XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Секреты таблицы умножения
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Всем детям приходится в школе знакомиться с таблицей умножения. Так как таблица умножения неотъемлемая часть нашей жизни, начиная с детства она сопровождает нас всю жизнь. Некоторые ученики даже в старших не отличаются прочными знаниями в этой области математики. Им очень трудно её понять и выучить.И в нашем классе не все ребята хорошо знают таблицу умножения. Мы решили найти способы для легкого запоминания таблицы умножения. Так нам стало интересно, кто изобрел таблицу умножения, где она впервые появилась, существуют ли какие-нибудь быстрые и удобные, интересные способы умножения? Поэтому возник вопрос: как запомнить таблицу умножения.
Актуальность:
Тему для исследования мы выбрали не случайно. Она актуальна для всех. Мы уже закончили изучения таблицы умножения. Данное исследование позволяет выяснить и понять значимость знания таблицы умножения в жизни человека.
Цель работы: изучить и выявить наиболее быстрые и эффективные способы запоминания таблицы умножения.
Задачи :
1. Изучить литературные и информационные источники по теме.
2. Провести анкетирование одноклассников и учащихся 4-7 классов по теме: «Как ты запоминал таблицу умножения».
3. Познакомить одноклассников со способами запоминания таблицы
умножения.
4. Определить наиболее результативные способы запоминания таблицы умножения.
Методы исследования:
-
опрос учащихся;
-
анализ и сравнение полученных данных;
-
поиск нового материала.
Объект: таблица умножения
Практическая значимость работы заключается в том, что в результате проведённого исследования будут выявлены наиболее эффективные способы запоминания таблицы умножения и учащиеся класса прочно её усвоят.
Гипотеза. Мы предположили, что не всё знаем о таблице умножения, существуют лёгкие и простые способы запоминания таблицы умножения. В своей работе мы постараемся доказать это и получить ответы на интересующие нам вопросы.
Основная часть
1. Из истории возникновения таблицы умножения
Учёные выяснили, что таблицы, облегчающие умножение, были у многих древних народов. Китайские археологи обнаружили дощечку, содержащую фрагмент таблицы умножения, возраст которой оценили в 2700 - 3000 лет. На основании этой находки учёные Китая предложили гипотезу, согласно которой впервые таблица умножения была составлена в Древнем Китае, а потом проникла в Индию, а оттуда в страны Азии и в Европу. Этой версии противоречат многие находки, сделанные ранее. В Индии были обнаружены более древние варианты таблицы умножения, возраст которых оценивается в 3000-3200 лет. Самые старые в мире таблицы умножения были найдены при раскопках городов Древней Месопотамии. Они были нанесены на глиняные таблички, возраст которых составляет 5000 лет.
Имя человека, который первым записал результаты умножения в виде таблицы неизвестно. Таблицу умножения и в Древней Месопотамии, и в Индии, и в Китае придумали независимо друг от друга. Ведь таблица умножения необходима тогда, когда человек имеет дело с большими числами и вынужден постоянно совершать арифметические действия. Поэтому узнать имя гениального математика, который первым додумался записать результаты умножения в виде таблицы, скорее всего, не удастся. Хотя в европейской культуре авторство таблицы умножения приписывается знаменитому греческому математику Пифагору, но никаких доказательств этому нет. Но за таблицей умножения в виде квадрата закрепилось название «Таблица Пифагора», которое сохранилось до нашего времени. Таблица Пифагора представляет собой цифры, составленные в столбцы от 1 до 10. В первой строке то же самое число, а остальные строки и столбцы - это произведение этих чисел. Таблицу Пифагора можно расширять вправо и вниз до бесконечности, соблюдая единственное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит.
Впервые в школьную программу она была введена в Англии в конце средних веков и это была таблица умножения до 12, которую юные британцы проходят и по сей день. А в Индии ученики до сих пор «зубрят» исходный вариант таблицы — до 20.
2. Исследовательская часть
2.1. Мониторинг результатов анкетирования.
Перед нами таблица умножения: как ее запомнить?! Мы решили обратиться к ребятам, которые все это уже проходили. Совместно с учителем составили анкеты, результаты анкетирования обработали.
