Пирамида: вчера, сегодня и завтра

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Пирамида: вчера, сегодня и завтра

Кудашкина В.В. 1
1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск
Гречушкина О.М. 1
1ГБОУ СОШ им.Н.С.Доровского с.Подбельск
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Большинству школьников при изучении математики больше нравится алгебра. Многие из них считают, что алгебра сложнее и интереснее. Люди не подозревают сколько интересного включает в себя этот раздел математики.

Актуальность выбранной мною темы заключается в том, что ежедневно в нашем мире строиться большое количество сооружений. Люди вечно сравнивают что-то старое, проверенное годами и новое, современное.

Гипотеза: я думаю, что далеко не только Древние Египетские пирамиды имеют такую форму, но а также современные сооружения.

Проблема состоит в том, что люди мало знают не только о современной архитектуре, но и о древней.

Цели:

  1. Понять, что такое «пирамида».

  2. Определить виды пирамид.

  3. Начать понимать геометрию сооружений.

Задачи:

  1. Заинтересовать людей с целью познания в области геометрии.

  2. Изучить формулы, свойства и теоремы, связанные с пирамидой.

  3. Найти информацию о Египетских пирамидах.

  4. Сравнить Египетские пирамиды с современными архитектурными сооружениями такой же формы.

  5. Научиться пользоваться изученным.

ГЛАВА 1. СВЕДЕНИЯ О ПИРАМИДЕ.

1.1.ЧТО ТАКОЕ ПИРАМИДА?

Наш мир, тела и предметы, окружающие нас, состоят из различных фигур. Одна из этих фигур – пирамида. Что же такое пирамида? Произнося название этой фигуры, чаще всего мы представляем древние каменные сооружения, расположенные в Египте, но их мы рассмотрим немного позже. Пирамида, с точки зрения математики – многогранник, основание которого многоугольник, а остальные грани треугольники, имеющие общую вершину. Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в XII томе своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке. Из чего же состоит эта загадочная фигура? Она состоит из: 1. вершины пирамиды – общей точки боковых граней, не лежащей в плоскости основания; 2. основания – грани, которой не принадлежит вершина пирамиды; 3. боковых граней – треугольных граней, сходящихся в вершине; 4. боковых рёбер – рёбер, являющихся сторонами двух боковых граней и, соответственно, не являющихся сторонами основания; 5. высоты пирамиды – перпендикуляра из вершины пирамиды на её основание; 6. апофемы– высоты боковой грани правильной пирамиды, проведённой из её вершины; 7. диагонального сечения пирамиды – сечения пирамиды, проходящего через её вершину и диагональ основания.

1.2.ВИДЫ ПИРАМИД

Пирамиды, как и все остальные фигуры отличаются не только цветом, объёмом или формой. Виды этой фигуры делятся на прямоугольную и правильную. В случае прямоугольной пирамиды основанием является прямоугольник, поэтому ее называют прямоугольной пирамидой с четырьмя треугольными гранями, соединяющими стороны прямоугольника с вершиной.

Прямоугольная пирамида может быть прямой или наклонной, в зависимости от расположения вершины и центра основания. Если вершина совпадает с центром основания под прямым углом, то это правильная прямоугольная пирамида; если нет, то это наклонная прямоугольная пирамида.

Правильная пирамида – это пирамида, основанием которой является правильный многоугольник, а вершина фигуры проецируется в центр ее основания. Самые распространенные разновидности правильных пирамид: треугольная, четырехугольная и шестиугольная. 

1.3. ТЕТРАЭДР

Тетра́эдр  — простейший многогранник, гранями которого являются четыре треугольника[2].

Тетраэдр является треугольной пирамидой, при принятии любой из граней за основание. У тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 рёбер. Тетраэдр, у которого все грани — равносторонние треугольники, называется правильным. Правильный тетраэдр является одним из пяти правильных многогранников.

Ортоцентрический тетраэдр– тетраэдр, все высоты, опущенные из вершин на противоположные грани, пересекаются в одной точке.

Прямоугольный тетраэдр – тетраэдр, все рёбра, прилежащие к одной из вершин, перпендикулярны между собой.

Каркасный тетраэдр– тетраэдр, для которого существует сфера, касающаяся всех 6 рёбер тетраэдра.

Соразмерный тетраэдр – тетраэдр, у которого бивысоты равны.

