Вычисление сумм степеней членов арифметической прогрессии и доказательство комбинаторных тождеств в тригонометрии и алгебре

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Вычисление сумм степеней членов арифметической прогрессии и доказательство комбинаторных тождеств в тригонометрии и алгебре

Павлова А.Д. 1
1МАОУ Гимназия 2
Секацкая Е.Г. 1
1МАОУ Гимназия 2
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Целью настоящей работы является изучить различные существующие подходы к вычислению сумм степеней членов арифметических прогрессий, и попытаться найти новый подход; доказать некоторые основные тригонометрические и показательные тождества с помощью разложения cosx и sinx и формулы бинома Ньютона.

Основные результаты проведенных исследований: получена и доказана рекуррентная формула для вычисления сумм степеней членов арифметических прогрессий; получен ″интересный″ числовой треугольник, рекуррентное соотношение его элементов; доказаны основные тригонометрические тождества с помощью разложения cosx и sinx, формулы бинома Ньютона; получены формулы сумм различных биноминальных коэффициентов.

  1. Введение

В школе хорошо известны такие основные базовые понятия и вопросы, связанные с ними, как например:

  1. Формулы сокращенного умножения ( квадрат разности, квадрат суммы, разность квадратов, куб суммы, куб разности, разность кубов, сумма кубов )

  2. Формулы конечной геометрической прогрессии

  3. Тригонометрические функции и тождества

Возникли вопросы, нельзя ли основные тригонометрические тождества доказать, зная разложения cosxи sinx и всем известный Бином Ньютона, который является обобщением формул сокращенного умножения.

Также, можно ли вывести суммы степеней последовательных натуральных чисел, используя геометрическую прогрессию и простое дифференцирование.

Поэтому целью нашей работы является:

  1. Изучить Бином Ньютона, треугольник Паскаля и комбинаторные тождества, связанные с ним.

  2. Научится оперировать бесконечными степенными суммами.

  3. Доказать некоторые основные тригонометрические и показательные тождества.

  4. Вывести новую формулу для вычисления сумм степеней, при этом получить новой числовой треугольник и выяснить соответствие с классическими методами из монографии Виленкина, Прудникова, Брычкова и т.д.

  • Получить для чисел этого треугольника реккурентные формулы, выдвинув и доказав гипотезу, связанную с эпизодическим появлением чисел нашего треугольника

3. Геометрическая прогрессия – как основа нового подхода в решении классической задачи. Два «замечательных» числовых треугольника и их свойства

Хорошо известна задача вычисления суммы степеней последовательных натуральных чисел, т.е. вычисления сумм вида:

при различных натуральных k.

Приведем несколько формул:

k=1, ………………………(1)

Это хорошо известная арифметическая прогрессия.

k=2, ……………….(2)

k=3, …………………….(3)

k=4, ……..(4)

Две последние формулы предлагается доказать по индукции на странице 10 «Сборника задач и упражнений по математическому анализу» Б.П.Демидовича [1]. Выведем формулы, рассмотренные выше методом геометрической прогрессии и простейшего дифференцирования.

Рассмотрим всем известную формулу суммы конечной геометрической прогрессии:

.

Произведем замену переменных и запишем её по другому:

q=1+t, тогда это выражение будет выглядеть так:

= ………………(*)

Разложим выражение по биному Ньютона1:

.

Значит равенство (*) (после вычитаний в числителе и сокращения на t) может быть представлено в виде:

( = .

Продифференцируем обе части этого равенства по параметру t, получим:

…………………(**) Оно справедливо для всех t.

Чтобы получить формулу (1) осталось подставить t=0:

= .

Итак, формула (1) получена, и наш подход применим.

Чтобы получить следующие формулы умножим выражение (**) на (1+t) и сгруппируем подобные по t в правой части:

Дифференцируем полученное выражение по параметру t:

Подставляем t=0 чтобы получить формулу (2):

= = Итак наш метод апробирован и в этом случае.

