Фракталы

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Фракталы

Асонкова М.А. 1
1МАОУ лицей №23 г.Калининграда
Городзинская С.В. 1
1МАОУ лицей №23
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

 

Математика – древнейшая наука. Много лет назад людям казалось, что геометрия ограничивается исключительно простыми фигурами и их сочетаниями. При более детальном рассмотрении оказалось, что исследуемые системы могут иметь весьма сложную структуру и применение только известных объектов обычной геометрии для их анализа и оценки представляется крайне безнадежным. Для изучения подобных систем стали на практике применять новые методы, в том числе, фрактальный анализ.

Фракталы – это самые удобные средства для изучения поставленных вопросов. Очень часто, мы видим в природе то, что нас завораживает бесконечным количеством повторением одного узора. Примером могут выступать ветви у любого дерева. На ветвях деревьев, мы можем увидеть веточки поменьше и еще меньше и меньше, таким образом, мы можем предположить, что этот элемент «разветвление» повторяется большое количество раз, становясь все меньше и меньше. Аналогично, этот способ можно применить к оценке горного рельефа. Если изображение горного массива приблизить, то мы опять сможем увидить горы. Так проявляется характерное для фракталов свойство самоподобия.

Актуальность работы определяется тем, что задачи, связанные с описанием и расчетом параметров природных объектов, не поддаются формализации обычными математическими методами. И только фрактальная теория позволяет работать математикам с подобными объектами. Созданная Бенуа Мандельбротом теория фракталов впервые была применена для расчета длины береговой линии Великобритании. Пользуясь разработанной для этого методикой можно рассчитать фрактальную длину любой кривой на плоскости, в частности применить её для расчёта длины береговой линии любого побережья – морского, речного или озёрного.

Цель работы: измерить длину береговой линии Куршской Косы, применив для её расчёта теорию фракталов. Результаты таких расчётов имеют большое практическое значение для прокладки прибрежных автодорог, железных дорог и разнообразных коммуникаций.

Методы исследования: сравнительный анализ, изучение и анализ источников информации, фрактальный метод, метод наименьших квадратов.

Задачи:

изучить теорию возникновения и развития фракталов;

  • ознакомиться с применением фракталов в науке и на практике;

  • рассмотреть применение метода фракталов для измерения длины береговой линии;

  • получить формулу фрактальной длины береговой линии;

  • измерить береговую линию Куршской Косы.

Предмет исследования: теория фракталов.

Объект исследования: применение метода фракталов для измерения длины западного побережья Куршской Косы.

Гипотеза исследования: береговая линия не имеет строго определённой длины, она будет зависеть от способа её измерения.

Новизна исследования: в России фрактальные методы определения протяжённости береговых линий водных объектов практически не применялись. Особенное значение имеет решение подобных задач для малоосвоенных территорий. Одной из таких территорий на данный момент является побережье Куршской Косы.

В первой главе исследовательской работы были изучены теоретические аспекты фрактальной геометрии, виды фракталов и как они возникают.

Анализируя результаты написания второй главы исследовательской работы можно сделать следующие выводы.

  • части побережья Куршской Косы имеют разный характер изрезанности береговой линии, поэтому для измерения было выбрано только западное побережье Косы;

  • в результате расчётов по методу Е.Федера выведена формула фрактальной длины береговой линии западного побережья Куршской;

  • определена фрактальная размерность береговой линии:

  • величина фрактальной размерности исследуемой береговой линии незначительно отличается от 1, что свидетельствует об относительной плавности и малой изрезанности этой линии;

полученная формула фрактальной длины береговой линии западного побережья Куршской Косы имеет практическое значение при решении задач, связанных с расстановкой или строительством каких-либо сооружений береговой линии. Например, строительство дорог, охранных пунктов, пунктов экологического контроля, прокладка кабелей и линий электропередачи и т.п. В связи с этим можно сделать вывод, что проведение данного анализа является весьма актуальным.

Ожидаемые результаты: пользуясь фрактальной теорией, получить формула для определения длины береговой линии побережья Куршской Косы и определить её фрактальную размерность.

Данная работа наглядно демонстрирует применение фрактальных методов на примере западного побережья Косы. В дальнейшем можно продолжить подобные исследования, применяя подобную методику для восточного побережья Косы, омываемого Куршским заливом.

  1. Теоретические аспекты фрактальной геометрии

    1. Понятие фрактала

Фракталы известны уже почти век, хорошо изучены и имеют многочисленные приложения в жизни. В основе этого явления лежит очень простая идея: бесконечное по красоте и разнообразию множество фигур можно получить из относительно простых конструкций при помощи всего двух операций - копирования и масштабирования.

