Спидкубинг или удивительная математика внутри Кубика Рубика

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Спидкубинг или удивительная математика внутри Кубика Рубика

Алмазов М.А. 1
1Гимназия Жуковка
Воеводина Е.С. 1
1Гимназия Жуковка
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

1. Введение.

Впервые данную головоломку подарил мне мой старший брат. Сначала я долго крутил кубик Рубика пытаясь его собрать. Позже родители научили меня самому простому алгоритму из всех, для этого алгоритма не требовалось запоминать множество комбинаций, но он был долгим и сборка занимала много времени. Первые несколько раз я собирал кубик за минуту 50 секунд по этому методу. Через месяц я полностью разобрался в этом алгоритме и родители купили мне магнитный кубик от лучшей компании по производству головоломок Gan.

Я хотел научиться собирать кубик Рубика ещё быстрее и начал изучать разные методы его сборки. Метод сборки Джессики Фридрих показался мне наиболее сбалансированным: он был не слишком сложным и быстрым. Я около двух недель тренировался сборке по данному методу и начал собирать кубик в 3 раза быстрее чем раньше, мой рекорд: 26 секунд. Позже мою коллекцию пополнили: Кубик 2 на 2, Скьюб, Умный кубик Рубика и робот для его сборки. Робот умеет собирать и разбирать кубик рубик, он может собирать определённые комбинации на кубике для обучения. Робот собирает кубик рубик примерно за 7-8 секунд. Робот работает только в связке с умным кубиком, умный кубик считывает движения и вращения. Через месяц двоюродный брат подарил мне Мегаминкс

Слишком много непонятных слов? Тогда всё по порядку.

Гипотеза:
Кубик Рубика не только игрушка, но и сложная математическая головоломка

Методы исследования:

  1. Анализ информации;

  2. Составление презентации;

  3. Опровержение или подтверждение гипотезы

Цель исследования:

Изучить игру и понять его устройство

2. История возникновения.

В 1974 году 29-летний Эрно Рубик, в будущем первый официальный миллионер восточно-европейского социалистического блока, а тогда обычный молодой преподаватель живущий в одной квартире с родителями, трудился на факультете интерьерного дизайна будапештской в Академии прикладных искусств и ремесел Будапешта

Он преподавал венгерским студентам промышленный дизайн и архитектуру. Увлекался также геометрией и трёхмерным предметным моделированием, находя его идеальным средством для развития в учащихся навыков пространственного воображения. Как это обычно и бывает с выдающимися изобретениями, проект кубика вынашивался не один год. В начале изобретение представляло собой набор из 27 деревянных кубиков с разноцветными гранями (всего 27 х 6=156 цветных граней).

По одной из версий, при помощи данного учебного пособия Рубик пытался втолковать непонятливым воспитанникам основы математической теории групп. Задача изобретателя была такова: заставить отдельные разноцветные кубики свободно вращаться на своих местах, не нарушая конструктивного единства всего приспособления.

Изобретая наглядное пособие по трехмерному предметному моделированию для студентов Рубик пробовал различные материалы — дерево, картон, бумага, наносил на грани цифры и символы, но все-таки отдал предпочтения окрасу сторон в различные цвета.

Существует легенда, что конструкцию механизма ему подсказала галька, он поместил на место центрального кубика крестовину, вокруг которой свободно вращались, не рассыпаясь, остальные кубики.

Массовое изготовление началось в конце 1977 года, когда одна из венгерских фирм выпустила под Рождество пробную партию новых головоломок. Игрушка не выходила за пределы страны. К счастью головоломка случайно попалась на глаза предпринимателю Тибору Лакзи, приехавшему на Родину по делам. Он увлекался математикой и взялся за ее коммерческую раскрутку.

Тибор Лакзи: ”Когда я впервые увидел Эрно Рубика и предложил ему немного денег, это было похоже на милостыню. Рубик был ужасен. Но я уже знал, что передо мной стоит гений. Мы продадим миллионы головоломок, — сказал я ему.”

