осталось в формуле (3⁸8!)(2¹²12!)/12? Осталось деление на 12. Деление на 12 связано с одной особенностью кубика Рубика, о которой многим известно, но которую не до конца её понимают. Проведём мысленный эксперимент (который, возможно, вы уже проводили вживую!):

Предположим, вы разобрали кубик Рубика, вытащили из него все кубики, а затем вставили все кубики обратно в случайные пазы (при этом угловые кубики можно установить только в углы, а бортовые кубики – только на рёбра). Вы получите конструкцию, которая выглядит как обычный перемешанный кубик, и на данный момент мы подсчитали все возможные комбинации созданного таким образом куба: (3⁸8!)(2¹²12!). Теперь зададим вопрос, всегда ли можно собрать такой перемешанный кубик, не разбирая его на части?

Виды кубика Рубика

- Скьюб (Skewb)

Cкьюб (skewb) — механическая головоломка в стиле Кубика Рубика, состоящая из частей, которые вращаются и меняют своё положение.Название головоломки происходит от английских слов skew (искривленный) и cube (куб). Скьюб был изобретен английским журналистом Тони Дарема, и первоначально имел название «Кубик-пирамидка». Дуглас Хофстадтер придумал слово «Skewb», которое было употреблено впервые в статье журнала «ScientificAmerican» в июле 1982 года.

Описание

В отличие от кубика Рубика, в котором вращение происходит c шестью осями параллельно граням кубика, в скьюбе вращение происходит с четырьмя осями параллельно диагоналям куба. Подвижными элементами скьюба являются восемь трехцветных угловых элементов и шесть одноцветных центров квадратной формы. Положение центров в скьюбе не является устойчивым. Несмотря на свою кубическую форму, скьюб имеет больше общего с пирамидкой, чем с кубиком Рубика. Одно вращение также происходит параллельно угловому элементу и осуществляется на 120 градусов. При каждом вращении скьюба происходит движение четырех угловых элементов и трех центров.

Скьюб в несобранном состоянии

Сборка скьюба

Благодаря необычному вращению частей, скьюб производит впечатление сложной головоломки, но на самом деле таковой не является. Существуют 3 149 280 различных положений скьюба, что для головоломок такого типа является относительно небольшим числом и компьютер может найти оптимальный алгоритм решения. Из любого положения головоломку можно собрать максимум за 11 ходов, причём 90 из 3 149 280 положений нельзя решить меньше чем за 11 ходов. На практике для сбора головоломки спидкуберы используют только три формулы, две из которых являются интуитивными и нужны для ориентации угловых элементов первого слоя. Третья формула, известная среди спидкуберов как «четверка» или «пиф-паф», используется на втором этапе сборки для ориентации угловых элементов второго слоя и на третьем этапе для перестановки центров.

Можно также собирать иначе. Из-за того, что тетраэдр ― двойственный самому себе многогранник, то пирамидка Джингса является одновременно и вращающейся гранями, и вершинами. Скьюб, который является пирамидкой Джингса в форме куба, устроен таким образом, что каждые из двух сетов 4 углов всегда остаются на месте. Все, что они могут делать, ― лишь менять свою ориентацию. Квадратики ― это те же ребра, как и в пираминксе, но одного цвета и без ориентации. Их, не обращая внимания на оставшиеся 4 уголка, можно поставить четверками к первым четырем углам. Так как 4 угла будут всегда на крестовине, они никогда не встанут на место других четырех. Остальные 4 угла тоже остаются на месте относительно друг друга. Единственное, что возможно, ― это одна ситуация, когда 4 угла надо поменять 2+2. Для этого используются три «четверки». Чтобы ориентировать углы, надо сначала их вывести 3 «четверками», затем повернуть один из них, как нужно, и вторыми 3 «четверками» мы соберем все углы, а на место повернутого угла встанет второй угол, который станет повернутым. Так делается, пока не остается 2 угла. С последними 2 углами проделывается та же операция по перевороту. Один из них ставится на место второго при помощи тройного пиф-пафа, затем в нужную сторону поворачивается. И последние 3 четверки приведут к тому, что последний угол повернется в противоположную сторону, как и надо, и скьюб соберется.