У этого понятия нет строгого определения. Поэтому слово «фрактал» не является математическим термином. Обычно так называют геометрическую фигуру, которая удовлетворяет одному или нескольким из следующих свойств:

  • обладает сложной структурой при любом увеличении;

  • является (приближенно) самоподобной;

  • обладает дробной хаусдорфовой (фрактальной) размерностью, которая больше топологической;

  • может быть построена рекурсивными процедурами.

Фракталы существуют для того, чтобы можно было с помощью математических формул описать очень сложные структуры - например, участок ландшафта, поверхность моря, скалу и так далее. Набором обычных геометрических фигур - линий, кружков и треугольников - такие структуры не описать. А вот фракталами - вполне возможно.

1.2. История появления фракталов

На рубеже XIX и XX веков изучение фракталов носило скорее эпизодический, нежели систематический характер, потому что раньше математики в основном изучали «хорошие» объекты, которые поддавались исследованию при помощи общих методов и теорий. В 1872 году немецкий математик Карл Вейерштрасс построил пример непрерывной функции, которая нигде не дифференцируема. Однако его построение было целиком абстрактно и трудно для восприятия. Поэтому в 1904 году швед Хельге фон Кох придумал непрерывную кривую, которая нигде не имеет касательной, причем ее довольно просто нарисовать. Оказалось, что она обладает свойствами фрактала.

Идеи самоподобия фигур подхватил француз Поль Пьер Леви, будущий наставник Бенуа Мандельброта. В 1938 году вышла его статья «Плоские и пространственные кривые и поверхности, состоящие из частей, подобных целому», в которой описан еще один фрактал – «С-кривая Леви». Все эти вышеперечисленные фракталы можно условно отнести к одному классу конструктивных (геометрических) фракталов.

Другой класс — динамические (алгебраические) фракталы, к которым относится и множество Б.Мандельброта. Первые исследования в этом направлении относятся к началу XX века и связаны с именами французских математиков Гастона Жюлиа и Пьера Фату. В 1918 году вышел почти двухсотстраничный труд Жюлиа, посвященный итерациям комплексных рациональных функций, в котором описаны «множества Жюлиа» — целое семейство фракталов, близко связанных с множеством Б.Мандельброта. Этот труд был удостоен приза Французской академии, однако в нем не содержалось ни одной иллюстрации, так что оценить красоту открытых объектов было невозможно. Несмотря на то, что это работа прославила Жюлиа среди математиков того времени, о ней довольно быстро забыли.

Вновь внимание к работам Жюлиа и Фату ученые обратились лишь полвека спустя, с появлением компьютеров: именно компьютеры сделали видимыми богатство и красоту мира фракталов.

Само слово «фрактал» появилось благодаря гениальному ученому. Бенуа Мандельброт,(справа на фото) ,придумал термин «фрактал» в семидесятых годах прошлого века, позаимствовав слово «fractus» из латыни, где оно буквально означает «ломаный» или «дробленый». Сегодня под словом «фрактал» чаще всего принято подразумевать графическое изображение структуры, которая в более крупном масштабе подобна сама себе.

 

При жизни Бенуа Мандельброт неоднократно говорил, что он не занимается формулами, а просто играет с картинками. Этот человек мыслил очень образно, а любую алгебраическую задачу переводил в область геометрии, где, по его словам, правильный ответ всегда очевиден. В 1982 году вышла книга Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал практически всю имевшуюся на тот момент информацию о фракталах и в легкой и доступной манере изложил ее. Основной упор в своем изложении Мандельброт сделал не на тяжеловесные формулы и математические конструкции, а на геометрическую интуицию читателей.

1.3. Фрактальная размерность

В Евклидовой геометрии есть понятие размерности, которая позволяет связывать меру и размер.

Если обозначим размерность - D, меру - M, размер - L. Тогда формула, связывающая эти три величины будет иметь вид:

M = LD (1.1)

Для двухмерных тел (D=2) мерой (M) является площадь (S), для трёхмерных тел (D=3) - объём (V):

S = L2, V = L3 (1.2)

Следовательно, если фигуру уменьшить в N раз (отмасштабировать), то она будет укладываться в исходной фигуре ND раз.

На практике, если мы уменьшим рассматриваемый отрезок (D=1) в 5 раз, то он поместится в исходном отрезке ровно пять раз (51=5); Если треугольник (D=2) уменьшить в 3 раза, то он разместится в исходном 9 раз (32=9).

