XXI Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Решение алгебраических задач геометрическими методами
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
«Алгебра – не что иное, как записанная в символах геометрия, а геометрия – это просто алгебра, воплощённая в фигурах» (Софи Жермен).
Алгебра и геометрия составляют единую науку – математику. Многие математическиезадачиможно решать различными способами. Умение находить наиболее рациональные решения является одним из важных для качественной математической подготовки. Актуальность моей темы заключается в том, чтобы показать взаимосвязь между геометрией и алгеброй. Также необходимо знать и уметь применять методы решения задач, которые помогут сэкономить время. Олимпиадные и экзаменационные задачи проверяют способность использовать различные нестандартные методы решения задач, поэтому передо мной встал вопрос о необходимости рассмотрения различных методов решения задач.
Поиск задач по данной теме занял у меня много времени, однако, это открыло передо мной много ценного для собственного развития и повышения уровня моей математической подготовки, что безусловно поможет мне при сдаче ОГЭ и ЕГЭ и решении олимпиадных задач. Это стало важным для меня, теперь я могу объяснить важность и взаимосвязь алгебры и геометрии.
Предмет исследования: геометрические методы решения алгебраических задач.
Объект исследования: алгебраические задачи.
Цель: изучить геометрические методы решения алгебраических задач, показать целостность математики.
Задачи:
1. Изучить литературу по данной теме.
2. Показать практическое применение геометрического метода при решении различных задач.
3. Провести анкетирование одноклассников.
4. Сделать выводы по теме.
Основная часть
-
Немного из истории
Философ- идеалист Платон придавал математике важное значение. При входе в основанную им Академию была надпись: «Пусть сюда не входит тот, кто не знает геометрии…».
С начальной школы мы знакомимся с наукой о числе, которая получила название «Арифметика», по-гречески «арифмос». Фигуры и их свойства изучает «Геометрия», «гео» -по-гречески земля, а «метрео» – мерить. «Алгебра» (раздел математики, где решаются уравнения и неравенства, их системы, выполняются преобразования выражений, составленные из чисел и букв) не греческое. Разве у греков не было алгебры? Была, но решали древние греки алгебраические задачи геометрически. Геометрические фигуры помогали обойти трудные проблемы. Греки представляли величины не числами или буквами, а отрезками прямых.
Вместо «произведение a и b» говорилось «прямоугольник, содержащийся между и », вместо - «квадрат на отрезке ».
Ещё Евклид в знаменитой книге «Начала» писал: «Если отрезок как- либо разбит на два отрезка, то площадь квадрата, построенного на всём отрезке, равна сумме площадей квадратов, построенных на каждом из двух отрезков, и удвоенной площади прямоугольника, сторонами которого служат эти два отрезка». Суть фразы в формуле квадрата суммы . Геометрически это можно изобразить так:
В старинных индийских сочинениях доказательство задач сводилось к чертежу, подписанному одним словом «Смотри!».
Выдающийся французский математик Рене Декарт работал над созданием единой науки, которая объединила бы алгебру и геометрию. Его «Геометрия» в 17 веке стала настольной книгой каждого математика и обессмертила его имя. Декарт создал метод координат, с помощью которого установил тесную связь между алгеброй и геометрией, что позволило решать алгебраические задания с помощью геометрии и, наоборот, использовать алгебраические уравнения при решении геометрических задач.
«Учебник Магницкого» назовёт своими «вратами учёности» великий Михаил Васильевич Ломоносов, содержит следующую задачу, которую решаем с помощью теоремы Пифагора: «Случился некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать».
Р ешение:
А
С В Рис.1
-
Особенности геометрического метода решения задач
Красота любой задачи заключается в оптимальном способе её решения. Применение геометрии при решении некоторых алгебраических задач может быть более проще и нагляднее, так как представление условия в виде чертежа облегчает понимание смысла задачи.
Геометрическийметод - метод, идущий от наглядных представлений. Существенными признаками этого понятия являются геометрические (наглядные) представления и законы геометрии, в которых отражены свойства геометрических фигур. При решении задач геометрический метод не всегда является очевидных, но эффективным способом решения задачи.
Геометрические методы:метод длин; метод треугольников; метод
параллельных прямых; метод четырехугольников; метод площадей; метод подобия треугольников; тригонометрический метод; метод геометрических преобразований; графический метод; метод дополнительных построений.
