XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Числа Фибоначчи и Золотое сечение: великие математические связи
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение.
Отпустите свое воображение в свободный полет. Задумайтесь о Вселенной, о созвездиях, о нашей Галактике. Поразмышляйте о красоте и форме всевозможных природных чудес: океанов, деревьев, цветов, животных и даже микроорганизмов в воздухе, которым мы дышим. Направьте свою мысль дальше, на достижения человека в таких областях, как естественные науки, теория ядра, медицина, радио и телевидение. Возможно, вы удивитесь, узнав, что во всех этих объектах кроется нечто общее - суммарная последовательность Фибоначчи. Числа Фибоначчи – пример математической абстракции, которая непостижимым образом присутствует в окружающей нас жизни.
Числовая закономерность Фибоначчи не единственная. Если поделить все числа ряда Фибоначчи друг на друга, мы получаем новый ряд, каждое число в котором так же будет суммой двух предыдущий. При делении большего числа на меньшее результат будет стремиться к числу 1,618, при делении меньшего на большее – 0,618. Они называются числами фи. Величина фи – 1,6180339 вошла в историю живописи и архитектуры как Золотое сечение.
Число бесконечно. Как частное от деления двух соседних чисел пропорции оно все время стремиться к 1,618 и никогда не приближается к ней. Каждая следующая дробь то меньше, то больше фи. Можно подключить к расчетам самые мощные компьютеры, и они исчерпают себя и остановятся, а число фи будет продолжаться. Число фи – бесконечно. У него нет ни начала ни конца. Значит, открывая все новые его появления во Вселенной и в себе самих, мы сможем совершать удивительные открытия. Ибо спираль жизни бесконечна, как и число Фибоначчи.
Актуальность исследования обусловлен широким использованием чисел Фибоначчи в теории чисел, комбинаторике, а также в различных прикладных задачах. Они также имеют применение в компьютерных алгоритмах, в частности, в алгоритмах оптимизации. Использованием золотого сечения в природе, искусстве, архитектуре, музыке и узорах, также в дизайне, композиции и фотографии для создания гармоничных и пропорциональных элементов. Объектом нашего исследования является процесс построения чисел Фибоначчи.
Проблема, которую призвано разрешить наше исследование, заключается в том, что мы не знаем и не видим в окружающей нас среде влияние числовой закономерности чисел Фибоначчи на наше восприятие вещей в повседневной жизни.
Гипотезаисследования состоит в предположении, что ряд чисел Фибоначчи обладает определенными закономерностями и тесно связан с золотым сечением.
Методы исследования:
- теоретические (поиск, изучение и анализ литературы и интернет ресурсов; применение математических доказательств и теорем)
- практические (реализовать алгоритмы построения чисел Фибоначчи с помощью языка программирования)
Объектом нашего исследования является процесс построения чисел Фибоначчи.
Предмет исследования – числа Фибоначчи, золотое сечение.
Цель нашего исследования заключается в построении чисел Фибоначчи в программном средстве «Python».
Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:
– провести теоретический анализ литературы по теме исследования, определить понятие «числа Фибоначчи»;
– изучить историю возникновения чисел Фибоначчи;
– рассмотреть сущность и алгоритм построения чисел Фибоначчи;
– реализовать алгоритмы построения чисел Фибоначчи с помощью языка программирования «Python».
1.История возникновения чисел Фибоначчи.
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе. На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «LiberAbaci» . Эта книга, написанная в 1202 году, дошла до нас во втором варианте, написанном в 1228 году. «Книга об абаке» представляет собой объемистый труд, содержащий почти все арифметические и алгебраические сведения того времени и сыгравший большую роль в развитии математики в Западной Европе в течение нескольких последующих столетий. По иронии судьбы Леонардо, внесший существенный вклад в развитие математики, в наши дни известен потому, что живший в позапрошлом веке французский математик Эдуард Люка назвал именем Фибоначчи числовую последовательность, возникающую в одной довольно тривиальной задаче из «Книги об абаке», написанной Леонардо в 1202 году. Вот эта задача в том виде, как формулирует ее сам Фибоначчи –
«Пара кроликов через месяц производит на свет другую пару, а потомство они дают со второго месяца после своего рождения. Итак, через месяц будет две пары, через два месяца – три пары, а через четыре месяца – пять, так как к паре, рожденной первой парой, добавятся первые дети от второй пары…»(рис.1). Продолжая процесс, мы получим количество пар кроликов по месяцам: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55… – эти числа и представляют ряд, названный по имени автора задачи.
