XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Нестандартные способы решения квадратных уравнений

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Иванюта Д.Н. 1

---

1МБОУ "Зырянская средняя общеобразовательная школа"

Батракова Е.М. 1

---

1МБОУ "Зырянская средняя общеобразовательная школа"

Работа в формате PDF

218.1 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место.

Актуальность работы

На уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением  квадратных  уравнений. Овладевая способами их решения, люди находят ответы на различные вопросы из науки и техники. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать  квадратные уравнения,  это также может пригодится при решении более сложных задач на экзаменах.

Цель работы: Изучить стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Для достижения нашей цели мы поставили перед собой следующие задачи:

1. Изучить литературу по выбранной теме.

2. Изучить стандартные способы решения различных квадратных уравнений,

3. Изучить нестандартные способы решения различных квадратных уравнений, 4. Сделать сравнительный анализ способов решения квадратных уравнений.

Объект исследования- квадратные уравнения.

Предмет исследования: способы решения квадратных уравнений.

При проведении исследования использовались такие методы, как сравнительный обзор литературы, анализ, сравнение, сбор данных и обработка данных.

Гипотеза исследования:

Мы предположили, что квадратные уравнения имеют множество решений как стандартных, так и нестандартных, что играет важную роль в расчетах в естественных науках, инженерно-технических специальностях.

Практическая значимость: Мои материалы могут быть использованы для совершенствования математических знаний учащихся как на уроках, так и во внеурочной деятельности, на факультативах.

I. Теоретические основы квадратных уравнений

1.1. Базовые понятия квадратных уравнений

Как уже говорилось выше, основы теории квадратных уравнений были заложены не только Виетом, но и Декартом и Ньютоном [2, 6].

Квадратные уравнения — это уравнения вида aх²+bx+c=0, где коэффициенты a, b, c — некоторые числа, причём a ≠ 0.

 старший коэффициент (множитель при  );

 второй коэффициент (множитель при  );

 свободный член (число без множителя-переменной).

Виды квадратных уравнений:

1. Приведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент а = 1.

2. Не приведённое квадратное уравнение — это уравнение, в котором коэффициент а ≠ 1.

3. Полное квадратное уравнение — это уравнение, в котором все коэффициенты отличны от нуля.

4. Неполное квадратное уравнение — это уравнение, в котором хотя бы один коэффициент равен нулю.

1.2. Стандартные способы решения квадратных уравнений

Способ 1.По общей формуле через дискриминант.

Дискриминант – это многочлен, состоящий из коэффициентов квадратного трехчлена, который используется для определения и нахождения количества корней данного уравнения.

Дискриминант квадратного трехчлена ax² + bx + c равен D = b²– 4ac

Если дано уравнение вида ax² + bx + c = 0, выполняем следующие шаги:

1. Находим коэффициенты a=; b=; c=.

2. Находим дискриминант по формуле D = b²– 4ac.

3. Определяем знак дискриминанта, количество корней.

3. 1. Если дискриминант (D = 0), то квадратное уравнение имеет один корень (вернее, два одинаковых корня):    x=−b/2a

   2. Если дискриминант больше нуля (D > 0), то квадратное уравнение имеет два корня: = =

   3. Если дискриминант меньше нуля (D < 0), то действительных корней нет. 

Способ 2. Разложение на множители

Разложение левой части на множители.

Например, рассмотрим уравнение вида x² + 10x – 24 = 0.

10x можно выразить как разницу между 12x и 2x. Затем мы можем сгруппировать x² и -2x, 12x и свободный член.

(x + 12) (x – 2) = 0 Произведение равно нулю только в случае, если хотя бы один из множителей будет тоже равен 0. То есть в этом примере мы получаем два корня: -12 и 2.

Способ 3.Метод выделения полного квадрата.

Выделение полного квадрата – проведение преобразования, при котором многочлен представляют в виде или .

Пример 1. х²+10х+21=0,

представим левую часть уравнения в виде квадрата двучлена х²+2*5х+5²-5²+21=0, (х+5)²-4=0, (х+5)²=4, х+5=2 или х+5=-2, х=-3 или х=-7

Ответ: -3; -7.

Способ 4.Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Чтобы решить полное квадратное уравнение с помощью теоремы Виета, разделите все уравнение на коэффициент a. Для уравнения x²+ px + q = 0, формула справедлива, если x1 и x2 являются корнями.

х₁* х₂₌ q

х₁₊ х₂₌ - p

Пример 2: x² + 3x – 18 = 0 По теореме Виета x₁ + x₂ = – 3 и x₁ × x₂ = – 18

Подберем корни x₁ = – 6  и x₂ = 3, – 6 × 3 = – 18, – 6 + 3 = – 3
Ответ:  – 6; 3.