Если мы рассмотрим куб (D=3), который захотим уменьшить в 2 раза, то он поместится в исходной фигуре ровно 8 раз (23=8).

Верным будет и обратное утверждение: если мы уменьшим размер фигуры в N раз, то она поместится в исходной фигуре n раз (то мы можем утверждать, что ее размер уменьшился в n раз).

Но самое необычное в размерности то, что она может принимать не только целые, но и дробные значения. Размерность равная единице характерна для прямой линии, 1,02 - для слегка извилистой линии, 1,15 - для более извилистой, 1,53 - для очень извилистой и так далее.

Поэтому, чтобы подчеркнуть способность размерности принимать дробные значения, Мандельброт ввел такое понятие, как фрактальная размерность.

1.4. Классификация фракталов

Фракталы классифицируются на:

- созданные человеком;

- объекты природы.

Главное их отличие состоит в том, что фракталы, созданные учёными, при любом масштабе обладают фрактальными свойствами. При рассмотрении природных объектов, можем убедиться, что такие фракталы не имеют бесконечно повторяющихся субструктур , следовательно, не демонстрируют бесконечного самоподобия. В этом состоит особенность природных фракталов.

Геометрические фракталы.

Фракталы этого класса — самые наглядные, в них сразу видна самоподобность. История фракталов началась именно с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в XIX веке.

- Снежинка Коха. Это один из первых исследованных фракталов. Термин впервые появился в статье шведского математика Хельге фон Коха в 1904 году. Это непрерывная линии, к которой нельзя провести касательную ни в одной точке. Линии с таким свойством были известны и раньше (Карл Вейерштрасс, 1872г.), но кривая Коха замечательна простотой своей конструкции.

Рисунок 1.1- Этапы построения кривой Коха

Рисунок показывает, как по шагам строится кривая Коха. Первая итерация — просто начальный отрезок. Потом он делится на три равные части. Центральный -достраивается до правильного треугольника и затем выкидывается. Получается вторая итерация — ломаная линия, состоящая из четырех отрезков. К каждому из них применяется такая же операция, и получается четвертый шаг построения. Продолжая, можно получать всё новые и новые линии (все они будут ломаными). А то, что получится в пределе (это уже будет воображаемый объект), и называется кривой Коха.

Варианты:

Снежинка Коха «наоборот» получается, если строить кривые Коха внутрь исходного равностороннего треугольника.

 

Линии Чезаро. Вместо равносторонних треугольников используют равнобедренные с углом при основании от 60° до 90°. На рисунке угол равен 88°.

 

Квадратный вариант.

 

Трехмерные аналоги.

 

Т-квадрат

Рисунок 1.2- Этапы построения Т-квадрата

Построение начинается с темного единичного квадрата. Первый шаг: закрасить в центре белым цветом квадрат со стороной 1/2. Затем нужно мысленно разделить квадрат на 4 одинаковых квадрата и в центре каждого из них закрасить квадрат со стороной 1/4. Дальше каждый из этих 4 квадратов снова делится на 4 части, всего получится 16 квадратиков, и с каждым из них нужно проделать то же самое. И так далее.

H-фрактал

Рисунок 1.3- Этапы построения Н-фрактала

Всё начинается с фигуры в виде буквы Н, у которой вертикальные и горизонтальные отрезки равны. Затем к каждому из 4 концов фигуры дорисовывается ее копия, уменьшенная в два раза. К каждому концу (их уже 16) дорисовывается копия буквы Н, уменьшенная уже в 4 раза. И так далее. Н-фрактал всюду плотен в нём. То есть, в любой окрестности любой точки квадрата найдутся точки фрактала. Принцип построения Н-фрактала применяют при производстве электронных микросхем.

Варианты:

Дерево Мандельброта получается, если рисовать толстые буквы Н, состоящие из прямоугольников, а не из отрезков:

 

Кривая Пеано. Впервые этот объект появился в статье итальянского математика Джузеппе Пеано в 1890 году. Он пытался найти объяснение того, что отрезок и квадрат равномощны (если рассматривать их как множества точек), то есть в них «одинаковое» количество точек. Эта теорема была ранее доказана Георгом Кантором.

Кривая Пеано, первые три итерации

Кривая Гильберта, была описана в 1891 году.

