XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Многочлены. Действия над многочленами.

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Баймлер И.К. 1

---

1МАОУ "СОШ №5 г.Челябинска"

Пермякова Л.Д. 1

---

1МАОУ «СОШ № г.Челябинска»

Работа в формате PDF

162.6 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

ВВЕДЕНИЕ

«Недостаточно только получить знания:

надо найти им приложение.»
И. Гете.

Математика, как и русский язык, является профильным и обязательным предметом во всех классах. Эти предметы выпускники сдают на ОГЭ и ЕГЭ. Знания, полученные на этих предметах, очень важны и нужны. Лариса Дмитриевна, учитель по математике, говорит, что информация, полученная на уроке, будет основой для изучения других тем. Многие темы взаимосвязаны между собой. Когда рассматривали задания ОГЭ по математике, убедились, что там не только задания по темам 9 класса, но и по темам 5-8 классов. Некоторые задания уже умеем решать. На уроке алгебры мы начали проходить тему «многочлены», которая также есть в ОГЭ. Рассмотрели, как с ними работать, как преобразовывать, чтобы получить правильный ответ, потратив мало времени. На ОГЭ, контрольных работах и самостоятельных работах время на решение задач ограничено. Необходимо решать не только правильно, но и быстро.

Следовательно, актуальность исследовательской работы заключается необходимостью в правильном и максимально быстром решении задач по теме «Многочлены».

Проблемой исследовательской работы является противоречие между правильным и быстрым решением. Не всегда есть алгоритм решения таких заданий по теме «Многочлены». Вышесказанное побудило выбрать тему исследования: «Многочлены. Действия над многочленами.»

Цель работы – составление алгоритма на правильное и быстрое решение задач по теме «Многочлены».

В соответствии с целью поставлены следующие задачи:

1. Дать определение понятию многочлен;

2. Научиться находить степень многочлена;

3. Научиться складывать, вычитать, умножать и делить многочлены;

4. Рассмотреть методы и способы разложения многочлена на множители;

5. Изучить схему Горнера и теорему Безу;

6. Написать алгоритмы по теме «Действия над многочленами»;

7. Создать видео по теме «Решение уравнения четвертой степени по теореме Безу» на своем канале YouTube;

Объектом исследования являются многочлены.

Предметом данного исследования является выявление методов и способов для быстрого и правильного решения заданий по теме «Многочлены».

В работе использовались учебники алгебры Никольского 7-8 классы, учебное пособие Мейера «Алгебра и начала анализа», учебник алгебры 7-8 классы Макарычева и т.д.

Вклад автора заключается в подробном решении заданий по выбранной теме, создании пошаговых алгоритмов, видео на канале YouTube.

Изученность данного вопроса. Огюстен Луи Коши, Эдмон Лагерр, Франсуа Эдуард, Анатоль Люк и многие другие внесли свой вклад в развитие теории многочленов. Данная тема является более изученной, но есть вопросы, которые надо рассмотреть.

1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА И ПРОСТЫЕ ДЕЙСТВИЯ

НАД НИМ

Сначала дадим определение понятию «одночлен». Одночленом называют алгебраическое выражение, в котором представлено произведение чисел, переменных и степеней с натуральным показателем. Если у одночлена только один числовой множитель (коэффициент одночлена), стоящий на первом месте, а каждое произведение одинаковых переменных в нем представлено степенью, то он называется одночленом в стандартном виде.

Пример 1. – одночлен. Приведем этот одночлен к стандартному виду: .

Многочлен – это сумма одночленов, т.е. многочлен состоит из одночленов, которые в данном случае называются членами многочлена. Если все одночлены многочлена приведены к стандартному виду и нет подобных одночленов, то он называется многочленом стандартного вида.

Многочлен, состоящий из 2 членов, называется двучленом, из 3 – трехчленом.

Максимальная степень одночлена, представленная в стандартном виде в многочлене, называется степенью этого многочлена.

Многочлены можно складывать, вычитать, умножать , делить, возводить в степень, раскладывать на множители и т.д.

Приведем алгоритм сложения и вычитания многочленов:

1 шаг. Раскрыть скобки. Если перед скобкой стоит знак минус, то знаки внутри скобки меняются на противоположные. Если стоит знак плюс, то не меняются.

