Число Эйлера, как одно из самых важных и недооцененных чисел

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Число Эйлера, как одно из самых важных и недооцененных чисел

Рахматуллин Л.Р. 1
1ДМК, 3 ЭД-21.1
Сарварова А.В. 1
1Дюртюлинский многопрофильный колледж
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Основание выбора темы: Число Эйлера, как и натуральный логарифм, который получается благодаря ему нередко встречается в различных задачах математики и физики, и мне захотелось подробнее узнать о этом числе, способах его применения в реальной жизни и не только, да и как его вообще вывели. За ответами я пошел во всем известный сайт «Wikipedia», но поняв, что информации там не так много я погрузился в глубины интернета, ведь столь часто упоминаемое число не может так мало иметь сведений о себе. Углубляясь в тему подробнее я узнал, что данное число помимо математики и физики нередко находило свое место и в экономике. Особенно меня заинтересовали способы его доказать.

Цели и задачи исследования:

  1. Лучше ознакомиться с понятием «Число Эйлера»

  2. Изучить как можно больше способов его применения

  3. Узнать различные методы его нахождения

  4. Найти его приближенное значение

  5. Доказать его существование

Практическая значимость: Полученные мною знания пригодятся мне в дальнейшем, так как в будущем я собираюсь поступить в ВУЗ, где основными предметами буду математика и физика, в которых это число встречается довольно часто. Так же подобранный мною материал может помочь учителям и ученикам глубже познакомиться с этим удивительным числом.

Гипотеза: Можно ли доказать число Эйлера? Как его можно применить в реалиях нашего мира?

Актуальность: В настоящее время многие направления требуют от людей знания высшей математики. Многие задачи физики, математики и экономики основываются на понимании числа Эйлера и знании применения его в решаемых задачах.

Объект исследования: Число Эйлера

Предмет исследования: Доказательство числа Эйлера, примеры использования числа Эйлера в реальности

Методы исследования: Анализ, синтез, сравнения

Определение числа Эйлера

Число e – это основание натуральных логарифмов и важнейшая математическая константа, которая в высшей математике встречается буквально на каждом шагу, она играет особенно важную роль в дифференциальном и интегральном исчислении. Иногда число «e» называют числом Эйлера. Леонард Эйлер – это самый плодовитый в мире гениальный математик. Именно он первым ввел символ «e» и сделал так много открытий, связанных с этим числом, что, в конце концов, его стали называть в честь Эйлера.

Это число приблизительно равно 2,71828. На самом деле число Эйлера или число e не ограничивается этими пятью знаками после запятой.

Число Эйлера можно записать так: 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354…

Число «e» является бесконечным, но его можно запомнить по следующему мнемоническому правилу: два и семь, далее два раза год рождения Льва Толстого, затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

В другом варианте правила e связывается с президентом США Эндрю Джексоном: 2 – столько раз избирался, 7 – он был седьмым президентом США, 1828 – год его избрания, повторяется дважды, поскольку Джексон дважды избирался. Затем – опять-таки равнобедренный прямоугольный треугольник.

В ещё одном небезынтересном способе предлагается запомнить число e с точностью до трёх знаков после запятой через «число дьявола»: нужно разделить 666 на число, составленное из цифр 6 − 4, 6 − 2, 6 – 1 : .

Есть множество способов его запоминания, но это не главная ее особенность

Описывать число e как константу, приблизительно равную 2,71828, то же самое что назвать число π иррациональным числом, приблизительно равным 3,1415. Несомненно это так и есть, но это лишь верхушку айсберга

Число π – это соотношение длины окружности к диаметру, одинаковые для всех окружностей. Это фундаментальная пропорция, свойственная всем окружностям, следовательно, оно участвует в нахождении площади, длины окружности, объёма, площади поверхности для кругов, сфер, цилиндров и других фигур. Что доказывает связь числа π с всеми существующими окружностями.

Число e в свою очередь является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. Число «e» позволяет взять простой темп прироста и вычислить составляющие этого показателя, нормальный рост, при котором с каждой наносекундой все вырастает еще быстрее. То есть число Эйлера воплощает в себе идею того, что все непрерывно растущие системы являются масштабированными версиями одного показателя, самого числа «e»

Это свойство помогло ему занять свое заслуженное место в области финансов. С изобретения денег прошло совсем немного времени когда люди догадались, что валюту можно одалживать или ссужать под определенный процент. Конечно они тогда не использовали такие слова как «процент», но увеличение суммы на определенный показатель было делом само собой разумеющимся.