Рисунок 1
Числа Фибоначчи заинтересовывали математиков с давних времен. Несмотря на то, что после их открытия прошел очень большой промежуток времени, эти числа остаются актуальными и по сей день.
2.Основы теории чисел Фибоначчи
Числа Фибоначчи — элементы числовой последовательности, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается реккурентным соотношением:
Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для неположительных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую основному соотношению. Члены с такими номерами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: Fn = Fn + 2 − Fn + 1:
|
n |
−10 |
−9 |
−8 |
−7 |
−6 |
−5 |
−4 |
−3 |
−2 |
−1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Fn |
−55 |
34 |
−21 |
13 |
−8 |
5 |
−3 |
2 |
−1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
Легко видеть, что . Для чисел Фибоначчи с отрицательными индексами остаются верными большинство нижеприведённых свойств
2.1 Свойства чисел Фибоначчи
Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов,
т. е. (Fm, Fn) = F(m, n).
Следствия:
Fm делится на Fn тогда и только тогда, когда m делится на n (за исключением n = 2).
В частности, Fm делится на F3 = 2 (то есть является чётным) только для m = 3k; Fm делится на F4 = 3 только для m = 4k; Fm делится на F5 = 5 только для m = 5k и т. д.
Fm может быть простымтолько для простых m (с единственным исключением m = 4).
Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет корни и .
Отношения являются подходящими дробями золотого сечения φ и, в частности,
.
В 1964 Дж. Кон доказал, что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:
F0 = 02 = 0, F1 = 12 = 1, F2 = 12 = 1, F12 = 122 = 144
При этом для n=0,1,12 верно утверждение Fn= n2.
Производящей функции последовательности чисел Фибоначчи является:
Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом 300, последние три цифры — с периодом 1500, последние четыре — с периодом 15000, последние пять — с периодом 150000 и т. д.
Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда 5N2 + 4 или 5N2 − 4 является квадратом.
3.Числа Фибоначчи и золотое сечение
Окружающий нас мир многообразен… Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бесформенность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и производят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойственна мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызывают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение. Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин. Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного. Термин золотое сечение ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изобретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта названия: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «божественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присутствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии.
Что же такое золотое сечение?
Рассмотрим отрезок АВ.
Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством
способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.
= (пропорция 1)
Деление отрезка в золотом отношении
Д а н о:
отрезок AB
П о с т р о и т ь:
золотое сечение отрезка АВ, т.е.
точку С так, чтобы =
Построим прямоугольный треугольник, у которого один катет в два раза больше другого. Для этого восстановим в точке В перпендикуляр к прямой АВ, отложим отрезок BD = AB. Соединим точки А и D, отложим отрезок DЕ = ВD, и наконец, АС = АЕ. Точка С является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.
-
lAB, Bl
-
BD = AB,Dl
-
AD
-
DE = BD, E AD
-
AC = AE, CAB
-
Точка С – искомая
Д о к а з а т е л ь с т в о:
Δ ABD – прямоугольный по построению. По теореме Пифагора
AD2 = AB2 + BD2, так как отрезок AD равен сумме отрезков AE и ED, то равенство перепишем в виде:
(AE + ED)2 = AB2 + BD2, т.к. AE=AC, ED=AB, BD=AB
(AC +AB)2=AB2+AB)2
AC2+2ACAB+AB2= AB2+ AB2
AC2+ACAB= AB2, AC2 = AB2- ACAB, AC2 = (AB- AC) AB = CBAB
AC2=CBAB =.
Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида, который решил её другим способом. Золотое сечение записывается с помощью пропорции. Пропорция – это равенство двух отношений. Найдем численное значение этих отношений. Для удобства длину отрезка АВ обозначим за а, а длину отрезка АС – за х, то длина отрезка СВ будет а – х.
Пропорция (1) примет вид = (пропорция 2)
(Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).
Так как отношения составляющие пропорцию равны, то найдём численное значение, например, отношения По свойству пропорции: произведение средних членов равно произведению крайних членов. Равенство (2) перепишется в виде:
x2=a(a-x)
х2+aх-a2=0
D=5a2
x1=Находим отношение =
Вычислим значение этого выражения с помощью микрокалькулятора 0,618034
Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,618034. Такое отношение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой φ. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях. Известно, что ряд чисел Фибоначчи наилучшим образом подходит для построения “золотого сечения”. При этом числа ряда Фибоначчи обладают целым рядом закономерностей.
