Математическая модель пирамиды Хеопса

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Математическая модель пирамиды Хеопса

Дышлюк С.М. 1
1МБОУ "Навлинская СОШ №2"
Макаричева Е.О. 1
1МБОУ "Навлинская СОШ №2"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

На Земле остается все меньше и меньше неразгаданных тайн. Постоянное усовершенствование технологий и сотрудничество ученых из различных областей науки приоткрывают нам тайны истории. Но остается и много не разгаданных, например, как тайны египетских пирамид. Есть четыре основных вопроса, которые волнуют исследователей египетских пирамид: кто, когда, как и зачем построил эти величественные сооружения. С V века до нашей эры и по наши дни ученые не смогли найти точных ответов на эти вопросы.

Но актуальность исследований не уменьшается. Помимо исторических и культурных задач, современных ученых интересуют и практические вопросы, такие как: методика измерений и точность расчетов строителей пирамид, их астрономические знания, технологии строительства и обработки камня и многое другое. Достижения древних строителей удивительны, потому что многие из них недоступны сейчас, даже при использовании современной науки. Пирамида — это уникальная фигура, которая изучается в курсе стереометрии. Задачи по стереометрии включены во вторую часть экзамена по профильной математике. И я думаю, что глубокое изучение данной темы мне обязательно пригодится на экзамене.

Объект исследования: пирамида Хеопса.

Предмет исследования: математические пропорции пирамиды Хеопса.

Цель: изучить пирамиду как геометрическое тело.

Математическая гипотеза: пирамида Хеопса памятник, пропорции которого рассчитаны математически.

Задачи:

  1. Дать математическое определение пирамиды;

  2. Изучить пирамиду как геометрическое тело;

  3. Понять какие математические знания египтяне заложили в пирамиде Хеопса;

  4. Использовать полученные знания для решения заданий ЕГЭ второй части.

  5. Создать уменьшенную копию пирамиды.

  6. Поделиться результатами своей работы с одноклассниками на уроке математики.

  7. Вывод.

  8. Заключение.

Методы исследования:поисковый, аналитический, описательный.

Место и сроки проведения исследования – МБОУ «Навлинская СОШ №2», март2023г. -май2023г.

1. История пирамиды Хеопса

Старейшим из семи чудес света и единственным, сохранившимся до наших дней, является пирамида Хеопса (Великая пирамида Гизы). Это архитектурное чудо является примером исключительного мастерства древнеегипетских архитекторов и строителей.

До сих пор нет точного ответа на вопрос о том, сколько лет пирамиде фараона Хеопса. Считается, что она была построена около 2600 года до нашей эры, то есть более 4,5 тысяч лет назад. Считается, что она была спроектирована как гробница фараона Хуфу, но для нас он более известен как Хеопс.  Даже во времена наибольшей славы и величия любого из европейских монархов у него не было такого дворца, который сравнился бы размером с гробницей этого фараона.1

Пирамида Хеопса — один из наиболее изучаемых объектов материальной культуры, оставшийся нам от предыдущих цивилизаций. Один из наиболее изучаемых и один из наиболее измеряемых.

Из-за своих огромных размеров ее иногда называют Большой пирамидой. Если не считать Великой Китайской стены, то пирамида Хеопса-самое большое сооружение, когда-либо воздвигнутое человеком.2 (приложение 1)

2.Пирамида Хеопса с точки зрения математики

Пирамида Хеопса построена в форме правильной пирамиды3 с квадратом в основании.

Определение Пирамида называется правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а высота проходит через центр основания. (приложение 2)

2.1 Геометрические сведения

Свойства правильной пирамиды:

  1. Боковые ребра правильной пирамиды равны между собой.

  2. Боковые грани правильной пирамиды равны между собой и являются равнобедренными треугольниками.

  3. Апофемы правильной пирамиды равны.

  4. В любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать около неё сферу.

  5. Все боковые грани образуют с плоскостью основания правильной пирамиды равные углы.

Статистические данные пирамиды Хеопса:

  1. Высота (сегодня): ≈ 138,75 м (начальная): 146,60.

  2. Угол наклона боковой грани (сейчас): 51° 50'.

  3. Длина бокового ребра (изначально): 230,33 м (по подсчётам) или около 440 королевских локтей.

  4. Длина бокового ребра (сейчас): около 225 м.

