Изучение отдельных свойств треугольника Паскаля для тренировки аналитических функций шахматиста средней квалификации

XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Изучение отдельных свойств треугольника Паскаля для тренировки аналитических функций шахматиста средней квалификации

Иванова А.В. 1
1Государственное автономное образовательное учреждение "Лицей Иннополис"
Грелова Т.В. 1
1ГАОУ "Лицей Иннополис"
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Шахматы - одна из самых вариативных игр, в основе которой лежат глубокие и безошибочные расчеты комбинаций при перемещении фигур. Игрок после разнообразных дебютов погружается в мир огромного количества вариантов миттельшпиля и эндшпиля. Особенность же этих двух этапов партии - тщательное просчитывание своих ходов и ходов соперника. Успех обеспечивается четким, грамотным и быстрым рассчётом каждого хода. Без знаний методов счета вариантов передвижений фигур не достичь успеха.Умение точно и быстро рассчитывать варианты – одно из важнейших качеств шахматного мастерства. Что такое варианты и как их рассчитывать, шахматист узнаёт на первых ступенях освоения шахматной игры. Игрок средней квалификации уже имеет достаточный опыт и знания, хорошо видит комбинации на доске, чувствует игру. На этом этапе особенно важно развивать умение рассчитывать сложнейшие варианты, которые состоят из элементарных ходов. Возникает необходимость быстрого подсчета большого количества вариантов.

Актуальность темы обусловлена неизбежностью расчета вариантов ходов на всех этапах шахматной партии – дебюте, миттельшпиле, эндшпиле. Поэтому необходимо постоянно совершенствовать навыки таких расчетов особенно у игроков средней квалификации.

Цель: выяснить какие из свойств всем известного треугольника Паскаля возможны для применения при развитии навыков расчета вариантов ходов, являющихся важнейшей аналитической функцией шахматиста.

Проблема: одна из отличительных особенностей хорошего шахматиста – умение рассчитывать большое количество ходов во время игры. Как же развивать это качество? Решением проблемы может служить выполнение упражнений для подсчета вариантов, основанных на свойствах треугольника Паскаля.

Объект исследования: навыки расчета вариантов в шахматной партии.

Предмет исследования: отдельные свойства треугольника Паскаля, применимые для расчета количества вариантов передвижений шахматных фигур.

Задачи:

  1. провести анализ литературы о методах расчета вариантов, как важнейшей аналитической функции любого шахматиста.

  2. определить способы тренировки навыка расчета вариантов.

  3. выявить отдельные свойства треугольника Паскаля как одного из видов расчета, применимые для тренировки аналитических функций шахматиста.

  4. разработать упражнения на основе отдельных свойств треугольника Паскаля для тренировки навыка расчета вариантов.

  5. апробировать полученные знания на занятиях шахматного кружка.

В исследовательской работе были использованы методы:

  • теоретические (изучение литературы и других источников, сбор информации, ее систематизация, аналогия),

  • эмпирические (практическое исследование и обобщение полученного опыта, анализ данных),

  • общенаучные (наблюдение, анализ, синтез),

  • математические (обобщение и специализации).

Глава 1 Теоретические основы исследования

1.1 Актуальность и исходное состояние проблемы

Шахматы – одна из самых древних игр, которая зародилась в Индии в V–VI веках. Основные качества, способствующие совершенствованию аналитических критериев подготовки шахматистов, - это расчет вариантов, комбинационное зрение, позиционное чутье, чувство опасности, чувство динамики, чувство времени, умение играть в быстрые шахматы и блиц. В шахматной партии важен выбор правильного и, естественно, сильнейшегохода. Шахматный вариант – это серия логически связанных между собой ходов [3]. В зависимости от ответов соперника вариант может иметь различные разветвления. Быстрый расчёт вариантов, способность предусмотреть все возможные разветвления – важные качества шахматистов. Начиная расчет вариантов в шахматной партии, игрок должен в первую очередь мысленно перечислить и точно зафиксировать все возможные в данной позиции ходы-кандидаты, чтобы в дальнейшем не упустить какую-либо важную возможность продолжения игры [6].