Язык алгебры – это «язык формул», а язык геометрии – это «язык расстояний». Со времён Декарта и Ферма меду ними существует тесная связь. На уроках геометрии мы иногда решаем задачи с помощью аппарата алгебры – по условию задачи составляем и решаем уравнение или систему уравнений. А при решении алгебраических задач мы не используем весь потенциал геометрии. Такие идеи реже заметнее. Важно уметь «переводить» с одного языка на другой.
|
Геометрический язык (язык расстояний) |
Алгебраический язык (язык формул) |
|
Расстояния до координатных осей (координаты) |
Числа и буквы |
|
Расстояние между двумя точками координатной прямой |
Модуль разности двух чисел |
|
Квадрат расстояния между двумя точками координатной плоскости |
Сумма квадратов двух чисел |
Перевод задачи с одного математического языка на другой (от алгебры к геометрии):
1)Алгебраический язык: |х+18|<6.
Геометрический язык: Расстояние от точки х координатной прямой до точки -18 меньше 6.
2) Алгебраический язык: |x+9|+|x-13|=21.
Геометрический язык: Сумма расстояний от точки х координатной прямой до точек -9 и 13 равна 21.
3) Алгебраический язык: |11x+3|=3|x|.
Геометрический язык: Расстояние от точки прямой у=11х+3 до оси абсцисс в три раза больше расстояния до оси ординат. Расстояние от точки (х; у) графика функции у=f(х) до оси абсцисс равно |f(х)|, а до оси ординат равно |х|.
4)Алгебраический язык: х2+у2=16.
Геометрический язык: Точка А (х;у) принадлежит окружности с центром в начале координат и радиусом 4.
5) Алгебраический язык: .
Геометрический язык: круг с центром в начале координат и радиусом, равным 2.
6) Алгебраический язык: .
Геометрический язык: часть плоскости, расположенная вне круга с центром в начале координат и радиусом, равным 4.
7) Алгебраический язык:
Геометрический язык: кольцо, ограниченное двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами, равными 1 и 3.
8) Алгебраический язык: + 8.
Геометрический язык: Cумма расстояний от точки М (х; у) до точек Р(-2;5) и М(3;-6) не больше 8.
9)Алгебраический язык:
Геометрический язык: Расстояние от точки М(х;у) единичной окружности до точки С(-2;3) равно 5.
10)Алгебраический язык:
Геометрический язык: Расстояние от точки М(х;у) окружности с центром (-3;-2) и радиусом 2 до точки А(m;n) окружности с тем же центром и радиусом 5 равно 7.
Алгоритм решения алгебраических задач геометрическим способом:
1) Построение геометрической модели задачи, алгебраическому выражению (уравнению, системе, неравенству и т.д.) даётся геометрическое истолкование.
2) Решение составленной геометрической задачи.
3) Перевод ответа с геометрического языка на язык, в терминах которого сформулирована задача.
Можно выделить основные задачи для решения которых в алгебраических выражениях можно увидеть формулировки теорем геометрии:
1) Уравнения и неравенства с модулем – геометрический смысл модуля.
2) Квадратные уравнения и неравенства – теорема косинусов, метод координат.
3) Системы уравнений – свойства прямоугольного треугольника, скалярное произведение векторов, теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике, теорема Пифагора, формула площади прямоугольного треугольника.
4) Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции – теорема косинусов, координатный метод, применение векторов, подобие треугольников.
5) Иррациональные уравнения и неравенства – скалярное произведение векторов. Примеры задач представлены в Приложении 2.
3. Применение геометрического метода для решения алгебраических задач
3.1. Решение уравнений с использованием теоремы Пифагора.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение: рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза с= 10, а катет =6, а другой катет х –неизвестен. Тогда алгебраическая задача получает геометрическую интерпретацию: «Найдите катет х, прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 10, а другой катет равен 6».
Пример 2. Решите уравнение = 12.
Решение: рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого катеты равны 5 и 12, а гипотенуза х неизвестна. Геометрическую интерпретацию: «Найдите гипоте-нузу х прямоугольного треугольника, если его катеты равны 5 и 12. При геометрической интерпретации в качестве числовых величин рассматриваются длины отрезков, т.е. модули чисел. Поэтому необходимо на последнем этапе решения задачи провести анализ полученного ответа. В результате, в первой задаче получаем |x| = 8, а значит, x = ±8. Аналогично, во второй задаче x = ±13.
3.2.Решение уравнений с использованием теоремы косинусов
Решить уравнение: .