  5. Площадь боковой поверхности пирамиды (изначально): ≈ 85 500 м²

  6. Периметр основания: 922 м

  7. Длина сторон основания пирамиды: юг — 230,454 м; север — 230,253 м; запад — 230,357 м; восток — 230,394 м

  8. Площадь основания (изначально): ≈ 53 000 м² (5,3 га)

  9. Общий объём пирамиды без вычета полостей внутри пирамиды (изначально): ≈ 2,58 млн м³

  10. Общий объём пирамиды за вычетом всех известных полостей (изначально): 2,50 млн м³

  11. Средний объём каменных блоков: 1,147 м³

  12. По подсчётам, общий вес пирамиды — около 4 млн тонн (1,65 млн блоков х 2,5 тонн)

Некоторые математические соотношения пирамиды Хеопса:

  1. Периметр основания пирамиды Хеопса, делённый на удвоенную высоту даёт приближение числа «Пи» - 3,141…(921,45/2*146,6=3,142).

  2. Периметр основания пирамиды равен длине окружности, радиус которой равен высоте пирамиды (2*3,14159*146,6=921).

  3. Длина стороны основания, выраженная в египетских «локтях» (одно из значений - 0,635 м), соответствует продолжительности земного года (230/0,63=365).

  4. Сумма четырёх сторон пирамиды - 921,45 метра равна половине минуты широты экватора. Один градус широты на экваторе покрывает 110573 м, а каждая дуговая минута - 1842,88 м, что вдвое больше периметра пирамиды.

  5. Если умножить изначальную высоту Великой Пирамиды – 146,6 м на один миллион, получается наименьшее расстояние от Земли до Солнца - 147000000 км (перигелий).

  6. Площадь каждой из граней пирамиды равна квадрату ее высоты. S боковойграни = h2.

  7. Длина грани пирамиды, делённая на высоту, даёт соотношение Фи = 1,618…

  8. Высота в футах - 484,4 соответствует 5813 дюймам(5-8-13) - числа из последовательности Фибоначчи.

  9. Верхняя северная и нижняя южная шахты построены по диагоналям прямоугольников, описанных вокруг пирамиды. 4

«Геродот рассказывает, - читаем мы в книге французского астронома Море («Загадки науки», 1926г., т. 1), — что египетские жрецы открыли ему следующее соотношение между стороной основания пирамиды и ее высотою: квадрат, построенный на высоте пирамиды, в точности равен площади каждого из боковых треугольников. Это вполне подтверждается новейшими измерениями. Вот доказательство, что во все времена пирамида Хеопса рассматривалась как памятник, пропорции которого рассчитаны математически».5

3. Практическая часть

3.1 Решение задач

Изучая Пирамиду Хеопса, как геометрическое тело, я заинтересовалась: встречается ли данная фигура в заданиях ЕГЭ по профильной математике?

На специальном сайте по подготовке к ЕГЭ6, я смогла найти нужные мне задачи. Данные задачи могут встретится во второй части экзамена. Изучив математическую модель пирамиды я с большим интересом решала данные задачи. Именно данные моей работы помогли мне быстро вникать в суть задач и успешно их решать. Я думаю, что данный опыт мне поможет на экзамене по профильной математике.

Задача №1

Площадь основания правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равна 64, и площадь сечения, проходящего через вершину S этой пирамиды и через диагональ её основания, тоже равна 64. (приложение 3)

а)  Докажите, что боковое ребро этой пирамиды больше, чем сторона основания.

б)  Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Решение.

а) Сторона основания пирамиды равна 8. Тогда диагональ основания AC равна 8√2(по теореме Пифагора). Пусть SH­­-высота пирамиды. Тогда площадь сечения, проходящего через S и диагональ AC, равна , откуда .

Пусть SM  — высота грани SAB. Тогда

Тогда AS>SM=12>AB=8. Что и требовалось доказать.

б) Все подготовительные вычисления были сделаны в пункте а), теперь можно найти площадь боковой поверхности:

Тогда Sбок= 48∙4 = 192.

Ответ: б) 192.

Задача №2

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB  =  8, а боковое ребро SA  =  7. На рёбрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причём AM  =  2, SK  =  1.(приложение 4)

а)  Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.

б)  Найдите объём пирамиды BCKM.

Решение.

а)  Пусть прямые BD и СM пересекаются в точке H. Рассмотрим квадрат ABCD. Треугольники MHB и CHD подобны по двум углам(MHB=CHD, как вертикальные углы, HMB=DCH,как накрест лежащие углы ). Получаем:

Пусть SO  — высота пирамиды SABCD. Тогда, поскольку пирамида SABCD правильная, центр квадрата ABCD совпадает с точкой О. Значит, прямая SO лежит в плоскости SBD. Рассмотрим треугольник SDB. ,

Тогда:

; ; B- общий угол ∆SOB и ∆KHB, значит ∆SOBKHB по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Из подобия следует, что SOB=KHB=90°.

