XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Наглядные методы решения математических задач

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Вольнова М.Д. 1

---

1МАОУ Лицей ИГУ

Пантелеева Е.В. 1

---

1МАОУ Лицей ИГУ

Работа в формате PDF

405.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В жизни человека часто приходится сталкиваться с проблемами, которые можно решить несколькими способами. Так же происходит и при решении математических задач. Очень часто, использование наглядных схем, рисунков, чертежей, облегчает решение задачи, делает его более убедительным и доказательным.

Наглядные методы позволяют решить множество интересных задач. Данная работа не охватывает всего класса задач, решаемых этими способами. Таких задач много и они очень интересны.

Цель работы: Исследование применения наглядных методов при решении математических задач

Задачи:

1. Изучить литературу по теме исследования

2. Составить план исследования

3. Познакомиться с историческими аспектами решения задач

4. Рассмотреть метод решения задач при помощи графиков движения

5. Рассмотреть метод решения задач при помощи схем и таблиц.

6. Рассмотреть метод решения задач при помощи графов

7. Продемонстрировать различные способы решения одних и тех же математических задач

8. Сделать выводы и рекомендации.

Объект исследования: Задачи в курсе математики 5-6 класса.

Предмет исследования: Методы решения задач в курсе математики 5-6 класса.

Графы и схемы сделаны автором с помощью системы Geogebra. Оригинальность работы: 91, 75% (Проверено с помощью системы антиплагиат)

Глава 1. История вопроса решения математических задач

Самые ранние математические тексты, известные в настоящее время, относятся ко второму тысячелетию до нашей эры. Большое число арифметических задач содержится в папирусах Древнего Египта, в “Книга абака” итальянского ученого Леонардо Пизанского (1180-1240).

Например, “Книга абака” учит производить операции с целыми числами и с обыкновенными дробями. В ней изложены приемы решения задач коммерческой арифметики, задач на сплавы и другие.

Вот одна из задач. 30 птиц стоят вместе 30 монет. Куропатки - по 3 монеты, голуби - по две монеты, а воробьи - по монете за пару птиц.

Леонардо приводит единственное решение такого вида: 3 куропатки, 5 голубей, 22 воробья.

В “Книге абака” впервые появились задачи о наименьшем числе гирь, с помощью которых можно взвесить все целые веса, меньшие некоторого данного. Леонардо так формулирует задачу: выбрать 5 гирь так, чтобы с их помощью можно было взвесить любой груз до 30 кг при условии, что гири ставятся на одну чашку весов.

Русский математик и педагог Л.Ф. Магницкий (1669 - 1739) собрал большое число задач в книге “Арифметика, сиречь наука числительная” (1703 год).

Вот одна из них:

Человек может выпить кадку вина за 14 дней, а его жена за 10 дней. За сколько дней они выпьют кадку вина, если будут пить вместе?
Большое число учебников написал крупнейшим математик Леонард Эйлер (1707 - 1783), в том числе “Руководство к арифметике” (1740) и “Универсальную арифметику” (1769). Они стали основой для большинства последующих учебников.

Леонард Эйлер решил одну занимательную задачу, благодаря которой появилась теория графов. История гласит, что в 1736 году этот блестящий математик остановился в Кёнигсберге (в настоящее время - Калининград). Город был разделен рекой на четыре части, которые были соединены семью мостами. Эйлер писал об этой задаче: “Насколько я понимаю, эта задача широко известна. Она формулируется так: в прусском городе Кёнигсбереге есть остров под названием Кнайпхоф, окруженный двумя рукавами реки Преголя. Через два рукава реки перекинуто семь мостов. Нужно определить, можно ли обойти все мосты, пройдя по каждому ровно один раз”. И Леонард Эйлер доказал, что это невозможно, нарисовав граф.

Сама теория графов получила невероятное развитие в течение ХХ века. В настоящее время теория графов широко применяется в различных областях науки и техники. К числу прикладных задач, решаемых при помощи графов, относятся, например, проектирование каналов связи и исследование процессов передачи информации, сетевое планирование и управление, моделирование нервной системы живых организмов и многие другие задачи.

