Связь между математикой и музыкой

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Связь между математикой и музыкой

Баландина А.Д. 1
1МАОУ "Образовательный центр "Ньютон" г. Челябинска"
Юлдыбаева А.С. 1
1МАОУ "Образовательный центр "Ньютон" г. Челябинска"
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я окончила 5 лет музыкальной школы по классу фортепиано. И все эти годы я все время слышала, что все известные математики и физики занимались музыкой. Я всегда задавалась вопросом, как такое может быть. Ведь математика и музыка - противоположные науки. Поэтому, я решила выяснить так ли это на самом деле, насколько связаны математика и музыка. Что же общего между математикой, которая основана на строгих формулах и расчетах, и музыкой - одним из прекраснейших видов искусства, произведения которых создаются в порыве вдохновения? Как сходства этих наук влияют на человека и как им используются. А также почему люди, которые занимались музыкой в своё время стали великими математиками и физиками.

Цель работы: изучить выявление связи и общих черт между математикой и музыкой.

Задачи:

  1. Изучить историю возникновения связи математики и музыки

  2. Провести сравнительный анализ между математикой и музыкой

  3. Проанализировать исследование влияния музыки на математические способности

Актуальность работы: взаимосвязь математики и музыки полностью не раскрыта и не изучена, чем и привлекает к себе внимание многих математиков. Мы решили найти ответы на эти вопросы и доказать, что связь между математикой и музыкой существует.

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ СВЯЗИ МАТЕМАТИКИ И МУЗЫКИ

Одним из первых, кто установил связь между музыкой и математикой, был древнегреческий философ Пифагор еще 25 веков назад. С древних времен музыка использовалась в ритуалах и мистериях разных народов, но до него никто не задумывался, почему какие-то музыкальные созвучия приятны на слух, а какие-то звучат резко и раздражают. Для своих экспериментов Пифагор использовал инструмент монохорд, который, сам и изобрел. Хоть инструмент и называется монохорд, у него было две струны, одна с неизменным тоном, а другая при помощи нехитрого механизма меняла свое звучание. Изменяя пропорциональное соотношение двух звучащих струн, Пифагор пришел к основополагающему для всей истории музыки выводу – пропорция имеет прямое отношение к звучанию, и качество этого звучания выражается числом. Эта идея привела, что музыка и математика пересекаются.

Продолжением этой теории, у Пифагора появилась идея разделения созвучий на консонансы и диссонансы. Без этих понятий, классическая музыка не смогла бы быть в том в виде, в котором мы её знаем. Консонанс - категория гармонии, характеризующимся слиянием в восприятии одновременно звучащих тонов, а диссонанс совершенная противоположность. Так как диссонанс звучал несовершенно, явилась зависимость его использования только в связке с консонансом. Пифагор первый выявил математическое соотношение благозвучным интервалом, например 1:2, 2:3, 3:4. С развитием музыки и появлением большого количества голосов, появились сомнения о консонантности тех или иных созвучиях. Но всё же фундаментальные представления о консонансах и диссонансах остались и по сей день.

После этого имея представление, что звуки складываются в интервалы, решили как-то это систематизировать. Так появилась идея звукового ряда, то есть гаммы – это последовательность звуков, расположенных по высоте в восходящем или нисходящем порядке, и музыкального строя — это система сопоставления нот (знаков, обозначений) и звуковых частот, периодом музыкального строя является октава — интервал между нотами, частоты которых отличаются в два раза. Традиционно октава состоит из 12 ступеней. Интересно, что 12 ступеней выбрано не спроста, именно столько оптимально с точки зрения приближения чистых интервалов. Это можно вывести, используя цепные дроби. Также цепные дроби показали свою эффективность в задаче нахождения наилучшего календаря. Именно поэтому в году 12 месяцев.

Затем последователи Пифагора (пифагорейцы) и другие математики проявляли интерес к музыке. На протяжении столетий в развитии европейской культуры музыкальное образование было востребовано. Музыку изучали наряду с другими науками. Теории Пифагора нашли продолжение и в средние века. Исследованию музыки посвящали свои работы многие величайшие математики, такие как: Рене Декарт, Готфрид Лейбниц, Жан Д'Аламбер, Даниил Бернулли, Леонард Эйлер и другие.

ОБЩИЕ СХОДСТВА МЕЖДУ МАТЕМАТИКОЙ И МУЗЫКОЙ

Я рассказала вам про связь между математикой и музыкой, теперь, давайте поговорим об их общих чертах.

