XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Способы умножения в мире

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Немилова М.И. 1

---

1Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение ТСОШ 6

Рогальская Н.Н. 1

---

1МКОУ ТСОШ 6

Работа в формате PDF

95 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

В индивидуальной исследовательской работе по математике на тему “Способы умножение в мире” автором работы была проанализирована научная литература по алгебре и методам умножения рациональный чисел и исследована история распространения умножения по континентам, рассмотрены различные методы умножения Подробнее о работе:

В исследовательском проекте по математике на тему “умножение в мире” доказывается, что помимо стандартного метода умножения, раскрываются множество других полезных методов. Такие методы умножения можно использовать в любой сфере, можно использовать как дополнительную информацию на уроках математики в 5-11 классах и при внеурочной деятельности с классным руководителем.

Учебная работа по экологии в 9 классе школы рассматривает появление и распространение системы умножения по всему миру, а также учащейся проводится исследование особенностей системы умножения в разных странах. Автор проекта при проведении исследования постарался найти как можно больше различных методов умножения рациональных чисел и найти между ними определённую систему сходных черт, а также обосновать их эффективность и достоверность.

Введение

В современных условиях обучения согласно новым стандартам ФГОС стоит уделить особое внимание на гибкость и оперативность арифметических навыков учащихся.

Тема моего проекта очень интересна и полезна для всех. Но почему она меня заинтересовала? Это меня давно зацепило, ведь многие люди пользуются такой техникой счёта и решают быстрее чем любой другой. Благодаря этим способам дети учатся умножать и делить, ведь это не занимает больших нагрузок на мозг. На просторах интернета встречаются многие иностранные видео с необычным ходом мыслей и у них это получается быстро и ловко, многие интернет педагоги и репетиторы учат своих учеников решать таким образом. Если вы хотите считать быстро, то я вас этому научу. С этими способностями счёта вы сможете без проблемно справиться с любым примером, уравнением, задачей и многим другим.

Почему это нужно знать:

• Удобно вычислять.

• Быстрая скорость вычисления.

• Простота понимания метода.

Объект исследования:

Учащиеся 5-7 классов

Предмет исследования: скорость счёта при умножении рациональных чисел.

Цель исследования: опытным путём установить ряд самых простых, удобных и эффективных методов умножения чисел.

Задачи исследования:

• Узнать из литературных источников об истории распространения умножения в мире.

• Изучить особенности систем умножения в разных странах.

• Освоить различные методики умножения.

• В ходе эксперимента опытным путём определить самые приемлемые методы умножения для учащихся.

• Оценить и проанализировать полученный результат.

• Провести мастер-классы по знакомству с нетрадиционными способами.

• Составить буклеты-памятки самых простых и интересных способов.

Гипотеза:

Существуют другие способы умножения, которые легче и быстрее традиционного умножения столбиком, но они не очень популярны и мало кто о них знает.

Методы исследования:

• Изучение и анализ соответствующей литературы.

• Эксперимент.

• Обобщение.

Новизна исследовательской работы:

Исследование счётных навыков учащихся и выявление оптимальных методов умножения в условиях по стандартам нового поколения ФГОС.

Практическая значимость работы:

Экспериментальным путём выявить оптимальный способ умножения с точки зрения простоты его понимания, скорости, удобства и точности в условиях обучения по стандартам нового поколения ФГОС.

Задачи:

• Изучить особенности систем умножения в разных странах.

• Освоить различные методики умножения.

• В ходе эксперимента опытным путём определить самые приемлемые методы умножения для учащихся.

Объект исследования: умножение разными способами.

Предмет исследования: умножение чисел простыми и быстрыми способам

Первые ступени вычисления

Индейцы Танамаки пользуются при счёте пальцы рук и ног. Вместо «один» они говорят «палец» и при этом обязательно протягивать палец; вместо «два»-«два пальца», «три»-«три пальца».

