XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Параболы в арочных мостах
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение:
Для исследовательской работы мы выбрали тему «Параболы в арочных мостах», так как этот материал представляет информационную ценность для учащихся, учителей и других людей, которые интересуются математикой и хотят узнать какую роль в архитектуре и строительстве играет парабола. В нашей работе собраны и описаны различные сведения о процессе и технике строительства арочных мостов и на что влияет такая плоская кривая, как парабола.
Актуальность данной темы в настоящее время и для кого она имеет значение: заключается в том, что в современном мире, в связи с научно-техническим прогрессом и различными технологиями, строительство мостов представляет собой сложную конструкцию. Для того чтобы грамотно и качественно построить мост, нужны математические знания в области квадратичной функции. Изучая математику и наблюдая за процессом изменений и развития в области строительства, мы находим между ними тесную взаимосвязь
Проблема исследования: в чем заключается роль параболы в построении арочных мостов.
Объект исследования: парабола, квадратичная функция и арочные мосты.
Предмет исследования: статистические и расчетные схемы построения арочных мостов, формулы зависимости.
Цель: изучить материал о свойствах квадратичной функции и ее графика - параболы, исследовать графики квадратичной функции в арочных мостах.
Задачи исследования:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Найти отрасли архитектуры, в которых преобладает парабола.
3. Понять для каких целей в этой отрасли нужно понятие об квадратичной функции.
4. Выяснить с решением каких задач сталкиваются архитекторы и строители в своей деятельности.
Гипотеза: построение арочных мостов без математики невозможно.
Методы исследования:
1. Изучение специальной литературы.
2. Обобщение и систематизация материала по данной теме.
3. Наблюдение и фиксация наблюдений.
4. Анализ полученных результатов
5. Вывод.
Глава 1:
История развития мостостроения:
Строительством мостов занимались и в эпоху первобытнообщинного строя. Прототипом моста могло служить бревно, переброшенное через ручей или овраг, висячие мосты, сплетенные из канатов, с подвешенными к ним легкими настилами и закрепленными на противоположенных сторонах каньона. Эти сооружения помогали преодолевать человеку встречающиеся на его пути препятствия. В древневосточных и античных рабовладельческих государствах возводили более совершенные деревянные и каменные мосты. Известно о постройке деревянного моста Сиблициус в Риме (630 г. до н.э.), арочного моста через Дунай, состоящего из 21 пролета по 36 м (мост Трояна, 103 г. н.э.) (рис. 5.1). Пролеты перекрывались деревянными арками и опирались на высокие бетонные опоры, облицованные камнем.
В России с воцарением Петра Великого инженерное искусство развивалось неимоверно быстро, но при царе мостов не строилось. Петр I воспринимал Петербург как крупнейший порт, куда прибывали суды всех стран Европы, а мосты мешали судоходству. Также в городе на Неве ежегодно случались наводнения и штормовые бури, которые могли повредить конструкции. Но все же Петр I сделал исключение, издав приказ о строении деревянного моста, соединявшего Березовый и Заячий острова, с целью транспортировки грузов к Петропавловской крепости.
В царствование Екатерины I в 1727 году был возведен первый наплавной мост через Неву. При Анне Иоанновне возвели несколько каменных мостов на сваях, например, Симеоновский через Фонтанку, оформленный под каменный арочный мост. Остальные мосты через Мойку и Фонтанку построены в период времени 1742-1749гг., т.е. во время правления Елизаветы Петровны. При ней же был возведен Исаакиевский мост.
При Екатерине II в Петербурге началась замена деревянных мостов на каменные на реке Фонтанке, строение Казанского и Каменного мостов через Екатерининский канал, в Москве через реку Яузу был возведен Дворцовый мост. С началом строительства в 1817 году Петербурго-Московского шоссе появилось множество каменных мостов, пролеты которых могли достигать 9 саж. В 40-х годах строилось несколько каменных мостов в Тифлисе, например, Михайловский мост с пролетом в 15 саж (32м).
Глава 2
Квадратичная функция, ее свойства и график
Термин функция (от лат. function – исполнение, совершение) впервые был введен немецким ученым Г. Лейбницем в конце 17 века. Функцией называется зависимость между двумя переменными x и y, при которой каждому значению х соответствует единственное значение у. Одним из способов задания функции является график. Графиком функции называется множество точек в системе координат, абсциссы которых равны аргументу, а ординаты – соответствующим значениям функции.