В анкетировании приняли участие 41 учащийся это мои одноклассники и учащиеся 4-х, 5-х, 6-х, 7-х классов. В анкетах были следующие вопросы:
1.Хорошо ли знаешь ты таблицу умножения?
Да – 30 уч. Не очень – 11 уч. Нет – 0 уч.
2.Испытывал ли сложности при изучении таблицы умножения?
Да – 20 уч. Нет – 21 уч.
3.Каким способом ты учил таблицу умножения?
Запоминал зрительно – 27 уч.
Записывал – 6 уч.
Запоминал на слух – 8 уч.
4.Умножение на какое число тебе оказалось заучить сложнее всего?
на 6 – 4 уч. на 7 – 11 уч. на 8 – 16 уч. на 9 – 10 уч.
5. Понадобится ли знание таблицы умножения в дальнейшей жизни?
Да – 41 уч. Нет – 0 уч.
Результаты анкетирования (Приложение 5) позволяют сделать вывод том, что практически все опрошенные (41 ученик) понимают значимость таблицы умножения в дальнейшей жизни, но при этом затрудняются 11 человек (27%), испытывали трудности при запоминании 20 человек (48%). И наиболее трудными в запоминании были случаи с таблицей на 7, 8 и 9. Без прочного знания таблицы умножения дальше успешно учиться в школе невозможно.
В своём классе мы провели проверку знаний после полного освоения таблицы умножения. (Приложение 5) Справились с заданием без ошибок – 4 ученика (31%), допустили 1-2 ошибки – 3 учеников (23%), более 2 ошибок – 6 учеников (46%).
2.2. Секреты таблицы умножения.
Обработав с учителем результаты анкетирования, мы поняли, что было быполезно знать способы эффективного запоминания таблицы умножения.
Сравнив и проанализировав предложенные способы запоминания таблицы умножения, мы пришли к выводу, что они могут быть приятными и полезными даже в том случае, если у человека нет проблем с механической памятью. Учить таблицу умножения интересно и увлекательно!
Для этого мы предлагаем вам интересные и увлекательные способы заучивания таблицы умножения. Современная таблица Пифагора имеет следующий вид:
Она представляет собой таблицу, по горизонтали и вертикали которой расположены числа натурального ряда, а на пересечении столбцов и строк стоят их произведения. Диагональ таблицы образует квадраты чисел. Таблица Пифагора, или таблица умножения, используется для обучения школьников умножению. Таблицу Пифагора можно расширять вправо и вниз до бесконечности, соблюдая единственное условие: каждое число таблицы есть произведение номера строки и номера столбца, в которых оно стоит.
В Российских школах значения таблицы Пифагора обычно доходят до 10×10, в других странах таблица может принимать значения до 12×12. В основном это связано с английской системой мер длины (1 фут=12 дюймов)
Закономерности таблицы умножения
Для того, чтобы быстрее запомнить табличные случаи, в первую очередь необходимо обнаружить закономерности в результатах. Мы воспользовались уже имеющимся опытом о «секретах таблицы умножения», а также сами кое-что заметили.
Умножение на 1. Это само число.
Умножение на 2. Результаты произведений – всегда чётные числа. Пары произведений дают в сумме 22. (Приложение 1. Рис.1)
Умножение на 3. При умножении 3 на чётное число результат произведения чётное число. При умножении на нечётное - произведение нечётное число. Пары произведений дают в сумме 33. (Приложение 1. Рис.2)
Умножение на 4. Результаты произведений – всегда чётные числа. В разряде единиц ритмический повтор цифр 0, 4, 8, 2, 6. Пары произведений дают в сумме 44. (Приложение 1. Рис.3)
Умножение на 5. В разряде единиц можно увидеть ритмический рисунок, который связан с чередованием чётного и нечётного множителей. Когда множитель чётный – результат оканчивается на 0, когда нечётный – результат оканчивается на 5. Пары произведений дают в сумме 55. (Приложение 1. Рис.4)
Умножение на 6. Нужно выписать произведения, где множитель был чётным и нечётным числом.