Решение: рассмотрим треугольник (рис. 2), у которого сторона а=14, сторона b=26, а косинус угла, лежащего против стороны b=
С
а bРис.2
В А
х
Алгебраическая задача «Решите уравнение » получает геометрическую интерпретацию: «Найдите сторону х треугольника, если другие его стороны а и b равны 14 и 26 соответственно, а угол, противолежащий стороне 26, равен 60° (или 120°)». Решения уравнения: x = 30 или x = 16 означают, что условию поставленной задачи удовлетворяют два треугольника: первый — со сторонами 14 и 30 и углом между ними 60°; второй со сторонами 14 и 16 и углом между ними 120°.
3.3. Применение векторов
Задачи из курса алгебры можно решать с применением векторов. Чаще всего используется скалярное произведение векторов. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними,
. Так как то (1) и (2).
Равенство достигается в неравенстве (1), если векторы коллинеарны, а в неравенстве (2), если векторы сонаправлены.
Если известны координаты векторов ; и ; то скалярное произведение находят по формуле: , и значит .
Пример 1: Доказать, что если , то .
Доказательство: рассмотрим на плоскости векторы:
Тогда .
Пусть , тогда и .
Если в последнее неравенство подставить выражения для длин векторов , то получим неравенство, которое требуется доказать.
Пример 2. Найдите наибольшее значение функции: у= .
Решение: Рассмотрим векторы и . Тогда
у= . Наибольшее значение не превосходит . Надо определить достигается ли это значение. Равенство достигается, когда векторы сонаправлены, значит . Решая уравнение находим .
Пример 3. Решить уравнение:
Решение: в алгебре иррациональные уравнения решаем возведением обеих частей уравнения в квадрат. Решим уравнение с помощью скалярного произведения векторов. Рассмотрим векторы и , тогда = , = . Поскольку Равенство в данном неравенстве достигается, когда векторы сонаправлены, значит , откуда находим х=3.
3.4. Использование уравнения прямых
Решить систему уравнений:
Решение:Рассмотрим на координатной плоскости точки А(6;0), В(0;4),
С(9;0), D(0;3). Решить систему – означает найти все точки М(х;у), для каждой
из которых МА+МВ= и МС+МD= , а АВ= .
СD= . Поэтому точку М можно найти как точку пересечения отрезков АВ и CD. Составим уравнение прямой АВ: у= и уравнение прямой СD: у= . Приравняв найдём: , х=3
. Решение системы - (3;2).
3.5. Использование подобия треугольников
Найти наименьшее значение функции .
Решение: кратчайшее расстояние между двумя точками - это длина отрезка, соединяющего эти точки. Представим функцию в виде:
Наличие двух радикалов в формуле позволяет представить каждый из них как длину гипотенузы прямоугольного треугольника.
Рассмотрим прямоугольные треугольники МАС и СВК (рис.3), у которых С АВ и АМ = 2, МС = х, ВК = 3, СК = , тогда = AC, = СВ
Рис.3
Функция задает длину ломаной АСВ, которая станет наименьшей тогда, когда ломанная перейдёт в отрезок АВ, т.е. когда АВ = АС+ СВ. Когда отрезки АС и СВ окажутся на одной прямой, треугольники АСМ и ВС К будут подобными. Тогда , т.е. , и .
3.6. Использование соотношений между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
Пример 1. Из условий x ² + y ² = 9, y ² + z ² = 16 и y ² = xz для положительных x , y и z , не вычисляя их значений, укажите значение выражения xy + yz.
Решение: Если сформулировать условие задачи «решить систему уравнений»:
т о задание становится понятным, но требуется, не решая систему, ответить на вопрос, чему равно значение выражения xy + yz . Так как x , y и z – положительные числа, следовательно, задачу можно решить геометрически (рис. 4).
Рис.4
Решение: по теореме, обратной теореме Пифагора, из первого уравнения х2 + у2 =32 , числа х и у являются катетами ∆АBD (угол D – прямой) с гипотенузой АВ = 3. Рассматривая второе уравнение системы, у2 + z2 = 16, можно сделать вывод, где у, z и 4 являются длинами катетов и гипотенузы ∆BDC. Третье уравнение y2 = xz показывает, что переменная y - есть среднее пропорциональное чисел х и z. Тогда по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках АВС = 900. Рассмотрим выражение хy + уz=(х+z)у=2 .