Блюменфельд Б.М. в книге "Комбинации в шахматной партии" [1] описывает, как находить и распознавать скрытые тактические ресурсы позиции, реализовывать выигранный материал, продумывать комбинации атаки и ведения защиты. Книга направлена на развитие комбинационного зрения.

Голенищев В. «Программа подготовки шахматистов 1 разряда» [3] - книга направлена на совершенствование решения этюдов, комбинационного и тактического зрения, развитие атакующих навыков, техник эндшпиля и позиционной игры.

В своём сочинении "Стратегия и тактика шахмат» Лисицин Г.М. разобрал основные тактические и стратегические идеи [6].

Заслуженный тренер СССР, России и Грузии Дворецкий М.И. в книге «Школа высшего мастерства. Комбинационная игра» развивает главные компоненты тактического мастерства шахматиста — комбинационное зрение и технику расчёта вариантов [4].

Были изучены статьи:

        1. https://chessfox.com/improve-chess-tactics/ - How to Get Better at Chess Tactics [9].

        2. https://schoolchesszao.ru/2021/07/ - техника расчета [10].

        3. https://xchess.ru/10-sovetov-kak-uluchshit-takticheskoe-zrenie.html - как улучшить тактическое зрение [11].

        4. https://www.chess.com/blog/IoisIane/improving-tactical-skills - Improving tactical skills [12].

К сожалению, информации, посвящённой выработке умения расчёта вариантов, оказалось недостаточно. Практически отсутствует описание способов тренировки и развития данного навыка, что усложняет самостоятельную подготовку и развитие у шахматиста аналитических функций.

1.2 Методы расчета вариантов в шахматах

При выполнении расчета вариантов в тактической позиции шахматисты используют две основные методики: советского гроссмейстера Александра Котова и австрийского гроссмейстера Валерия Бейма.Александр Александрович Котов - советский шахматист, международный гроссмейстер, двукратный олимпийский чемпион по шахматам в составе сборной СССР 1952, 1954 гг. Котов впервые ввел понятие “дерево расчета” в своей книге «Тайны мышления шахматиста» [5]. В книге изложен метод систематизации мышления игрока при расчете вариантов дальнейшего продолжения игры. Первым делом шахматист выбирает несколько ходов - кандидатов в данной позиции. В основу дерева расчета положен один из главныхходов. Ответы противника представляют собой самые крупные ветви дерева. Эти ветви в свою очередь разделяются на меньшие, те уже расходятся на мельчайшие веточки. Количество таких разветвлений зависит от особенностей позиции и умения шахматиста находить ходы-кандидаты и показывает степень совершенства расчета. Основное правило, которое А. Котов выделяет в своей методике, - это то, что рассчитывая сложные варианты, нужно пробегать по многочисленным веточкам дерева расчета только по одному разу. Ни в коем случае не метаться по сучкам, не терять времени на повторные, проверочные расчеты. Построив в голове такое “дерево расчета” и проанализировав его, шахматист должен определиться с ходом и продолжить партию.

Существует несколько типов“дерева расчета”:

  1. “Голый ствол” - никакого дерева нет - один лишь голый столб с единственным сучком, ведь позиция на доске проста, а комбинация имеет всего лишь один вариант. (Алехин - Трейбал, Пестьен, 1922 г.,)

  2. “ Кустарник” - один столб и большое количество коротких сучков. Позиция на доске такова, что верное решение можно найти с помощью простых вариантов (Алехин - Рети, Вена, 1922 г.)

  3. “ Вариантные дебри” - несколько столбов, большое количество сучков, от которых отходят еще и еще сучки, ведь на доске сложная позиция со множеством вариантов, причем каждый из этих вариантов на каждом ходу разветвляется на несколько продолжений.

