XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Подъёмная сила бумажного самолётика
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Бумажный самолётик – это простейшая модель реального самолёта. Для бумажного самолётика справедливы те же законы физики, что и для реальных самолётов. Профиль крыла реальных самолётов изготовлен так, что на крыло в процессе движения самолёта действует подъёмная сила, которая позволяет самолёту летать. Стабильность и прямолинейность полёта бумажных самолётиков сохраняется за счёт наличия стабилизаторов: горизонтальной плоскости крыла и вертикальной плоскости – киля бумажного самолётика.
Для проведения исследований была выбрана модель – «планер с острым носом». Скорость у этой модели меньше, чем у скоростных удлинённых моделей, но она способна создавать большую подъёмную силу. Правильно сложенный бумажный самолётик этой конструкции хорошо выравнивается после запуска и плавно летит. Дальность и продолжительность полёта бумажного самолётика зависят непосредственно от подъёмной силы, которая определяется площадью крыла, направления и скорости запуска бумажного самолётика. Все известные исследования бумажных самолётиков связаны с изучением конструктивных особенностей различных моделей на предмет дальности и продолжительности полёта. Вопрос определения подъёмной силы и влияния её на характеристики полёта бумажных самолётиков никем не рассматривался.
Цель работы. Изучить зависимость подъёмной силы от начальной скорости запуска бумажного самолётика.
Результаты работы заключаются:
- в проведении экспериментальных исследований по определению подъёмной силы бумажного самолётика;
- в разработке математической модели, позволяющей определять подъёмную силу бумажного самолётика при косвенных измерениях.
1. Почему летает бумажный самолётик
Существует много видов бумажных самолётиков, все они имеют различную форму и летают по-разному [1-3]. Бумажный самолётик – это простейшая модель реального самолёта. Для бумажного самолётика справедливы те же законы физики, что и для реальных самолётов. Профиль крыла реальных самолётов изготовлен так, что на крыло в процессе полёта действует подъёмная сила. Крыло самолёта предназначено для создания подъёмной силы, необходимой для поддержания самолёта в воздухе во время полёта. Профиль крыла – поперечное сечение крыла самолёта имеет сложную форму. Набегающий воздушный поток рассекается передней кромкой крыла на две части (смотри рисунок 1). Воздушный поток, обтекающий верхнюю поверхность крыла, движется быстрее, чем воздушный поток, обтекающий нижнюю поверхность крыла. Поэтому над крылом образуется низкое
Рис. 1. Профиль крыла реального самолёта.
давление р1,а под крылом более высокое давление р2. В результате создаются условия для формирования подъёмной силы, которая определяется перепадом давления . Этот перепад давления Δр направлен вертикально вверх. В процессе полёта самолёта подъёмную силу самолёта можно изменять, регулируя профиль крыла. Задняя кромка крыла самолёта может изменять своё положение. Бумажные самолётики не меняют свои конструктивные характеристики во время полёта. Стабильность и прямолинейность полёта бумажных самолётиков сохраняется за счёт наличия стабилизаторов: горизонтальной плоскости крыла и вертикальной плоскости – киля бумажного самолётика [4]. Оказывается, бумажным самолётиком можно управлять как настоящим. Например, скорость и траекторию полёта можно корректировать, изменяя конструкцию бумажного самолётика.
Крыло у бумажного самолётика плоское. Во время полёта при определённых конструктивных особенностях бумажного самолётика или при запуске бумажного самолётика под некоторым углом к горизонтальной плоскости крыло располагается под некоторым углом α к набегающему потоку воздуха. При этом возникает тот же эффект, что и у профильного крыла самолёта. Образуется угол атаки α – это угол между направлением главной оси бумажного самолётика и направлением вектора скорости набегающего потока.
Рис. 2. Действие сил при полёте бумажного самолётика.
Основные силы, определяющие полёт бумажного самолётика: сила тяжести, направленная вертикально вниз, связанная с гравитационным притяжением Земли; подъёмная сила, направлена вертикально вверх, возникает при движении бумажного самолётика в воздушной среде; сила сопротивления воздуха, препятствует движению бумажного самолётика вперед. Совокупность этих сил определяет балансировку бумажного самолётика на протяжении всего полёта и основные характеристики полёта: стабильность, продолжительность и дальность.
