XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Квадрат Пирсона – альтернативный способ решения задач на смеси, сплавы и растворы

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Джалладян Л.Г. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Гречушкина О.М. 1

---

1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск

Работа в формате PDF

465.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

1.Введение

Задачи с использованием таких понятий как концентрация, процентное содержание вещества в смеси, растворе и в сплаве часто включают в экзаменационные варианты ОГЭ и ЕГЭ, в олимпиады по математике, физике и химии. Увидев задачу на смеси, растворы и сплавы, я сразу отказываюсь её решать, считая их задачами повышенной сложности. Такие задачи решаются с помощью сложных арифметических расчётов. Но этот способ не рационален. Проще применить правило Пирсона (правило креста). Данный способ сводит решение задач к простейшему варианту, основанному на понятии пропорции. 

Данные задачи имеют практическое значение в повседневной жизни. Например, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, приготовить раствор для заливки фундамента дома, разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу, приготовить различной концентрации растворы.

Объект исследования: задачи на смеси, растворы и сплавы.

Предмет исследования: метод Пирсона – один из способов решения задач на смеси, растворы и сплавы.

Актуальность исследования обусловлена тем, что при подготовке к олимпиадам и успешной сдачи ОГЭ и ЕГЭ, нам необходимы знания, которые выходят за рамки школьной программы.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение.

Цель исследования: вывести и проверить метод Пирсона для решения задач на смеси, растворы и сплавы.

Для достижения поставленной цели предусматриваю решение следующих задач:

1. Подобрать необходимую литературу.

2. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию. Найти методику решения задач методом «Конверта Пирсона».

3. Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

4. Научиться применять метод Пирсона при решении задач на смеси, растворы и сплавы.

5. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза. Все задачи на растворы, сплавы и смеси делятся на несколько типов, а каждый из типов имеет конкретный способ решения, одним из которых является метод Пирсона.

Ключевые слова: квадрат Пирсона, смеси, растворы, сплавы.

2. Квадрат Пирсона в задачах на смеси, сплавы и растворы

2.1 Немного истории

Математика, давно став языком науки и техники, в настоящее время всё шире проникает в повседневную жизнь и обиходный язык, всё более внедряется в традиционно далекие от неё области.

Основная задача обучения математике и химии в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения системой знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования, а также в профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры. Для жизни в современном обществе важным является формирование математического стиля мышления, проявляющего в определённых умственных навыках.

Очень часто при решении задач на уроках математики и химии приходится встречаться со случаями приготовления растворов с определенной массовой долей растворенного вещества, смешением двух растворов разной концентрации или разбавлением крепкого раствора водой. В некоторых случаях можно провести достаточно сложный арифметический расчёт. Однако это малопродуктивно. Чаще для этого лучше применить правило смешения (диагональную модель «квадрата Пирсона», или, что тоже самое, правило креста).

Карл Пирсон — английский математик, статистик, биолог и философ; основатель математической статистики, один из основоположников биометрики. Автор свыше 650 опубликованных научных работ. В русских источниках иногда называется Чарлз Пирсон.

Родился в семье преуспевающего лондонского адвоката. Закончил Кембриджский университет в 1879 году. Затем изучал физику в Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911 год — профессор прикладной математики и механики Лондонского университета, с 1911 года — Пирсон стал директором лаборатории евгеники Университетского колледжа. В этот период его деятельность исключительно активна и в области математики, и в области биологии; свою невероятную работоспособность Пирсон в шутку объяснял привычкой не отвечать во время работы на телефонные звонки и никогда не участвовать в оргкомитетах

В 1890 году женился на Марии Шарп, у них родились сын и две дочери. Мария умерла в 1928 году, год спустя Пирсон женился на Маргарет Виктории Чайлд.

В 1896 году был избран членом Королевского общества, в 1898 году был награждён Медалью Дарвина. В 1900 году основал журнал «Biometrika», посвящённый применению статистических методов в биологии. Позже – в своей первой книге, 'The New Werther', Карл признавался, что на тот момент мировая наука просто захлестнула его; он никак не мог расстаться с учебой, поскольку был не в состоянии счесть хоть какой-нибудь естественный или гуманитарный предмет ненужным.

Опубликовал основополагающие труды по математической статистике (более 400 работ). Разработал теорию корреляции, критерии согласия, алгоритмы принятия решений и оценки параметров. С его именем связаны такие широко используемые термины и методы, как:

• Кривые Пирсона

• Распределение Пирсона

• Критерий согласия Пирсона (критерий хи-квадрат)

• Коэффициент корреляции Пирсона и корреляционный анализ

• Ранговая корреляция

• Множественная регрессия

• Коэффициент вариации

• Нормальное распределение

и многие другие

Пирсон много усилий приложил для применения своих открытий в прикладных областях, прежде всего в биологии, медицине. Ряд работ относится к философии и к истории науки.

Наукой Пирсон продолжал заниматься до самой своей смерти – даже после выхода на пенсию. Скончался Карл в 1936-м.

2.2 Теоретическая часть.

Для начала примем некоторые допущения:

• все получающиеся смеси и сплавы однородны;

• для всех веществ выполняется закон сохранения массы (или объема): масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

Надо приготовить раствор определенной концентрации. Имеется 2 раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно.