Глава 2. Наглядные методы решения математических задач

2.1. Задачи, решаемые при помощи графиков движения

Всякому реальному движению можно поставить в соответствие график, который мы называем графиком движения. Каждая точка этого графика определяется двумя значениями: временем движения объекта и расстоянием от некоторого исходного пункта А. Таким образом, рассматривая график, мы можем установить на каком расстоянии находился объект в определенный момент времени, когда он изменил скорость движени, в каком направлении двигался, когда прибыл в пункт назначения. Различным движущимся объектам соответствуют различные графики движения. По точкам пересечения графиков можно определить, например, когда и на каком расстоянии от пункта А объекты встречались.

Задача 1. Арамис и Атос выехали в 9 часов вечера навстречу друг другу из Парижа и Руана, расстояние между которыми 124 км. Арамис скакал со скоростью 29 км/ч, а Атос — со скоростью на 4 км/ч большей. В котором часу они встретились?

Арифметическое решение

1. 29 + 4 = 33 (км/ч) — скорость Атоса.

2. 33 + 29 = 62 (км/ч) — скорость сближения

3. 124 : 62 = 2 (часа) — время в пути Арамиса и Атоса до встречи

4. 2 + 9 =11 (часов вечера) — время встречи.

Ответ: Встретились в 11 часов вечера

Р ис.1 Графическое решение

По оси ординат отложим расстояние, а по оси абсцисс время. Движение Атоса и Арамиса изобразим в виде двух прямых. Арамис и Атос движутся из разных пунктов. Арамис двигается из Парижа, а Атос из Руана. Построим графики движения Атоса и Арамиса. График движения Арамиса проведем через токи с координатами (9;0) и (10;29), т.к. за 1 час Арамис проходит 29 км. График движения Атоса проведем через точки с координатами (9;120) и (10;88). Пересечение двух линий означает встречу персонажей. Проецируем точку пересечения на ось времени, получим время встречи 11 часов.

На мой взгляд, данная задача решалась несложно арифметическим способом, но решение с помощью графиков движения ещё и наглядное, что даёт ему преимущество перед другими способами.

Ответ: встретились в 11 часов вечера

Задача 2. Расстояние от Парижа до замка кардинала Ришелье 220 км. Графиня Винтер выехала из Парижа в замок кардинала со скоростью 24 км/ч. Через 2 ч мушкетеры бросились в погоню за миледи со скоростью 36 км/ч. Успела ли миледи укрыться в замке?

Арифметическое решение

1. 24 · 2 = 48 (км) — на такое расстояние оторвалась миледи от мушкетеров.

2. 36 - 24 = 12 (км/ч) — скорость сближения

3. (220 - 48) : 24 = 8 (часов) — добежать миледи до замка кардинала Ришелье.

4. 48 : 12 = 4 (часа) — догнать мушкетерам миледи

5. 8 - 2 = 6 (часов) — осталось бежать миледи до замка.

6. 6 > 4 , то есть, миледи не успеет добежать до замка.

Ответ: Графиня Винтер не успеет укрыться в замке. Рис.2

Г рафическое решение

Ответ: не успеет укрыться в замке кардинала.

Задача 3. Четыре мушкетера отправились из Парижа в Лондон за подвесками королевы со скоростью 700 м/мин. Через 10 мин вдогонку за мушкетерами поскакали гвардейцы кардинала со скоростью 800 м/мин. На каком расстоянии от Парижа произошла стычка между мушкетерами и гвардейцами?

Арифметическое решение

1. 800 - 700 = 100 (м/мин) – скорость сближения

2. 700 · 10 = 7000 (м) – на такое расстояние оторвались мушкетеры

3. 7000 : 100 = 70 (мин) – время, через которое гвардейцы догонят мушкетеров.

4. 70 · 800 = 56 000 м = 56 км – расстояние от Парижа.

Ответ: на расстоянии 56 км от Парижа

Графическое решение

Переведем скорости гвардейцев и мушкетеров в км/ч. Тогда у мушкетеров скорость 42 км/ч, а у гвардейцев 48 км/ч. Прямую движения мушкетеров проведем через точки (0;0) и (1;42). Гвардейцы начали свой путь на 10 минут позже. Проведем прямую движения гвардейцев. Проецируем точку пересечения на ось расстояние, получим 56 км. Значит, стычка между мушкетерами и гвардейцами произошла на 56 км от Парижа.

Р ис.3

• • • • • • • 2.2. Задачи, решаемые с помощью схем и таблиц

Схемы и таблицы являются наглядным графическим представлением информации, ускоряют и облегчают процесс решения задачи.