2. Выбор модели бумажного самолётика для исследования
Существует множество моделей бумажных самолётиков. Все они имеют различную конструкцию и поэтому их лётные качества отличаются. Основными отличиями в конструкции бумажных самолётиков являются [4-7]: площадь крыла, форма крыла (узкие или широкие), вес модели, прочность конструкции при скоростном запуске. В ходе экспериментальных исследований [4-6] было установлено, что полёт бумажного самолётика сильно зависит от положения центра масс. Для бумажного самолётика с дельтовидными крыльями центр тяжести незначительно смещён относительно геометрического центра крыла к носу. Это обеспечивает ему прямолинейное устойчивое планирование [3, 4].
В качестве исследуемой модели бумажного самолётика была выбрана традиционная конструкция с дельтовидными крыльями [7], которую ещё называют «планер с острым носом» [5, 6]. Скорость этой модели меньше, чем у удлинённых моделей. Традиционная конструкция бумажного самолётика с дельтовидными крыльями, сложенными из нескольких слоёв бумаги, хорошо сохраняет форму при скоростном запуске. Прочно сложенная конструкция имеет массу, смещённую к носу бумажного самолётика [6]. Конструкция максимально соответствует материалу – бумаге. Прочность крыльев соответствует длине бумажного самолётика, балансировка оптимальна. Поэтому правильно сложенный бумажный самолётик хорошо выравнивается и плавно летит. Именно сочетание этих качеств и лёгкость сборки сделало эту конструкцию такой популярной.
3. Определение подъёмной силы бумажного самолётика
3.1. Пусковая установка для запуска бумажных самолётиков
Устройство для запуска бумажных самолётиков показано на рисунке 3. Две горизонтально расположенные деревянные пластины 1 предназначены для установки на них бумажного самолётика 2. Эти пластины задают стабилизацию полёта бумажного самолётика в горизонтальной плоскости после его запуска. Две вертикально расположенные деревянные пластины 3 формируют узкий вертикальный канал 4, в котором перемещается киль бумажного самолётика. Этот вертикальный канал 4 задаёт стабилизацию бумажного самолётика в вертикальной плоскости после запуска бумажного самолётика.
Рис. 3. Устройство для запусков бумажных самолётиков.
К передней торцевой деревянной пластине 5, состоящей из двух частей, крепится резиновый жгут 6. Жгут 6 проходит через отверстие в выталкивающей пластине 7. К выталкивающей пластине 7 прикреплён шнур для натяжения резинового жгута. Шнур (на рисунке не показан) выходит через отверстие, расположенное на задней торцевой пластине 8. Длину растяжения резинового жгута 6 определяли с помощью миллиметровой линейки. На рисунке линейка не показана. Это устройство крепится к прочному деревянному основанию с помощью шарнира. Шарнир, прикреплённый к задней торцевой пластине 8, позволяет при необходимости располагать запускающее устройство под необходимым углом к горизонтальной плоскости, то есть задавать определённый угол атаки.
Основным элементом запускающего устройства является эластичный резиновый жгут 6. Начальная скорость запуска бумажного самолётика зависит от величины силы упругости резинового жгута. Силу упругости можно изменять, изменяя силу натяжения резинового жгута. Основные преимущества использования описанной конструкции установки для запуска бумажных самолётиков заключаются в следующем.
1. Появляется возможность измерять начальную скорость запуска бумажного самолётика. В величине средней скорости полёта бумажного самолётика, определённой по дальности и продолжительности полёта бумажного самолётика, сложно учесть влияние подъёмной силы.
2. Появляется возможность неоднократного запуска бумажного самолётика с определёнными конкретно заданными параметрами полёта. Следовательно, исключается неопределённость запуска бумажных самолётиков.