Инцентрический тетраэдр– тетраэдр, у которого отрезки, соединяющие вершины тетраэдра с центрами окружностей, вписанных в противоположные грани, пересекаются в одной точке. 

1.4. ФОРМУЛЫ И СВОЙСТВА ПИРАМИДЫ

Вернёмся к изучению пирамиды.

Объём пирамиды через площадь основы и высоту:

V =

1

SоснH

3

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды через периметр основания и апофему:

Sb =

1

ph

2
   

Свойства пирамиды:

  1. Если все боковые ребра равны, то вокруг основания пирамиды можно описать окружность, а центр основания совпадает с центром окружности. Также перпендикуляр, опущенный из вершины, проходит через центр основания (круга).

  2. Если все боковые ребра равны, то они наклонены к плоскости основания под одинаковыми углами.

  3. Боковые ребра равны тогда, когда они образуют с плоскостью основания равные углы или если вокруг основания пирамиды можно описать окружность.

  4. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то в основание пирамиды можно вписать окружность, а вершина пирамиды проектируется в ее центр.

  5. Если боковые грани наклонены к плоскости основания под одним углом, то апофемы боковых граней равны.

ГЛАВА 2. ЕГИПЕТСКИЕ ПИРАМИДЫ.

2.1. ЧЕМ ИНТЕРЕСНЫ ЕГИПЕТСКИЕ ПИРАМИДЫ?

Глядя на эти грандиозные творения рук человеческих, невольно задумываешься: сколько же было затрачено сил и времени на возведение таких сооружений, кажущихся – по крайней мере, в своей масштабности – абсолютно бесполезными. То ли правившие 45 веков назад фараоны тем самым хотели подчеркнуть собственную божественность и величие своей эпохи, то ли в этих сооружениях содержится некий скрытый смысл, нашему пониманию пока недоступный. Но постичь его трудно, ведь секреты надежно укрыты под пластом тысячелетий, и нам не остается ничего другого, как строить догадки и версии, надеясь на то, что рано или поздно всё тайное обязательно станет явным…

Египетские пирамиды окутаны ореолом мифов и тайн, причем с течением времени и развитием науки вопросов всё ещё остаётся больше, чем ответов. Как говорит пословица: «Всё на свете боится времени, но само время боится пирамид». Интерес подогревают и различные теории о появлении этих величественных монументов. Любители мистического считают пирамиды мощными энергетическими источниками и полагают, что фараоны проводили в них время не только после смерти, но и при жизни, чтобы черпать силу.

Собственно гробницы пирамидальной формы начали возводить около 5 тысячелетий назад. Инициатором их строительства выступил фараон Джосер, первый в III династии Древнего царства. Возведением некрополя имени этого правителя руководил верховный сановник и знаменитый архитектор своего времени Имхотеп, которого едва ли не приравнивали к божеству. Если отбросить все фантастические версии о контактах правителей с инопланетянами и исходить из того, что эти сооружения все-таки строили люди своими силами, то масштаб работ, их трудоемкость не могут не впечатлять. Специалисты постарались установить их хронологию и характер, и вот к каким результатам они пришли. Поскольку пирамиды сложены из каменных блоков, то сразу возник вопрос: где и как их добывали? Оказалось, в скалах…

Разметив в горной породе форму и выдолбив канавки, в них вставляли сухие деревья, которые поливали водой. От влаги они расширялись и создавали в скале трещины, облегчавшие процесс выемки блоков. Затем их тут же, на месте подвергали обработке инструментами и, придав нужную форму, отправляли речным путем на место стройки. Но как египтяне поднимали эти тяжелые массивы наверх? Сначала их погружали на деревянные сани и вытягивали по пологим насыпям. Мегалиты настолько плотно примыкают друг к другу, что несовпадений практически нет.

Пирамида Хеопса.

Великая пирамида строилась в три этапа, чему свидетельством соответствующее количество камер. Первую, ее площадь составляет 8 на 14 метров, вытесали глубоко в скале, вторую (5,7 х 5,2 м) – под вершиной пирамиды. Третья камера – она единственная из них завершена – и стала усыпальницей фараона. О ней следует сказать особо. С запада на восток протянулась на 10,4 м, и на 5,2 м – с юга на север. Гранитные плиты, которыми облицовано помещение, пригнаны друг к другу безукоризненно. Девять монолитных блоков образуют потолок, их общий вес составляет 400 тонн.