Пытаясь высчитать, за сколько времени сумма, одолженная, допустим, под 20% годовых увеличится вдвое, люди уже начинали наощупь отыскивать путь, который в конечном итоге привел к определению числа «e».

Разобрать данное число можно несколькими интересными способами:

Рассмотрим числовую последовательность заданную формулой

Докажем, что эта последовательность имеет предел, для этого рассмотрим вспомогательную последовательность заданную формулой

Докажем, что – убывающая ограниченная снизу числовая последовательность.

Действительно,

Рассмотрим частное и сравним его с единицей, имеем:

Отсюда, используя неравенство Бернулли, получим

Таким образом:

Докажем ограниченность снизу ( ), для этого воспользуемся неравенством Бернулли:

Поскольку ( ) – ограниченная снизу убывающая числовая последовательность, то она имеет предел. Докажем сходимость последовательности

Предел последовательности и называют числом e, то есть числом Эйлера.

Логарифмы взятые по основанию e, называются натуральными логарифмами. Часто их называют неперовыми.

  1. Число е – это сумма бесконечного ряда:

  2. Число е – это единственное число, для которого выполняется следующее условие: площадь области под графиком   на интервале от  х = 1 до x = e равна 1.

  3. Число е можно представить в виде бесконечной цепной дроби которую открыл Эйлер:

Приближенное вычисление числа e

Рассмотрим подробнее первый вариант разбора данного числа

Если фиксировать и, считая   отбросить все члены последней части, следующие за   то получим неравенство

Увеличивая здесь   до бесконечности, перейдем к пределу; так как все скобки имеют пределом 1, то найдем:

Это неравенство имеет место при любом натуральном . Таким образом откуда ясно что и

Заметим попутно, что   есть   частичная сумма для бесконечного ряда и предельное соотношение показывает, что e является его суммой; говорят также, что число e разлагается в этот ряд

Варианта   для приближенного вычисления числа e гораздо удобнее, чем   Оценим степень близости к е. С этой целью рассмотрим сначала разность между любым значением   следующим за   и самим 

Если в скобках   заменить все множители в знаменателях дробей через   то получим неравенство которое лишь усилится, если заменить скобки суммой бесконечной прогрессии:

Сохраняя здесь   неизменным, станем увеличивать   до бесконечности; варианта   принимает последовательность значений очевидно, сходящуюся к е. Поэтому получаем, в пределе, или, наконец,

Если через обозначить отношение разности   к числу   , то можно написать также

Заменяя здесь   его развернутым выражением, мы и придем к важной формуле:

Которая послужит отправной точкой для вычисления е. Отбрасывая последний, «дополнительный», член и заменяя каждый из оставленных членов его десятичным приближением, мы и получим приближенное значение для e.

Поставим себе задачей с помощью формулы вычислить e скажем, с точностью до   Прежде всего, нужно установить, каким взять число n , чтобы осуществить эту точность.

Вычисляя последовательно числа, обратные факториалам, мы видим, что при «дополнительный» член формулы будет уже

Так что, отбрасывая его, мы делаем погрешность, значительно меньшую поставленной границы. Остановимся же на этом значении n. Каждый из остальных членов обратим в десятичную дробь, округляя на восьмом знаке так, чтобы погрешность по абсолютной величине была меньше половины единицы на восьмом месте, то есть меньше   .Мы свели результаты вычислений в табличку. Рядом с приближённым числом поставлен знак указывающий на знак поправки, которую необходимо было бы прибавить для восстановления точного числа.

Итак, как мы видим, поправка на отбрасывание дополнительного члена меньше. Учитывая теперь ещё и поправки на округление, легко сообразить, что суммарная поправка к полученному приближенному значению числа e лежит между

Отсюда само число e содержится между дробями:

Так что можно предположить:

Рассуждая от противного, попробуем допустить, что e равно рациональной дроби   тогда, если именно для этого e написать формулу, будем иметь

Умножив обе части этого равенства на n! по сокращении знаменателей всех дробей, кроме последней, мы получим слева целое число, а справа – целое число с дробью  , что невозможно. Полученное противоречие и доказывает то, что требовалось.

Доказательство трансцендентности числа e

Нам предстоит доказать, что предположение существования равенства

Где   и коэффициенты   – целые числа, ведет к противоречию; это противоречие обнаружится на самых простых свойствах целых чисел.