3.2. Исследование зависимости продолжительности и дальности полёта
бумажного самолётика от начальной скорости его запуска
Для определения начальной скорости полёта бумажного самолётика с помощью запускающего устройства было изготовлено цилиндрическое тело с передней полусферической частью массой 2,0 г, равной массе бумажного самолётика. Диаметр тела составлял 18 мм его длина – 27 мм. Площадь поперечного сечения тела равна площади поперечного сечения бумажного самолётика. Это необходимо, чтобы силы сопротивления тела и бумажного самолётика были равны. У изготовленного модельного тела подъёмной силы нет. При таких одинаковых условиях начальная скорость запуска модельного тела совпадает с начальной скоростью запуска бумажного самолётика. В процессе полёта модельного тела проекция скорости движения вдоль горизонтальной оси Ох практически не изменяется. Вдоль вертикально оси Оу тело движется с ускорением свободного падения по закону . Отсюда можно определить время падения тела:
.
Высота, с которой запускалось тело и бумажный самолётик, составляла h = 1,34 м, ускорение свободного падения тела g = 9,8 м/с2.
Рис. 4. Принципиальная схема измерения начальной скорости запуска
модельного тела.
В таблице 1 приведены измеренные значения начальной скорости запуска модельного тела.
Результаты измерений дальности L и начальной скорости υ запуска
модельного тела в зависимости от силы натяжения резинового жгута
Таблица 1
-
l, см
Fуп, Н
L, м
υ, м/с
4
4,0
0,48
0,92
5
4,7
0,82
1,58
6
5,5
1,10
2,11
8
6,6
1,37
2,63
10
7,6
1,80
3,46
12
8,5
2,16
4,15
14
9,5
2,40
4,62
Результаты измерений, приведённые в таблице 1, представлены в графическом виде на рисунке 5. На рисунке 5 видно, что имеется два характерных участка изменения дальности Lи начальной скорости запуска υ модельного тела. На первом участке l < 7 см изменения скорости υ и дальности L незначительно отличаются от пропорционального линейного изменения этих параметров. В интервале l > 7 см эти изменения носят линейный характер.
Рис. 5. Результаты измерений дальности L и начальной скорости
запуска υмодельного тела в зависимости от силы натяжения
резинового жгута.
Начальная скорость бумажного самолётика равна скорости запуска модельного тела. При полёте бумажного самолётика после запуска на его скорость может оказывать влияние подъёмная сила (смотри рисунок 5). На полёт бумажного самолётика оказывает влияние также положение центра масс. Модель, выбранная для исследования, изготавливалась из тетрадного листа и имела следующие характеристики.
1. Масса бумажного самолётика составляла: m = 2,0 г.
2. Длина бумажного самолётика: l= 133 мм ( 1,0 ).
3. Геометрический центр l/2 = 66,5 мм ( 0,50 ).
4. Центр тяжести lцт = 59 мм ( 0,44).
В скобках приведены значения в относительных единицах. Отсчёт производится от носовой части бумажного самолётика.
Результаты измерений дальности Lс и продолжительности tc
полёта бумажного самолётика
Таблица 2.
-
l, см
L, м
υ, м/с
Lс, м
tс, с
υ с, м/с
4
0,48
0,92
0,48
0,52
0,92
5
0,82
1,58
0,82
0,52
1,58
6
1,20
2,31
1,21
0,52
2,32
8
1,55
2,98
2,25
0,70
3,21
10
1,85
3,56
3,45
1,24
2,92
12
2,16
4,15
4,30
1,45
2,98
Результаты измерений, приведённые в таблице 2, представлены в графическом виде на рисунке 6. На этом же рисунке 6 для сопоставления результатов измерений приведены штриховыми линиями данные измерений дальности L и начальной скорости запуска υ модельного тела. Скорость бумажного самолётикаυс представляет собой среднюю скорость полёта бумажного самолётика. Эта скорость υс определялась косвенно по измеренным значениям дальности Lси продолжительности tc полёта бумажного самолётика: .
Рис. 6. Результаты измерений дальности Lс и средней скорости υ с полёта
бумажного самолётика.
Сплошные линии: Lс– дальность, υ с – средняя скорость полёта
бумажного самолётика.
Штриховые линии: L – дальность, υ–скорость полёта модельного тела и
соответственно начальная скорость запуска бумажного самолётика.
Из рисунка 6 следует, что при значениях l < 6 см, а это соответствует начальной скорости запуска бумажного самолётика υ < 3,2 м/с, дальность Lси средняя скорость υс полёта бумажного самолётика совпадают со значениями дальности L и скорости υ модельного тела. Следовательно, при начальной скорости запуска υ < 3,2 м/с бумажного самолётика подъёмная сила себя не проявляет.