Первые кубики были тяжелы и небезопасны в использовании, их отказывались экспортировать на запад. В 1980 году появилась более легкая и безопасная версия, тогда же кубик сменил имя с магического куба на кубик Рубика. Игрушка прижилась, только в Венгрии, Португалии и Германии головоломку по-прежнему называют магический куб, а китайцы, отвергнувшие оба варианта названия, называют его венгерский куб.

Головоломка «Кубик Рубика» в своё время привлекала внимание, как говорится, «всех групп населения» и получила широчайшее распространение. Её с удовольствием стали собирать и школьники, и академики, находя в ней достоинства, сообразные уровню учености, образования и склонности к исследованиям.

В последние годы интерес к Кубику несколько угас. Стремительное развитие компьютерных игр ощутимо пошатнуло всю индустрию настольных игр и головоломок.

Математика внутри

Кубик Рубика размером 3x3x3 имеет шесть граней, каждая своего цвета. Центральный кубик каждой грани прикреплён к внутренней крестовине, скрепляющей все элементы куба. Центральные кубики могут только вращаться вокруг своей оси. Одни и те же цвета всегда располагаются напротив друг друга; на стандартном кубе белый цвет находится напротив жёлтого, красный – напротив оранжевого, синий – напротив зелёного.

Если разобрать кубик Рубика, можно увидеть, что он состоит из трёх типов составных блоков. Первый тип: центральная крестовина, на которой удерживаются центральные кубики каждой грани. Второй тип – маленькие кубики размером 1x1x1. Угловые кубики имеют три цветные стороны, бортовые кубики – две. Кубик Рубика имеет одну крестовину, восемь угловых кубиков и двенадцать бортовых кубиков.

С помощью математики мы можем узнать общее количество способов, которыми можно перемешать кубик Рубика: 43 252 003 274 489 856 000. В виде математической формулы это число можно представить следующим образом: (388!)(21212!)/12.

Первый элемент, 38, определяет количество возможных вариантов вращения восьми угловых кубиков. Угловой кубик можно вставить в паз, который может поворачиваться тремя разными способами. То есть для каждого из восьми угловых кубиков множитель равняется 3, поэтому происходит умножение до 38.

Далее учитываем перемещения каждого углового кубика. Всего угловых пазов восемь, поэтому у первого углового кубика есть восемь вариантов. У второго углового кубика остается семь вариантов, у следующего слева кубика – шесть вариантов и так далее, вплоть до последнего углового кубика, который должен войти в последний угловой паз. Это даёт факториал 8!.

Таким образом, первая часть формулы (388!) осуществляет подсчёт всех способов, которыми угловые кубики могут размещаться в кубе. Значение 38 – это их ориентация, а 8! – их положение.

В следующей части формулы (21212!) применяется тот же принцип, но теперь для ребер. Рёбра имеют только две ориентации, поэтому 12 рёбер могут иметь в общей сложности 212 ориентаций. Всего имеется 12 положений, поэтому 12! представляет собой количество способов, которыми кубики могут быть размещены в таких положениях.

Что ещё осталось в формуле (388!)(21212!)/12? Осталось деление на 12. Деление на 12 связано с одной особенностью кубика Рубика, о которой многим известно, но которую не до конца её понимают. Проведём мысленный эксперимент (который, возможно, вы уже проводили вживую!):

Предположим, вы разобрали кубик Рубика, вытащили из него все кубики, а затем вставили все кубики обратно в случайные пазы (при этом угловые кубики можно установить только в углы, а бортовые кубики – только на рёбра). Вы получите конструкцию, которая выглядит как обычный перемешанный кубик, и на данный момент мы подсчитали все возможные комбинации созданного таким образом куба: (388!)(21212!). Теперь зададим вопрос, всегда ли можно собрать такой перемешанный кубик, не разбирая его на части?

