XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Способы решения систем линейных уравнений
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Паспорт проекта
Название проекта: «Способы решения систем линейных уравнений».
Руководитель проекта: Наталья Владимировна Портнягина.
Автор проекта: Портнягина Ксения Сергеевна
Учебная дисциплина: Математика (алгебра).
Тип проекта: исследовательский.
Цель работы: разработать краткое методическое пособие, в котором рассматривается решение систем линейных уравнений различными способами.
Задачи работы:
1. Изучить учебную литературу и составить краткий теоретический справочник;
2. Научиться решать системы линейных уравнений;
3. Проанализировать и классифицировать задачу № 13 ОГЭ и представить подробное решение к каждому виду;
4. Научиться оперировать как аналитическим, так графическим способами.
Актуальность проекта: я выбрала эту тему, потому что хочу научиться решать задание из ОГЭ и набрать большое количество балов на экзамене. При этом проанализировать дополнительную литературу, найти способ решения систем линейных уравнений, не содержащихся в учебнике.
Гипотеза проекта: систематизация знаний и рассмотрение методов решения систем линейных уравнений облегчит учащимся сдачу основного государственного экзамена.
Краткое содержание проекта: проект разделен на две основные части: теоретическую и практическую. В теоретической части будет рассматриваться повторение основных понятий (линейное уравнение, решение систем линейных уравнений методом подстановки, методом сложения, графический метод, метод Крамера); в практической части непосредственно демонстрируется применение теоретических знаний, а именно решение систем линейных уравнений конкретных задач.
Результат проекта (продукт): методическое пособие с решением задач для подготовки к 13 заданию из экзамена (ОГЭ)
Реализация проекта: презентация методического пособия, рекомендующегося для учащихся 9 классов.
Введение
В 2022 году в ЕГЭ по профильной математике в Новосибирске участвовало 6130 человек. На основе аналитической статистики Новосибирского института мониторинга и развития образования можно сделать вывод, что учащиеся умеют выполнять основные действия с функциями (задание № 9(10)). Но при этом с другими задачами на более углубленное исследование и применение свойств функции ученики справляются заметно хуже (№ 6, 12, 14, 17). Возможно, это связано с тем, что старшеклассники знают о свойствах функции поверхностно, а задача №9(10) решается шаблонно без основательного понимания.
Я выбрала эту тему, потому что изучение функций (алгебраические и трансцендентные) занимают центральное место в школьной алгебре. Понимание поведения той или иной функции, максимальное представление её свойств позволяют с легкостью решать многие задачи (как графически, так и аналитически). При этом стоит отметить, что подробный разбор задач на функции и систематизация теоретических знаний позволит ученикам не столько разобраться в своих ошибках, но и осилить любую другую сложную или интересную задачку.
С практической стороны очень важно уметь решать систему линейных уравнений с двумя переменными, так как она является математической моделью реальных ситуаций.
1. Теоретическая часть
1.1 Линейное уравнение с двумя переменными и его график.
Линейным уравнением с двумя переменными называют уравнение вида , где x и y - переменные, a, b, c - некоторые числа.
В каждом из случаев, когда или и , графиком уравнения является прямая.
Пусть в линейном уравнении . Имеем .
Если , то это уравнение не имеет решений, а значит, на координатной плоскости не существует точек, которые могли бы служить графиком уравнения.
Если , то уравнение принимает вид . Любая пара чисел является его решением. Следовательно, в этом случае графиком уравнения является вся координатная плоскость.
|
Уравнение |
Значения a, b, c |
График |
|
, a и c - любые |
Невертикальная прямая |
|
|
, , с - любое |
Вертикальная прямая |
|
|
Вся координатная плоскость |
||
|
, |
- |
1.2 Системы уравнений с двумя переменными
Если требуется найти все общие решения нескольких уравнений, то говорят, что надо решить систему уравнений. Систему уравнений записывают с помощью фигурной скобки.
Решением системы уравнений с двумя переменными называют пару значений переменных, обращающих каждое уравнение в верное равенство.
Решить систему уравнений - значит найти все её решения или доказать, что решений не существует.
1.3 Графический метод решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными
Графический метод решения системы уравнений заключается в следующем:
-
построить на одной координатной плоскости графики уравнений, входящих в систему;
-
найти координаты всех точек пересечения построенных графиков;
-
полученные пары чисел и будут искомыми решениями.
Графический метод эффективен тогда, когда требуется определить количество решений системы.
Если графиками уравнений, входящих в систему линейных уравнений, являются прямые, то количество решений этой системы зависит от взаимного расположения двух прямых на плоскости:
-
если прямые пересекаются, то система имеет единственное решение;
-
если прямые совпадают, то система имеет бесконечно много решений;
-
если прямые параллельны, то система решений не имеет.
1.4 Решение систем линейных уравнений методом подстановки
Чтобы решить систему линейных уравнений методом подстановки, следует:
-
выразить из любого уравнения системы одну переменную через другую;
-
подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной выражение, полученное на первом шаге;
-
решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
-
подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге;
-
вычислить значение второй переменной;
-
записать ответ.