Аналогично умножим выражение (***) на (1+t) и сгруппируем правую часть:

Дифференцируем:

Подставляем t=0:

= =

Итак, получена формула (3) при k=3.

Умножим выражение (****) на (1+t) и сгруппируем справа:

Дифференцируем:

Подставляем t=0:

= Теперь мы убедились, что наш способ верен (до четвертых степеней).

Итак, мы получили следующие формулы:

=

=

=

=

Отсюда ,обозначив коэффициенты комбинаций через К , получаем нашу формулу суммы произвольных степеней:

………………………………..(+)

Заметим, что коэффициенты при С (где k=2,3,…) образуют новый числовой треугольник, похожий на треугольник Паскаля2.

При При При При При При При При

=1

1

             

=2

1

2

           

=3

1

6

6

         

=4

1

14

36

24

       

=5

1

30

150

240

120

     

=6

1

62

540

1560

1800

720

   

=7

1

126

1806

8400

16800

15120

5040

 

=8

1

254

5796

40824

126000

191520

141120

40320

Несколько свойств треугольника

1. Коэффициенты при всегда равны 1 и не зависят от степени суммируемых слагаемых.

2.Числа, стоящие по главной диагонали равны n! ( где n=k-показателю степени суммируемых слагаемых).

3. Коэффициенты при можно найти по формуле .

4

 

. Коэффициент, стоящий в i-той строке, j-том столбце(K ) вычисляется по рекуррентной формуле, где :

……………………………..(++) Это соотношение получено нами экспериментально.

4. Рекуррентная формула вычисления коэффициентов степенных сумм арифметической прогрессии (а1=1, d=1)

Возьмем известную формулу со страницы 596 справочника [6], заметим, что из нее в частности получаются формулы (3),(4):

Т.к. и , то

Найдем коэффициент 36 : , итак формула для наших коэффициентов апробирована.

Сопоставив формулу (*) из справочника с нашей формулой (+) мы заметили, что:

………………………………..(+++) или:

Проверим, что эти коэффициенты подчиняются рекуррентному соотношению (свойство 4) для удобства поменяем расположение индексов ( ), а также везде увеличим i и j на единицу, а затем поделим обе части полученного выражения на ( ):

Мы заметили, что при i=(j+1) выражение будет равно нулю, значит i=j+1 можно не брать:

должно быть равно:

Что и подтверждает, что формула (+++) удовлетворяет формуле (++).

4.1 Вычисление k-той степени любого натурального числа

В книге Н.Я.Виленкина «Комбинаторика» в задачах № 388,389 (на страницах 245,246) мы нашли только две формулы, содержащие коэффициенты нашего треугольника:

Мы выдвинули гипотезу, что для всех следующих (и предыдущих) степеней имеет место формула:

,

, где ……………………………(++++)

0, i>n,

(здесь показатель степени kможет быть как меньше так и больше n)

,

проверим наше предположение для пятой степени:

Проверим наше предположение и для первых рядов треугольника:

- верно.

Треугольник Паскаля.

Т реугольник Паскаля строится по следующему правилу: по краям каждой строки стоят единицы, а каждое из остальных чисел равно сумме двух стоящих над ним чисел предыдущей строки. Поэтому правилу легко выписывать одну за другой новые строки этого треугольника. Именно в такой форме он приведен в "Трактате об арифметическом треугольнике" французского математика Б. Паскаля (1623-1662), опубликованном в 1665 г., уже после смерти автора.

Популярность чисел, составляющих треугольник Паскаля, не удивительна: они возникают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятностей, математического анализа, теории

чисел. На все вопросы по этим задачам ответ дают числа треугольника Паскаля. Обозначение предполагает, что верхняя строка треугольника Паскаля состоит из одного числа = 1, следующая (первая) - из двух чисел = = 1, и вообще n-я строка состоит из n+1 чисел:

Числа называют обычно числами сочетаний из n элементов по k.