Поначалу вход в усыпальницу находился с северной стороны и размещался над основанием на высоте 25 метров. В настоящее время войти в пирамиду можно с другого места, и этот вход расположен не так высоко. Строители вряд ли могли предполагать, что спустя несколько тысяч лет их детище станет туристической достопримечательностью, поэтому 40-метровый коридор сделали не только узким, но и низким.

Высота пирамиды Хеопса составляет больше 146 метров – это «рост» 50- этажного небоскреба.

Пирамида Хефрена

Считается, что пирамида Хефрена построена почти одновременно с пирамидой Хеопса. Разница в 40 лет на фоне тысячилетий выглядит незначительным отрезком времени. Эта пирамида немного меньше. Её основание 215 метров, а высота – 145 метров. Несколько иные соотношения создают иллюзию, что она больше пирамида Хеопса. Две великие пирамиды отличаются друг от друга сохранностью базальтовой облицовки у вершины пирамиды Хефрена.
S боковых граней=72614,9 м2 P основания=842 м2 S основания=44310,25 м2 S пирамиды=116925,15 м2 V=2017593,4 м3

Пирамида Микерина (Менкаура)

И, наконец, пирамида Микерина – третья в комплексе великих памятников Гизы. Она также известна как пирамида Менкаура, носит имя пятого фараона четвертой древнеегипетской династии. Об этом правителе известно немного – только то, что он был сыном Хеопса (по крайней мере, так утверждал древнегреческий историк Геродот). Этот некрополь называют «младшим братом» двух вышеупомянутых усыпальниц: он был построен позже остальных и самый из них низкий, его высота чуть больше 65 метров. Такие скромные размеры свидетельствуют об упадке древнего царства, нехватке необходимых для строительства ресурсов. Р основания=433,6 м S основания =11750,56 м2 S боковых граней=549338,68 м2 S пирамиды=561089,24 м2 V==11595844,3 м3

2.2. ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЕГИПЕТСКИЕ ПИРАМИДЫ ПРАВИЛЬНЫМИ?

Египетские пирамиды очень интересны с точки зрения математики. Во-первых, пирамида - это геометрическая фигура, Во-вторых, эта геометрическая фигура соответствует пропорциям золотого сечения. Все египетские пирамиды с точки зрения геометрии являются правильными пирамидами. Докажем на примере пирамиды Хеопса, что она правильная пирамида: 1.Её основанием является правильный многоугольник, у которого все стороны между собой равны.

2. По свойству площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Площадь боковых поверхностей пирамиды (изначально): ≈ 85 500 м 2

Периметр основания: 920 м

Апофема ≈ 185,5 м.

Следовательно, 920*185,5=171031/2=85 515 (учитывая ≈ 85 500)

3. Ребрами правильной пирамиды являются равнобедренные треугольники. Поскольку длина боковых рёбер пирамиды Хеопса одинаковая. На данный момент около 225 метров. Длина сторон основания пирамиды: юг — 230,454 м; север — 230,253 м; запад — 230,357 м; восток — 230,394 м. Таким образом, я доказала, что Великая пирамида - правильная пирамида.

Во всех деталях Великой пирамиды сохранены совершенные (золотые) пропорции. Степень точности соотношений кажется невероятной, если учесть размеры всего сооружения. Сложив длину сторон основания памятника, первоначальная длина которых была 232,805 м, получаем периметр пирамиды, равный 931,22 м . Разделим теперь длину периметра на удвоенную высоту пирамиды, достигавшую в эпоху ее сооружения 148,208 м , и в итоге получим число π: 931,22 / (2 × 148,208) = 3,1416.

ГЛАВА 3. СОВРЕМЕННЫЕ АРХИТЕКТУРНЫЕ СООРУЖЕНИЯ В ФОРМЕ ПИРАМИДЫ.

С точки зрения архитектуры и дизайнерского искусства пирамиды представляют большой интерес. Элементы пирамид применяют в строительстве. Такие строения можно наблюдать по всему миру. Яркими представителями в этой области являются:

Пирамида – концертный зал в Казани

Пирамида – культурно развлекательный комплекс в центре города Казани. Он был возведен в современном стиле хай-тек, который предполагает использование большого количества стеклянных панелей и других современных строительных материалов. Здание высотой 31,5 метр и общей площадью 14400 м² вмещает 2500 гостей и имеет семь уровней. Двухуровневый главный концертный зал площадью 1375 м².

