XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Удивительное рядом: лента Мёбиуса
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Однажды я увидела у мамы серьги необычной формы: удивительным образом переплеталась бесконечная лента, похожая на восьмерку. Мама сказала, что эти серьги в форме ленты Мёбиуса, которая не имеет начала и конца.
Оказалось и свой любимый шарф мама тоже завязывает в форме петли Мёбиуса. Это выглядит очень красиво и необычно.
Мама сказала, что эта лента широко используется в разных областях: украшениях, одежде, мебели, науке, технике, искусстве, литературе.
Я решила изучить эту загадочную ленту, ее свойства и возможности применения.
Гипотеза: лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами.
Цель работы: практическим путем изучить свойства ленты Мёбиуса.
Для достижения поставленной цели поставлены следующие задачи:
-
изучить литературу по теме;
-
выявить её свойства;
-
провести практические эксперименты, подтверждающие эти свойства;
-
установить практическое применение ленты Мёбиуса в быту, науке, технике и искусстве.
Методы работы: поиск, анализ и синтез информации, эксперимент (практическое изучение свойств ленты Мёбиуса).
В ходе выполнения работы были выполнены эксперименты над обычным бумажным кольцом и лентой Мёбиуса. Наиболее полно эти эксперименты описаны в книге Лэнгдона Н. [3, с.42-43] и учебнике Шарыгиной И.Ф[4, с.69-71].
В работе были использованы литературные и интернет-источники о ленте Мёбиуса, ее открытии, свойствах и применении в науке, технике, архитектуре, искусстве, литературе и в быту.
Глава 1. История появления ленты
По легенде, ленту придумал немецкий учёный Август Фердинанд Мёбиус (Приложение 1), после того как служанка его жены неправильно сшила ленту[9]. Он описал её ещё в 1858 году, но статья не была опубликована при его жизни. В том же году, независимо от Мёбиуса, аналогичное открытие сделал Иоганн Бенедикт Листинг [2, с.16].
Ленту всё же назвали в честь Мёбиуса. Она стала одним из первых объектов топологии — науки, изучающей наиболее общие свойства фигур, которые сохраняются при непрерывных (без разрезов и склеек) преобразованиях: растяжении, сдавливании, изгибании, скручивании и пр. Эти преобразования напоминают деформации фигур из резины, поэтому топологию иначе называют «резиновой геометрией». Отдельные топологические задачи решал ещё в XVIII веке Леонард Эйлер.
В действительности, лента была открыта еще в древнем Риме [7]. Одним из подтверждений служит древнеримская мозаика с такой же перекрученной лентой, находящаяся в музее города Арль (Франция). На ней изображен Орфей, очаровывающий зверей звуками арфы. На его фоне неоднократно представлен орнамент с перекрученной лентой (Приложение 2).
Глава 2. Эксперименты с лентой Мёбиуса
Для проведения экспериментов мы изготовили несколько бумажных лент.
Затем повернули один из концов ленты на 180 градусов и склеили концы ленты (Приложение 3).
Для подтверждения удивительных свойств ленты Мебиуса были проведены эксперименты с обычным бумажным кольцом и лентой Мебиуса.
Эксперимент 1 – установление свойства односторонности
Закрасим полностью одну сторону кольца и ленты.
У кольца оказалась окрашена только внешняя часть, в то время как лента Мёбиуса оказалась закрашена полностью (Приложение 4).
Вывод: лента Мёбиуса односторонняя поверхность.
Эксперимент 2 – установление свойства непрерывности
Поставим точку на одной стороне каждого кольца и начертим непрерывную линию вдоль него, пока не придём снова в отмеченную точку.
На кольце линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала. Вторая сторона кольца осталась чистой.
У ленты Мёбиуса непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке (Приложение 5).
Вывод: лента Мёбиуса непрерывная поверхность.
Эксперимент 3 – разрезание на две равные части
Разрежем кольца посредине по линиям, параллельным краям.
В обычном кольце получились два кольца с одинаковой длиной и шириной.
В ленте Мёбиуса получилась одна лента с двумя полуоборотами. Длина этой ленты оказалась в два раза больше начальной, а ширина – в два раза уже.
Мы проверили свойство непрерывности для полученной ленты. Оказалось, что линия проходит только по одной ее стороне. Т.е. полученная поверхность – двусторонняя (Приложение 6).
Вывод: при подобном разрезании лента Мёбиуса теряет свои свойства.