 

Фрактал «Греческий крест»

 

Кривая Госпера или снежинка Госпера

 

Треугольник Серпинского

Рисунок 1.4 - Построение треугольника Серпинского

Этот фрактал описал в 1915 году польский математик Вацлав Серпинский. Для его получения, необходимо использовать (равносторонний) треугольник, провести в нём средние линии и выкинуть центральный из четырех образовавшихся маленьких треугольников. Впоследствии эти действия повторяются с каждым из оставшихся трех треугольников, и так далее.

Для построения треугольника Серпинского можно двигаться и «в обратном направлении», то есть взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями. Затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и так далее.

Рисунок 1.5 - Построение треугольника Серпинского «в обратном направлении»

Также получить треугольник Серпинского можно путем построения геометрических фракталов путем замены частей очередной итерации на масштабированный фрагмент. Тогда на каждом шаге, который формирует ломаную, отрезки необходимо заменить на ломаную из трех звеньев и на каждом новом шаге откладывать ломаную нужно попеременно то вправо, то влево.

Рисунок 1.6 - Построение треугольника Серпинского

Варианты:

Ковер (квадрат, салфетка) Серпинского была описана в 1916 году. При классическом способе: квадрат делят на 9 частей и убирают центральную часть. После, аналогичные манипуляции повторяются для оставшихся 8 квадратов, и так далее.

Рисунок 1.7 - Построение ковра Серпинского

Пирамида Серпинского. Один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего.

Губка Менгера. Чтобы построить эту модель, необходимо повторить следующую процедуру - каждый кубик, из которых формируется итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков. Потом выбрасывают центральный и его 6 соседей, то есть из каждого кубика получится 20 новых, в три раза меньше исходного.

Рисунок 1.8 - Построение губки Менгера

Дерево Пифагора

Рисунок 1.9 - Построение дерева Пифагора

«Дерево Пифагора» называется так потому, что каждая тройка попарно соприкасающихся квадратов ограничивает прямоугольный треугольник и получается картинка, которой часто иллюстрируют теорему Пифагора, «пифагоровы штаны во все стороны равны».

Если менять углы при основании треугольника, то будут получаться немного другие формы дерева. А при угле 60° все три квадрата окажутся равными, а дерево превратится в периодический узор на плоскости:

   

Можно фигуру «квадрат» заменить на «прямоугольник», тогда дерево будет выглядеть более реалистичным. Если применить художественную обработку, то получим довольно реалистичный объект:

Кривая Леви. Этот объект изучал еще итальянец Эрнесто Чезаро в 1906 году, в 1930-х годах его фрактальные свойства исследовал француз Поль Пьер Леви. За сходство с буквой «С», написанной витиеватым шрифтом, ее еще называют « С-кривой Леви». Если приглядеться, то можно заметить, что кривая Леви похожа на форму кроны дерева Пифагора.

Рисунок 1.10 - Построение кривой Леви

Варианты:

Скособоченная кривая получится, если вместо равнобедренного прямоугольного треугольника на каждом шаге использовать любой другой прямоугольный треугольник.

Еще один вариант «С-кривой Леви» можно построить, если начать не с отрезка, а с буквы П.

Рисунок 1.11 - Построение кривой Леви

Дракон.

Считается, что такое название фрактал получил за сходство с традиционными китайскими драконами.

Несколько первых ломаных «драконов» можно сделать своими руками. Для этого нужно взять длинную узкую и тонкую полоску бумаги. Для начала ее надо сложить пополам в одном направлении несколько раз. После этого надо развернуть полоску и следить, чтобы в складках были прямые углы, тогда в профиль можно увидеть кривую дракона.

Рисунок 1.12 - Построение кривой Леви

Алгебраические фракталы.

Это второй вид фракталов, они представляет собой с амую крупную группу. Получили свое название за использование простых алгебраических формул при их построении.

Получают их с помощью нелинейных процессов в n-мерных пространствах. Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась динамическая система после некоторого числа итераций, зависит от ее начального состояния. Первые исследования в этой области относятся к началу XX века и связаны с именами Фату и Гастона Мориса Жюлиа.

На фото - Гастон Жюлиа (всегда в маске из-за травмы после Первой мировой войны).

Этот французский математик стал изучать вопрос, как будет выглядеть множество, если построить его на основе простой формулы, проитерированной циклом обратной связи.

 

Если объяснить «на пальцах», это означает, что для конкретного числа мы находим по формуле новое значение, после чего подставляем его снова в формулу и получаем еще одно значение. Результат — большая последовательность чисел. Чтобы получить полное представление о таком множестве, нужно было проделать огромное количество вычислений. Вручную это сделать было нереально. Но как только в арсенале математиков появились мощные вычислительные устройства, они смогли осуществить свои идеи, которые раньше были исключительно в их задумках.