План доказательства заключается в следующем: мы покажем, как можно находить очень хорошие рациональные приближенные значения для числа   и его степеней, имеющие следующий вид:

Где  – целые числа, а – чрезвычайно малые дроби. Умножая затем обе части равенства на М, мы придадим ему такой вид:

Первое слагаемое в левой части является целым числом, и мы докажем, что оно не равно нулю, второе слагаемое нам удастся, выбирая достаточно малые значения для чисел  сделать правильной дробью. Мы придем, таким образом, к противоречию, заключающемуся в том, что сумма целого отличного от нуля числа  и правильной отличной от единицы дроби равна нулю; отсюда и будет вытекать невозможность равенства.

Целое число, которое не делится на некоторое определенное число, непременно отлично от нуля докажем, что числа делятся на некоторое простое число p, а число на него заведомо не делится; таким образом, сумма не делится на p и, значит, отлична от нуля.

Главным способом осуществления доказательства, является один определенный интеграл; его впервые в таких рассуждениях стал употреблять Эрмит, и поэтому мы можем назвать его интегралом Эрмита; построить его значило найти ключ ко всему доказательству. Мы увидим, что значение этого интеграла есть целое число, и он определит нужное нам число:

Здесь n есть степень предполагаемого уравнения, а p – некоторое простое число, которое мы определим дальше. При помощи этого интеграла мы найдем также вышеупомянутые приближенные значения для степеней  ; для этого мы разобьем интервал   на два интервала при помощи числа v и предположим

Перейдем теперь к самому доказательству.

Нам придется применять эту формулу только в предположении, что есть число целое; в этом случае . При помощи интегрирования по частям найдем

Второй множитель в правой части представляет собой интеграл того же вида, но только в нем показатель при z на единицу меньше; применяя это преобразование несколько раз, мы дойдем при   целом до   а так как   то мы получим окончательно

При целом этот интеграл есть, таким образом, целое число, которое очень быстро возрастает с возрастанием .

Чтобы сделать этот результат геометрически наглядным, изобразим графически ход изменения функции для различных значений  ; значение интеграла будет равно площади фигуры, заключенной между кривой и осью z и простирающейся до бесконечности.

Чем больше , тем теснее кривая примыкает к оси абсцисс вблизи точки но зато тем круче она идет вверх, начиная от точки затем она достигает, каково бы то ни было максимума при причем с возрастанием этот максимум увеличивается и перемещается вправо; начиная от этой точки, получает преобладающее значение множитель кривая начинает падать и, наконец, опять очень близко подходит к оси абсцисс. Теперь понятно, что площадь – наш интеграл – всегда остается конечной, но с возрастанием сильно возрастает.

2.Пользуясь доказанной формулой, мы теперь легко найдем значение интеграла Эрмита. Если мы в числителе раскроем скобки и расположим подынтегральную функцию по убывающим степеням z:

То этот интеграл примет вид

Здесь – постоянные и притом целые числа, которые получаются при указанном выше раскрытии скобок в многочлене. Применяя формулу к каждому из полученных интегралов, мы получим

Все значения индекса суммирования больше p, и, значит, отношения – целые числа, содержащие, кроме того, множитель ; если его вынести за скобку, то мы получим

Отсюда мы видим, что М делится или не делится на p в зависимости от того, делится или не делится на p первое слагаемое Но так как p есть число простое, то это слагаемое заведомо не будет делиться на p, если p не входит в состав ни одного из его сомножителей а это заведомо будет иметь место, если  Этому условию удовлетворяет бесчисленное множество простых чисел; выбрав любое из них, мы достигнем того, что а значит, и М, заведомо не будет делиться на p.

Так как, по предположению то нам легко сделать так, чтобы и не делилось на p для этого достаточно только выбрать p большим, чем что, как следует из сказанного выше, конечно, возможно. Но тогда произведение также не делится на p, и мы достигли, таким образом, нашей первой цели.

3. Исследуем теперь числа , определенные равенствами. Внесем множитель под знак интеграла и введем новую переменную принимающую значения от 0 до ∞ когда 2 изменяется от v до ∞ тогда мы получим

Это интеграл того же вида, что и рассмотренный ранее интеграл М, и мы можем здесь применить аналогичные преобразования. Раскрыв скобки в числителе подынтегральной функции, мы получим сумму степеней переменной с целыми коэффициентами, причем низшая из этих степеней есть Интеграл выражения, стояшего в числителе, представится теперь в виде суммы интегралов

С целыми коэффициентами, а так как эти последние интегралы имеют, согласно равенствам, соответственно значения то эту сумму можно представить в виде числа p! умноженного на некоторое целое число таким образом, для каждого из рассматриваемых интегралов мы имеем

То есть все они являются целыми числами, кратными p.