2 шаг. Записать многочлен в стандартном виде.

3 шаг. Привести подобные слагаемые.

Пример 2. Преобразовать в многочлен стандартного вида

Решение:

Алгоритм умножения многочлена на многочлен:

1 шаг. Берем первый член многочлена и умножаем на каждый член второго.

2 шаг. Берем второй член многочлена и умножаем на каждый член второго многочлена и т. д. Умножать до последнего члена в 1 многочлене.

3 шаг. Записать многочлен в стандартном виде.

4 шаг. Привести подобные слагаемые.

Пример 3. Выполнить умножение

Решение.

2. РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ

2.1. Определение разложения многочлена на множители

Если многочлен, состоящий из суммы одночленов, тождественно преобразовать в произведение нескольких множителей (множителями могут быть либо одночлены, либо многочлены), то такое действие называется разложением многочлена на множители. Стоит заметить, что сам многочлен будет делиться на каждый из этих множителей.

Разложение многочлена на множители необходимо при решении уравнений и неравенств, а также и других заданий.

Существует множество способ разложения многочлена на множители, рассмотрим некоторые из них:

1. Вынесение общего множителя за скобки.

2. Способ группировки.

3. Использование формул сокращенного умножения.

4. Метод неопределенных коэффициентов.

5. Схема Горнера.

Рассмотрим каждый способ по отдельности.

2.2. Вынесение общего множителя за скобки

Необходимо вспомнить про распределительный закон. Он выглядит следующим образом Т.е. если у двух слагаемых есть общий множитель, то его можно вынести за скобки. Вынесение общего множителя за скобки является следствием распределительного закона.

Алгоритм разложения многочлена на множители методом вынесения общего множителя за скобки:

1 шаг. У чисел, если они есть, выносим наибольший общий делитель за скобки.

2 шаг. У буквенной части выносим одинаковую «букву» с наименьшей степенью в одночленах.

3 шаг. В скобках пишем каждый одночлен без множителя, который вынесли за скобки.

Пример 3. Разложить многочлен на множители .

Решение. . НОД(15;25)=5, есть , выбираем с наименьшей степенью, т.е. 2.

2.3. Способ группировки

Способ группировки заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. На практике он применяется в тех случаях, когда многочлен удается представить в виде пар слагаемых таким образом, чтобы из каждой пары можно было выделить один и тот же множитель. Этот общий множитель можно вынести за скобку и исходный многочлен окажется представленным в виде произведения.

Алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки:

1 шаг. Разбить по парам (группам) члены многочлена, так, чтобы у каждой пары (группы) был общий множитель.

2 шаг. Убедиться, что в после вынесения общего множителя за скобки в парах (группах), выражения в скобках равны.

3 шаг. Одинаковую скобку выносим еще раз за скобки.

Пример 4. Разложить на множители многочлен .

Решение. Сгруппируем 1 слагаемое со 2 , а 3 с 4, получим: , появилась одинаковая скобка , ее вынесем за скобки и получим:

2.4. Использование формул сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения играют большую роль в разложении многочлена на множители. Эти формулы доказываются раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Чтобы быстрее решать примеры, необходимо учить их наизусть.

Приведем формулы сокращенного умножения, которые часто используются при разложении многочлена на множители:

1. – разность квадратов;

2. – квадрат суммы;

3. – квадрат разности;

4. – разность кубов;

5. – сумма кубов.

Алгоритм разложения многочлена по формулам сокращенного умножения:

1 шаг. Убедиться, квадратом или кубом являются члены данного многочлена.

2 шаг. Проверить на соответствие формулам сокращенного умножения.

3 шаг. Разложить на множители.

Пример 5. Разложить на множители .

Решение. Воспользуемся формулой (1) разности квадратов

Пример 6. Разложить на множители следующий многочлен

.

Решение. Воспользуемся формулой (2) квадрата суммы

2.5. Метод неопределенных коэффициентов

Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что многочлен разлагается на сомножители, сам вид сомножителей угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной.

Если сомножитель линейный, то его можно представить в виде , квадратичный – , кубический – и т.д.

Например, многочлен третьей степени, имеет хотя бы 1 действительный корень. То его можно разложить на линейный и квадратичный сомножители. А многочлен четвертой степени разлагается на два квадратичных сомножителя.