Следовательно, прямые КН и SO параллельны. Получаем, что прямая КН перпендикулярна плоскости АВС. Значит, содержащая прямую КН плоскость СКМ перпендикулярна плоскости АВС. Что и требовалось доказать.

б) (KH-высота пирамиды BCKM)

В треугольнике SOB имеем:

; .

Так как ∆SOBKHB, то , а значит .

Площадь треугольника ВСМ равна .

Тогда объём пирамиды ВСКМ равен: .

Ответ: б) .

Задача №3

В правильной четырехугольной пирамиде PABCD проведена высота PH. N  — середина отрезка AH, M  — середина ребра AP.

а)  Докажите, что угол между прямыми PH и BM равен углу BMN.

б)  Длины всех ребер данной пирамиды равны между собой. Найдите угол между прямыми PH и BM. (приложение 5)

Решение.

а)  Пусть отрезок MN  — средняя линия треугольника APH, параллельная его стороне PH.

Поскольку PABCD  — правильная пирамида, точка H  — центр квадрата ABCD. Так как PH(ABC) и MN||PH, то MN(ABC), а, значит, MNBN. Прямые MN и PH параллельны, следовательно, угол между прямыми PH и BM равен углу между прямыми MN и BM, то есть острому углу BMN прямоугольного треугольника BMN.

б) Рассмотрим квадрат ABCD. Пусть AB=a, тогда AC=BD=a (диагональ квадрата), AH= a и NH=AN= a . Значит BN= (по т.Пифагора).

Рассмотрим треугольник MNB. Так как MN-средняя линия APH, то MN= PH, PH= AH= a (AB=AP), тогда MN= NH=AN= a .Следовательно, MB= a .

Тогда, следовательно, cosBMN= = , а BMN= arccos .

Ответ: BMN= arccos .

Задача №4

В основании правильной четырёхугольной пирамиды MABCD лежит квадрат ABCD. Противоположные боковые грани пирамиды попарно перпендикулярны. Через середины рёбер MA и MB проведена плоскость α , параллельная ребру MC. (приложение 6)

а) Докажите, что плоскость α параллельна ребру MD.

б) Найдите угол между плоскостью α и прямой AC.

Решение.

а) Пусть K и L — середины рёбер AM и BM соответственно, тогда KL — средняя линия AMB, поэтому KL||AB; следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости AB|| α.

ПустьN= α ∩CB, тогда, так какCM|| α (по условию);CM (CMB) и α ∩ (CMB)= LN, то LN||CM (по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости).А так как LN||CM и L — середина BM, то LN— средняя линия CMB и N— середина CB.

Если P= αAD, то PN||AB(по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости) и P — середина AD (ABNP — прямоугольник и NB=AP). ВAMDKP—средняя линия, следовательно, KP||MD , и по признаку параллельности прямой и плоскости α||MD, что и требовалось доказать.

б) Из доказанного в пункте а) ,а именно, что LN||CM, KP||MD и LN,KP α , следует, что α ||MCD ,значит, угол между плоскостью α и прямой AC равен углу между плоскостью (MCD) и прямой AC, т. е. углу между прямой AC и её проекцией на плоскость (MCD).

Пусть m — прямая пересечения плоскостей (MCD) и (MAB), тогда из AB||(MCD); AB(MAB); (MCD) (MAB)=m, следует, что m||AB (по теореме о прямой и перпендикулярной ей плоскости).

Из вершины M проведём высоты MG и MF равных треугольников MCD и MAB соответственно ( MCD и MAB — грани правильной пирамиды), MG=MF. Будучи перпендикулярными CD и AB, они будут перпендикулярны и прямой пересечения плоскостей (MCD) и (MAB). Значит, GMF=90°, а MGF=MFG=45°.

Так как высоты MG и MF равнобедренных треугольников MCD и MAB являются медианами, то G и F — середины рёбер CD и AB, поэтому CGFB — прямоугольник и FGCD.

Так как FGCD и MGCD, то (MFG)CD(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости).

В плоскости (MGF) из точки O опустим перпендикуляр OH на MG. Так как OH (MFG) (MFG)CD, то OHCD .

И так как OHCD и OHMG, то OH (MCD). Следовательно, CH — проекция OC на (MCD). Угол OCH — искомый. 

Пусть сторона квадрата в основании равна a. Тогда в равнобедренном прямоугольном треугольнике MGFFG=a, MF= a , OF = a , так как OH — средняя линия.

В прямоугольном треугольнике COH CO= a ,OH= a , sinOCH= a : a = , следовательно, OCH=30°.

Ответ: б) 30°.