Виды кубика Рубика

- Скьюб (Skewb)

Cкьюб (skewb) — механическая головоломка в стиле Кубика Рубика, состоящая из частей, которые вращаются и меняют своё положение.Название головоломки происходит от английских слов skew (искривленный) и cube (куб). Скьюб был изобретен английским журналистом Тони Дарема, и первоначально имел название «Кубик-пирамидка». Дуглас Хофстадтер придумал слово «Skewb», которое было употреблено впервые в статье журнала «ScientificAmerican» в июле 1982 года.

Описание

В отличие от кубика Рубика, в котором вращение происходит c шестью осями параллельно граням кубика, в скьюбе вращение происходит с четырьмя осями параллельно диагоналям куба. Подвижными элементами скьюба являются восемь трехцветных угловых элементов и шесть одноцветных центров квадратной формы. Положение центров в скьюбе не является устойчивым. Несмотря на свою кубическую форму, скьюб имеет больше общего с пирамидкой, чем с кубиком Рубика. Одно вращение также происходит параллельно угловому элементу и осуществляется на 120 градусов. При каждом вращении скьюба происходит движение четырех угловых элементов и трех центров.

Скьюб в несобранном состоянии

Сборка скьюба

Благодаря необычному вращению частей, скьюб производит впечатление сложной головоломки, но на самом деле таковой не является. Существуют 3 149 280 различных положений скьюба, что для головоломок такого типа является относительно небольшим числом и компьютер может найти оптимальный алгоритм решения. Из любого положения головоломку можно собрать максимум за 11 ходов, причём 90 из 3 149 280 положений нельзя решить меньше чем за 11 ходов. На практике для сбора головоломки спидкуберы используют только три формулы, две из которых являются интуитивными и нужны для ориентации угловых элементов первого слоя. Третья формула, известная среди спидкуберов как «четверка» или «пиф-паф», используется на втором этапе сборки для ориентации угловых элементов второго слоя и на третьем этапе для перестановки центров.

Можно также собирать иначе. Из-за того, что тетраэдр ― двойственный самому себе многогранник, то пирамидка Джингса является одновременно и вращающейся гранями, и вершинами. Скьюб, который является пирамидкой Джингса в форме куба, устроен таким образом, что каждые из двух сетов 4 углов всегда остаются на месте. Все, что они могут делать, ― лишь менять свою ориентацию. Квадратики ― это те же ребра, как и в пираминксе, но одного цвета и без ориентации. Их, не обращая внимания на оставшиеся 4 уголка, можно поставить четверками к первым четырем углам. Так как 4 угла будут всегда на крестовине, они никогда не встанут на место других четырех. Остальные 4 угла тоже остаются на месте относительно друг друга. Единственное, что возможно, ― это одна ситуация, когда 4 угла надо поменять 2+2. Для этого используются три «четверки». Чтобы ориентировать углы, надо сначала их вывести 3 «четверками», затем повернуть один из них, как нужно, и вторыми 3 «четверками» мы соберем все углы, а на место повернутого угла встанет второй угол, который станет повернутым. Так делается, пока не остается 2 угла. С последними 2 углами проделывается та же операция по перевороту. Один из них ставится на место второго при помощи тройного пиф-пафа, затем в нужную сторону поворачивается. И последние 3 четверки приведут к тому, что последний угол повернется в противоположную сторону, как и надо, и скьюб соберется.

Иначе говоря, скьюб можно собрать как пирамидку, за исключением последних 4 уголков, для которых возможен лишь один вариант перестановки 2+2, который решается тремя четверками. Для ориентации углов надо стачала их вывести тремя четверками, затем развернуть и тремя четверками вернуть обратно.