Пять у них зовётся «рука», 6-«палец на другой руке»,7-«два пальца на другой руке», 10-«две руки». Покончивший с руками, они перебираются к ногам, и так как обувь не закрывает их ног, то продолжают считать наглядно: 11 – «палец на ноге», 12 – «два пальца на ноге», 15 – «нога и две руки», 16 – «палец на другой ноге».

Но вот подходит дело к 20 ти, использованы, следовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь «человек». 20 называется «человек», так как у него 20 пальцев; как же выразить, напр., 27? Это будет «2 пальца на другой руке другого человека».

Сотня заменяется у них пятью человеками, а выше сотни бедные индейцы едва ли и порываются считать, потому что у них нет для этого ни потребностей, ни развития. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодных стран Северной Америки, вместо «20» говорят «человек» и вместо «100» пять человек.

Структура системы счисления

Одна из самых древнейших систем счисления была создана в Китае. Она возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Числа от единицы до пяти обозначались, соответственно, одной, двумя и т.д. палочками, выкладываемыми вертикально, а одна, две, три или четыре вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа шесть, семь, восемь и девять.

Первые пять кратных числа 10 обозначались одной, двумя, пятью горизонтальными палочками, а одна, две, три и четыре горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90. Для обозначения чисел больше 99 использовался позиционный принцип.

Число 6789 китайцы записали бы так: Обозначения чисел с помощью палочек тесно связано со счетом на пальцах и счетной доске, но применялось оно также и в письменных вычислениях.

Во второй китайской системе счисления для обозначения первых девяти целых чисел или символов используют девять различных знаков и одиннадцать дополнительных символов для обозначения первых одиннадцати степеней числа 10. В сочетании с умножением и вычитанием это позволяло записывать любое число меньше триллиона.

Если один из символов, обозначающих первые девять целых чисел, стоит перед (при чтении слева направо) символом, означающим степень числа 10, то первое нужно умножить на второе, если же символ одного из девяти первых целых чисел стоит на последнем месте, то это число надлежит прибавить к обозначенному предыдущими символами.

Таким образом, китайская структура системы счисления имела свои особенности: ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление, то есть древние китайские математики старались свести к правилу, состоящему из последовательного выполнения некоторого числа шагов.

Китайский счёт

Китайский метод счёта основан на количестве и символике пальцев. Используя этот метод, на двух руках можно посчитать до 20. Стоит заметить, что в некоторых провинциях жесты могут отличаться.

• 0 — сложенный кулак; 1 — разжатый указательный палец;

• 2 — разжаты и растопырены указательный и средний пальцы;

• 3 — разжаты и растопырены указательный, средний и безымянный пальцы;

• 4 — кроме прижатого к ладони большого пальца, остальные разжаты;

• 5 — открытая ладонь и т.д.

Древнекитайская позиционная десятичная система счёта по двум рукам является наиболее сложной из существующих подобных.   

Японский счёт

В Японии счёт начинается с открытой ладони. Поджатый большой палец представляет число 1, мизинец является числом 5. Таким образом, пальцы, сложенные в кулак, указывает на число 5. Затем совершается обратное действие: число 6 обозначается разжатым мизинцем.

Возврат к открытой ладони означает число 10. Например, число 7 отображают указательный и средний палец.

Русский счёт

Русский счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой.

Арабская (современная) система счёта

Арабская система счёта на сегодняшний день самая распространенная нумерация, которую используем и мы. Название «арабская» для нее не совсем верно, поскольку хоть и завезли ее в Европу из арабских стран, но там она тоже была не родной. Настоящая родина этой нумерации – Индия.

В различных районах Индии существовали разные системы нумерации, но в какой-то момент среди них выделилась одна, в которой цифры имели вид начальных букв соответствующих числительных на древнеиндийском языке – санскрите:

Первоначально этими знаками представлялись числа 1, 2, 3, … 9, 10, 20, 30, …, 90, 100, 1000; с их помощью записывались другие числа. Но потом был введен особый знак - жирная точка, или кружок, для указания пустующего разряда; и нумерация превратилась в поместную десятичную систему. Как и когда совершился такой переход - до сих пор неизвестно. К середине VIII века позиционная система нумерации получила широкое применение. В это же время она проникает в соседние страны: Индокитай, Китай, Тибет, Среднюю Азию.