Если у двух многочленов коэффициенты равны, то такие многочлены называются равными.

Алгоритм разложения многочлена методом неопределенных коэффициентов:

1 шаг. Разбить многочлен на сомножители.

2 шаг. Выполнить умножение сомножителей и получить многочлен с неопределенными коэффициентами.

3 шаг. Приравнять коэффициенты исходного многочлена с неопределенными коэффициентами получившегося многочлена.

4 шаг. Решить систему уравнений и найти неизвестные коэффициенты сомножителей.

5 шаг. Восстановить сомножители.

Пример 7. Разложить на множители многочлен .

Решение. В этом примере многочлен третьей степени, он разлагается на два сомножителя – линейный и квадратичный. Разложение будем искать в виде
. Справедливо равенство:

.

Далее приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях. Получаем систему уравнений с четырьмя неизвестными.

Решая эту систему, получаем: . Итак, многочлен

2.6. Схема Горнера.

Если при делении многочлена его частное равно многочлену (в данном случае двучлену) , то можно применять схему Горнера. Она помогает раскладывать на множители многочлены высоких степеней. Схема Горнера осуществляется путем создания таблицы.

Если многочлен поделить на , то его степень уменьшится на 1.

Если старший коэффициент равен 1, а остальные коэффициенты целые, то aявляется делителем свободного члена исходного многочлена и также будет целым числом.

Покажем схему Горнера на примере.

Пример 8. Выписать коэффициенты многочлена

Решение. Заполним таблицу

Пример 9. Разложить на множители

Решение. Заполним таблицу. Пусть запись (2;1) означает адрес ячейки, где 2- вторая строка, 1 – первый столбец.

1. 1 строка. Пишем коэффициенты, которые стоят перед степенями, (1;1) оставляем пустым. Перед стоит 1, перед стоит -10 и т.д. Если какая-то степень отсутствует, то коэффициент равен нулю, ноль тоже пишем.

   1

   -10

   35

   -50

   24

2. 2 строка. Проверяем a=1.

   	1	-10	35	-50	24

3. 2 строка 2 столбец. 1 с (1;1) спускается на ячейку (2;1).

   	1	-10	35	-50	24
   	1

4. 2 строка 3 столбец. (2;1) (2;2)+(1;3)=1 1-10=-9.

   	1	- 10	35	-50	24
   	1	-9

5. 2 строка 4 столбец. (2;1) (2;3)+(1;4)=1 (-9)+35=26.

   	1	- 10	3 5	-50	24
   	1	-9	26

6. 2 строка 5 столбец. (2;1) (2;4)+(1;5)=1 26-50=-24.

7) 2 строка 6 столбец. (2;1) (2;5)+(1;6)=1 (-24)+24=0.

Если в последнем столбце получили ноль, то является делителем многочлена т.е. его можно разложить на линейный и квадратный сомножители. Причем, вторая строка нашей таблицы – коэффициенты кубического сомножителя. При делении на линейный сомножитель степень многочлена понизилась на 1.

, где – коэффициенты. Они соответственно равны числам . Получаем,

Разложим по схеме Герона.

Из таблицы видно, что – не делитель многочлена, – делитель, т.к. при последний столбец не равен нулю, а при равен нулю.

Тогда, Квадратный сомножитель разложили с помощью теоремы Виета.

Итак, схема Горнера помогает быстро находить делители многочлена и коэффициенты следующего сомножителя, у которого степень на 1 меньше исходного многочлена.

Алгоритм разложения многочлена на множителя по схеме Горнера.

1 шаг. Заполнить 1 строку таблицы. Коэффициенты многочлена.

2 шаг. Подобрать a. Выполнить действия, если последний столбец ноль, то (x-a) – делитель многочлена.

3 шаг. Собрать многочлен по коэффициентам, по строке из таблицы, у которой последний столбец равен нулю. Степень многочлена будет на 1 меньше исходного многочлена.

4 шаг. Разложить многочлен на 2 сомножителя, если сомножитель разлагается, повторить с этим многочленом схему Горнера.

3.ТЕОРЕМА БЕЗУ

Теорема Безу является одной из базовых теорем теории многочленов.

Теорема Безу гласит, что остаток от деления многочлена на многочлен это .

Следствия из теоремы:

1. Число корень многочлена тогда и только тогда, когда делится без остатка на двучлен .