Данная методика имеетпреимущества:

  1. При соблюдении основного правила, даже в самой сложной позиции, требующей долгого и емкого расчета, шахматист расходует время рационально, а значит предотвращает шансы попадания в цейтнот.

  2. Расчет вариантов производится в строгом порядке, что формирует у шахматиста ясное и четкое, а главное систематизированное мышление.

  3. Экономичность – достижение тактической цели минимальными средствами.

  4. Рациональность - будут просчитаны все варианты, ни один не останется упущенным.

Недостатки:

  1. Методика сложна в освоении и на первых порах шахматисту будет сложно уложиться во временные рамки партии.

  2. Очень сложно держать в голове большое «дерево расчета», которое часто придется строить в партиях.

Также популярным и используемым методом является техника расчета тактических вариантов по В. Бейму, описанный в книге «Шахматная тактика. Техники расчета» [2]. Валерий Ильич Бейм - австрийскийшахматисти шахматный тренер,гроссмейстер. Валерий Бейм в своей технике опирался на уже существуемый метод А. Котова, но изменил его, приблизив ход расчета к реальным возможностям во время партии. Первым этапом Бейм выделяет, не просто поиск ходов-кандидатов, а тщательный анализ позиции на доске. Такой анализ позволяет игроку не только определить важнейшие детали позиции, выявить практичный порядок расчета и установить дальнейшую цель игры, но и осуществить ранжирование ходов: отбросить ненужное, сосредоточить внимание на необходимом. Это позволит играющему сэкономить время и силы для последующей борьбы. Вторым этапом В. Бейм определяет выделение главного направления расчета. На этом шаге шахматист должен оценить выбранные ходы-кандидаты, выделив такой ход, который направлен не просто на усиление позиции или подготовку запланированных действий, а немедленное и непосредственное достижение намеченной цели. К ходам-кандидатам этого рода следует отнести ходы, ведущие к прямому столкновению сил сторон, т.е. к наиболее форсированному развитию событий.

Валерий Ильич отмечает правило: если в процессе расчета ходов-кандидатов выясняется, что какой-либо из них ведет к сложным, труднопредсказуемым последствиям, то разумнее будет временно отложить его расчет и проверить другие продолжения.Бейм предлагает методику «поэтапного расчета», цель которой в том, чтобы обеспечить шахматисту максимальную ясность при расчете и оценивании. Достигается эта ясность за счет того, что на каждом новом этапе расчет начинается как бы заново. Чем определённее у игрока выражена позиция главной цели на доске в данный момент, тем легче ему работать над ней. Стоит сосредоточиться на одном направлении, а все остальное доверить своим оценочным способностям и своей интуиции.

Метод В. Бейма необычный и у него есть свои преимущества:

  1. Метод легок для понимания и освоения, ведь не предполагает расчета большого количества вариантов, а указывает на просчитывание одной или нескольких основных ветвей развития партии

  2. Метод позволяет экономить время, за счет возможности сосредоточиться на небольшом количестве ходов-кандидатов и их тщательном просчете

  3. За счет предварительного тщательного и полного анализа партии, минимизируется возможность допустить ошибку

Главным же недостатком является то, что часть ходов внимательно не анализируется, что может привести к потере фигур и темпа игры.

Проанализировав две методики расчета вариантов, можно сделать вывод, что каждая из них уникальна и имеет свои преимущества. Не так важно, какую именно методику изберет для себя шахматист. Как и любое другое умение, навык расчета нужно постоянно совершенствовать. Для этого не описаны какие-то техники и программы тренировок.