Бенуа Мандельброт первым стал использовать компьютер для вычисления классического фрактала. Затем, обработав последовательность, состоящую из большого количества значений, Бенуа смог перенести полученные результаты на график. Этот график стал одним из самых популярных изображений, какие только были созданы человеком.

 

П ример другого алгебраического фрактала – множество Жюлиа.

С уществует две разновидности этого фрактала. Удивительно, но множества Жюлиа образуются по той же самой формуле, что и множество Мандельброта.

И нтересный факт: некоторые алгебраические фракталы поразительным образом напоминают изображения животных, растений и других биологических объектов, вследствие чего получили название биоморфов

Бассейны Ньютона - разновидностьалгебраическихфракталов.

Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости.

 

Стохастические фракталы - фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры. Термин "стохастичность" происходит от греческого слова, обозначающего "предположение".

При этом получаются объекты очень похожие на природные - несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и так далее. Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Эти фракталы используются при моделировании рельефов местности, поверхности морей, процесса электролиза. Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли. Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма".

 

1.5.Фракталы в природе

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? Существует одно свойство структуры, присущее всем перечисленным предметам: они самоподобны. Если посмотрим на космические снимки морского побережья: мы увидим заливы и полуострова; взглянем на него же, но с высоты птичьего полета: нам будут видны бухты и мысы; теперь представим себе, что мы стоим на пляже и смотрим себе под ноги: всегда найдутся камешки, которые дальше выдаются в воду, чем остальные. То есть береговая линия при увеличении масштаба остается похожей на саму себя.

Рисунок 1.13 - Измерение длины береговой линии

С попыткой измерить длину береговой линии, связана одна интересная история, которая легла в основу научной статьи Б.Мандельброта, а также описана в его книге «Фрактальная геометрия природы». Речь идет об эксперименте, который поставил Льюис Ричардсон (Lewis Fry Richardson) — весьма талантливый и эксцентричный математик, физик и метеоролог. Одним из направлений его исследований была попытка найти математическое описание причин и вероятности возникновения вооруженного конфликта между двумя странами. В числе параметров, которые он учитывал, была протяженность общей границы двух враждующих стран. Когда он собирал данные для численных экспериментов, то обнаружил, что в разных источниках данные об общей границе Испании и Португалии сильно отличаются. Это натолкнуло его на следующее открытие: длина границ страны зависит от линейки, которой мы их измеряем. Чем меньше масштаб, тем длиннее получается граница. Это происходит из-за того, что при большем увеличении становится возможным учитывать всё новые и новые изгибы берега, которые раньше игнорировались из-за грубости измерений. И если при каждом увеличении масштаба будут открываться ранее не учтенные изгибы линий, то получится, что длина границ бесконечна! Правда, на самом деле этого не происходит — у точности наших измерений есть конечный предел. Этот парадокс называется эффектом Ричардсона (Richardson effect) 2.

В наши дни теория фракталов находит широкое применение в различных областях человеческой деятельности. Помимо фрактальной живописи фракталы используются в теории информации для сжатия графических данных. Добавляя в формулы, задающие фрактал, случайные возмущения, можно получить стохастические фракталы, которые весьма правдоподобно передают некоторые реальные объекты — элементы рельефа, поверхность водоемов, некоторые растения, что с успехом применяется в физике, географии и компьютерной графике для достижения большего сходства моделируемых предметов с настоящими. В радиоэлектронике в последнее десятилетие начали выпускать антенны, имеющие фрактальную форму. Занимая мало места, они обеспечивают вполне качественный прием сигнала. А экономисты используют фракталы для описания кривых колебания курсов валют (это свойство было открыто Б.Мандельбротом более 30 лет назад).

Выводы

  1. Практическая часть. Измерение длины береговой линии

В исследовательской работе рассмотрен фрактальный анализ извилистости береговой линии Куршской косы с помощью фрактальной размерности. Моделирование сложных систем, в частности, водных объектов, традиционно связано с большими трудностями. Сложность объясняется масштабностью описываемого объекта и тем, что его статистические свойства описываются в некотором диапазоне параметров простыми степенными законами. Последнее обстоятельство делает актуальным применение в задачах моделирования геофизических и экологических систем современных методов фрактальной геометрии.

Насколько велика длина береговой линии Куршской Косы?