6 · 2 = 12 6 · 3 = 18
6 · 4 = 24 6 · 5 = 30
6 · 6 = 36 6 · 7 = 42
6 · 8 = 48 6 · 9 = 54
Для чётных множителей.
Цифра в разряде единиц – это второй множитель: 6 · 2 = 12.
Цифру в разряде десятков легко получить представлением второго множителя в виде суммы одинаковых чисел, одно из которых записать в десятки: 6 · 4 = 24 4 = 2 + 2.
Для нечётных множителей. Множитель представим в виде суммы одинаковых чисел, возьмем одно число и прибавим остаток, получим цифру в разряде десятков. Исключение число 3. Например: 6 · 9 = 5_ 9 = 4 + 4 + 1 4 + 1 = 5.
Цифра в разряде единиц – это последняя цифра в сумме или разность нечётного множителя и числа 5.
В таблице умножения на 6 мы также наблюдаем пары произведений с одинаковой суммой 66. (Приложение 1. Рис.5)
Умножение на 7. Пары произведений дают в сумме 77. (Приложение 1. Рис.6)
Умножение на 8. Все произведения чётные числа. В разряде единиц ритмический повтор цифр – 0, 8, 6, 4, 2. Пары произведений дают в сумме 88. (Приложение 1. Рис.7)
Умножение на 9. Наибольшее количество закономерностей мы обнаружили при умножении на 9. (Приложение 2)
1) В ответах цифры, обозначающие число единиц, идут в порядке убывания на 1, а число десятков – в порядке возрастания на 1.
2) Цифры десятков можно определить по второму множителю, уменьшив его на единицу. А число единиц можно определить, дополнив до девяти число десятков. Сумма разрядных единиц каждого результата составляет 9.
3) Найти произведение можно округлив первый множитель (9) до 10, а после нахождения произведения, вычесть второй множитель.
4) Результатами произведений являются «взаимообратные» числа, имеющие одинаковый набор цифр.
Способы запоминания таблицы умножения
1) Выше указанные закономерности являются одним из способов усвоения таблицы умножения. Закономерности мы наблюдаем при изучении таблицы по порядку.
2) Можно запоминать результаты умножения и деления при помощи таблицы Пифагора. (Приложение 4)
3) Для умножения чисел от 6 до 8 тоже существует способ запоминания на пальцах. Поверните кисти ладонями от себя, и поставьте в соответствие каждому пальцу на обеих руках номер от 6 и до 10, начиная с большого пальца. (Приложение 3) Например, умножим 8 на 6. Для этого на левой руке загнём все пальцы с номерами по №8 включительно (палец №6, №7, №8), а на правой с номерами по №6 включительно (палец №6). Считаем пальцы: общее количество загнутых пальцев – это десятки – всего 4 пальцев, получаем первую часть: 40. Затем, не загнутые пальцы левой руки умножаем на не загнутые пальцы правой: 2 · 4 = 8, получаем вторую часть: 8. Складываем части: 40 + 8 = 48, значит, 8 · 6 = 48.
4) Есть интересный вариант таблицы умножения на 9. Положите ладони перед собой, нумерация пальцев будет идти по порядку слева направо от 1 до 10. Например, умножаем 3 на 9. Всё то, что идёт до пальца №3 — это десятки (то есть 2 десятка в этом случае). А все то, что остается после пальца №2 — единицы (это 7). Получаем 27.
5) Те случаи, которые трудны в запоминании, нужно записать на карточки и развесить их так, чтобы они как можно чаще были перед глазами.
6) Таблица умножения в стихах позволит процесс запоминания сделать более увлекательным. [5]
7) Карточки – сорбонки. Сделать карточки с табличными случаями. На обратной стороне написать ответы. Затем самостоятельно проверять себя. Те, которые вызвали затруднение, откладывать в сторону и возвращаться к ним снова.
8) Существуют различные компьютерные программы и электронные игры, которые ускорят процесс запоминания таблицы.
9) Задавать в парах друг другу примеры по очереди.
10) Проводить соревнования на скорость «Кто больше решит примеров за 1 минуту».