Основными способами тренировки являются:

  1. разбор известных партий, во время которого шахматист средней квалификации стремится самостоятельно продумать дальнейшие ходы игроков и предугадать их

  2. решение различных позиционных задач

  3. изучение шахматных книг

  4. игра вслепую

Но пользуясь лишь этими способами, требуется большое количество времени, чтобы заметить значительный прогресс навыка расчета. К тому же, представленные выше способы являются достаточно сложными, и непрофессиональному игроку очень трудно их воспринимать и использовать самостоятельно. Поэтому я думаю, необходимо разработать какие-либо упражнения, которые были бы направлены конкретно на совершенствование техники расчета как самих ходов, так и их количества. Данные упражнения можно составить, обратившись к математике, а именно к удивительной фигуре - треугольнику Паскаля.

Глава 2

Треугольник Паскаля и его свойства

Т реугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой на вершине и по боковым сторонам стоят единицы, каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке [7].

Т реугольник Паскаля получил свое название в честь выдающегося математика и философа XVII века Блеза Паскаля. Однако, еще задолго до него, персидский математик Аль-Караджи, живший в X веке, изучал этот треугольник и описал его в своей утерянной книге. Впоследствии, персидский поэт-математик-астроном Омар Хайям повторил исследования Аль-Караджи в XI веке, используя уже известную биномиальную теорему для воссоздания треугольника. В связи с этим, в Иране треугольник часто называют треугольником Хайяма.

В то же время, китайцы также были знакомы с треугольником Паскаля в XI веке. Китайский математик Цзя Сянь разработал треугольное представление коэффициентов биномиальной теоремы, а позже Ян Хуэй продолжил его изучение и обнаружил в нем еще больше свойств. Его исследования и открытия популяризировали треугольник в Китае, где его называют Треугольником Янхуэя.В Европе треугольник Паскаля был замечен в 1527 году, когда Петр Апиан поместил его на фронтисписе своей книги о деловых расчетах [8]. В Италии треугольник получил название треугольника Тартагалии в честь итальянского алгебраиста Никколо Фонтана Тартагалии, который опубликовал шесть рядов треугольника в 1556 году. Джероламо Кардано также изучал треугольник в 1570 году и опубликовал правила его построения.

Блез Паскаль опубликовал свой трактат "Traite du Triangle Arithmetique" (Трактат об арифметическом треугольнике) в 1665 году. Он использовал уже известные свойства треугольника для решения вероятностных задач и открыл новые свойства, для которых представил доказательства. В западном мире треугольник был назван в честь Паскаля и его имена, Пьера Раймона де Монмора и Авраама де Муавра, широко используются сегодня.

Такая простая фигура, как треугольник Паскаля обладает множеством удивительных свойств. Свойства треугольника Паскаля:

  1. Числа треугольника симметричны (равны) относительно вертикальной оси

  1. Первая диагональ треугольника Паскаля - это натуральные числа, идущие по порядку

  1. В доль второй диагонали треугольника выстроены треугольные числа.

  1. Третья диагональ треугольника Паскаля - это «пирамидальные» числа или тетраэдральные числа, показывающие сколько шаров может быть уложено в виде треугольной пирамиды (тетраэдра).

  2. Если строки в треугольнике Паскаля выровнять по левому краю, то суммы чисел, расположенных вдоль диагоналей, идущих слева направо и снизу вверх, равны числам Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597…(каждое число в этой последовательности равно сумме двух предыдущих)

  3. Сумма чисел, стоящих на четных местах, равна сумме чисел, стоящих на нечетных местах.

  4. Сумма чисел, стоящих в любой строке треугольника, вдвое больше суммы чисел, стоящей в предыдущей строке

  5. Сумма чисел первой (самой верхней) строки равна 1. Следовательно, суммы чисел, стоящих в строках треугольника Паскаля, образуют геометрическую прогрессию с первым членом, равным 1, и знаменателем 2: 1, 2, 4, 8, …

  6. Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих пространство, ограниченный теми диагоналям, на пересечении которых стоит это число.