В Западной Европе на латинский язык эта нумерация была переведена в XII веке. В XIII веке индийская нумерация получает преобладание в Италии. В других странах она распространяется к XVI веку. Европейцы, заимствовав нумерацию у арабов, называли ее «арабской». Это исторически неправильное название удерживается и сегодня.

Из арабского языка заимствовано и слово «цифра» (по-арабски «сыфр»), означающее «пустое место». Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин «нуль» (nullum - ничто).

Форма индийских цифр претерпевала многообразные изменения. Та форма, которой мы пользуемся сейчас, установилась в XVI веке.

Интересный факт: древнее изображение десятичных цифр не случайно: каждая цифра обозначает число по количеству углов в ней. Например, 0 - углов нет, 1 - один угол, 2 - два угла и т.д.

История появления таблицы умножений

Нельзя точно ответить кто именно положил начало арифметике. Но можно точно сказать, что умножать люди начали значительно позже, чем складывать. Египтяне выполняли умножение посредством повторного сложения или последовательного удвоения. В Вавилоне при умножении чисел пользовались специальными таблицами умножения - «предками» современных.

В Древней Индии применяли способ умножения чисел, тоже довольно близкий к современному. Индийцы производили умножение чисел, начиная с высших разрядов. При этом они стирали те цифры, которые при последующих действиях надо было заменять, так как к ним прибавляли число, ныне запоминаемое нами при умножении. Таким образом, математики Индии сразу записывали произведение, выполняя промежуточные вычисления на песке или в уме. Таблица в Индии включает в себя числа до 20-ти. Индийский прием умножения перешел к арабам. Но арабы не стирали цифры, а перечеркивали их и надписывали новую цифру над перечеркнутой.

В Европе продолжительное время произведение называли сумма умножения. Название «множитель» упоминается в работах VI века, а «множимое» - в XIII веке. В XVII веке некоторые из математиков стали обозначать умножение косым крестиком, а иные употребляли для этого точку. Только в конце XVIII века большинство математиков стали употреблять в качестве знака умножения точку, но допускали и употребление косого креста. Знаки умножения и знак равенства стали общепризнанными благодаря авторитету знаменитого немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646 -1716).

Известно, что впервые таблица умножения была введена в школах в средневековой Англии. Выглядела она как система перемножения чисел до 12. В Англии до сих пор сохранился именно такой средневековый вариант по той причине, что в жизни англичан часто приходится умножать именно на 12: в измерительной системе 1 фунт равен 12 дюймам, а ранее в денежном обращении 1 шиллинг был равен 12 пенсам. Таким образом, мы видим, что таблица не во всех странах одинакова.

Интересно, что на Руси существовал крестьянский способ умножения, который заключался в том, что первый множитель увеличивается в два раза, а второй уменьшается тоже в два раза. И эта операция продолжалась до тех пор, пока второй множитель не становился равен одному. Строки, в которых правое число четно, удалялись, а сумма левых чисел и оставшихся строк давали нужный результат.

Пифагор и таблица умножения

Привычная для нас таблица умножения — это 8 столбцов с последовательными примерами на задней обложке тетради.Таблицу умножения также называют «Таблицей Пифагора», особенно когда она представлена в виде квадрата, стороны которого — множители, а в ячейках стоит их произведение. Именно так принято считать в европейской культуре. При этом существует очень интересный факт: не обнаружено ни одного письменного свидетельства тому, что именно Пифагору принадлежит авторство таблицы. Существуют только косвенные доказательства.

Последователь его учения — Никомах Герасский, который жил на рубеже I и II веков нашей эры, записал таблицу в привычном нам виде в своем сочинении «Введение в арифметику». Именно он утверждал, что авторство принадлежит древнегреческому ученому Пифагору.  Мнения ученых по поводу авторства таблицы умножения разделились. И многие считают, что Пифагор не может быть ее создателем, ведь существуют факты, подтверждающие другое ее происхождение.