При увеличении натяжения резинового жгута l > 6 см, то есть при увеличении начальной скорости υ > 3,2 м/с бумажного самолётика, во-первых, происходит резкое увеличение дальности полёта Lсбумажного самолётика по сравнению с дальностью полёта Lмодельного тела. Во-вторых, средняя скорость полёта υсбумажного самолётика стабилизируется и становится равной υс ~ 3 м/с. Такое поведение Lси υсв зависимости от начальной скорости запуска бумажного самолётика υ свидетельствует о том, что при начальной скорости запуска υ > 3,2 м/с, даже при горизонтальном запуске, начинает проявляться влияние подъёмной силы. Таким образом, при запуске бумажного самолётика с начальной скоростью запуска υ > 3,2 м/с, бумажный самолётик хорошо выравнивается, достигает максимальной высоты подъёма и плавно летит с постоянной скоростью на протяжении всего полёта. Причём, от величины начальной скорости запуска υбумажного самолётика зависит дальность его полёта Lс.
3.3. Определение подъёмной силы, действующей на бумажный
самолётик в полёте
Вычисление подъёмной силы, действующей на бумажный самолётик в процессе полёта, следует разбить на два этапа:
1) определение величины подъёмной силы при условии, когда подъёмная сила меньше силы тяжести: ;
2) определение величины подъёмной силы при условии, когда подъёмная сила больше силы тяжести: .
Границей раздела этих двух этапов является условие .
Начальное проявление подъёмной силы происходит при натяжении резинового жгута l > 6 см, то есть при увеличении начальной скорости υ > 3,2 м/с бумажного самолётика. Это подтверждается измерениями, приведёнными в таблице 3 и на рисунке 8. Начальное проявление подъёмной силы сказывается на увеличении дальности полёта бумажного самолётика Lс по сравнению с дальностью полёта модельного тела L при одинаковых начальных скоростях запуска (смотри рисунок 8).
Закон движения бумажного самолётика вдоль вертикальной оси Оу: . Измерять значения t < 1 c секундомером сложно, большая погрешность измерения. Поэтому исключим t из формулы. Вдоль оси Ох бумажный самолётик движется по формуле пути: . Отсюда . Подставим это значение t в закон движения бумажного самолётика вдоль оси Оу: .
При движении бумажного самолётика на него действуют силы: сила тяжести, направленная вертикально вниз, связанная с гравитационным притяжением Земли и подъёмная сила, направлена вертикально вверх. Результирующая сила равна: .
Рис. 7. Рисунок, поясняющий определение величины подъёмной силы,
при .
Штриховая линия – траектория движения модельного тела;
сплошная линия – траектория движения бумажного самолётика, при
одинаковой начальной скорости запуска.
В случае, когда бумажный самолётик не поднимается выше горизонтальной линии его запуска, результирующая сила направлена вниз. Модуль результирующей силы равен: . Отсюда модуль подъёмной силы будет равен:
1. l= 7 см; h = 1,34 м; Lс= 1,6 м; υ = 2,75 м/с. Определим величину результирующего ускорения:
.
Подставим полученное значение ускорения в формулу для определения подъёмной силы:
.
2. l= 8 см; h = 1,34 м; Lс= 2,25 м; υ = 2,98 м/с. Определим величину результирующего ускорения:
.
Подставим полученное значение ускорения в формулу для определения подъёмной силы:
.
Найденные значения величин подъёмной силы приведены на рисунке 9.
Этот способ определения подъёмной силы справедлив до тех пор, пока величина подъёмной силы Fn не станет равной силе тяжести .
.
Это значение величины подъёмной силы нанесено на рисунке 9 штриховой линией.
Когда подъёмная сила превышает по модулю силу тяжести , то траектория полёта бумажного самолётика превышает линию горизонтального запуска. В этих случаях результирующая сила , действующая на бумажный самолётик, направлена вертикально вверх. Модуль этой результирующей силы равен:
; .
Рис. 8. Рисунок, поясняющий определение величины
подъёмной силы при .
Величина h1 - максимальное значение высоты подъёма бумажного самолётика
над горизонтальной линией его запуска; L1 – значение дальности, при которой
бумажный самолётик достигает максимальной высоты полёта.