II. Практическое изучение квадратных уравнений

2.1. Нестандартные способы решения квадратных уравнений

В других публикациях[3, 4, 7, 8,] мы обнаружили интересные способы решения квадратных уравнений.

Способ 1. Решение уравнений способом «переброски»

Решение уравнений способом «переброски» позволяет сводить решение не приведённых и не преобразуемых уравнений к виду приведённых с целыми коэффициентами путём их деления на старший коэффициент. Метод учитывает невозможность приведения некоторых уравнений к каноническому виду. Условие: должны быть целыми коэффициенты в левой части.

Алгоритм прост. Умножить уравнение ax² + bx + с = 0 на а. Получить: a²x² + abx + aс = 0. Ввести новую переменную y = ax. Получить y²+by+ac = 0. Корни этого уравнения y₁ и y₂. Следовательно х₁ = y₁/a; х₂ = y₂/a.

Пример 3: Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у² – 11y + 30 = 0.

Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5; 3.

Способ 2. Графический метод решения квадратных уравнений.

В уравнении x² + px + q = 0 нужно предварительно перенести второй и третий члены в правую часть уравнения. Получим: x² = – px – q. А дальше выполнять построения.

Пример 4: Решим графически уравнение х² - 3х - 4 = 0 (рис. 1).

Решение.

Запишем уравнение в виде х² = 3х + 4. Построим параболу у = х² и прямую у = 3х + 4. Прямую

у = 3х + 4 можно построить по двум точкам М (0; 4) и N (3; 13). Прямая и парабола пересекаются в двух точках А и В с абсциссами х₁ = - 1 и х₂ = 4. Ответ: х₁ = - 1; х₂ = 4.

Рис.1

Способ 3. С помощью циркуля и линейки.

Мы предлагаем следующий метод нахождения корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 с помощью циркуля и линейки (рисунок 2).

Рис. 2

Предположим, что искомая окружность пересекает ось x в точках B(x1; 0) и D(x2; 0). x1 и x2 — корни уравнения ах² + bх + с = 0 и проходят через точки A(0; 1) и C(0; c/a).

Тогда согласно теореме о секущих имеем OB • OD = OA • OC, поэтому OC = OB • OD/ OA = x1x2/ 1 = c/a.

Поскольку центр окружности находится на пересечении перпендикулярных линий SF и SK и восстановленных в середине хорд AC и BD,

так:

1) построим точки (центр окружности) и A(0; 1);

2) проведем окружность с радиусом SA;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью Ох являются корнями исходного квадратного уравнения.

В этом случае возможны три случая:

1. 1. Радиус окружности больше ординаты центра (AS > SK, или R > a + c/2a), а окружность пересекает ось Ox в двух точках (рис. 3, а) B(x1; 0) и D( x2; 0), где x1 и x2 – корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0.

Рис. 3а

2) Радиус окружности равен ординате ее центра (AS = SB или R = a + c/2a). Окружность касается оси Ox в точке B(x1; 0) (рис. 3, б)), где x1 — корень квадратного уравнения.

Рис. 3б

3) Радиус окружности меньше ординаты центра, и окружность не имеет ничего общего с осью абсцисс (рис. 3, в). В этом случае решения уравнения нет.

Рис. 3в
Пример 5:Решим уравнение х² - 2х - 3 = 0 (рисунок 4).

Рис. 4

Решение. Воспользуемся формулой для определения координат центра окружности

Начертим окружность радиуса SA и A(0; 1).

Ответ: х1 = - 1; х2 = 3.

Способ 4.Использование номограммы.

Номограмма — это графическое изображение функции нескольких переменных, функциональные связи которой можно изучить без вычислений с помощью простых геометрических операций (например, с помощью линейки). Старый и запоминающийся способ решения квадратных уравнений.

Рис. 5

График кривой номограммы задается по следующей формуле:

, , (все в см). Из подобия треугольников SAN и CDF получаем следующие соотношения:

После замены и упрощения уравнение принимает вид: , буква x обозначает метку каждой точки шкалы кривой.

Пример 6: Решим уравнение

х1 = 8,0 и х2 = 1,0

Метод 5: Геометрические методы решения квадратных уравнений.

В древние времена, когда геометрия была более развитой, чем алгебра, квадратные уравнения решались геометрически, а не алгебраически.

Пример 7: Решите уравнение у² - 6у - 16 = 0.геометрически.

Преобразовав уравнение, получим у² - 6у - 16 = 0.