Перевернутая пирамида в Братиславе

А вот в Братиславе уже много лет существует перевернутая пирамида. Правда, она не подземная, а надземная. В ней расположен офис Национального радио Словакии.

Здание Словацкого радио, которое находится в столице Словакии Братиславе, было построено в форме перевернутой пирамиды. Он достигает 80 метров в высоту, если измерять его до кончика антенны на крыше. С 1983 года, когда здание было завершено, в нем разместилась штаб-квартира Национального общественного радио Словакии, Slovensky rozhlas, или Словацкого радио.

Стеклянная пирамида в Лувре

Стеклянная пирамида в Лувре является одним из символов Парижа и современной архитектуры как таковой. Это настолько известный и знаковый объект, что в нем происходит развязка романа «Код да Винчи», написанного Дэном Брауном. Пирамида состоит из 603 ромбовидных и 70 треугольных стеклянных сегментов толщиной 21 мм.Её высота— 21,65 м, длина стороны основания — 35 м, угол наклона — 52°.Вес пирамиды — около 180 тонн.Прототипом послужила пирамида Хеопса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Дети любят играть в кубики, перекладывая их с места на место, строя из них разные фигуры. Давным-давно, тысячи лет назад, когда баобабы были большими, а люди - маленькими и в набедренных повязках, они тоже играли в кубики. Только кубики были огромными, а фигура из них складывалась почти всегда одна и та же - пирамида.

Многие пытались разгадать секреты пирамид. Это сооружение представляет собой неразрешимую головоломку из числовых комбинаций. Фантастическая изобретательность, мастерство, время и труд архитекторов пирамиды, использованные ими при возведении вечного символа, по мнению многих исследователей, указывают на чрезвычайную важность послания, которое древние египтяне хотели передать грядущим поколениям.

Повсюду можно увидеть архитектурные сооружения в виде пирамид – это и небоскреб в Сан-Франциско, и стадион в Мемфисе, и гостиница в Лас-Вегасе! Здания-пирамиды напоминают о древних временах и очень красиво выглядят. Форма пирамиды тесно связана с идеалом Золотого сечения. Пирамиду можно встретить не только как архитектурное сооружение – существуют лечебные пирамиды, деньги, на которых они изображены, даже есть фонтан «Пирамида».

Земной шар утыкан ими, они есть везде - в Африке, Америке, Европе и Азии. Пирамидами «переболели» все цивилизации. Можно ли сейчас, спустя сотни веков, понять - что заставляло человечество играть в столь странные и одинаковые игры? И - игры ли это были?

В будущем я бы хотела стать архитектором. Мне интересно рассматривать различные здания, узнавать как и когда они строились. Надеюсь, что отучившись по этой специальности, я смогу сама создавать проекты различных зданий. Мне хотелось бы создать дом в форме пирамиды, который не будет вредить экологии нашего мира. Это будет интересное задание. В него должно попадать много дневного света. Я приложу все свои усилия, чтобы в скором времени я смогла воплотить все свои мечты и задумки в реальность.

Сейчас у меня уже готов макет этого дома. Вот его данные. Длина сторон основания равна 24 см. боковые ребра моего макета равны 26,5 см. Я также вычислила высоту и апофему. Высота макета равны ~ 20,4 см, а апофема ~23,6 см. Используя формулы, я также нашла площадь основания и площадь боковой грани. S основания равна 576 см2 , а S боковой грани ~283,6 см2, а S всех боковых граней равна 1134,4 см2. Для настоящего дома эти размеры слишком малы, поэтому для постройки настоящего дома необходимо увеличить в 30 раз.

В ходе работы я также рассматривала тетраэдр, поэтому для удобного изучения я создала его макет. Он прозрачный, чтобы в нём была видна высота. Все рёбра тетраэдра равны 13,5 см. Высота в нём равны 11 см, а апофема~11,7 см. S поверхности грани ~ 79 см2, а S всех граней~316 см2.

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:

  1. Wikiway – Египетские пирамиды

  2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. Геометрия, 2009

  3. Википедия – Пирамида (архитектура)

  4. Википедия -Пирамида (геометрия)

  5. Википедия – Тэтраэдр

  6. Михайловский К. Пирамиды и масштабы. Варшава, 1973

Просмотров работы: 14