Если присмотрится к снимкам, сделанным из космоса, то мы увидим узкую и длинную песчаную полосу, саблевидной формы, отделяющую Куршский залив от Балтийского моря, в масштабе карты хорошо видна лагунная терраса, пляж, мысы-выступы. Западное побережье характеризуется извилистой береговой линией, переменной шириной. Более мелкие детали очертаний побережья различимы хуже. Прежде чем ответить на этот вопрос, необходимо решить, что стоит включать в береговую линию Куршской Косы. Можно взять циркуль, выставить необходимый раствор и сосчитать число шагов, чтобы пройти по карте все побережье от Зеленоградска до Клайпеды. В данном случае, раствор циркуля мог оказаться настолько большим, что не понадобилось бы обращать внимание на мысы-выступы, и принять за длину береговой линии побережья Куршсской косы величину L = N(δ)× δ. Но  такая оценка была бы неточна, и пришлось бы выбрать бы меньший раствор циркуля и все повторить сначала. На этот раз в длину береговой линии Куршской Косы вошли бы наиболее глубокие мысы-выступы. При попытке измерить береговую линию в постоянно укрупняющемся масштабе, можно заметить, что нам становятся заметны более мелкие изгибы, и каждый новый изгиб в расчете береговой линии увеличит общую длину берега. Предположим, что изучаемая длина способна неограниченно возрастать. Такое изменение природных границ натолкнуло на мысль, что существует определенная зависимость между длиной и масштабом рассматриваемого объекта.

Впервые, изучение этим вопросом занялся в 1961 году Л. Ричардсон, который смог установить, что длина некой географической кривой, которая может быть изломана в любой точке, определенным образом зависит от масштаба ее измерения. Спустя 6 лет, в 1967 году, Б. Мандельброт связал эту характеристику, присущую природным объектам, с фракталами и выдвинул инновационную характеристику их длины - фрактальную (дробную) размерность. Исследованием фрактальных структур занимается фрактальная геометрия – одно из направлений современной математики, научные аспекты которого впервые нашли отражение в трудах работавшего в США математика Бенуа Мандельброта [4].

Теория фракталов, которую предложил Мандельброт, впервые была опробована для расчета длины береговой линии Великобритании. Если за основу взять его методику расчета, то возможно вычислить длину любой кривой на плоскости. В практической части работы, мы постарались применить эту методику для расчёта длины береговой линии. В качестве исследуемого объекта была выбрана Куршской Коса (западное побережье). В заключение, мы смогли получить формулу для расчета извилистой длины береговой линии и рассчитать её фрактальную размерность.

Результаты, полученные в данной работе, имеют большое практическое значение и могут быть апробированы при решении задач для строительства пешеходных или велодорожек, при прокладке кабеля или линий электропередач вдоль береговой линии.

Куршская Коса весьма разнообразна, с запада омывается водами Балтийского моря, с востока – водами Куршского залива. Западное и восточное побережья различаются степенью изрезанности береговой линии. Поэтому, фрактальная размерность для них будет неоднородной. В данной работе мы остановили свой выбор на расчете длины западного побережья Куршской Косы.

Вернемся к истории расчета береговой линии. В 1967 году американский математик Бенуа Мандельброт предложил инновационный, для того времени, способ расчета длины береговой линии. Примером для расчета стал берег Великобритании. Но, оказалось, что корректно ответить на этот вопрос весьма затруднительно.

Оценку длины береговой линии он предлагает осуществить путём наложения на карту N равных отрезков длиной S. По результатам расчета: чем меньше в расчете используем длины отрезков измерений, тем больше становится конечная длина рассматриваемой ломаной.

   

Рис. 2.1. Измерение длины побережья Великобритании разными единичными отрезками

Таким образом, чтобы говорить о длине береговой линии, нужны другие методы оценки. Тогда Б.Мандельброт рассматривает эмпирический закон, выведенный Льюисом Ричардсоном, в котором измеренная длина L различных географических границ является функцией шкалы измерения δ, т.е. L = L (δ) Ричардсон высказывает предположение, что L(δ) может быть аппроксимирована функцией:

L (δ) = А δ 1-D , ( 2.1)

где A - положительная константа,

D - фрактальная размерность.

Фрактальная размерность – дробная величина, может быть ≥ 1. При этом, гладкая береговая линия должна иметь размерность, близкую к 1, а более изрезанная береговая линия должна иметь размерность ближе к 2. Следовательно, измерение длины береговой линии может быть только приблизительное, при условии задачи параметра δ (то есть, необходимо задать длину отрезка прямой, которым будут «сглаживаться» изгибы ).