Эксперимент 4 – разрезание на две не равные части
Разрежем кольца на две части так, чтобы одна часть была в два раза больше другой.
В обычном кольце получились два кольца с одинаковой длиной. Ширин одного в два раза больше другого.
У ленты Мёбиуса получилось два перекрученных и сцепленных между собой кольца. При этом диаметр первого кольца в два раза больше диаметра второго, ширина первого кольца в два раза меньше.
Мы проверили свойство непрерывности для полученных лент. Непрерывная линия будет проходить только по одной стороне большого кольца. Значит, это кольцо не лист Мёбиуса. И непрерывная линия будет проходить по всей поверхности маленького второго кольца. Значит, это лист Мёбиуса. (Приложение 7).
Вывод: при подобном разрезании лента Мёбиуса не распадается на две отдельные части, а остается связанной. Меньшая часть по-прежнему остается лентой Мёбиуса, а вторая превращается в обычное кольцо.
Эксперимент 5 – разрезание склеенных кольца и ленты Мёбиуса
Возьмём обычное кольцо и ленту Мёбиуса. Склеим их под прямым углом, а затем оба разрежем вдоль.
Получилась прямоугольная плоская рамка (Приложение 8).
Таким образом, после проведения этих экспериментов, мы можем сделать вывод, что лента Мёбиуса обладает свойствами односторонности, непрерывности, связанности и может терять их при разрезании.
Глава 3. Применение ленты Мёбиуса
Лента Мёбиуса вовсе не абстрактная фигура, представляющая интерес только для математиков. Она нашла широкое применение в жизни, науке, архитектуре, живописи и литературе.
3.1. Лента Мёбиуса в науке и технике
Существует много изобретений, основанных на свойствах этого необычного объекта. Например, ручка эскалатора – это лента Мёбиуса. Скрученная в эту форму она служит гораздо дольше, поскольку износ происходит равномерно по всей ее поверхности. Это позволяет равномерно изнашиваться и продлевать срок действия резины.
По этому же принципу устроена лента в аэропорту, передвигающая чемоданы из багажного отделения и шлифовальная лента в станках.
Скрученные в форме ленты Мёбиуса лопасти кухонного миксера или бетоносмесителя снижают энергозатраты на 20%, и при этом улучшается качество полученной смеси. (Приложение 9).
Существует гипотеза, что ДНК является фрагментом ленты Мёбиуса и по этой причине его код труден для расшифровки и понимания (Приложение 10).
Некоторые физики, говорят о том, что оптические эффекты основаны на тех же свойствах, которыми обладает этот необычный объект, так наше отражение в зеркале – это частный случай, одного из свойств ленты Мёбиуса.
Еще одна гипотеза, что сама наша Вселенная, возможно, замкнута в ленту Мёбиуса и у нее есть своя зеркальная копия. Поскольку, если все время двигаться в одном направлении по ленте Мёбиуса, то, в конце концов, окажемся в начальной точке нашего путешествия, но уже в своем зеркальном отображении [6].
3.2. Использование ленты Мёбиуса в разных сферах
Лента Мёбиуса в архитектуре
Существует много архитектурных объектов, построенных в форме ленты Мёбиуса: проекта библиотеки в Казахстане и буддистского храма в Китае, мост в виде листа Мёбиуса в Китае.
В Перми есть жанровая скульптура «Икар», напоминающий ленту Мёбиуса.
В Екатеринбурге в 2008 году установлена скульптура «Лента Мёбиуса». Автор композиции рассказал, что памятник символизирует связь между Вселенной и космосом, между прошлым и будущим [8].
В Москве, на Комсомольском проспекте около кинотеатра «Горизонт» находится памятник «Ленте Мёбиуса». На основании скульптуры есть девиз: «Разные точки зрения на один предмет» [5] (Приложение 11).
Лента Мёбиуса в быту
Идею ленты Мёбиуса используют дизайнеры одежды, обуви, ювелирных украшений и дизайнеры мебели. Американские горки тоже сооружены по её принципу (Приложение 12).
До сих пор интерес к петле Мебиуса находится на очень высоком уровне, даже спортсмены ввели одноименную фигуру лыжного пилотажа.
Лента Мёбиуса в искусстве и литературе
Сложно оценить важность значения открытия петли Мебиуса, которое вдохновило не только большое множество ученых, но и писателей, художников, иллюзионистов [1, с. 61-62].