Использование цифровых обозначений и символов для записи

Так же, как и в математике, в музыке тоже встречаются цифры. Звуковой ряд

состоит из 7 нот, нотный стан имеет 5 линеек, на которых расположены ноты, те же самые интервалы обозначаются цифрами. При этом аппликатура (порядок расположения чередования пальцев) и размер произведения тоже записываются цифрами.

Но для записи в музыке встречаются не только цифры, но и символы. Например, латинские буквы (A, B, D…) используются для обозначения о, аккордов, тональностей. А знаки неравенства «больше» и «меньше» ( используются для обозначения повышения либо уменьшения громкости звука, и это только малая часть.

Использование формул

Думаю, многие удивятся, но в музыке, есть большое количество различных формул. Например, существуют: формулы строения мажорной и минорной гаммы, формулы длительностей нот, формулы аккордов, формулы септаккордов и другие.

Вот некоторые из них:

Б35 = б.3+м.3,

М6 = б.3+ч.4,

Ув.35 = б.3+б.3,

Ум.35 = м.3+м.3, и многие другие

Звук

Звук – это волна, которая поддается описанию математическими и физическими формулами. Каждое значение определенной волны, ее характеристику можно описать только цифровым значением. Звук бывает различным по высоте, она зависит от колебания звуковой волны и измеряется в герцах. Математически доказано: чем больше частота колебаний, тем выше звук.

Сейчас существует темперированный строй, в котором отношение звуковых частот соседних нот является величиной фиксированной. Фиксация значения частоты ноты «ля» (440 Гц) полностью определяет частоты всех нот равномерно темперированного строя. Частоту нот мы можем посчитать по формуле, которую мы сейчас выведем. В качестве точки отсчёта берётся нота «ля» первой октавы, пусть f1 - её частота. Правая ветвь последовательности — возрастающая геометрическая прогрессия f1, f1q, f1q2, …, её знаменатель равен q. Левая ветвь — убывающая геометрическая прогрессия f1, , , … со знаменателем . Зная на сколько, выбранная нота отстоит от «точки отсчёта», можно выписать формулу, связывающую частоты этих двух нот. Например, для правой ветви элемент геометрической прогрессии с номером nвычисляется по формуле fn = f1 qn-1.

Система координат. Графическое изображение музыки.

Координаты мы можем заметить всем известном – фортепиано. Координатная прямая не имеет начало и конца, но имеет середину точку O (0), которая делит её на две части, справа находятся положительные числа, а слева отрицательные. Точно таким же образом мы можем поделить клавиатуру.

Также сходства математики и музыки заметны и в системе координат. Интересно то, что в музыке эта система появилась намного раньше в XI веке, а в математике, не так давно: ее изобрел Декарт в XVII веке. Нотный стан для записи музыки, можно представить как систему координат, на вертикальной оси которой обозначается высота звука, на горизонтальной – время, т.е. момент появления звуков. Также высокие ноты записываются на нотном стане выше6 чем низкие.

Мелодию часто сравнивают с графиком линий и точек. Благодаря им можно представить длительность звучание, а также высоту мелодии. И все это конечно же будет выражаться в виде разных кривых.

Длительности. Дроби

Звук имеют свою длину – длительность. Длительность – это продолжительность звучания. В музыке различают: относительную и абсолютную длительность звуков.

Абсолютная длительность устанавливается темпом, и более точно устанавливается – показателем скорости по метроному,

Относительной длительностью называется продолжительность данного звука по сравнению с другими. Различия в относительной длительности звуков, или, как говорят, ритмические различия звуков, во многом определяют выразительную силу музыки. Длительности коротких нот выражаются через дробные числа, записываются при помощи дроби. Свои названия длительности музыкальных нот позаимствовали у дробей. Они возникают при делении целой на равные доли. Целая нота принята в музыке за единицу (1). Выделяют следующие виды нот и пауз по продолжительности звучания:

  • Целая (1) – выдерживают на счет: раз, два, три, четыре;

  • половинная (1/2)— считается на счет: раз, два;

  • четвертная (1/4) — считается на раз;

  • восьмая (1/8) — счет идет наполовину меньше четверти;

  • шестнадцатая (1/16) — счет вполовину меньше восьмой.

Их связывает между собой математическая закономерность. Например, в 1 целой содержится 2 половинные либо 4 четвертные, либо 8 восьмых и т.д. Это означает что за время исполнения одной целой ноты, можно исполнить, например, 4 четвертных и т.д. Это доказывает, что над музыкальными дробями можно проводить точно такие же операции, как над обычными. Не зная математических дробей, было бы невозможно сыграть правильно мелодию.