Мегаминкс
Мегаминкс — головоломка в форме додекаэдра, похожая на кубик Рубика. Головоломка состоит из 62 видимых снаружи движущихся элементов, 50 из которых меняют своё местоположение друг относительно друга и 12 остальных — центров граней, тогда как в кубике таких перемещаемых частей всего 20 при 6 центрах граней. Существуют два основных исполнения мегаминкса: шестицветный и двенадцатицветный. В шестицветном исполнении противоположные грани мегаминкса окрашены в один и тот же цвет.

Мегаминкс, или Волшебный додекаэдр (Magic Dodecahedron), был одновременно изобретён разными людьми и выпускался несколькими различными производителями с небольшими различиями в конструкции. Впоследствии Уве Мёфферт выкупил права на некоторые из патентов и в настоящее время продолжает продавать головоломку в своей сети магазинов под торговой маркой «Мегаминкс». Вариант головоломки с немного отличными пропорциями под названием «Венгерская сверхновая», изобретённый Кристофом Банделоу, был выпущен несколько ранее Мегаминкса.

Несмотря на то, что головоломка выглядит гораздо сложнее кубика Рубика и имеет гораздо большее количество возможных положений, собрать Мегаминкс ненамного сложнее, чем стандартный кубик Рубика 3x3x3. Причина в том, что структура каждой пятиугольной грани головоломки во многом аналогична квадратным граням куба. В головоломке нет частей, которые бы не имели аналога в кубике Рубика. Большинство техник и алгоритмов, применяемых для решения кубика, могут быть адаптированы и для Мегаминкса. Исключение составляют алгоритмы, использующие повороты среднего слоя, которые здесь невозможно реализовать. Также необходимо обратить внимание на следующую особенность: двойной поворот какой-либо грани в схеме сборки кубика Рубика может быть осуществлён как по часовой, так и против часовой стрелки: оба эти движения приводят к повороту грани на 180°; при адаптации же алгоритма для Мегаминкса следует учитывать, что на некубической фигуре такие повороты перестают приводить к тождественному результату, поэтому следует чётко понимать и различать направления вращения в алгоритме, который игрок пытается адаптировать.

Шестицветный вариант скрывает в себе дополнительную неочевидную сложность: головоломка содержит пары одинаковых по окраске частей. Тем не менее, хотя они визуально неотличимы, возможна ситуация, когда головоломка может быть решена только после перестановки «одинаковых» фрагментов, то есть переведена в другое, но визуально неотличимое состояние.

Пирамидка Мефферта

Пирамидка Мефферта - «Молдавская пирамидка» или «Японский тетраэдр» — головоломка в форме правильного тетраэдра, подобная кубику Рубика. Каждая грань тетраэдра поделена на 9 правильных треугольников. Задача состоит в том, чтобы перевести пирамидку в конфигурацию с одноцветными гранями.

Иногда за схожесть с кубическим аналогом называют также «Тетраэдр Рубика», хотя Эрнё Рубик не имеет никакого отношения к созданию этой головоломки.

Головоломка была изобретена и запатентована в 1972 году (до изобретения кубика Рубика) немцем Увэ Меффертом, однако популярность игрушка приобрела после выхода кубического аналога и с 1981 года выпускается японской корпорацией «Tomy Toys» (на тот момент — третья в мире по величине компания по выпуску игрушек). В СССР тетраэдр изобрёл в 1981 году инженер, главный технолог Кишинёвского тракторного завода Александр Александрович Ордынец, за что головоломку также называют Молдавской пирамидкой.

Головоломка состоит из 14 подвижных элементов: 4 осевых (каждый из которых имеет треугольники, обращенные на 3 смежные грани), 6 рёберных и 4 тривиальных угловых. Осевые элементы имеют форму октаэдров, а рёберные и угловые — тетраэдров При вращении частей пирамидки относительно рассекающих её плоскостей фрагменты перемещаются. Вращение происходит вокруг осей, направленных из центра к вершинам головоломки.