• Элементы условия задачи при этом отображаются символьными переменными. Если по условию задачи есть соответствие, то они соединяются сплошной линией, если соответствия нет, то пунктирной линией. Также можно использовать различные цветовые решения, чтобы понимать, какиекакие элементы рассуждений даны, а какие получены по доказательству.

С помощью таблиц решаются задачи с четырьмя, пятью и более элементами, когда использование схем неудобно и не наглядно из-за чрезмерной громоздкости.

• Задача 1. На улице, встав в кружок, беседуют 4 девочки: Аня, Валя, Галя и Надя. Девочка в зелёном платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей. Какого цвета платье на каждой из девочек?

• Решение:

• Девочка в зелёном платье (не Аня и не Валя) стоит между девочкой в голубом платье и Надей. Следовательно, в зеленом платье не Аня, не Валя и не Надя. Надя также не в голубом платье.

• Ставим минусы в соответствующим клеткам. У нас получилось, что в зеленом платье нет никого (то есть 3 минуса). Следовательно, четвертый человек (Галя) в зеленом платье. Ставим плюс. А так как Галя в зеленом платье, то она не может быть в других платьях. Ставим минусы.

• Смотрим второе утверждение: «Девочка в белом платье стоит между девочкой в розовом платье и Валей.» Следовательно, Валя не в розовом и не в белом. То есть, Валя в голубом.

Из таблицы становится понятно, кто из девочек в каком платье.

Ответ: Галя в зеленом, Валя в голубом, Надя в розовом и Аня в белом.

Задача 2.

Две снегоуборочные машины могут убрать снег за 6 часов. После 3 часов совместной работы первую машину отправили в другой район города, а оставшаяся машина закончила уборку за5 часов. За сколько часов каждая машина, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение.

Занесем известные данные в таблицу. Для того, чтобы найти время, необходимое каждой машине для выполнения всей работы, нужно знать их производительность.

1. 1 : 6 = (задания) - могут выполнить две машины, работая вместе, за 1 час.

2. · 3 = (задания) — выполнили за 3 часа совместной работы первая и вторая машины.

3. 1 - = (задания) - выполнила вторая машина за 5 часов.

4. · 3 = (задания) — выполнили за 3 часа совместной работы первая и вторая машины.

5. 1 - = (задания) - выполнила вторая машина за 5 часов.

6. : 5 = (задания) — за 1 час выполняет вторая машина.

7. 1 : = 10 (часов) - понадобится второй машине, чтобы выполнить все задание.

8. - = (задания) — за 1 час выполняет первая машина.

9. 1 : = 15 (часов) - понадобится первой машине, чтобы выполнить все задание.

Ответ: 15 часов, 10 часов.

Задача 3. В шахматном турнире по круговой системе участвовали 7 школьников. Круговая система означает, что каждая пара встречалась ровно 1 раз. Ваня сыграл 6 партий, Толя - 5, Леша и Дима - по 3. Семен и Илья - по 2 и Женя - 1.С кем играл Леша?

Решение:

Итоги турнира оформим в виде турнирной таблицы, в которой каждая строка и каждый столбец соответствует одному из игроков (участников турнира). На пересечении какой-либо строки и столбца стоит результат встречи игрока А с игроком Б.

Так как, по условию, Ваня сыграл ровно 6 партий, следовательно, он сыграл по одной партии со всеми остальными игроками. Женя сыграл ровно одну партию, это и есть партия с Ваней.

Обозначим знаком “+” в таблице сыгранные партии, знаком “-” несыгранные партии.

Заметим, что у Толи остаются незаполненными 4 клетки, а так как по условию, он сыграл ровно 5 партий, это и есть его остальные сыгранные партии.

Из таблицы видно, что Семен и Илья имеют по две сыгранных партии, что соответствует условию задачи, следовательно больше партий они не играли, поставим знак “-” в соответствующие клетки.

Остаются незаполненными только две клетки, и становится понятным, что оставшуюся партию Леша сыграл с Димой.

Таким образом, Леша сыграл с Ваней, Толей и Димой.

2.3.Задачи, решаемые при помощи графов

Приведенные ниже задачи решаются с помощью графа: в ходе решения задачи вычерчивается граф - фигура, состоящая из отдельных вершин, соединенных друг с другом.