  7. К аждое число треугольника Паскаля равно сумме предыдущей диагонали, стоящей над этим

  8. Если номер строки треугольника Паскаля – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число

  9. Числа, стоящие на горизонтальных строках треугольника Паскаля, - это биномиальные коэффициенты, то есть коэффициенты разложения n (a+b) по степеням.

  10. Каждое число в треугольнике равно количеству способов добраться до него из вершины, перемещаясь либо вправо - вниз,либо влево – вниз.

Глава 3

Отдельные свойства треугольника Паскаля, применимые для тренировки аналитических функций шахматиста средней квалификации

Особое внимание стоит обратить на последнее свойство треугольника Паскаля. Именно оно возможно к использованию при составлении шахматных задач для тренировки аналитических функций шахматиста средней квалификации, ведь это свойство описывает количество способов добраться из точки A (вершины) в точку B (любая точка треугольника), а значит отлично подходит для применения в задачах на расчет вариантов.

Заметим, что передвижения по треугольнику Паскаля возможны лишь двумя способами: либо вниз-вправо, либо вниз-влево, а значит при составлении задач нужно подбирать такие шахматные фигуры, которые способны ходить данным способом. Таких фигур в игре две – король и ладья. Если король по своей сущности ходит только на одну клетку, то на передвижения ладьи стоит накладывать ограничения – ладья в задачах должна перемещаться только на одну клетку на вертикали или горизонтали.

Решение задачи подразумевает представление треугольника Паскаля на шахматной доске в уме, а значит итоговое количество вариантов не должно быть очень большим, но при обучении данному способу стоит рисовать треугольника Паскаля для лучшего его усвоения.

Задача 1.

Проследите путь, который ладья может пройти от своего углового положения до противоположного угла. Сколько таких маршрутов?

Решение 1.

Полезная стратегия решения проблемы состоит в том, чтобы упростить задачу: подсчитать количество различных путей, по которым ладья дойдет до ближайшего поля. У ладьи есть только два варианта выбора дальнейшего хода, как показано на рисунке.

Невозможно дойти до третьей или четвертой линии, пока не наступит осознание, что паттерн порождает треугольник Паскаля.

Разобьем задачу на несколько этапов:

1. Определить начальную и конечную точки (на рисунке выделены красным)

2. Определить тип передвижения фигуры

3. Представить шахматную доску, как треугольник Паскаля, где начальная точка фигуры - вершина треугольника, а в конечной содержится ответ на поставленную задачу.

Затем остается лишь построить треугольник Паскаля, боковые стороны которого будут состоять из восьми единиц каждый, а каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке. Ответом на вопрос «Сколько таких маршрутов?» будет являться число, находящееся в конечной клетке. Таким образом, существует 3432 различных кратчайших пути, которые ладья может пройти из одного угла в противоположный угол.

Приведем пример схожей задачи, но с другой фигурой. Среди всех фигур на шахматной доске особой «неторопливостью» отличается король. Он способен передвигаться только на соседние поля.

Задача 2. Определить количество вариантов движения короля до поля е5 (выделено красным).

Р ешение 2

Действуя аналогично решению 1 составим треугольник Паскаля: вершина – начальная точка короля, боковые стороны состоят из четырех – пяти единиц. Начнем заполнять треугольник «снизу - вверх». В итоге на пути до е5 король имеет 19 равнозначных вариантов.

Ответ: 19.

Также аналог треугольника Паскаля может использоваться для определения силы фигур, основанного на измерении подвижности. Логично считать фигуру тем сильнее, чем большее число полей она контролирует. Составим треугольник очень похожий на треугольник Паскаля, но число в каждой клетке определяет возможное количество передвижений фигуры, когда она там находится.

Рассмотрим на примере короля. Король с каждого углового поля может сделать только три хода. С остальных полей крайних линий – пять, а нормальная подвижность короля, когда он находится на достаточном расстоянии от края доски, составляет восемь ходов. Заполним шахматную доску числами 3, 5 и 8.