Иначе говоря, скьюб можно собрать как пирамидку, за исключением последних 4 уголков, для которых возможен лишь один вариант перестановки 2+2, который решается тремя четверками. Для ориентации углов надо стачала их вывести тремя четверками, затем развернуть и тремя четверками вернуть обратно.

Мегаминкс
Мегаминкс — головоломка в форме додекаэдра, похожая на кубик Рубика. Головоломка состоит из 62 видимых снаружи движущихся элементов, 50 из которых меняют своё местоположение друг относительно друга и 12 остальных — центров граней, тогда как в кубике таких перемещаемых частей всего 20 при 6 центрах граней. Существуют два основных исполнения мегаминкса: шестицветный и двенадцатицветный. В шестицветном исполнении противоположные грани мегаминкса окрашены в один и тот же цвет.

Мегаминкс, или Волшебный додекаэдр (Magic Dodecahedron), был одновременно изобретён разными людьми и выпускался несколькими различными производителями с небольшими различиями в конструкции. Впоследствии Уве Мёфферт выкупил права на некоторые из патентов и в настоящее время продолжает продавать головоломку в своей сети магазинов под торговой маркой «Мегаминкс». Вариант головоломки с немного отличными пропорциями под названием «Венгерская сверхновая», изобретённый Кристофом Банделоу, был выпущен несколько ранее Мегаминкса.

Несмотря на то, что головоломка выглядит гораздо сложнее кубика Рубика и имеет гораздо большее количество возможных положений, собрать Мегаминкс ненамного сложнее, чем стандартный кубик Рубика 3x3x3. Причина в том, что структура каждой пятиугольной грани головоломки во многом аналогична квадратным граням куба. В головоломке нет частей, которые бы не имели аналога в кубике Рубика. Большинство техник и алгоритмов, применяемых для решения кубика, могут быть адаптированы и для Мегаминкса. Исключение составляют алгоритмы, использующие повороты среднего слоя, которые здесь невозможно реализовать. Также необходимо обратить внимание на следующую особенность: двойной поворот какой-либо грани в схеме сборки кубика Рубика может быть осуществлён как по часовой, так и против часовой стрелки: оба эти движения приводят к повороту грани на 180°; при адаптации же алгоритма для Мегаминкса следует учитывать, что на некубической фигуре такие повороты перестают приводить к тождественному результату, поэтому следует чётко понимать и различать направления вращения в алгоритме, который игрок пытается адаптировать.

Шестицветный вариант скрывает в себе дополнительную неочевидную сложность: головоломка содержит пары одинаковых по окраске частей. Тем не менее, хотя они визуально неотличимы, возможна ситуация, когда головоломка может быть решена только после перестановки «одинаковых» фрагментов, то есть переведена в другое, но визуально неотличимое состояние.

Пирамидка Мефферта

Пирамидка Мефферта - «Молдавская пирамидка» или «Японский тетраэдр» — головоломка в форме правильного тетраэдра, подобная кубику Рубика. Каждая грань тетраэдра поделена на 9 правильных треугольников. Задача состоит в том, чтобы перевести пирамидку в конфигурацию с одноцветными гранями.

Иногда за схожесть с кубическим аналогом называют также «Тетраэдр Рубика», хотя Эрнё Рубик не имеет никакого отношения к созданию этой головоломки.

Головоломка была изобретена и запатентована в 1972 году (до изобретения кубика Рубика) немцем Увэ Меффертом, однако популярность игрушка приобрела после выхода кубического аналога и с 1981 года выпускается японской корпорацией «Tomy Toys» (на тот момент — третья в мире по величине компания по выпуску игрушек). В СССР тетраэдр изобрёл в 1981 году инженер, главный технолог Кишинёвского тракторного завода Александр Александрович Ордынец, за что головоломку также называют Молдавской пирамидкой.