Самая старая десятиричная таблица умножения найдена на раскопках древних китайских городов. Ученые датируют ее 305 г. до н.э., т.е. она существенно старше, чем сам Пифагор и его труды. При раскопках японского города Нара нашли дощечку с фрагментами записей, которые подтверждают, что в древней Японии вели подсчеты с помощью таблицы. Интересно то, что иероглифы похожи на древнекитайское письмо.

Это не единичный случай обнаружения подобных табличек археологами. Подобную дощечку нашли на раскопках еще одной японской столицы Хэйнан. Таким образом, ученые предполагают, что таблица умножения могла попасть из Китая в Японию, так как между двумя империями были очень прочные торговые отношения. По мнению ученых, таблица умножения, которую придумали в Китае, могла попасть в Индию вместе с торговыми караванами, а затем уже распространиться по Азии и Европе.

Но есть и еще одна версия, исходя из которой таблица была изобретена в Месопотамии. Эта теория тоже подтверждается находками археологов. Самая старейшая табличка была найдена на раскопках древнего Вавилона и имеет возраст около 4000 лет.

В 493 году появился новый вариант, предложенный ученым Викторием Аквитанским: он записал таблицу из 98 столбцов, которая представляла в римских числах результат перемножения чисел от 2 до 50.

В 1820-м году шотландский физик и профессор математики Джон Лесли в своей книге «Философия арифметики» опубликовал таблицу умножения до 99. Он же стал тем, кто начал давать своим ученикам рекомендации заучить ее.

В Россию современная таблица умножения попала благодаря математику Леонтию Филипповичу Магницкому, который в 1707 году издал первый учебник по математике под названием «Арифметика». В этом учебнике были таблицы сложения и умножения. Такое нововведение, как заучивание таблицы умножения было поистине революционным. Оно значительно облегчало повседневные расчеты, так как другие хитрые способы вычисления (запятая не нужна) приводили к тому, что увеличивалось количество ошибок и замедлялся процесс подсчета.

Таблица умножения на пальцах

При помощи пальцев можно умножать числа от 6 до 9. Этот способ издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. При умножении руки располагаются естественным образом, ладонями к себе. Пусть нам нужно умножить 7 и 8. На одной руке возьмем столько пальцев, на сколько 7 больше 5, т. е. 2 пальца, а на другой – столько, на сколько другой множитель больше 5, т. е. 3 пальца.

2 пальца на одной руке да 3 пальца на другой руке составят десятки. Получим 5 десятков. К этим трем десяткам прибавим произведение чисел загнутых пальцев. На одной руке 3 загнутых пальца, а на другой – 2. Их произведение – 6. К пяти десяткам прибавляем 6 единиц и получаем число 56, т. е. наш счет только подтвердил, что 7 умноженное на 8 равняется 56.   

Умножение сегодня.

Русский способ умножения.

Способ этот, был употребителен в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа, таблица умножения в этом деле без надобности.

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом параллельно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат (рисунок 1). Нетрудно понять, на чём этот способ основан: произведение не изменяется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.

Напрмер: 24х4=96

Правильность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:

5 × 48 = (4 + 1) × 48 = 4 × 48 + 48

21 × 12 = (20 + 1) × 12 = 20 × 12 + 12

Ясно, что числа 48, 12, утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавить к результату последнего умножения, чтобы получить произведение. Русский способ умножения и элегантен и экстравагантен одновременно.

Китайский способ умножения

А теперь представим метод умножения, который называют китайским. При умножении чисел считаются точки пересечения прямых, которые соответствуют количеству цифр каждого разряда обоих множителей.

Например: 22 × 42 = 924

В первом множителе 2 десяток и 2 единицы, значит, строим две прямые и ей параллельно ещё две прямые ниже с наклоном влево

Во втором множителе 4 десятка и 2 единица. Строим параллельно четыре прямые и две поодаль с наклоном вправо. Прямые, пересекающие прямые первого множителя.

Теперь по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим, как показано овалами, и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево 4, 12, 8. В искомом числе 4 единиц, 12 десятков (значит переносим один в сотни), 8 сотен плюс одна образованная из десятков – итого 9. Таким образом можем записать результат 924.