Закон движения бумажного самолётика выше горизонтальной линии запуска вдоль оси Оу имеет вид: . Уже отмечалось, что измерять с помощью секундомера величину времени t < 1 c сложно. Поэтому исключим из этой формулы время t1 . Из формулы пути для движения вдоль оси Ох: выразим величину и подставим это значение в закон движения самолётика вдоль оси Оу:
.
3. l= 10 см; h1 = 0,1 м; L1= 0,75 м; υ = 3,56 м/с. Определим величину результирующего ускорения:
.
Подставим полученное значение ускорения в формулу для определения подъёмной силы:
.
4. l= 11 см; h1 = 0,25 м; L1= 1,25 м; υ = 3,94 м/с. Определим величину результирующего ускорения:
Подставим полученное значение ускорения в формулу для определения подъёмной силы:
.
5. l= 12 см; h1 = 0,42 м; L1= 1,45 м; υ = 4,15 м/с. Определим величину результирующего ускорения:
.
Подставим полученное значение ускорения в формулу для определения подъёмной силы:
.
Приведённые результаты косвенных измерений подъёмной силы Fn представлены в графическом виде на рисунке 9. Эти результаты представлены в виде зависимости подъёмной силы Fn от начальной скорости υ горизонтального запуска бумажного самолётика. Штриховой линией на рисунке 9 показано значение величины подъёмной силы . Жирной сплошной линией на рисунке 9 приведена экспериментально полученная зависимость средней скорости υс полёта бумажного самолётика от начальной скорости υ запуска бумажного самолётика.
Согласно данных, представленных на рисунке 9, при υ > 2,7 м/с начинает проявлять себя подъёмная силаFn. Дальнейшее увеличение начальной скорости запуска бумажного самолётика приводит к резкому возрастанию величины подъёмной силы Fn. После достижения величины наклон зависимости Fn(υ) незначительно изменяется, т.е. скорость увеличения подъёмной силы уменьшается. Точка пересечения штриховой линии, соответствующей условию , с зависимостью Fn(υ) соответствует значению начальной скорости запуска υ ~ 3,4 м/с. При таком значении начальной скорости горизонтального запуска, бумажный самолётик должен лететь горизонтально очень долго. Длительность горизонтального полёта ограничивает сила сопротивления воздуха или сила трения Fтр, которая уменьшает скорость полёта и соответственно уменьшается величина подъёмной силы Fn. При этом бумажный самолётик переходит на прямолинейное планирование со снижением высоты полёта.
Дальнейшее увеличение начальной скорости запуска υ > 3,4 м/с бумажного самолётика приводит к увеличению подъёмной силы . При этом траектория полёта бумажного самолётика изменяется (смотри рисунок 10). Бумажный самолётик поднимается на некоторую высоту h1, которая превышает линию горизонтального запуска. Достигнув максимальной высоты h1, бумажный самолётик переходит на прямолинейное планирование с постепенным снижением высоты полёта. С увеличением начальной скорости горизонтального запуска максимальная высота h1 увеличивается и соответственно увеличивается дальность полёта Lс бумажного самолётика.
Рис. 9. Зависимость величины подъёмной силы Fn и средней скорости
полёта υс бумажного самолётика от начальной скорости υ запуска
бумажного самолётика.
Дальнейшее увеличение начальной скорости запуска υ > 3,4 м/с бумажного самолётика приводит к увеличению подъёмной силы . При этом траектория полёта бумажного самолётика изменяется (смотри рисунок 10). Бумажный самолётик поднимается на некоторую высоту h1, которая превышает линию горизонтального запуска. Достигнув максимальной высоты h1, бумажный самолётик переходит на прямолинейное планирование с постепенным снижением высоты полёта. С увеличением начальной скорости горизонтального запуска максимальная высота h1 увеличивается и соответственно увеличивается дальность полёта Lс бумажного самолётика.
Приведённая на рисунке 9 экспериментально полученная зависимость средней скорости полёта бумажного самолётика от начальной скорости горизонтального запуска υс(υ) также имеет излом, соответствующий значению υ ~ 2,7 м/с. После этого излома средняя скорость полёта υс бумажного самолётика остаётся постоянной и не зависит от начальной скорости его запуска. Самому излому зависимости υс(υ) соответствует начальное проявление подъёмной силы. Это подтверждает зависимость Fn(υ), приведённая на рисунке 9.