Головоломка состоит из 14 подвижных элементов: 4 осевых (каждый из которых имеет треугольники, обращенные на 3 смежные грани), 6 рёберных и 4 тривиальных угловых. Осевые элементы имеют форму октаэдров, а рёберные и угловые — тетраэдров При вращении частей пирамидки относительно рассекающих её плоскостей фрагменты перемещаются. Вращение происходит вокруг осей, направленных из центра к вершинам головоломки.

Конструктивно головоломка представляет собой 4-лучевую объёмную крестовину, на осях которой размещаются осевые и тривиальные элементы, а в специальным образом сформированные пазы помещены рёберные элементы, снабжённые выступами, позволяющими фрагментам свободно перемещаться при вращении головоломки, при этом не вываливаясь из неё.

Алгоритмы сбора кубика Рубика

• Способ для начинающих

Этапы сборки:

1. крест в первом слое;
2. углы первого слоя;
3. рёбра среднего слоя;
4. крест в последнем слое;
5. расстановка рёбер последнего слоя;
6. расстановка углов последнего слоя;
7. разворот углов последнего слоя.

- Метод Джессики Фридрих

На данный момент одним из самых популярных методов скоростной сборки является метод Джессики Фридрих. В этой сборке не нужно запоминать большое количество формул, главное понять принцип.

Этапы сборки:

1. Сборка креста на одной из сторон.
2. Сборка первого слоя одновременно со вторым.
3. Ориентация элементов верхнего слоя.
4. Перестановка элементов верхнего слоя.

- Метод Валерия Морозова (интуитивный)

Задача этого метода — не давать готовые формулы для заучивания, а показать принципы сборки. 

Схема сборки:

1. Собрать 8 угловых элементов.
   2. 4 рёберных элемента в среднем слое собираются в крест на любой из боковых граней.
   3. 8 остальных рёберных элементов собираются в правильные пары.
   4. 6 центров устанавливаются каждый на свою грань.

• Метод полос

Метод для сборки кубика 5×5, рассчитан на начинающих, которые умеют как минимум собирать 3×3.

Кубик Рубика развивает:

память - запоминать алгоритмы сборки,

внимание и концентрация - умение определять и читать ситуацию на кубике,

мелкая моторика - необходимость задействовать при сборке обе руки и движения пальцев,

пространственное мышление - кубик это объемная фигура, трехмерный объект, имеющий 6 цветных граней в случае головоломки. Развитие пространственного мышления помогает лучше справляться с техническими и геометрическими задачами, ориентироваться в трехмерном пространстве,

скорость реакции - постепенно скорость принятия решений при сборке кубика растет. Анализ цветов и их сочетаний начинает проходить быстрее. В сочетании с развитием мелкой моторики это приводит к тому, что время на сборку кубика сокращается и становится меньше 1 минуты,

логика - развивается понимание взаимосвязей действий и последствий. Тренируется способность к быстрому анализу ситуации и принятию верного решения для ее решения.

Заключение

- Я лишь попытался узнать о том, как привести в порядок перепутанный кубик (решить кубик). Возможно, будет и некоторая польза в самообразовании, в расширении кругозора: ведь здесь пришлось познакомиться и с математическими символами и с чертежами, хотя и очень простыми.

- Я узнал об истории создания и устройстве Кубика Рубика, а также о его разновидностях освоил сборку.

- Считаю, что выполнил поставленную перед собой задачу и советую каждому не останавливаться перед трудностями, а искать решение, ведь это не так уж и сложно!

Надеюсь, что желание собрать кубик появится и у Вас.

В качестве проектной части представляю видео сбора мной кубика Рубика методом «Джесики Фридрих»

Литература

• https://soberi-kubik.ru/?ysclid=lfkzpz0gqd625351088

• https://pikabu.ru/story/10_interesnyikh_faktov_o_kubike_rubika_6516662?ysclid=lfkzrvrxl800518045

• https://cccstore.ru/blog/articles/kubik-rubika-eto-ne-prosto-igrushka/?ysclid=lfkzshhxmv393108157

• https://kubikus.top/fakty-o-kubike-rubika/176-raznovidnosti-kubika-rubika.html

• https://www.iphones.ru/iNotes/kak-sobrat-kubik-rubika-i-ne-umeret-07-11-2019?ysclid=lfkzv4lni0889390965