Существует довольно много видов функций, но нас интересует квадратичная функция, ее свойства и график. Функция вида y = aх^2+ bx + c, где a ≠ 0 называется квадратичной. Графиком этой функции является парабола. Парабола – это геометрическое место точек, равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой параболы и данной точки, называемой фокусом параболы. Ветви параболы направлены вверх, при a > 0 и ветви параболы направлены вниз, при a < 0. Парабола с вершиной в начале координат является графиком функции y = ax^2, при a ≠ 0. Ось y является осью симметрии параболы, ветви параболы направлены вверх при a > 0 и вниз при a < 0.
В архитектуре чаще встречаются сооружения и конструкции, в основе которых лежит парабола, оси которой направлены вниз. Это не случайно именно такая ее форма сочетает в себе геометрическую красоту и механическую приспособленность к напряжениям и деформациям, вызываемым весом сооружений, именно это ее свойство привлекало и сейчас привлекает архитекторов использовать данную функцию при строительстве мостов и различных арок. Рассматривая подробнее функцию y = ax^2 при a < 0, отметим, что область определения этой непрерывной функции (−∞; +∞), наибольшее значение функции достигается при x = 0, наименьшего не существует. Именно это свойство позволяет использовать график квадратичной функции при создании сооружений любой высоты. Симметричность же данной функции относительно оси симметрии параболы позволяет достигать равномерного распределения нагрузки, что способствует устойчивости и прочности сооружений, в основе которых так или иначе лежит парабола.
Глава 3
Арочные мосты
Арочными называют мосты с пролетными строениями, в которых основными несущими элементами являются арки или своды. Арка по терминологии строительной механики – это криволинейный стержень, концы которого закреплены и не могут перемещаться в горизонтальном направлении. Благодаря этому возникает горизонтальная опорная реакция – распор, а в сечениях арки – сжимающая сила. За счет распора изгибающий момент в арке всегда меньше, чем в балке при одинаковых расчетных пролетах. Зависимость между арочным Ма и балочным моментом Мб определяется выражением:
Ма=Мб-Ну,
где Н – распор; у – расстояние от линии действия распора до сечения арки, в котором определяют изгибающий момент
Следовательно, сечения арок испытывают внецентренное сжатие, так как в них действует изгибающий момент и продольная сжимающиеся сила. Кроме арок или сводов (у сводов ширина сечения существенно больше его высоты) в состав пролетного строения входит над арочное строение, состоящее из элементов проезжей части и стоек, через которые нагрузка с проезжей части передается на арки. За счет распора изгибающие моменты в сечениях арок (сводов) при рациональном проектировании невелики, и арочные пролетные строения, как правило, по расходу материалов экономичнее балочных. Но горизонтальное давление, равное распору, действует и на опоры. Поэтому опоры в арочных мостах имеют в большинстве случаев большие размеры, чем в балочных, и требуют развития фундаментов, исключающих (или сводящих к минимуму) перемещения опор. Особенно это важно при применении статически неопределимых арок, так как перемещения опор вызывают в них дополнительные внутренние усилия. Таким образом, применяя арочные пролетные строения, выигрывают на пролетных строениях и проигрывают на опорах (по сравнению с балочными пролетными строениями). Поэтому вопрос о том, какая система экономичнее в целом, может быть решен на основании сравнения вариантов арочного и балочного моста.
Наиболее просты по конструкции и экономичны бес шарнирные арки. Недостаток их – чувствительность к осадкам и горизонтальным смещениям опор. Кроме того, в них могут возникать значительные внутренние усилия при изменениях температуры, а также вследствие усадки и ползучести бетона. Двух шарнирные арки менее чувствительны к этим воздействиям, вертикальные осадки опор внутренних усилий в них не вызывают. Трех шарнирные арки, как системы статически определимые, совсем лишены этих недостатков. Однако, они являются менее жесткими системами, имеют перелом в линии прогибов, поэтому в железнодорожных мостах их применяют редко.