До проявления подъёмной силы траектория полёта бумажного самолётика соответствовала траектории полёта модельного тела. Можно предположить, что при начальной скорости горизонтального запуска υ ~ 2,7 м/с наступает балансировка бумажного самолётика, которая приводит к появлению у бумажного самолётика угла атаки. С появлением у бумажного самолётика угла атаки создаются условия возникновения подъёмной силы. Бумажный самолётик после запуска быстро выравнивается, достигает максимальной высоты подъёма и продолжает прямолинейное планирование со снижением высоты полёта. Это подтверждается зависимостью подъёмной силы Fn от начальной скорости запуска υ бумажного самолётика.
Дальнейшее увеличение скорости запуска υ > 2,7 м/с бумажного самолётика приводит к увеличению угла атаки и соответственно к увеличению подъёмной силы Fn. Одновременно с этим увеличивается величина сопротивления воздушному потокуFтр, что непосредственно связано с уменьшением средней скорости полёта бумажного самолётика. Это приводит к тому, что с увеличением начальной скорости запуска υ > 2,7 м/с средняя скорость полёта бумажного самолётика остаётся постоянной и не зависит от начальной скорости запуска.
Выводы
В результате проведённых исследований было установлено, что дальность полёта бумажного самолётика Lс существенно возрастала по сравнению с дальностью полёта модельного тела L при увеличении начальной скорости запуска υ > 2,7 м/с. Это свидетельствовало о том, что при υ ~ 2,7 м/с начинает проявлять себя подъёмная сила, действующая на бумажный самолётик. Дальнейшее увеличение начальной скорости запуска бумажного самолётика приводит к резкому росту подъёмной силы Fn. Определение величины подъёмной силы, действующей на бумажный самолётик, производилось двумя способами:
1) определение величины подъёмной силы при условии, что подъёмная сила меньше силы тяжести Fn< mg: ;
2) определение величины подъёмной силы при условии, что подъёмная сила больше силы тяжести : .
Границей раздела применения этих двух способов является условие . Величина ускорения а, входит в определение величины результирующей силы . Направление ускорения а определяется направлением результирующей силы.
В диапазоне изменения начальной скорости запуска бумажного самолётика от 0,92 м/с до 4, 15 м/с наблюдалось увеличение подъёмной силы от 0 до 3,34•10-2 Н. В диапазоне изменения подъёмной силы Fn от 0 до 1,96•10-2 Н траектория полёта не превышала горизонтальной линии запуска бумажного самолётика. Это свидетельствует о том, что в этом диапазоне начальных скоростей запуска бумажного самолётика подъёмная сила растёт недостаточно. Поэтому бумажный самолётик летит как дротик. В диапазоне изменения величины подъёмной силы от 1,96•10-2 Н до 3,34•10-2 Н траектория полёта превышает горизонтальную линию запуска бумажного самолётика. После горизонтального запуска происходит стабилизация полёта бумажного самолётика, связанная с его балансировкой. Бумажный самолётик под действием подъёмной силы набирает максимальную высоту полёта, превышающую высоту горизонтального запуска, затем следует процесс равномерного прямолинейного планирования.
Литература
1. Чернышев С. Почему самолёт летает? //Журнал «Наука и жизнь», 2008, № 11.
2. Модели бумажных самолётов [Электронный ресурс] http://www.tavika.ru/
3. Википедия. Бумажные самолётики [Электронный ресурс] http://ru.wikipedia.org/wiki
4. Микостин П. Исследование аэродинамики бумажного самолёта //Открытые Ломоносовские чтения.- г. Самара: 2017.-8 с.
5. Поддубная И.Е. Особенности конструкции бумажного самолётика, влияющие на дальность и длительность полёта //Исследовательская работа. Руководитель Соломатова М.В.
6. Батищев И.А. Влияние формы крыла на дальность и длительность полёта бумажного самолётика //Исследовательская работа. Руководитель Классен М.А.-г. Омск. -2019 г.
7. Прохоров В.А. Идеальный бумажный самолётик.//ІІ Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся «Старт в науке». 7 – 10 ноября 2021 г.