Так, каждое число ряда представляет собой сумму двух предыдущих чисел: 0+1=1; 1+1=2; 1+2=3; 2+3=5 и т.д.
Вторая закономерность - стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к предыдущему числу к значению 1.618034.
Третья закономерность - стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к последующему числу к значению 0.618034.
Четвертая закономерность - стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к последующему числу через одно от текущего числа к значению 0.381966. Кстати, квадрат числа 0.618034 также равен 0.381966, а сумма этих двух чисел равна 1.
Пятая закономерность - стремление отношения текущего числа ряда Фибоначчи к предыдущему числу через одно от текущего числа к значению 2.618034. Квадрат числа 1.618034 также равен 2.618034.
Как мы видим, все приведенные выше закономерности крутятся вокруг “золотого сечения” и нет ни одного другого ряда, который бы таким образом отражал его
На уроках геометрии мы изучили равнобедренный треугольник, равносторонний треугольник, оказывается, существует ещё так называемый золотой треугольник.
Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:
Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е. отношение ширины к длине даёт число φ, называется золотым прямоугольником.
Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: обложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.
А теперь продолжим работу с золотым прямоугольником.
В нём построим квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова получим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике снова построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямоугольник. Произведём несколько аналогичных построений.
Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой.
Мы получили кривую, которая является золотой спиралью.
4. Числа Фибоначчи в природе.
Оказывается, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль. Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и математических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодействии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замедленным ростом «по инерции» до момента цветения. Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположена в месте золотого сечения. Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы. Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха (рис.2). Они выстраиваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в другую – 21. Отношение 13/21 равно . У более крупных соцветий подсолнуха число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, закручивающихся в разных направлениях также равно числу .
Рисунок 2
Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых шишек или ячеек ананаса (рис.3).
Рисунок 3
По золотым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Солнечной систем.
Как оказалось, пропорция фи – универсальный код Вселенной, который воспринимается человеческим сознанием во всей информационной и эмоциональной полноте. Саморазвитие жизни происходит по спирали, которая стала символом эволюции. И живем мы в спирали. Из всего сказанного можно сделать вывод, что золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы.
5.Построение ряда чисел Фибоначчи с помощью языка программирования «Python»
Можно сказать, что с появлением компьютерной графики изменился и сам подход к исследованию в точных науках. Если раньше ученым приходилось иметь дело, в основном, с числами и формулами, то теперь их работа стала гораздо интереснее.
С помощью языка программирования «Python» мы смогли воспроизвести алгоритм построения «ряда чисел Фибоначчи» (рисунок 4).
Код программы находится на сервере replit выглядит следующим образом: Fibonacci .
Алгоритм построения
Рисунок 4
Заключение
Числа Фибоначчи действительно актуальны для теории и практики в наше время. Подъём значимости чисел произошел в ХХ веке и продолжается до сих пор. Использование чисел Фибоначчи в экономике и информатике и привлекло массы людей к их изучению. Даже американский писатель фантаст Дэн Браун, в книге «Код да Винчи», описал последовательность Фибоначчи, как лже-шифр.
Методика нашего исследования заключалась в изучении специализированной литературы и обобщении полученной информации, а также проведении собственных исследований и выявлении свойств чисел и сферы их использования.
В ходе научных исследований мы определили само понятие чисел Фибоначчи, их свойства. Также выяснили интересные закономерности в живой природе.
Поставленные цель и задачи исследования были решены в результате анализа литературы и практической реализации алгоритмов построения ряда чисел Фибоначчи.
Список использованных источников
1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический
курс. М.: Школа-пресс, 1998.
2. Архитектурная бионика / Под ред. Ю. Лебедева. М., 1990.
3. Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. М., 1990.
4. Виппер Ю.Ф. Золотое деление как основной морфологический закон в
природе и искусстве. М., 1976.
5. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.
6. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., 1994.
7. Журнал «Квант», 1973. № 8.
8. Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней шко-
ле. Сб. статей под ред. П. Стратилатова. – М.: Учпедгиз, 1955.
9. Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.
10. Левитин К. Геометрическая рапсодия. М., 1987.
11. Лукач Д. Своеобразие эстетического. М., 1987.
12. Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение». // Математи-
ка (Приложение к газете «Первое сентября»).1999. № 1.
13. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.
14. Прохоров А.И. Золотая спираль // Квант. 1984. № 9.
15. Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.