Прогрессия

В математике существует такое понятия, как арифметическая прогрессия – это последовательность чисел, в которой каждое число, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением к нему постоянного числа. С арифметической прогрессией связано понятие в музыке «квинтовый круг тональностей», который определяет порядок расположения тональностей (по кругу через интервал в чистую квинту).

Также в музыке есть принцип построения длительностей нот соответствует принципу построения геометрической прогрессии (бесконечная последовательность чисел, в которой каждое последующее число, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на определённое число q.) По степени убывания запись длительностей нот выглядит так: 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128.

Ритм

Под словом ритм в математике обозначают чередование предметов с определенной

периодичностью. Очень часто какие-то дроби, можно записать в виде бесконечной периодической дроби, в которой прослеживается ритм. Например, дробь , можно записать как 0,242424…

В музыке же ритм, это частота, с которой производятся звуки. Без ритма не может быть музыки, так как неритмичные звуки не воспринимаются как мелодия. Так же по ритму можно определить жанр музыки, например, вальс, марш, полька и т.д.

Не которые даже считают, что изначально слово ритм было сначала у музыки, и только потом математика позаимствовала данное слово.

Счет

В музыке математический счет присутствует во всех инструментальных пьесах. Без него не один музыкант, не смог бы вступить со своей партией в определённое время. Интересно и то, что счет меняется для разных жанров. Например: для вальса счет характерен , то есть считает, как раз-два-три, для марша , и считается он, как раз-два-три-четыре, и это лишь малая часть. Также счет ведется для длительностей нот. Не будем забывать, что счет используется для построения интервалов, для перехода с басового ключа на скрипичный и обратно, для транспонирования мелодии и т.д.

Темп. Скорость

Темп используется в том числе и в музыке. Темп — это степень быстроты в исполнение музыкального произведения, а также в движениях. Он используется для придания выразительности музыке. В математике же, есть термин, темп прироста, это показатель эффективности, который показывается снижение или повышения, с аналогичным показателем более раннего периода.

В музыке различают разные виды темпа. Например:

  • Ларго – очень медленно

  • Ленто – медленно

  • анданте – не спеша, умеренно

  • аллегро – весело, живо, быстро

  • престо – очень быстро, скоро

Параллельность

В музыке, как и в математике, есть понятие параллельности. В музыке есть параллельные тональности – это такие тональности в миноре и в мажоре, которые имеют одинаковые знаки при ключе, но при этом они строятся с разных ступеней лада. Определяется это малой терцией.

Параллельность можно заметить и на нотном стане. Его линии никогда не пересекаются и параллельны друг другу.

Также параллельны струны многих музыкальных инструментов. Таких как: гитара, скрипка, виолончель, арфа, балалайка и др.

«Золотое сечение»

В искусстве есть такое понятие, как «золотое сечение» — это гармоническая пропорция, в которой одна часть относится к другой, как всё целое к первой части. Оно есть в картинах Леонардо да Винчи, Рафаэля, в памятниках архитектуры6 в пирамидах. Эти произведения искусства выполнены с помощью «золотого сечения». Используется оно и в музыке.

Исследователи открыли и в музыке «золотую пропорцию», которая определяет точное место кульминации произведения. Она встречается во многих произведениях Баха, Моцарта, Шуберта, Шопена. Кульминация в произведениях у этих композиторов находится в «золотом сечении», из-за чего это делает произведения идеальным. Вероятнее всего, композиторы сделали это интуитивно, стремясь придать своему произведению равновесие. Именно «золотое сечение» определяет критерий гармонии.

ВЛИЯНИЕ МУЗЫКИ НА МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СПОСОБНОСТИ

Практическая часть

«Математика и музыка требуют единого мыслительного процесса»

А. Эйнштейн

Мы вывели общие сходства между математикой и музыкой. Но все ещё не понятно, почему же математиками и физиками становятся те, кто занимался музыкой в детстве.

Чтобы выяснить это, провели исследования. Детей разделили на две группы. Одна группа слушала Моцарта и Баха, а вторая ничего. В конце эксперимента, детям дали решить задачи на логику. И группа, в которой дети слушали классическую музыку, показала себя лучше. Но почему же?