Суммируя их, получаем общее число возможных перемещений, которое равно 420. Для вычисления средней подвижности короля, необходимо общее число возможным перемещений разделить на 64. Для короля этот параметр составляет 420 / 64 ≈ 6.56

Выполнение подобных упражнений развивает:

1. Навык расчета количества вариантов в шахматной партии, ведь шахматист должен в уме представить треугольник Паскаля и полностью расставить в нем числа.

2. Способность визуализации

3. Критическое и образное мышление

Заключение

В шахматной партии важен выбор правильногохода. Умение точнои быстро рассчитывать варианты – один из факторов аналитического мышления шахматиста. Шахматныйвариант – это серия логически связанных междусобой ходов. В зависимости от ответов соперника вариант может иметь различные ветвления.Быстрый расчёт вариантов, способность предусмотреть все возможные ветвления – залог успеха шахматиста. Начиная расчет вариантовв шахматной партии, игрок обязан мысленно перечислить и точно зафиксировать всевозможные в данной позиции ходы-кандидаты, чтобы в дальнейшем не упустить какую-либо важнуювозможность продолжения игры.

Изучив литературные и интернет-источники, мы убедились, что информации, посвящённой выработке умения подсчёта вариантов, недостаточно. Практически отсутствует описание способов тренировки и развития данного навыка, что усложняет самостоятельную подготовку и развитие у шахматиста аналитических функций. Для решения проблемы привлекли знания о треугольнике Паскаля. Было решено глубже изучить свойства треугольника Паскаля и выделить те из них, которые целесообразно применить при расчете вариантов в шахматной партии. В ходе работы были разработаны упражнения на основе отдельных свойств треугольника Паскаля для тренировки у игрока навыка расчета вариантов.

Практическая значимость:

  1. На основании изученного можно составить набор упражнений на подсчет вариантов для шахматистов средней квалификации.

  2. Материалы работы можно применить в работе шахматного кружка и факультатива в качестве задач на развитие аналитического мышления игрока.

  3. Содержание работы является основой для отыскания других малоиспользуемых в шахматах способов расчета вариантов.

Список использованной литературы

        1. Блюменфельд Б.М. Комбинации в шахматной партии / Блюменфельд Б.М. - Москва: Russian Chess House / Русский Шахматный Дом, 2010. - 96 с. - ISBN 978-5-94693-101-4

        2. Бейм В.И. / Шахматная тактика. Техники расчета / Бейм В.И. - Москва: Русский Шахматный Дом, 2018. - 265 с. - ISBN 978-5-94693-656-9

        3. Голенищев В.Е. Программа подготовки шахматистов I разряда / Голенищев В. Е. - Москва: Физкультура и Спорт, 1980. – 112 с.

        4. Дворецкий М.И. / Школа высшего мастерства. Комбинационная игра / Дворецкий М.И - Харьков: ФАКТ, 2002. - 256 с. - ISBN: 966-637-061-1

        5. Котов А.А. Тайны мышления шахматиста / Котов А.А. - Москва: Москва, 1970. - 159 с.

        6. Лисицин Г.М / Стратегия и тактика шахмат / В.Василевский - Москва: Русский Шахматный Дом, 2017. - 520 с. - ISBN 978-5-94693-616-3

        7. Мартин Гарднер Неисчерпаемое очарование треугольника Паскаля. Математические новеллы.  Москва: Мир, 2003. 456с

        8. Паскаля треугольник // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М.: Педагогика, 1985. — 230 с.

        9. https://chessfox.com/improve-chess-tactics/ - How to Get Better at Chess Tactics

        10. https://schoolchesszao.ru/2021/07/ - техника расчета

        11. https://xchess.ru/10-sovetov-kak-uluchshit-takticheskoe-zrenie.html - как улучшить тактическое зрение

        12. https://www.chess.com/blog/IoisIane/improving-tactical-skills - Improving tactical skills

Просмотров работы: 8