Пример 2. Решить систему уравнений для положительных x, y, z
Продолжая решение примера 1 найдём: АС = х + z = 5, тогда AB2 = AD • AC, 9 = х • 5, х = . BC2 = DC • AC, 16 = z • 5, z = . BD2 = y2 = x • z = • , BD = = y.
3.7. Использование геометрической вероятности
На отрезке наудачу взяты два числа. Какова вероятность того, что их сумма окажется меньше единицы?
Решение: Пусть одно число - х, а другое – у. Тогда опыт можно представить как случайный выбор упорядоченной пары чисел (х; у) (-2 ). Каждой паре соответствует точка плоскости с координатами (х;у). С геометрической точки зрения каждая точка плоскости (х;у), координаты которой удовлетворяют условиям , , есть элементарный исход опыта, а квадрат АВСD, обозначенный этими точками, есть множество элементарных исходов С. Событие В= сумма чисел меньше единицы задаётся неравенством (заштрихованная область) (рис.5).
Рис.5
Р(А)= , N(C) – площадь квадрата АВСD, а N(B) – площадь треугольника АЕF. Р(А)= .
Заключение
В процессе исследования я разобрала решение многих алгебраических задач геометрическими способами. Считаю, что именно решение большого числа задач составляют основную часть моей исследовательской работы.
Решения некоторых из них продемонстрированы в моей работе. Анализируя литературу, решая задачи, пришла к выводу, что данные задачи интересны тем, что позволяют увидеть в алгебраической задаче геометрическое содержание и показывают связь между алгеброй и геометрией. Убедилась, что геометрические подходы часто упрощают решение задач, делают его более наглядным.
Я узнала много нового дополнительного материала, что расширило мой кругозор и поможет в дальнейшем обучении при сдаче экзаменов и при подготовке к различным олимпиадам. Провела опрос среди одноклассников (Приложение 1), результат которого демонстрирует, что многие не знают о геометрическом методе решения алгебраических задач. Выступила перед одноклассниками и познакомила их с некоторыми типами задач. В дальнейшем планирую продолжить изучение темы, так как, изучая литературу, увидела насколько обширна область её применения.
Библиографический список
1.Алфутова Н.Б., Устинов А.В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. – М.: МЦНМО, 2002.
2.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Поздняк Э.Г, Юдина И.И. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных организаций. – М. Просвещение, 2021.
3.Генкин Г. 3. Геометрические решения алгебраических задач. - «Математика в школе», №7- 2001, с. 61.
4.Горская Е.С. Решение уравнений и систем, доказательство неравенств, нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции. - «Математика в школе», №8- 2008, с. 48.
5.Капкаева Л. Интеграция алгебраических и геометрических методов в решении задач. – «Математика», №16- 2003, с.1.
6.ШарыгинИ.Ф.Факультативныйкурспоматематике.Решениезадач- М. Просвещение,1991.
7.https://findout.su/5x6440.html
8. https://svyatye.online/articles/vysota/pervyy-russkiy-matematik-leontiy-magnitskiy/
9. https://textarchive.ru/c-2248376-pall.html
Приложение 1
Опрос одноклассников
Вопрос 1. Какой предмет нравится больше – геометрия или алгебра?
Вопрос 2. Имеет ли геометрия практическое применение?
Вопрос 3. Знакомы ли вы с геометрическим методом решения алгебраических задач?
Приложение 2
Задачи с использованием геометрических решений
1.Найти наибольшее значение выражения:
если .(Ответ: наибольшее значение достигается при ).
2. Найти наименьшее значение функции .(Ответ: ).
3. Докажите, что для положительных чисел а, b и с выполняется неравенство
. Укажите, при каком условии выполняется равенство
4. Докажите, что + (Указание. Рассмотрите треугольник, одна сторона которого равна 3, другая - х, а косинус угла между ними т.е. угол равен 45º. П теореме косинусов третья сторона будет равна . Аналогично второе слагаемое можно интерпретировать как сторону треугольника, две стороны которого равны 4 и х, а угол между ними равен 45º).
5. Среди всех решений системы найти такие, при каждом из которых выражение принимает наибольшее значение.
(Ответ: ).
6. . Найти наименьшее значение функции. (Ответ: 7).
7. Решите систему уравнений
(Ответ: ; ) Указание: переформулировать задачу: определить вид треугольника, перметр которого равен , а сумма квадратов его сторон равна 1.)
8. Дана система уравнений , и . Найти: .
(Ответ: ).
9. Решить уравнение .
(Ответ: ).
10. Решить систему уравнений:
.(Ответ: (1;0)).