Конструктивно головоломка представляет собой 4-лучевую объёмную крестовину, на осях которой размещаются осевые и тривиальные элементы, а в специальным образом сформированные пазы помещены рёберные элементы, снабжённые выступами, позволяющими фрагментам свободно перемещаться при вращении головоломки, при этом не вываливаясь из неё.

Алгоритмы сбора кубика Рубика

  • Способ для начинающих

Этапы сборки:

1. крест в первом слое;
2. углы первого слоя;
3. рёбра среднего слоя;
4. крест в последнем слое;
5. расстановка рёбер последнего слоя;
6. расстановка углов последнего слоя;
7. разворот углов последнего слоя.

- Метод Джессики Фридрих

На данный момент одним из самых популярных методов скоростной сборки является метод Джессики Фридрих. В этой сборке не нужно запоминать большое количество формул, главное понять принцип.

Этапы сборки:

1. Сборка креста на одной из сторон.
2. Сборка первого слоя одновременно со вторым.
3. Ориентация элементов верхнего слоя.
4. Перестановка элементов верхнего слоя.

- Метод Валерия Морозова (интуитивный)

Задача этого метода — не давать готовые формулы для заучивания, а показать принципы сборки. 

Схема сборки:

  1. Собрать 8 угловых элементов.
    2. 4 рёберных элемента в среднем слое собираются в крест на любой из боковых граней.
    3. 8 остальных рёберных элементов собираются в правильные пары.
    4. 6 центров устанавливаются каждый на свою грань.

  • Метод полос

Метод для сборки кубика 5×5, рассчитан на начинающих, которые умеют как минимум собирать 3×3.

Кубик Рубика развивает:

память - запоминать алгоритмы сборки,

внимание и концентрация - умение определять и читать ситуацию на кубике,

мелкая моторика - необходимость задействовать при сборке обе руки и движения пальцев,

пространственное мышление - кубик это объемная фигура, трехмерный объект, имеющий 6 цветных граней в случае головоломки. Развитие пространственного мышления помогает лучше справляться с техническими и геометрическими задачами, ориентироваться в трехмерном пространстве,

скорость реакции - постепенно скорость принятия решений при сборке кубика растет. Анализ цветов и их сочетаний начинает проходить быстрее. В сочетании с развитием мелкой моторики это приводит к тому, что время на сборку кубика сокращается и становится меньше 1 минуты,

логика - развивается понимание взаимосвязей действий и последствий. Тренируется способность к быстрому анализу ситуации и принятию верного решения для ее решения.

Заключение

- Я лишь попытался узнать о том, как привести в порядок перепутанный кубик (решить кубик). Возможно, будет и некоторая польза в самообразовании, в расширении кругозора: ведь здесь пришлось познакомиться и с математическими символами и с чертежами, хотя и очень простыми.

- Я узнал об истории создания и устройстве Кубика Рубика, а также о его разновидностях освоил сборку.

- Считаю, что выполнил поставленную перед собой задачу и советую каждому не останавливаться перед трудностями, а искать решение, ведь это не так уж и сложно!

Надеюсь, что желание собрать кубик появится и у Вас.

В качестве проектной части представляю видео сбора мной кубика Рубика методом «Джесики Фридрих»

Литература

  • https://soberi-kubik.ru/?ysclid=lfkzpz0gqd625351088

  • https://pikabu.ru/story/10_interesnyikh_faktov_o_kubike_rubika_6516662?ysclid=lfkzrvrxl800518045

  • https://cccstore.ru/blog/articles/kubik-rubika-eto-ne-prosto-igrushka/?ysclid=lfkzshhxmv393108157

  • https://kubikus.top/fakty-o-kubike-rubika/176-raznovidnosti-kubika-rubika.html

  • https://www.iphones.ru/iNotes/kak-sobrat-kubik-rubika-i-ne-umeret-07-11-2019?ysclid=lfkzv4lni0889390965

Просмотров работы: 47