Задачу 3, решенную выше с помощью таблиц, можно проиллюстрировать при помощи графов. Поставим в соответствие каждому игроку точку плоскости - вершину графа. Если два игрока встретились, соединим соответствующие вершины линией - ребром графа. Таким образом, мы построим граф встреч игроков, в котором вершина 1 соответствует Ване, вершина 2 - Толе, вершина 3 - Леше, вершина 4 - Диме, вершина 5 - Семену, вершина 6 - Илье, вершина 7 - Жене. Рис.4

Этот граф описывает встречи школьников. Поэтому Леша, которому соответствует вершина 3, встретился с Ваней, Толей и Димой, которым соответствуют вершины 1, 2 и 4. По этому графу можно также определить, с кем встречались остальные школьники.

Задача 1. В шахматном турнире по круговой системе, в котором участвовали 5 школьников, сыграно 6 партий. Больше всего встреч провели Ваня и Миша — по три. Какое число партий сыграл ученик, проведший наименьшее количество встреч?

Решение:

1 случай. Ваня и Миша друг с другом не играли.

Таблица в данном случае, не очень помогает решению задачи.

Решим эту задачу при помощи графов. Построим граф встреч игроков, в котором вершина А соответствует Ване, вершина В - Мише, вершины С, D, Е остальным трем игрокам.

1 случай. Ваня и Миша друг с другом не играли.
Так как всего встреч 6, то получается, что Ваня и Миша сыграли со всеми остальными игроками, кроме себя. Остальные игроки сыграли по две встречи, это и есть наименьшее количество (рис.5).

2 случай. Ваня и Миша друг с другом играли.

Рис.5

а) Пусть Ваня (А) и Миша (В) сыграли остальные две партии с Е и D. Но должна быть еще одна партия.

Эту партию Е и D сыграть друг с другом не могут (рис. 6), так как тогда у них будет сыгранных по три партии, а по условию, три партии - это наибольше количество встреч в этом турнире, и провели их Ваня и Миша.

По тем же самым причинам, ни Е, ни D не могут сыграть эту партию с С (рис.7). В и А также не могут сыграть оставшуюся партию с С, так как тогда у них будет более трех встреч (рис. 8).

рис. 6

рис. 7 рис.8

б) Остается рассмотреть еще один случай. Ваня сыграл две партии с двумя из трех оставшихся игроков (например, Е и D), а Миша одну партию с одним из двух, с которыми играл Ваня, а другую с С. Такой вариант возможен (рис.9). Все условия задачи выполнены. О стальные игроки (С, D и Е) сыграли по две встречи, это и есть наименьшее количество.

Ответ: две встречи

рис. 9

Задача 2. Назовем число стройным, если все цифры его десятичной записи различны и идут в порядке возрастания. Каких стройных чисел больше: четырехзначных или пятизначных?

Решение. На первом месте любого натурального числа не может быть 0. Если 0 стоит на любом другом месте четырехзначного или пятизначного числа, то число стройным не может быть. Следовательно, ни в одном из чисел нет цифры 0.

Способ 1 (деревья).

При решении данной задачи для подсчета количества четырехзначных и пятизначных чисел, можно использовать представление в форме дерева, где вершины соответствуют цифрам этих чисел.

Р ис.10

Дерево - это очень простой граф, все вершины которого соединены так, что отсутствуют циклы. В дереве можно проложить маршрут между любыми двумя вершинами.

Подсчитаем количество четырехзначных чисел.

На первом месте у таких чисел могут быть цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Рис. 11

Если на первом месте 1, то таких вариантов может быть

6 + 5 + 4 + 3 +2 + 1 = 21 (рис. 10),

Рис. 12

5 + 4 + 3 +2 + 1 =15 (рис. 11),

4 + 3 +2 + 1 = 10 (рис. 12)

Далее, 3 +2 + 1 = 6, 2 + 1 = 3, 1.

Всего вариантов, если на первом месте 1: 21 + 15 + 10 + 6 + 3+ 1 = 56

Если на первом месте 2: 5 + 4 + 3 +2 + 1 =15, 4 + 3 +2 + 1 = 10, 3 +2 + 1 = 6, 2 +

1 = 3, 1. Всего - 35

Если на первом месте 3: 4 + 3 +2 + 1 = 10, 3 +2 + 1 = 6, 2 + 1 = 3, 1.