Выбор толщины арки затруднителен вследствие большого разнообразия факторов, влияющих на этот выбор, таких как величина нагрузки, марка бетона и т.д. Примерно можно принимать:
d= 145÷150L;
где d – толщина арки, L – расчетный пролет арки.
Также для строения моста необходимо рассчитать максимально возможную нагрузку на конструкцию. Для этого используется формула Журавского.
Арочные мосты в Астраханской области:
Официальное название «Новый мост» , область применения: автодорожный. Пересекает реку Волгу. Конструкции: коробчатые металлические пролеты, 1 пролет над Волгой имеет разводную секцию, но ни разу не разводился. Общая длина 808 м + 344 м. Ширина моста 24 м. Максимальная нагрузка примерно 350 тонн Эксплуатация: Начало строительства 1980 Открытие 29 декабря 1988 года
-
Тем самым, арочные мосты могут быть использованы как в качестве пешеходного моста, так и автодорожного.
Глава 4: Примеры задач
Задача №1
Мост Голден Гейт через пролив Золотые ворота находится в Сан-Франциско (США). Мост построен по проекту инженера Йозефа Штрауса. Строительство началось в 1933 году и было закончено через 4 года. Мост установил два рекорда: как самый длинный и как самый высокий мост. Длина основного пролета моста (расстояние между опорами) 1280 м, высота опор над уровнем проезжей части моста – 160 м. Кабель, поддерживающий мост, имеет форму параболы и касается проезжей части в середине пролета. На какой высоте находится кабель на расстоянии 200 м от опоры моста?
Решение:
Построим координатную плоскость, так чтобы ось х проходила вдоль проезжей части моста, а ось у – вдоль оси симметрии. Тогда вершина параболы имеет координаты (0, 0), значит функция задается формулой y=ax2
Точка (640, 160) – расположена на одной из опор, отсюда 160=a*6402 и a=160\6402 a=1\2560
Тогда уравнение параболы имеет вид: y=1\2560x2
Кабель находится на расстоянии 200 м от опоры моста, следовательно, в 440 м от вершины параболы y=1\2560*4402=76,625
Ответ: 75,625 м.
Задача №2
Арочные мосты имеют форму параболы. Составьте уравнение параболы, определяющей форму арочного моста.
Решение:
Запишем уравнение параболы в виде . Вершина имеет координаты (50; 4)
Парабола проходит через точки (0,0) и (100,0)
Ответ:
Задача №3
Дорога проходит под параболической аркой, как показано на рисунке. Самая высокая часть арки – 5 м. Ширина дороги – 10м, а высота – 4 м. Составьте квадратичную функцию, задающую форму арки
Вывод:
Мы убедились в необходимости участия квадратичной функции в процессе построения мостов. Каждый архитектор и строитель проводит множество расчетов, вычисляет по данной формуле и строит графики, что позволяет строить прочные арочные мосты. Работа над проектом позволила более детально изучить свойства квадратичной функции и ее графика, а, главное, показать практическое применение этих свойств при строительстве арочных мостов. В результате данного исследования мы научились при помощи графиков и формул определять форму арки и моста.
Список литературы:
1. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Феоктистов И.Е. Алгебра. 9 класс : учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2010
2. Виленкин Н.Я., Сурвилло Г.С. Алгебра. 9 класс. учеб. Для учащихся с углубленным изучением математики. / 7-е изд. - М.: Просвещение, 2006.
3. Алексеевский С., Применение свойств квадратичной функции
4. Барсунов К.П. Расчет арочных мостов// Учебное пособие, 1956. – 118с.
5. Беляев Р. Как устроен мост? Самокат, 2019. – 64с.
6. Гельфанд И.М. Функции и графики//7-е издание, стереотипное. -М. МЦНМО, 2006. – 120с.
7. Горбачевич К.С., Хабло Е.П. Почему так названы? // 5-е издание – СПб., «Норинт», 1998. – 352 с.
8. Гордеев В.Н. Нагрузки и воздействия на здания и сооружения// Справочное пособие. ИАСВ, 2007. – 477с.
9. Курлянд В.Г. Строительство мостов: учебное пособие для вузов // Москва: МАДИ, 2012. – 176 с.
10. Лившиц Я.Д., Онищенко М.М. Примеры расчета железобетонных мостов// К.: Вища шк. Головное изд-во, 1986. – 263с.