Рисунок 2.2 - Измерение «величины» кривой ,Федер, 1991 [11]

В 1988 г. норвежский ученый Енс Федер предложил способ измерения длины береговой линии,. при котором карту покрывали квадратной сеткой, ячейки которой имели размеры δ x δ. При таком методе, число n(δ) таких ячеек ( которыми покрывается береговая линия на карте), приближенно равно числу шагов, если бы мы попытались обойти береговую линию циркулем с раствором δ. Если величину δ уменьшать, то число n(δ) будет возрастать.

Рисунок 2.3- Измерение «величины» поверхности ,Федер, 1991 [11]

Зададимся вопросом: как получить адекватную количественную характеристику (меру) геометрического объекта, рассматриваемого как множество точек, вложенных в пространство?

Рисунок 2.4 – Покрытие карты квадратной сеткой, размеры ячеек δ x δ.

Протяженность береговой линии измеряется по урезу воды берегов. При публиковании параметров длина береговой линии, измеренной на топографических картах, материалах аэрофотосъемки или изображениях со спутников, практически всегда указывается без ссылки на масштаб, способ и момент измерения. Это приводит к несопоставимости результатов. Так же – длина береговой линии морей. Поэтому бесспорными являются только данные для стран, не имеющих выхода к морю, о длине береговой линии которых написано: «0 км». Вопрос о длине береговой линии давно стал предметом исследований.

Береговая линия представляет собой фрактал с размерностью 1< D < 2 и является множеством, занимающим промежуточное положение между линией (D = 1) и плоскостью (D = 2). Фрактальная размерность D характеризует степень извилистости береговой линии: величина D тем больше, чем более изрезанным является берег.

В своей книге Е. Федер описал методику определения фрактальной размерности D береговой линии при использовании квадратных сеток разного масштаба. В качестве основы для расчётов будем использовать формулу (1), где L (δ) = n δ, тогда формула будет иметь следующий вид: [2]

n δ = А δ 1-D ( 2.2)

Если поочередно накладывать на рассматриваемую береговую линию квадратные сетки с размерами стороны δ1, δ2, ,.. δn , то можно вычислить соответствующее число квадратов n1 n2, ,.. nn. Число k различных сеток должно быть таким, чтобы по числу k точек можно было бы построить график. Разумно брать k ≥ 5.

Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры:

Рисунок 2.5 - Измеренная длина береговой линии, как функция шага δ (км) - длины стороны δ×δ квадратных ячеек, образующих покрытие береговой линии на карте. Прямая на графике в дважды логарифмическом масштабе соответствует зависимости L (δ) = a×δ 1-D где 1< D < 2

Далее необходимо ввести следующие величины:

x = lɡδ, y = lg(nδ). ( 2.3)

После расчета, мы получим k пар значений x и у, по которым сможем построить график линейной функции у = ах +b. Так как точки с координатами (x,y) не всегда будут располагаться вдоль прямой, то применив метод наименьших квадратов можно будет выровнять полученный график зависимости y(x).

L (δ) = nδ, то у = lg (nδ) = lɡL.

С учётом выражения (2.3) функцию y(x) можно представить в виде:

у = ах + b => lɡL = а  lɡδ + b ( 2.4)

рассматриваемое выражение необходимо преобразовать к следующему виду:

10 lɡL = 10 а lɡδ + b => L = 10b  δa. ( 2.5)

Далее, необходимо сравнить полученное выражение (2.5) с первоначальной формулой (1), тогда формула будет иметь следующий вид:

А = 10b, а = 1 — D ( 2.6)

В итоге, фрактальная размерность береговой линии примет следующий вид:

D = 1-а. ( 2.7)

На основании вышеописанного метода, Е. Федер смог рассчитал фрактальную размерность береговой линии Норвегии, которая составила D = 1,52. Отметим, что побережье Норвегии имеет сильно изрезанный характер береговой линии. Для береговой линии Великобритании, которая имеет более гладкую структуру, фрактальная размерность D = 1,3.

Расчет длины береговой линии западного побережья Куршской Косы

Для проведения исследования мы взяли снимок со спутника Куршской Косы (рисунок 2.6)

   

Рисунок 2.6 - Куршская коса со спутника

На представленной карте белой линией выделен участок западного побережья, который будет рассматриваться в практической части исследовательской работы. Для оценки, границу косы отметим от города Зеленоградск, Калининградской области до города Клайпеда ( на косе,поселок Смильтине, Литва). Для рассмотрения и последующего расчета береговой линии на компьютере были изготовлены квадратные сетки, которые в дальнейшем, были перенесены на фолии.