Обозначим массу 1-го раствора m₁, а 2-го m₂, тогда при смешивании масса смеси будет равна сумме этих масс (m₁₊ m₂). Массовая доля общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m₁ω₁ + m₂ω₂растворённого вещества в 1-м растворе – ω₁, во 2-м – ω₂, а в их смеси – ω₃. Тогда

m₁ω₁ + m₂ω₂=ω₃(m₁+m₂),

m ₁(ω₁ – ω₃) = m ₂(ω₃ – ω₂)

Отношение массы 1-го раствора к массе 2-го раствора это отношение разности массовых долей растворённого вещества в смеси и в растворе к разности величин в 1-м растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют квадрат Пирсона.

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

2.3 Практическая часть.

1. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%?

Р ешение.

Ответ: 7 килограммов.

2. Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд?

Решение.

Пусть х литров вмещает сосуд.

97%

81%

45%

Ответ: 6,5 литров.

3. Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси.

Р ешение.

Пусть х % концентрация соли двух исходных растворов.

Ответ: концентрация соли в смеси двух исходных растворов 30 %

4.. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка.

Решение.

Пусть х кг масса первого слитка.

2) 6 + 3 =9 (кг)

Ответ: 9 кг

5. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60 % олова, и 900 г сплава олова и меди, содержащего 80 % олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

Решение.

Ответ: 75 %

6 . В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение.

Ответ: концентрация получившегося раствора 5 %

7. Свежие грибы содержат 90 % воды, а сухие — 15 % воды. Сколько получится сухих грибов из 34 кг свежих грибов?

Решение.

Содержание воды в свежих грибах 90 %, следовательно, содержание «мякоти» равно 10 %. А в сушеных грибах содержится 100 – 15 = 85 (%) «мякоти».

В качестве второго «раствора» можно рассматривать 0 кг грибов с содержанием «мякоти» 0 %.

Тогда квадрат Пирсона выглядит так:

Составим и решим уравнение.

=

85 х = 34 ∙ 10,

х = 4 (кг).

Ответ: 4 кг свежих грибов.

2.4 Задачи для самостоятельного решения.

1. Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

2. Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

3. Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

4. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.

5. В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало 40%?

6.  Имеется 4 литра 20%-го раствора спирта. Сколько воды него нужно, чтобы получился 10%-й раствор спирта?

7. Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда их сплавили вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Найдите вес сплавов, если в первом сплаве было 4кг, а во- втором 8 кг.

8. Имеется два раствора некоторого вещества. Один 15%-ный, а второй 65%-ный Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200л раствора, содержание вещества в котором равно 30%?

9. В какой пропорции нужно смешать 10-ный и 15-ный растворы аммиачной селитры, чтобы приготовить из них 15-ный раствор селитры.

10. Если к сплаву меди и цинка добавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если же к первоначальному сплав добавить 70г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.

3. Исследование практической значимости работы.

В 2024 году я провела мастер-класс по теме: «Решение задач на смеси, растворы и сплавы» для учеников 7-9 классов. Познакомила ребят с несколькими способами решения одной задачи по данной теме: табличным и «квадрат Пирсона». В итоге у участников занятия я выяснила, какой из способов, по их мнению, является наиболее рациональным. В этом опросе приняли участие 80 человек нашей школы.

Вывод: несмотря на то, что, на наш взгляд «метод Пирсона» является наиболее рациональным способом, участники мастер-класса в большинстве своём выбирают способ табличный, т.к. для них он наиболее привычен и понятен. На уроках математики они встречались с данным способом при решении текстовых задач.

Среди учащихся 8-9 классов нашей школы я провела анкетирование по трём вопросам. В данном опросе приняли участие 60 человек.

Вывод: из таблицы видно, что задачи по данной теме ученики 8 класса решают чаще на уроках химии, а ученики 9 класса - на уроках химии и математики, т.к. готовятся к сдаче ОГЭ по этим предметам. Большая часть учащихся 8-9 классов испытывает затруднения при решении задач на смеси, растворы и сплавы. Мало кто знает рациональные и нестандартные способы решения подобных задач и поэтому при решении таких задач на ОГЭ и ЕГЭ выпускники могут потерять «драгоценное» для себя время и баллы.

4. Заключение

Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а её решение – как объект конструирования изобретения.

Как и все методы решений, квадрат Пирсона имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам, которые не умеют решать уравнения. Также квадрат Пирсона очень полезен для домохозяек, чтобы получать нужную концентрацию уксуса или сиропа.

Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. Если нужно смешать три или более веществ, конверт Пирсона здесь не всегда поможет.

Я рассмотрела разные способы решения задач на смеси, растворы и сплавы,
научилась решать задачи методом Пирсона. Провела занятия для учащихся 9 «Б»
класса и мастер-класс для учащихся 7-9 классов по данной теме.В процессе решения задач выяснила,что таблицы, схемы, рисунки позволяют точнее, быстрее и проще составлятьуравнения и системы уравнений к задачам, при этом вычислительный процессне столь сложен. Работа имеет практическое значение, так как может служить пособием при подготовке к итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов.

5. Библиографический список.

1. Открытый банк заданий ОГЭ.

2. Азия, А.П. Вольпер, И.М. Квадрат Пирсона / А. П. Азия А., И. М. Вольпер// Квант. – 1973. - № 3. – С. 61.

3. Пирсон Карл – Википедия.

4. Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. – Режим доступа:

https://math-oge.sdamgia.ru/

http://kvant.mccme.ru/1973/03/kvadrat_pirsona.htm

http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-oge

https://ru.wikipedia.org/wiki/Пирсон,_Карл