Итальянский способ умножения («Сеткой»)
В Италии, а также во многих странах Востока, этот способ приобрел большую известность.

Например: умножим 1234 на 576.

1. Вычерчиваем квадратную сетку и пишем одно из чисел над колонками, а второе по высоте.

2. Умножаем число каждого ряда последовательно на числа каждой колонки.

Т.е. 4х5 = 20. Записываем 2 и 0.

1х5*3 = 6. Если при умножении получается однозначное число, записываем вверху 0, а внизу это число.

3. Заполняем всю сетку и складываем числа, следуя диагональным полосам. Начинаем складывать справа налево. Если сумма одной диагонали содержит десятки, то прибавляем их к единицам следующей диагонали.

Индийский способ умножения

Для умножения, например, 385 на 64 напишем одно число как множимое и под ним другое как множитель. Чтобы легче ориентироваться, можно использовать сетку как образец.

Теперь умножаем левую цифру множителя на каждую цифру множимого. Полученные произведения пишем в сетку.

Повторим весь процесс с другими цифрами множителя, следуя тем же правилам.

Японский способ умножения

Японский способ умножения – это графический способ с использованием кругов и линий. Не менее забавный и интересный чем китайский. Даже чем-то на него похож.

Например: умножим 12 на 34. Так как второй множитель двузначное число, а первая цифра первого множителя 1, строим два одиночных круга в верхней строке и два двоичных круга в нижней строке, так как вторая цифра первого множителя равна 2.

Так как первая цифра второго множителя 3, а вторая 4, делим круги первого столбца на три части, второго столбца на четыре.

Количество частей, на которые разделились круги и является ответом, то есть 12 х 34 = 408.

Немецкий способ умножения

Самый известный и применяемый способ в Российском образовании придумал немецкий педагог-математик Адам Ризе. Чтобы перемножить два числа, записываем большее над меньшем. Затем начиная с единиц и двигаясь к высшим разрядам умножаем поочерёдно каждую цифру нижнего числа на верхнее. Если при умножении цифр получаем число большее десяти, добавляем единицу к следующему разряду.

Умножение на 11

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого равна 10 или меньше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр.

52x11=5(5+2)2=572

Чтобы умножить на 11 число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить 1, а вторую и последнюю (третью) цифру оставить без изменения.

28x11=2(2+8)8=2(10)8=308

Умножение на 12

Чтобы умножить на 12 число, надо:

• последнюю цифру множимого удваиваем и записываем как самую правую цифру результата;

• каждую следующую цифру множимого удваиваем и складываем со своим правым соседом и записываем в результат (если ответ содержит больше одной цифры, то просто переносим 1 или 2 в следующий разряд);

• первую цифру множимого ставим самой левой цифрой результата.

124 х 12 =1 4 8 8;

4 х 2 = 8; 2 х 2 + 4 = 8; 1 х 2 + 2 = 4

Умножение на 5, 25, 125

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Например:

1246 х 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623;

6428 х 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607;

8032 х 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004

Заключение

Сколько в мире неразгаданных тайн? И чем больше человек находит на них ответов, тем больше новых вопросов он получает. Математика-одна из тех наук, которая будет постоянно заставлять человека думать, мыслить, творить и разгадывать, познавать новое. Спрашивать и отвечать.

Мне удалось установить ряд самых простых, удобных и эффективных методов умножения чисел. Благодаря исследовательской работе я узнала много нового и полезного. Эта работа помогла мне не только в математике, но и в других сферах. Я погрузились в эту работу, чтобы узнать историю разных систем счёт о Пифагоровой таблице, о таких незамысловатых способов умножения. С такими выводами я могу сказать, что математика не такая уж и тяжёлая, её просто нужно понять.

Интернет-источники

https://shedevrum.ai/post

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://infourok.ru/proekt-po-teme-sposoby-umnozheniya-chisel-v-raznyh-stranah-mira-6241016.html

https://ru.wikipedia.org/wiki