Есть формула, позволяющая по заданным номерам n и k сразу вычислить, какое число стоит на k-м месте в n-й строке треугольника Паскаля:

Используя обозначение факториалаm!= , эту формулу можно записать ещё короче:

В "равнобедренной" форме треугольника Паскаля очевидно свойство симметрии каждой строки = ; при этом посередине строки стоит самое большое число (если n чётное) или два самых больших числа (если n нечетное), а к краям числа монотонно убывают.

Если записать тот же треугольник в "прямоугольной" форме, то целый ряд свойств треугольника Паскаля, связанный с суммами его чисел, будет удобнее наблюдать. В частности, сумма нескольких первых чисел каждого столбца равна идущему за ними числу следующего столбца:

(числа С = m(m -1)/2 называются треугольными числами, а числа - пирамидальными) и вообще, при m > k:

Бином Ньютона.

Бином Ньютона- название формулы, выражающей степень двучлена в виде суммы одночленов.

Легко заметить закон образования коэффициентов: коэффициент 4 при a3b есть сумма коэффициентов 3 и 1 при a2b и a3. Аналогично, коэффициент 6 при a2b2 является суммой 3+3 коэффициентов при ab2 и a2b. По тому же закону получаем и коэффициент 4 при ab3.

Таким образом, коэффициент при an-kbk в разложении (a+b)n равен сумме коэффициентов и при an-kbk-1 и при an-k-1bk в разложении (a+b)n-1, а коэффициенты при anи при bn равны единице.

Отсюда следует, что коэффициент в равенстве

являются членами (n+1)-й строки треугольника Паскаля.

Докажем формулу по индукции:

1) n=1,

2) Предположим, что формула верна для n=n, то есть

3) Докажем, что формула верна и для n=n+1,

+

Было известно, что числа

являются в то же время числами «сочетаний без повторений» из n элементов по k.

5. «Суета вокруг бинома Ньютона». Получение всех основных тождеств «школьной» и гиперболической тригонометрии

В курсе школьной математики хорошо известны формула умножения показательной функции и следующие тригонометрические формулы:

Докажем эти формулы, используя разложения cosx и sinx и бином Ньютона.

Докажем формулу 1)

Известно, что:

Используя символы суммировании (m, n – индексы суммирования, и не важно какой буквой он обозначены), это же мы можем записать так:

Но очевидно и то, что:

=

Группируем по одинаковым суммам показателей степеней: степень x-а падает,а y-а растет на единицу, но так, что суммы степеней постоянны в каждой скобке.

что и требовалось доказать.

Эту же формулу можно доказать и в обратную сторону:

Мы доказали, что

Докажем формулу 2)

Известно, что:

Это же мы можем записать так:

Для удобства формулу 2) мы можем записать и так:

Распишем левую часть тождества:

Далее распишем правую, умножая (2*) на (2**):

(домножим и поделим на соответствующий факториал)

Т.е мы получили с одной стороны:

С другой стороны:

Осталось доказать комбинаторное тождество, т.е. что:

Пример при n=3.

Возьмем формулу Бинома Ньютона для нечетной степени

и .

При a=b=1:

При a=b=1:

Распишем:

разложения 2) из 1), при этом все четные взаимно уничтожатся, а останутся только одни нечетные:

Формула доказана, т.е .

Докажем формулу 3)

Нам уже известны значения cosx,

Тогда

А

Запишем в свернутом виде:

Аналогично

+

+

Запишем в общем виде:

Т.е с одной стороны мы получили:

С другой стороны:

Сравнивая формулы (3*) и (3**) осталось доказать, что:

Пусть a=b=1,тогда:

Т.е , что и требовалось доказать.

Докажем формулу 4)

Нам уже известны значения cosx, .

Рассмотрим . Сгруппируем коэффициенты при различных степенях x:

  1. У : 2) У

:1

: :

....

(1 ( +

В результате вычислений мы заметили, что значения выражений в скобках равны 0.

Запишем значения так:

Формула доказана.