Фотография со спутника, рассматриваемой береговой линии, распечатывалась в подходящем для нас масштабе и на него наносилась заранее распечатанная квадратная сетка на фолии. Снимок береговой линии был выбран с масштабированным отрезком, что очень облегчило выбор размера сетки и квадратной ячейки. Сетку получилось сопоставить с этим отрезком и менять ее размеры, необходимые для измерения всех параметров. Возникали случаи, когда рассматриваемая береговая линия выходила за пределы одного снимка, тогда приходилось использовать топографическую привязку расположения сеток на фолии, чтобы они могли сопоставляться между собой.

Для данного расчета, нами были напечатаны квадратные сетки на фолиях, которые имеют следующий размер ячеек (в км): 15x15; 10x10; 5x5; 2x2; 1x1 и 0,5x0,5. По этим снимкам было посчитано совокупное число квадратов сетки n, которые покрывали береговую линию. С учётом размещения береговой линии на нескольких снимках получился следующий результат для размера ячейки:

15x15 км

n = 5,

10x10 км

n = 8,

5x5 км

n = 16,

2x2 км

n = 41,

1x1 км

n = 82,

0,5x0,5 км

n = 165..

По формуле (2.3) были рассчитаны требуемые для дальнейшего расчета показатели x и y и их значения сведены в таблицу 2.1.

Таблица 2.1- Рассчитанные значения показателей x и y

δ, км

15

10

5

2

1,00

0,50

x=lgδ

1,1761

1

0,699

0,301

0

-0,301

n

5

8

16

41

82

165

y= lg(nδ)

1,875

1,903

1,903

1,914

1,914

1,915

На основании рассчитанных показателей был построен график зависимости y(x) (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 - График зависимости y= lg(nδ) относительно параметра x=lgδ

Как видно из графика, точки из таблицы 2.1 не располагаются на одной прямой. Для выравнивания графика мы решили применить метод наименьших квадратов [3]. На основании этого метода была сформирована таблица 2.2.

Таблица 2.2 Расчет коэффициентов для выравнивания графика зависимости y(x)

i

xi

yi

xi2

xiyi

1

1,176

1,875

1,383

2,205

2

1

1,903

1

1,903

3

0,698

1,903

0,488

1,330

4

0,301

1,913

0,0906

0,576

5

0

1,913

0

0

6

-0,301

1,916

0,0906

-0,576

I xi=2,875

I yi = 11,425

I xi2 =3,053

I xi yi=5,437

Полученные результаты подставим в систему линейных уравнений, которые приобретут следующий вид:

2.875a + 6b = 11,425

3,053а + 2,875b = 5.537

Вычислив значения переменных а и b, мы можем составить уравнение для выравнивания исследуемого графика. В результате проведенных расчетов рассчитаем значение переменных а ≈ - 0.0223, b≈ 1.9148.

Полученные значения подставим в уравнение, которое примет следующий вид:

у = - 0,0223х + 1,9148.

Отобразим графически полученное уравнение (рисунок 2.8).

Рисунок 2.8 – График зависимости y(x)

Далее, для расчета береговой линии, необходимо рассчитать коэффициент A и фрактальную размерность, используя формулу 2.9:

А = 1 0b = 10 1,9148 ≈ 82.186 (км) ,

D = l — а = 1 — (-0,0223) = 1,0223; ( 2.9)

В результате проведенных расчетов мы получили формулу для расчета фрактальной длины береговой линии

L = 82,186 δ – 0,0223 ( 2.10)

Рисунок 2.9 - График выравнивания береговой линии

Таким образом, мы смогли получить формулу для расчета извилистой длины береговой линии, рассчитать её фрактальную размерность и выполнить поставленную в работе задачу с применением выбранных методов.

Зная фрактальную размерность и используя результат измерения длины береговой линии Куршской Косы по карте, например масштаба 1:200000 (L = 94 км.), можно рассчитать, какой была бы эта длина, если бы измерение проводили по карте другого масштаба. Чтобы избежать несопоставимости результатов в расчете длины береговой линии необходимо указывать масштаб картографической основы, которая использовалась для ее измерения. По алгоритму Б. Мандельброта можно построить график зависимости N от δ найдена фрактальная размерность береговой линии Куршской Косы. Она составила D = 1,0223.


Рисунок 2.10 - График зависимости N от δ для длины береговой линии Куршской Косы

По выражению

(2.11)

где δ′ = 400 м – длина мерного отрезка на карте масштаба 1:200000,

Просмотров работы: 43