Самой известной работой, посвященной ленте Мебиуса считается картина Красные Муравьи голландского художника-графика Маурица Эшера. На картине представлены муравьи, карабкающиеся по петле Мебиуса с обеих сторон, на самом деле сторона всего одна. Муравьи ползут по бесконечной петле друг за другом по одной и той же поверхности.
Множество литературных научно-фантастических произведений используют мотив «ленты Мебиуса». Серия научно-популярных книг «Библиотечка «Квант» даже сделала «лист» своей эмблемой (Приложение 13). По одной из книг был снят фильм «Мебиус» — о запутанной линии метро, на которой исчезают поезда [9].
А Кузьма Прутков подарил читателям афоризм: «Где начало того конца, которым оканчивается начало?».
Заключение
На основании проведенного нами исследования и экспериментов мы пришли к выводу, что выдвинутая нами гипотеза о том, что лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами подтвердилась:
-
лента Мёбиуса проста в своем изготовлении;
-
она обладает удивительными свойствами (односторонности, непрерывности и связанностью);
-
она обладает другими интересными свойствами, которые изменяются в зависимости от способа разрезания ленты на части;
-
лента Мёбиуса имеет широкое применение в науке, технике, архитектуре, искусстве, литературе и быту.
Цель нашей работы достигнута. Я убедилась, что обычный бумажный прямоугольник, повернутый на 180◦ и склеенный затем в кольцо, обладает множеством удивительных свойств.
Мы познакомили одноклассников и других учеников нашего лицея с итогами нашей работы (Приложение 14).
Ребята были удивлены тем, какими неожиданными свойствами обладает маленький кусок бумаги, склеенный определенным образом.
С лентой Мебиуса можно проводить много различных экспериментов, и мы обязательно вернемся к её дальнейшему изучению.
Список использованных источников и литературы
1. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1978г., 128с с илл.
2. Кордемский Б.А, Топологические опыты своими руками. Квант. 2012, №1, с. 73-75
3. Лэнгдон Н., Снейт Ч. С математикой в путь. – М.: Педагогика, 1987г., 48с.: ил.
4. Шарыгин И.Ф., Еранжиева Л.Н. Наглядная геометрия: 5-6 кл. : учебник / И.Ф. Шарыгина, Е.Н. Ерганжиева. – 2-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2015, 189 [3] с.: ил.
5. Знак бесконечность: где в Москве (и не только) увидеть ленту Мёбиуса | Про Мой Район | Дзен (dzen.ru) [Электронный ресурс]. – Режим доступа; URL: ttps://dzen.ru/a/YywndahLckcomHt- (дата обращения 12.10.2023г)
6. Лента Мёбиуса: один из самых необычных объектов с очень странными свойствами | Научпоп. Наука для всех | Дзен (dzen.ru) [Электронный ресурс]. – Режим доступа; URL: https://dzen.ru/a/XAzKjUTHNQCuk5ZV (дата обращения 15.09.2023г)
7. Лента Мебиуса - открытие мирового масштаба, все факты (kalkpro.ru) [Электронный ресурс]. – Режим доступа; URL https://kalkpro.ru/interesting-facts/lenta-mebiusa/?ysclid=lnvxynveal864435805 (дата обращения 15.09.2023г)
8. Скульптура «Лента Мёбиуса», Екатеринбург (izgotovleniepamyatnikov.ru) [Электронный ресурс]. – Режим доступа; URL https://izgotovleniepamyatnikov.ru/mogila/ekb_lenta/?ysclid=lomkyawwqn337862608 (дата обращения 12.10.2023г)
9. Четыре интересных факта о ленте Мебиуса - KP.RU [Электронный ресурс]. – Режим доступа; URL: https://www.ufa.kp.ru/daily/26159/3047368/ (дата обращения 15.09.2023г)
Приложения
Приложение №1. Август Фердинанд Мёбиус.
Приложение №2. Древнеримская мозаика с изображением ленты Мёбиуса.
Приложение №3. Изготовление ленты Мёбиуса
Приложение №4. Подтверждение свойства односторонности
Приложение №5. Подтверждение свойства непрерывности
Приложение №6. Разрезание на две равные части
Приложение №7. Разрезание на две неравные части
Приложение №8. Разрезание склеенных кольца и ленты Мёбиуса
Приложение №9. Применение ленты Мебиуса в технике
Приложение №10. Полимер ДНК и модель вселенной
Приложение №11. Лента Мёбиуса в архитектуре
Приложение №12. Лента Мёбиуса в быту
Приложение №13. Лента Мёбиуса в искусстве
Приложение №14. Выступление перед учениками Лицея