Всего - 20

Если на первом месте 4: 3 +2 + 1 = 6, 2 + 1 = 3, 1. Всего - 10

Если на первом месте 5: 2 + 1 = 3, 1. Всего - 4

Если на первом месте 6: 1.

Итого, четырехзначных чисел - 126.

Чтобы подсчитать количество пятизначных чисел, удовлетворяющих условию задачи, можно перед четырехначным числом поставить возможные цифры.

Таких вариантов для четырехзначных чисел:

с 1 на первом месте быть не может,

с 2 на первом месте может быть 35,

с 3 на первом месте - 2 · 20 = 40,

с 4 на первом месте - 3 · 10 = 30,

с 5 на первом месте - 4 · 4 = 16

с 6 на первом месте - 5 · 1 = 5

Итого, пятизначных чисел - 126.

Делаем вывод, что четырехзначных и пятизначных стройных чисел поровну.

Способ 2 (комбинаторный).

Подсчитаем, сколько всего четырехзначных чисел, в которых используются различные цифры, кроме нуля. И разделим это количество на число перестановок, т. к. только одно число из четырех различных цифр, является стройным.

= =126

Аналогично, подсчитаем, число стройных пятизначных чисел.

= = 126

Ответ: поровну

Способ 3 (про множества).

Сопоставим каждому четырёхзначному числу пятизначное, состоящее из всех остальных ненулевых цифр в порядке возрастания (например, числу 1378 сопоставим 24569).

Заметим, что получилось взаимно однозначное соответствие, поэтому таких чисел поровну.

Заключение

Бывает так, что при рассмотрении математических задач используют

различные подходы к решению. Зная эти подходы, можно представить себе несколько вариантов решения и выбрать из них более удобный.Это может пригодится и при решении разных жизненных проблем в будущем.

В результате выполнения исследовательской работы я расширила своё

представление о способах решения математических задач, освоила такие

наглядные методы решения задач, как решение задач с помощью схем, таблиц,графиков движения, графов, сравнила эти способы, показала их применение при решении задач, которые рассматриваются в учебниках, предлагаются на математических олимпиадах.

Таким образом, была достигнута цель, которую мы ставили: исследование

наглядных методов решения математических задач в курсе изучения математики 5-6 класса.

Мне очень понравилась проведенная мною работа, я чувствую, что сделала ее не зря, узнала много нового и полезного.

Литература

1. Дорофеева А.В.: Страницы истории на уроках математики. - Львов: Журнал “Квантор”, 1991. - 96 с. file:///home/mari/Downloads/dorofeeva_av_stranitsy_istorii_na_urokakh_matematiki.pdf.

2. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.: Математика. 5 класс. Часть 1. - М.: Издательство “Ювента”, 2011. - 176 с. file:///home/mari/Downloads/989_2-matematika_-5kl_-chast1_dorofeev-peterson_2011-176s.pdf

3. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г.: Математика. 5 класс. Часть 2. - М.: Издательство “Ювента”, 2011. - 176 с. file:///home/mari/Downloads/989_4-matematika_-5kl_-chast-2_dorofeev-peterson_2011-240s.pdf

4. Мельников О.И., Теория графов в занимательных задачах.: - М.: Книжный дом “Либроком”,2009.-232с.file:///home/mari/Downloads/melnikov_oi_teoriia_grafov_v_zanimatelnykh_zadachakh.pdf

5. Мир математики в 40 т. Т.11: Клауди Альсина. Карты метро и нейронные сети. Теория графов. / Пер. с исп. - М.: Де Агостини, 2014. - 144 file:///home/mari/Downloads/Alsina_Klaudi__Karty_Metro_I_Neyronnye_Seti.pdf

6. Рудин В.И., Рудина Е.И., Графическое решение текстовых задач (пособие для учителей и школьников). - Томск: Издание Томского института повышения квалификации работников образования, 1995. - 29 с. file:///home/mari/grafich.pdf

Источники

1. Geogebra Classic - Geogebra https://www.geogebra.org/classic?lang=ru
   Graph Onlain https://graphonline.ru/

2. https://github.com/via-en/graph/tree/master Графики

3. https://www.formulo.org/wp-content/uploads/2021/04/fdi_tm_2020_21_round2_sol_ru.pdf Международная математическая олимпиада «Формула Единства» / «Третье тысячелетие» 2020–2021 учебный год. Заключительный этап. Решения и критерии проверки