1.5 Решение систем линейных уравнений методом сложения
Чтобы решить систему линейных уравнений методом сложения, следует:
-
подобрав "выгодные" множители, преобразовать одно или оба уравнения системы так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;
-
сложить почленно левые и правые части уравнений, полученных на первом шаге;
-
решить уравнение с одной переменной, полученное на втором шаге;
-
подставить найденное на третьем шаге значение переменной в любое из уравнений исходной системы;
-
вычислить значение второй переменной;
-
записать ответ.
1.6 Метод Крамера
Существует еще один способ решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными, так называемый метод Крамера.
Пусть даны четыре числа, например, 1, 2, 3, 4. Расположим эти числа в виде квадратной таблицы следующим образом:
Слева и справа этой таблицы проведем вертикальные отрезки, получим символ .
Элементы 1, 2, 3, 4 называются элементами символа. Элементы 1 и 2 образуют первую строку, элементы 3 и 4 - вторую строку. Элементы 1 и 3 образуют первый столбец, а элементы 2 и 4 - второй столбец.
Наконец, элементы 1 и 4 образуют главную диагональ, а элементы 2 и 3 - побочную диагональ. Рассмотрим произведения элементов главной диагонали и элементов побочной диагонали символа. Дадим следующее определение:
Определителем второго порядка называется число, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Таким образом, определитель равен
В общем случае, для обозначений элементов определителя ограничимся одной буквой, снабженной двумя индексами, из которых первый соответствует номеру строки, а второй - номеру столбца определителя, в котором расположен данный элемент. Например, если элемент расположен в определителе во второй строке и первом столбце, то он будет обозначаться а21. При этом надо помнить, что а11, а12, а21, а22, вообще говоря, это различные элементы определителя.
Обозначим определитель буквой , запишем
При перестановке элементов определителя он изменится. Однако если переставить элементы таким образом, чтобы в полученном определителе строки заменились соответствующими столбцами, а столбцы - соответствующими строками исходного определителя, то полученный таким образом определитель не изменит своего значения. В самом деле, заменив в определителе строки столбцами, а столбцы строками и вычислив полученный определитель, будем иметь
Сравнив правые части равенств, замечаем, что они равны.
Рассмотри систему двух линейных уравнений с двумя переменными:
,
.
Исследуем теперь эту систему:
1. Если , то система имеет единственное решение:
;
2. Если , а то система решений не имеет.
3. Если , то система имеет бесконечное множество решений.
2. Практическая часть
2.1. Решение задачи методом сложения
Задача :
На пошив одного платья и 4 юбок пошло 9 м ткани, а на 3 таких же платья и 8 таких же юбок - 21 м ткани. Сколько ткани надо для пошива одного платья и одной юбки отдельно?
Решение:
Пусть х м ткани требуется на одно платье, а на одну юбку - у м.
Составим систему линейных уравнений, решим её методом сложения.
;
;
;
.
На пошив одного платья уйдет 3 м ткани, а одной юбки - 1,5 м ткани.
Ответ: 3 м; 1,5 м.
2.2 Решение задачи методом подстановки
Задача:
Стол и стул стоили вместе 4100 рублей. После того, как стол подешевел на 20%, а стул подорожал на 10%, они стали стоить вместе 3670 рублей. Найдите первоначальную цену стола и первоначальную цену стула.
Решение:
Пусть х рублей - первоначальная цена стола, а y рублей - первоначальная цена стула. Новая цена стола составляет 80% первоначальной и равна 0,8х рублей. Новая цена стула составляет 110% первоначальной и равна 1,1y рублей. Тогда 0,8х + 1,1у=3670.
Получим систему уравнений:
Решим данную систему методом подстановки.
Ответ: 2800 рублей, 1300 рублей.
2.3 Решение задачи методом Крамера
Задача:
У Петра были монеты по 2 рубля и по 10 рублей. Он говорит, что купил книгу за 240 рублей, отдав за нее 30 монет, а Василий говорит, что такого быть не может. Кто прав?
Решение:
Пусть было x монет по 2 рубля и y монет по 10 рублей. Тогда
Решением этой системы является пара чисел (7,5; 22,5), что не соответствует смыслу задачи, так как количество монет может быть только натуральным числом.
Ответ: прав Василий.
Заключение
Подведем итоги по сделанной работе: для меня было сложно не только искать информацию в интернете и книгах, но и решать задачи, составлять математические модели.
В результате написания проекта, я познакомилась с новым методом решения системы линейных уравнений, а именно методом Крамера.
Список литературы
1. Гельфонд А.О. Решение уравнений в целых числах. - М.: Наука, 1978.
2. Мерзляк А.Г. Алгебра: 8 класс: учебник для обучающихся общеобразовательных организаций - М.: Вентана - Граф, 2018.