Докажем формулу 5)

Как мы выяснили:

Формула доказана.

Докажем формулу 6)

Формула доказана.

Докажем формулу 7)

Еще раз вспомним, что:

Умножим и разделим каждое слагаемое на соответствующий факториал:

Теперь мы можем записать это же так:

Вспомним формулу бинома Ньютона:

Заметим, что суммы в скобках могут иметь такой вид:

Формула доказана.

Докажем формулу 8)

Формула доказана.

После наших процедур, мы поняли механизм доказательства формул с помощью формулы Бинома Ньютона. Возник вопрос, а можно ли в разложениях cosx, sinx и их степеней и произведений все чередующиеся знаки заменить только на плюсы. Оказалось, что да – можно. При этом получаются все формулы гиперболической тригонометрии.

Докажем 2 из них:

Докажем формулу 1.

Известно, что:

Это же мы можем записать так:

Для удобства формулу 2 мы можем записать и так:

Распишем левую часть тождества:

Далее распишем правую, умножая (2*) на (2**):

(домножим и поделим на соответствующий факториал)

Т.е мы получили с одной стороны:

С другой стороны:

Осталось доказать комбинаторное тождество, т.е. что:

Пример при n=3.

Возьмем формулу Бинома Ньютона для нечетной степени

и .

При a=b=1:

При a=b=1:

Распишем:

разложения 2) из 1), при этом все четные взаимно уничтожатся, а останутся только одни нечетные:

Формула доказана, т.е. .

Докажем формулу 2.

Запишем в свернутом виде:

Аналогично

+

+

Запишем в общем виде:

Рассмотрим . Сгруппируем коэффициенты при различных степенях x:

  1. У : 2) У

:1

: :

....

( 1 ( +

Запишем значения так:

Формула доказана.

6. Заключение

1.

Обобщая формулы сокращенного умножения, мы естественно вышли на Бином Ньютона, треугольник Паскаля и комбинаторику чисел сочетаний

(

Оказалось, что вся школьная тригонометрия в некотором смысле является следствием Бинома Ньютона. Чтобы заметить это, нам понадобилось обучиться несложным действиям с бесконечными степенными суммами (рядами). Приятным ″подарком″ оказалось то, что все наши громоздкие выкладки для cosx, sinx, их степеней и произведений полностью сохраняются и даже упрощаются, когда все знаки в их разложениях заменяются только на ″плюсы″. При этом ″задаром″ получаются все основные формулы гиперболической тригонометрии!

2.

Работая с формулой бесконечно убывающей геометрической прогрессии, которая и сама по себе важна во многих случаях, мы увидели, что она также эффективно работает в задачах вычисления сумм степеней последовательных натуральных чисел, т.е. сумм вида:

Соответственно, тут появляется некий новый числовой треугольник, элементы которого имеют интересную комбинаторную природу.

Итак, в конечном итоге у нас:

  1. Получена и доказана рекуррентная формула для вычисления сумм степеней членов арифметических прогрессий.

  2. Получен ″интересный″ числовой треугольник, рекуррентное соотношение его элементов.

  3. Доказаны основные тригонометрические тождества с помощью разложения

cosxи sinx и бинома Ньютона.

  1. Получены формулы сумм различных биноминальных коэффициентов.

7.Список литературы

  1. Б. П. Демидович. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.

  2. В. Л. Данилова, А. Н. Иванова, Е. К. Исакова. Справочная Математическая Библиотека математический анализ , М., 1961 .

  3. Н. Я. Виленкин. Комбинаторика, М., 1969 .

  4. «Математическая энциклопедия», М., 1977, том 1.

  5. Н. Бурбаки.Функции действительного переменного, М., Наука, 1965.

  6. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды, М.,Наука,1981.

  7. www.wikipedia.ru

1 Изложение доказательства формулы бинома Ньютона см. стр 14

2 Треугольник Паскаля, стр.12-13

Просмотров работы: 32