Основываясь на обширных исследованиях и знаниях о том, что определенные типы и частоты звука обрабатываются полушариями мозга по-разному, можно использовать определенные звуки и ритмы, тем самым стимулируя одно полушарие больше другого или создавая баланс между ними. Таким образом, музыка может улучшить способности к изучению математики. Провели ещё одно исследование в 2012 году показало, что прослушивание музыки во время математического теста улучшило результаты на 40%.

Широко известен факт, что Эйнштейн, застревая на какой-то математической задаче, всегда обращался к музыке. Сосредоточив внимание на проблеме (левое полушарие) и играя на фортепиано или скрипке (правое полушарие), он усиливал связь между обоими полушариями своего мозга и увеличивал свои умственные возможности. Интересно и то, что известный физик, любил не просто играть на скрипке, а был настоящим виртуозом. И даже однажды был приглашен на благотворительный концерт, где играл вместе с известным виолончелистом Григорием Пятигорским. Физик очень часто припоминал этот концерт компании своих друзей, называя себя не физиком, а «знаменитым скрипачом».

Также занятие игрой на музыкальном инструменте развивает мелкую моторику и терпение. Игра на музыкальном инструменте задействует управленческие функции, что является прогностическим параметром академической успеваемости. Музыкант должен быть внимательным, чутким, дисциплинированным, памятливым, сосредоточенным. Поэтому понятно почему многие выдающиеся музыканты блистали математическими способностями. Например:

  • Александр Теофил — французский математик, член Парижской академии наук. Известен главным образом благодаря работам по высшей алгебре, особенно по теории детерминантов, играл на скрипке, был настоящим виртуозом.

  • Вернер Карл Гейзенберг – лауреат Нобелевской премии по физике, один из создателей основ квантовой механики, играл на фортепиано и владел другими музыкальными инструментами.

  • Макс Планк - лауреат Нобелевской премии по физике, обладал хорошим музыкальным слухом, превосходно пел и виртуозно играл на фортепиано. 

  • Александр Порфирьевич Бородин - был автором более сорока работ по химии. Мы же его знаем, как известного композитора - автора оперы «Князь Игорь» и других музыкальных произведений.

  • Вильгем Оствальд -Латышский, русский и немецкий физико-химик и философ-идеалист, происходивший из остзейских немцев. Лауреат Нобелевской премии по химии 1909 года, по праву считается музыкантом. Был известным виолончелистом, умел играть на скрипке и рояле.

  • Эмиль Воточек - Заведовал кафедрой экспериментальной неорганической и органической химии в Пражском политехническом институте, был ректором Пражского института химической технологии, почетным доктором университетов Праги, Брно, Падуи, Нанси, Тулузы, Парижа (Сорбонна). За 15 лет до своей кончины написал около 60 произведений – оркестровые и камерные концерты, сонаты для фортепиано, около 30 песен. Его любимое произведение – оркестровая рапсодия «От зари до сумерек жизни».

  • Эдисон Денисов – советский и российский композитор. За рубежом Денисова называли «Моцартом XX века». Преподавал математику в Томском университете.

  • Леонид Сабанеев – выпускник математического факультета Московского университета, прекрасный пианист, композитор, друг Скрябина

Поэтому не зря Пифагор, в его школе мудрости, музыка воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Заключение

В данном проекте мы исследуем пересечение между математикой и музыкой, двумя разными дисциплинами, однако имеющие много общего. Мы установили, что математические принципы могут быть использованы для анализа музыкальных произведений. Также мы убедились, что музыкальные элементы, такие как ритм, темп и звук, могут быть выражены через математические формулы.

Анализ взаимосвязей между математикой и музыкой показал, что эти области знаний обогащают друг друга, открывая новые горизонты и возможности для творчества, образования. Данная работа не только выявляет скрытые связи между математикой и музыкой, но и демонстрирует важность междисциплинарного подхода в изучении любых форм искусства и науки.

Цель достигнута, задачи решены.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

  1. Арбонос Х., Милруд П. «Числа – основа гармонии. Музыка и математика». М.: Де Агостини, 2014

  2. Научно-просветительская платформа Атомариум: математика и музыка. Режим доступ: https://homo-science.ru/post/muzyka-i-matematika

  3. Какая связь между математикой и музыкой? Режим доступа: https://childdevelop.info/articles/psychology/1034/

  4. Н. Н. Андреев, С. П. Коновалов, Н. М. Панюнин. Математическая составляющая 2-е изд., расш. и доп. — М. : Фонд «Математические этюды», 2019. — 367 с.

Просмотров работы: 130