Если мы сопоставим это с доказанным в втором пункте, то мы увидим, что можно применить указанное выше предложение и сказать: целое число заведомо не делится на p и, следовательно, отлично от нуля.

4. Вторая часть доказательства относится к сумме , где, согласно равенству,

И нам нужно доказать, что, придавая числу p надлежащие значения, можно сделать эти сколь угодно малыми; при этом мы воспользуемся тем, что мы можем считать p сколь угодно большим, так как те условия, которым мы пока подчинили простое число p могут быть удовлетворены произвольно большими простыми числами.

Изобразим, прежде всего, геометрически ход изменения подынтегральной функции

При z=0 кривая касается оси z, при z=1,2,…,n она касается оси z и в то же время пересекает ее. Мы сейчас увидим, что под влиянием знаменателя (p - 1)! кривая во всем промежутке (0,n) не поднимается высоко над осью z, если только взять p достаточно большим; таким образом, очевидно, что интеграл будет очень мал, Заметим, что вне этого промежутка подынтегральная функция быстро возрастает и затем асимптотически приближается к оси z, как и рассмотренная выше функция   это объясняет, как получаются эти быстро возрастающие с возрастанием значения интеграла М, взятого по всему промежутку от 0 до ∞.

Для того чтобы действительно оценить величины интегралов оказывается достаточным применить следующий грубый прием. Обозначим через G и наибольшие значения модуля функции и функции в промежутке (0,n), так что

Так как модуль интеграла не превышает интеграла от модуля подынтегральной функции, то для каждого v мы имеем

Числа не зависят от p, а стоящий в знаменателе факториал  возрастает, как известно, быстрее, чем степень или, точнее, при достаточно большом  дробь делается меньше какого угодно наперед заданного числа, как бы мало оно ни было. Равенство показывает, таким образом, что, принимая за p достаточно большое число, мы можем сделать сколь угодно малым каждое из чисел 

Отсюда непосредственно следует, что мы можем сделать сколь угодно малой сумму состоящую из n членов; в самом деле,

Согласно равенству это выражение не превосходит

А так как множитель, заключенный в скобки, имеет постоянное не зависящее от значение, то благодаря множителю мы можем всю правую часть, а следовательно, и левую, то есть сделать как угодно малой в частности меньше единицы.

Но это приводит нас к тому противоречию с равенством:

Которое мы выше имели в виду; оно состоит в том, что целое число, отличное от нуля, после прибавления к нему правильной дроби должно обратиться в нуль. Поэтому последнее равенство не может иметь места, и таким образом доказана трансцендентность числа е.

Экспоненциальная функция числа e

График называется экспонентной

Угол между касательной к экспоненте в точке x=0 и осью абсцисс равен Этим график функции отличается от других графиков экспоненциального вида.

Свойства функции :

  1. Ни четная, ни нечетная

  2. Возрастающая

  3. Ограниченная снизу

  4. Нет наибольшего и наименьшего значения у функции

  5. Непрерывная

  6. Дифферинцируема

Практическое применение числа е

Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала. Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля. Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в , то есть в 2,66 рубля. При начислении сложных процентов каждые полгода рубль за 25 лет превратится в 2,69 рубля.

В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один рубль вырос бы до величины , где π – число начислений прибыли. При π, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718, что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е.

Предположим, что в банке, выплачивающем простой процент, один рубль через какой-то промежуток времени удваивается. При непрерывном начислении прибыли рубль за то же время превратился бы в е рублей независимо от того, сколько простых процентов прибыли выплачивает в действительности банк. Однако за очень большой промежуток времени даже очень маленькая ежегодная прибыль может увеличить первоначальный капитал до гигантской суммы. Если бы в первом году нашей эры кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых, то к 1970 году на его счету было бы уже (1,04)1970 рублей, то есть сумма вклада выражалась бы примерно тридцатипятизначным числом.

Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает. Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция.

Применение числа е в математике

Как уже было неоднократно сказано, число Эйлера действительно имеет огромное значение в математике. Для подтверждения этого приведем несколько задач, в решении которых оно так или иначе фигурирует.