На рис.7 находим «образ» выражения у² - 6у. То есть из площади квадрата со стороной y вычесть два раза площадь квадрата со стороной 3. Другими словами, если к формуле у² - 6у прибавить 9, то получится площадь y – 3-стороннего квадрата. Замените выражение у² - 6у числом, например 16,

(у - 3)² = 16 + 9, т.е. y - 3 = ± √25 или y - 3 = ± 5, где y1 = 8 и y2 = - 2.

Рис. 6

Метод 6: Использование теоремы Безу.

Разделить P(x) на x - Остаток может дать только определенное число r (если r = 0, деление производится без остатка): P(x) = (x -) )Q(x)+r. (1)

Чтобы найти значение r, используйте уравнение (1) x = . В этом случае x - =0. Когда он исчезает, P( ) = r.

Теорема 1 (Безу). Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен х -   равен P( ) (т.е. значению P(x) при х =  ).

Если число   является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на х -   без остатка.

х²-4х+3=0

P2(x)=x²-4x+3

α; ±1, ±3.

α =1, 1-4+3=0

Разделите p(x) на (x-1).

(x²-4x+3)/(x-1)=x-3

х²-4х+3=(х-1)(х-3)

(х-1)(х-3)=0

х-1 = 0; х=1 или х-3=0, х=3; Ответ: х1=2, х2=3.

2.2. Сравнительный анализ способов решения квадратных уравнений

Из практических соображений проанализируем оптимальность каждого метода.

В общем, каждый метод уникален и имеет свое место быть.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе выполнения исследовательской работы мы считаем, что с поставленной целью и задачами мы справились, нам удалось обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме.

Нужно отметить, что каждый способ решения квадратных уравнений по-своему уникален. Некоторые способы решения помогают сэкономить время, что немаловажно при решении заданий на контрольных работах и экзаменах.

Решая уравнения разными способами,  мы пришли к выводу, что зная комплекс методов решения квадратных уравнений, можно решить любое уравнение, предлагаемое в процессе обучения.

При этом, следует заметить, что одним из более рациональных способов решения квадратных уравнений является способ «переброски» коэффициента. Однако самым универсальным способом можно считать стандартный способ решения уравнений по формуле, потому что данный способ позволяет решить любое квадратное уравнение, хотя иногда и за более длительное время. Также такие способы решения, как способ «переброски», свойство коэффициентов и теорема Виета помогают сэкономить время, что очень важно при решении заданий на экзаменах и контрольных работах.

Думаю, что наша работа будет интересна учащимся 9-11 классов, а также тем, которые хотят научиться решать рационально квадратные  уравнения и хорошо подготовиться к выпускным экзаменам. Также она будет интересна и учителям математики, обобщения и систематизации способов их решения.

Наша гипотеза подтвердилась.

Cписок использованной литературы и источников

1. Артемьев, В.Н. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом квадратного корня / В.Н. Артемьев, Е.М. Урюпин, Л.И. Федулова // Материалы 73-й Всероссийской научной конференции студентов и аспирантов, Воронеж, с 1 по 31 апреля 2022 года. Том 1. – Воронеж: Воронежский государственный аграрный университет имени императора Петра I, 2022. – С. 24-31.

2. Галиев, К.С. Визуализация комплексных корней квадратного уравнения / К. С. Галиев // Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета. – 2021. – № 174. – С. 52-63. –DOI 10.21515/1990-4665-174-006.

3. Дарбинян, А.Г. Как сделать математику интересной для школьников: «Квадратные уравнения» / А.Г. Дарбинян // Использование примеров из темы педагогики, психологии. Теория и практика. – 2019. – Выпуск 4(24). – с.50-53.

4. Жукабаева, А.С. Линейные и квадратные уравнения с параметрами / А.С. Жукабаева // Современная русская школа.– 2021. – № 4-1(36). -п. 21-23.

5. Квадратное уравнение//Энциклопедия юных математиков/ сост. А.П. Сабин. – М. образование, 1985.-С.133-136.

6. Локуциевский, В.О. Геометрические аспекты квадратных уравнений / В.О. Локуциевский // Математика для школьников. – 2020. – Выпуск 4. – С. 38-43

7. Лушкевич, А.О. Методы решения квадратных уравнений / А.О. Лушкевич, М.А. Мезяк, Д.С. Костюкевич // Современные достижения молодежной науки: сборник статей II Международного конкурса научных работ, Петрозаводск, 12 марта 2020 г. – Петрозаводск: Международный центр научного партнерства «Новая наука», 2020. – С. 224-230.

8. Мир квадратных уравнений / Э. Г. Гельфман, Л. Н. Демидова, А. И. Терре [и др.]. – Томск: Томский государственный педагогический университет, 2019. – 264 с. – ISBN 978-5-89428-877-9.

9. Электронно-образовательный ресурс www.sdamgia.ru