11. Игра: Победи калькулятор.
12. Игры «Домино», «Лото»
13. Конверты «Новичок», «Мастер».
14. Тренажеры.
15. Запоминание по числовым этапам.
- «Числа - близнецы» (2х2, 3х3,4х4,5х5, 6х6,7х7,8х8,9х9).
Заключается в запоминании результатов умножения одинаковых множителей.
- «Волшебные числа» (12,16,18,24,36).
По произведению и одному из множителей учимся находить другой. Существует пять произведений (12,16,18,24,36) у которых по четыре множителя.
- «Числа - перевёртыши» (12 -21, 24-42, 36-63, 27-72, 45-54)
К третьей группе относятся числа – перевёртыши (дети путают десятки и единицы).
- «Числа - братики» (64-63, 28- 27, 25-24, 54-56, 48- 49,35-36,20-21,14-15, 15-16, 8-9)
Используется сравнение множителей и произведений.
Мы отразили основные способы запоминания таблицы умножения, которые привлекли наше внимание. Думаем, что они способны сделать процесс усвоения таблицы интересным и эффективным. Но, чтобы они были результативными, необходимо повторять действия многократно.
3. Заключение
Мы начали активно использовать на уроках математики и в дополнительных занятиях различные способы запоминания таблицы умножения. Часть из этих способов (например, закономерности) мы изучили ещё во 2 классе. В группах и в парах мы повторяли наиболее трудные случаи, используя карточки-сорбонки. Этот способ мы использовали чаще всего. Регулярно выполняли устный счет, проводили конкурс «Кто больше решит примеров за 1 минуту». Считали на пальцах, некоторые пользуются этим способом. Игры «Победи калькулятор», «Лото» тоже очень интересные.
Затем мы провели итоговую проверку усвоения таблицы (Приложение 5), которая показала положительную динамику в формировании этого важного навыка. Количество учащихся, которые выполнили работу без ошибок возросло на 5 человек и составило 70% (9 учеников), уменьшилось количество детей, которые допустили 1-2 ошибки (15% - 2 ученика) и более двух ошибок (15% - 2 ученика). Полностью проблему мы не решили, есть учащиеся, которые все еще допускают ошибки, поэтому продолжим регулярные упражнения для совершенствования навыка.
Исследование позволило нам сделать вывод о том, что на каждом этапе формирования навыка необходимо использовать разные способы усвоения. На этапе знакомства с табличными случаями уместно выявлять закономерности, использовать необычные случаи вычислений (например, на пальцах). Чтобы знания были прочными, необходимо многократно повторять таблицу в разных формах: с помощью электронных игр, тестов, на карточках, устно в парах. Что мы и делали.
Таким образом, используя эффективные способы запоминания таблицы умножения, большинство учащихся нашего класса прочно её усвоили, что подтверждает нашу гипотезу.
Выводы.
1. Моё предположение подтвердилось: мы не всё знаем о таблице умножения.
2. Из исследований видно, что существуют различные способы запоминания таблицы умножения.
3. Учить таблицу умножения, зная ее секреты, гораздо быстрее и интереснее.
Списокиспользованныхисточниковилитературы
1. http://www.vseznaika.org/history/kto-pridumal-tablicu-umnozheniya/
2. Какпостепеннодошлилюдидонастоящейарифметикистаблицей.Общедоступныеочеркидлялюбителейарифметики.БеллюстинВсеволод.М.:Издательскийдом:типографияК.Л.Меньшова.
3. Математика. 3класс учебникдляобщеобразоват.Организаций. В 2 ч. М.И. Моро и др.–М.:Просвещение, 2019.
4. Математика//учебникдляначальнойшколы:3класс.ДемидоваТ.Е.,КозловаС.А.–М.:Баласс,2015.
5.Таблицаумножениявстихах.УсачёвА.А.–М.:АСТ,2016.
6. http://pedsovet.su/-шаблон
7. https://infourok.ru/effektivnye-priyomy-zapominaniya-tablicy-umnozheniya-na-urokah- matematiki-v-3-m-klasse-4538884.ht