Так как факториал числа п равен числу перестановок из п предметов, то не удивительно, что число е фигурирует в задачах теории вероятностей, связанных с перестановками. Классическим примером является следующая задача о перепутанных шляпах. Десять мужчин сдали в гардероб свои шляпы. Прежде чем выдать номера, гардеробщица случайно перепутала их. Спрашивается, с какой вероятностью хотя бы один из владельцев получит свою собственную шляпу. Существуют и другие формулировки этой задачи. Например, речь может идти о рассеянной секретарше, которая положила как попало несколько писем в заранее надписанные конверты. Какова вероятность того, что хотя бы одно письмо дойдет по назначению? Или: однажды всех матросов отпустили в увольнение на берег; вернувшись усталыми, они замертво попадали на первые попавшиеся койки; какова вероятность того, что один матрос спит на своей койке?

Для решения задачи нужно знать две величины: во-первых, число всех перестановок из 10 шляп и, во-вторых, число «совершенно беспорядочных» перестановок, то есть число перестановок, при которых ни один владелец шляпы не получает свою шляпу. Первое число равно 10!, то есть 3 628 800. Однако вряд ли кто-нибудь отважится выписать все эти перестановки, чтобы отобрать из них «совершенно беспорядочные». К счастью, существует один простой, хотя и несколько необычный, метод нахождения нужного числа. Оказывается, что число «совершенно беспорядочных» перестановок из п предметов равно целому числу, ближайшему к дроби . В нашем случае таким целым числом является 1 334 961, поэтому вероятность того, что ни один человек не получит назад свою шляпу, равна ... Последнее число очень близко к . Сократив 10! в числителе и знаменателе, получим . Следовательно, вычисленная нами вероятность почти не отличается от . Таким образом, вероятность того, что все шляпы оказались перепутанными, нам известна. Очевидно, что всегда происходит одно из двух: либо все шляпы оказываются перепутанными, либо хотя бы одна из них возвращается к своему владельцу. Следовательно, вычитая из 1, мы получаем вероятность того, что, по крайней мере, один человек получает свою шляпу назад. Итак, искомая вероятность оказывается равной 0,6321, что составляет почти 2/з.

Заключение

За кажущейся простотой и случайностью живого восприятия окружающей действительности скрывается математика. Когда мы слушаем музыку, наш мозг занимается алгеброй. Когда мы смотрим на что-либо, наш мозг занимается геометрией. У человека не может возникнуть отношение к предмету, чувство, эмоция, пока мозг не произвел «измерение», сравнение этого предмета с уже имеющимся в памяти чем-то подобным. Впереди идет математика, а только потом возникает чувство. Эту работу мозг производит мгновенно, потому мы ее не замечаем и не осознаем, и нам кажется, что чувство возникает сразу.

 В процессе моего исследования я очень многое узнал о числе Эйлера, оно как и было для меня невероятно интересным, так таковым и осталось. Удивительно, но число Эйлера настолько многогранно, что к нему можно прийти, рассматривая самые разные математические задачи, что и стало катализатором моего интереса к нему. Оно играет огромную роль в математике и прикладных науках. В банковском деле оно позволяет определять прирост денег при непрерывном начислении процентов, что является прекрасным примером его использования в реальном мире.

Доказательство этого числа поначалу повергло меня в ужас, но углубившись сильнее в различные термины, внимательно множество раз перечитав его, сверившись с многими сайтами и вычленяя ошибки одних сайтов, переписывал формулы, зачастую находились нечитаемые пункты, но если узнать и понять в полной мере это число все станет достаточно просто.

Не думаю, что эта работа раскрыла в полной мере все секреты, но я вместе с учителем для себя раскрыл новые горизонты. Я точно знаю, что я не стану великим математиком, но уверен, что полученные знания в данной области помогут мне стать гармоничной личностью.

Литература

https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2016/12/04/chislo-e-v-realnoy-zhizni-0

https://studfile.net/preview/1063914/

https://vuzlit.com/901125/opredelenie_chisla_priblizhennoe_vychislenie_znacheniya_transtsendentnost

https://scask.ru/g_book_f_math1.php?id=37

https://concepture.club/post/nauka/vse-chto-nuzhno-znat-o-konstante-e

https://dzen.ru/a/XU2IRLwlFACtgd8W

https://infourok.ru/referat-matematicheskaya-konstanta-chislo-e-3308821.html

https://referatbank.ru/referat/preview/29174/kursovaya-chislo.html

https://scask.ru/q_book_klein1.php?id=64

Просмотров работы: 91