Исходя из этого – множество корней многочлена   тождественно равно множеству корней соответствующего уравнения 

2. Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами (когда старший коэффициент равен единице – все рациональные корни целые).

3. Предположим, что целый корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами. Значит, для любого целого число делится на .

Теорема Безу дает возможность, найдя один корень многочлена, искать дальше корни многочлена, степень которого уже на 1 меньше. Если , то данный многочлен будет выглядеть так: 

Т.е., один корень найден и дальше находят уже корни многочлена , степень которого на 1 меньше степени начального многочлена. Иногда таким методом называется метод понижением степени, далее находят все корни данного многочлена.

Покажем применение Теоремы Безу на примерах.

Пример 10. Разделить многочлен на двучлен , где .

Остаток при этом делении будет равен 50. Проверим это:

При делении многочлена на , получили остаток 50. Т.е. можно записать

( .

Найдем остаток по теореме Безу. В многочлен вместо x подставим ,

По этой теореме, оказалось, что остаток от деления многочлена на равен значению делимого при .

Это правило определения остатка, сформулированное в общем виде, и будет являться теоремой Безу.

При делении многочлена на остаток будет равен:

Пример 11. Найти остаток при делении многочлена 5 на .

Решение. Остаток найдем по теореме Безу. Т.к. , то остаток будет равен:

Пример 12. Найти остаток от деления многочлена на двучлен .

Решение. Исходя из теоремы Безу, искомый остаток соответствует значению многочлена в точке . Тогда найдем

Приведенные примеры никак не могут рассматриваться как доказательства теоремы Безу: они даны лишь для того, чтобы облегчить понимание самой формулировки теоремы Безу.

Алгоритм нахождения остатка при делении многочлена на двучлен вида по теореме Безу.

1 шаг. Найти значения с двучлена вида .

2 шаг. Вместо подставляем значение в многочлен.

3 шаг. Ответ будет остатком при делении многочлена на двучлен вида

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе изучения темы: «Многочлен. Действия над многочленами» мы смогли ознакомиться не только с понятиями, но и рассмотреть на конкретных примерах различные преобразования, которые помогут учащимся быстро увидеть правильный способ решения за минимальное время. В нашей школе мы алгебру изучаем по учебникам Никольского. Но рассматривая различные преобразования, также познакомились с материалом других авторов. А самое главное, что впечатлило больше всего, что получилось рассмотреть темы, которые в школе не проходят в рамках школьной программы.

Заключительным этапом стала разработка и изготовление памятки (приложение 2) алгоритма для учащихся, которая в первое время работы с многочленами облегчить работу с преобразованиями и сможет после многократного использования довести действия алгоритма до автоматизма.

В исследовательской работе:

- даны определения, связанные с многочленами;

-рассмотрены действия над многочленами;

-способы разложения многочлена на множители;

-схема Горнера и теорема Безу;

-составлены алгоритмы по действиям над многочленами.

-видео на канале YouTube.

Эта работа произвела на меня огромное впечатление. В ходе работы мы узнаем много нового. А самое главное понимаем, что все гениальное просто. Нужно только уметь свои знания применять на практике и не бояться допускать ошибок, так как это и есть практика, которая помогает достигнуть правильного решения с понимаем проделанного процесса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.В. Суворова ; под ред. С.А. Теляковского. – 10-е изд. – М. : Просвещение, 2008.

2. Алгебра. 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2013. – 287 с.

3. Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. – М. : Просвещение, 2001. – 240 с.

4. Алгебра. 8 класс: учебник для общеобразоват. организаций / С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2014– 2016;

5. Аликов, И.А. Теория многочленов. М.: Наука, 2006.

6. Мейер, М.А., Валеева, Э.В. Алгебра и начала анализа. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.

7. Мордкович А.Г. Алгебра. 8 кл.: в 2 ч. Ч. 1 : учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – 4-е изд. – М. : Мнемозина, 2002. – 223 с.

8. http://www.cleverstudents.ru (Дата обращения: 20.01.2024 г.)

9. http://uztest.ru (Дата обращения: 20.01.2024 г.)

Приложение 1

Формулы для квадратов

Формулы для кубов

Формулы для четвёртой степени

Формулы для n-ой степени

где

Приложение 2.