3.2 Изготовление пирамиды

Для того, чтобы изготовить уменьшенную копию пирамиды Хеопса, я скачала развертку пирамиды Хеопса в интернете, но решила проверить действительно ли это уменьшенная копия. Линейкой я измерила основные измерения пирамиды и произвела расчеты. (приложение 7)

H- высота пирамиды

α –сторона основания

а –апофема

с –ребро

4,4 см

6,6 см

5,5 см

6,6 см

Проверка расчетов:

Площадь боковой грани равна высоте пирамиды в квадрате

Периметр основания пирамиды при делении на удвоенную высоту дает π

Длина апофемы пирамиды, делённая на половину основания даёт число Ф

Площадь боковой грани=Площади треугольника=1\2 апофема сторона основания

S=1\25,56,6=18,15см2

H2=4,42=19,36 см

Р основания /2H =

26,4 /8,8=3

π = 3,1415926535…

α:b\2=5,5/3,3=1,666…

Ф=1,618…

Из расчетов видно, что основные математические соотношения совпадают, данная пирамида является уменьшенной копией пирамиды Хеопса.

Получившуюся модель пирамиды Хеопса я решила подарить моей школе в кабинет математики.

4. Заключение

Выводы:

При работе над проектом я нашла ответы на все поставленные мной задачи:

  1. Дала математическое определение пирамиды;

  2. Изучила пирамиду как геометрическое тело;

  3. Поняла какие математические знания египтяне заложили в пирамиде Хеопса;

  4. Использовала полученные знания для решения заданий ЕГЭ.

  5. Создала уменьшенную копию пирамиды.

  6. Поделилась результатами своей работы с одноклассниками на уроке математики.

По результатам проведённого мною исследования и полученного материала можно сделать следующие выводы:

  • Пирамида Хеопса - самая большая пирамида, из египетских пирамид;

  • Пирамида Хеопса - памятник, пропорции которого рассчитаны математически(гипотеза подтверждена).

Изучив пирамиду как геометрическое тело и познакомившись с ее элементами и свойствами, я убедилась в справедливости мнения о красоте формы пирамиды и в том, что египтяне, собрав самые ценные математические знания, воплотили их в пирамиде. Поэтому пирамида поистине – самое совершенное творение природы и человека.

Практическая значимость –моя работа может быть использована: школьниками для повышения своего образовательного уровня, учителями математики при проведении уроков и кружков. Выступив перед своими одноклассниками, я не только рассказала им о пирамиде, но и решила задачи, которые представлены в моей работе. От одноклассников я получила много положительных отзывов, данная работа вызвала неподдельный интерес.

(приложение 8)

Таким образом, задачи исследовательской работы решены, поставленная цель достигнута, выдвинутая гипотеза подтверждена.

5. Список используемой литературы и источников:

1. Н.А. Ионина. 100 чудес света.-М: Вече, электронная версия,2014г.-Египетские пирамиды.

2. Я.И. Перельман. Занимательная арифметика.-М,Л:Гонти.1938г.-140 с

3. Гл. Ред. А.М. Прохоров. Советский Энциклопедический Словарь.-М: Советская энциклопедия, 1988.-1004 с.

4. Ганс Райхардт. Семь чудес света.-М:Слово,1996 г.- 7 с.

5. http://zhitanska.com/content/sakralnaya-geometriya-velikoj-piramidy-gizy

6. https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1

6. Приложение

Приложение 1:

(Пирамида Хеопса сейчас)

Приложение 2:

  • H- высота пирамиды;

  • α –сторона основания;

  • b -половина основания;

  • а – апофема;

  • с – ребро.

(Пирамида, как геометрическое тело)

Приложение 3:

 

8

|||||||||

(Рисунок к задаче №1)

Приложение 4:

|||||||||

(Рисунки к задаче №2)

Приложение 5:

(Рисунок к задаче №3)

Приложение 6:

(Рисунки к задаче №4)

Приложение 7:

(Развертка пирамиды Хеопса)

Приложение 8:

(Выступление перед одноклассниками)

(Фото с уменьшенными копиями пирамиды Хеопса)

1 Н.А. Ионина. 100 чудес света.-Москва: Изд-во Вече, электронная версия,2014г.-Египетские пирамиды.

2Ганс Райхардт. Семь чудес света.-Москва: Изд-во Слово,1996 г.- 7 с.

3 Гл. Ред. А.М. Прохоров. Советский Энциклопедический Словарь.-Москва: Изд-во Советская энциклопедия, 1988.-1004 с.

4http://zhitanska.com/content/sakralnaya-geometriya-velikoj-piramidy-gizy

5 Я.И. Перельман. Занимательная арифметика.-Москва, Ленинград: Изд-во Гонти.1938г.-140 с.

6 https://math-ege.sdamgia.ru/?redir=1

Просмотров работы: 44