XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
История возникновения отрицательных чисел
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ВВЕДЕНИЕ
«Твой ум без числа ничего не представляет». Это высказывание немецкого философа Н. Кузанского
История возникновения отрицательных чисел уходит корнями в древние времена. Однако, их понимание и использование развивались постепенно на протяжении веков.
Древние цивилизации не имели понятия об отрицательных числах в современном смысле. Например, в древнем Египте и Вавилонии числа использовались в основном для счета и измерения, их рассматривали как положительные значения.
Первые шаги к пониманию отрицательных чисел были сделаны в Древней Греции. Математики, такие как Пифагор, заметили, что некоторые задачи требуют 9использования чисел, меньших нуля. Они обозначали их через "дефицит" или "недостаток".
Однако, идея отрицательных чисел вызывала сомнения. Аристотель, например, отвергал их существование, считая, что числа должны быть только положительными. Это ограничение было установлено философскими и эпистемологическими представлениями того времени.
Вплоть до 16 века, отрицательные числа считались чем-то абстрактным и не имели конкретного значения. Однако с развитием алгебры и математического формализма в Европе возникла необходимость в более систематическом подходе к отрицательным числам.
Итальянский математик Джироламо Кардано, живший в 16 веке, ввел понятие отрицательных чисел как решений уравнений, которые не имели положительных корней. Он использовал знак "+" для положительных чисел и знак "-" для отрицательных чисел.
Впоследствии, отрицательные числа стали широко применяться в математике, физике и других науках. Они играют важную роль в арифметических операциях, алгебре, геометрии и других областях математики.
Таким образом, история возникновения отрицательных чисел прошла длительный путь от первых представлений о них до их широкого применения в современной математике и науке.
Актуальность: тема является актуальной, поскольку история возникновения отрицательных чисел важный аспект развития математики и ее применения в реальном мире, потому что понимание происхождения и развития отрицательных чисел помогает студентам и ученым лучше осознать их роль и значение в математике, экономике, физике и другие областях. Кроме того, изучение этой тему может привести к более глубокому пониманию различных теорий и о концепции в математике
Проблема: Выявление широкого применения отрицательных чисел в различных сферах человеческой деятельности.
Гипотеза: мы предполагаем важность отрицательных чисел в жизни человека и в разных сферах деятельности
Объект исследования: отрицательные числа.
Предмет исследования: средства и способы наблюдения отрицательных чисел.
Цель работы: проследить историю возникновения и развития отрицательных чисел и их применение в разных сферах человеческой деятельности
Задачи:
1. Изучить историю возникновения отрицательных чисел.
2.Расширить представления о сферах применения отрицательных чисел не только в математике, но и в науке, во времени, в медицине и в технике.
2.Раскрыть эстетический потенциал отрицательных чисел.
3. Опровергнуть стереотип сухости применения отрицательных чисел.
4. Найти материалы, подтверждающие связь между отрицательными числами и другими сферами деятельности.
5.Показать возможность применения полученных знаний.
Методы исследования:
1) Анализ истории открытия отрицательных чисел ;
2) Обработка информации об отрицательных числах в настоящее время, обобщение итогов и презентация данной работы
ГЛАВА 1. ВОЗНИКНОВЕНИЯ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ В РАЗНЫЕ ЭПОХИ
1.1 История отрицательных чисел
История возникновения отрицательных чисел очень давняя и долгая. Так как отрицательные числа являются чем-то эфемерным, ненастоящим, люди долгое время не признавали их существования.
Все началось в Китае, примерно во II веке до н. э. Возможно, в Китае их знали и раньше, но первое упоминание относится именно к тому времени. Там стали применять отрицательные числа и считали их «долгами», при этом положительные называли «имуществом». Той записи, которая существует сейчас, тогда не было, и отрицательные числа записывали черным цветом, а положительные красным.
Первое упоминание отрицательных чисел мы находим в книге «Математика в девяти главах» китайского ученого Чжан Цань.
1. Шуай фэнь, «Деление по ступеням» Пропорциональное распределение товара.
2. Шао гуан - Теория делимости. Извлечение квадратных и кубических корней. Измерение круга, сферы и шара.
3. Шан гун, «Оценка работ» - Объёмы различных тел: параллелепипед, призма, пирамида, цилиндр, конус. Расчёт трудозатрат при строительстве.
Далее, в V-VI веках отрицательные числа стали использоваться достаточно широко в Китае и Индии. Правда, в Китае к ним, все-таки относились осторожно, старались их применение свести к минимуму, а в Индии, напротив, они использовались очень широко. Там с ними производились вычисления и отрицательные числа не казались чем-то непонятным.
Известные индийские ученые Брахмагупта Бхаскара (6-7 века) , которые в своих учениях оставили подробные объяснения работе с отрицательными числами.
В своей работе Брахма-спхута- сиддханта Брахмагупта дал определение нуля как результат вычитания из числа самого числа. Он одним из первых установил правила арифметических операций над положительными и отрицательными числами и нулём, рассматривая при этом положительные числа как имущество, а отрицательные числа как долг. Далее Брахмагупта пытался расширить арифметику дав определение деления на ноль. Согласно Брахмагупте.
-
Деление нуля на нуль есть нуль;
-
Деление положительного или отрицательного числа на нуль есть дробь с нулём в знаменателе;
-
Деление нуля на положительное или отрицательное число есть нуль.
Брахмагупта предложил три метода умножения многозначных чисел в столбик (основной и два упрощённых), которые близки к тем, что используются в настоящее время. Основной метод Брахмагупта назвал «gomutrika», что в переводе Ифра означает «как траектория мочи коровы»
Брахмагупта также предложил метод приближённого вычисления квадратного корня, эквивалентный итерационной формуле Ньютона метод решения некоторых неопределённых квадратных уравнений вида ax+c=y, метод решения неопределённых линейных уравнений вида ax+c=by, используя метод последовательных дробей.
Использование отрицательных чисел при счете началось в древние времена в различных культурах. Одним из ранних примеров использования отрицательных чисел является система древних шумеров, которые проживали на территории современного Ирака около 4-го тысячелетия до н.э. У них была разработана позиционная система счисления, где отрицательные числа использовались для обозначения долгов или отрицательных количеств.
Индийский математик Брамагупта и астронома Брахмагупты (598 – около 660 гг.) в VII в. сформулировал правила действий над положительными и отрицательными числами.
В произведении выдающегося индийского математика говорится: «Имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль…
Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом».
Впоследствии отрицательные числа стали использоваться и в других культурах. Например, в древней Индии введение отрицательных чисел приписывается математику Брахмагупте, жившему в 7 веке н.э. Китайские математики также использовали отрицательные числа уже в 2 веке н.э.
Сегодня отрицательные числа широко применяются в математике, физике, экономике и других областях, где они служат для обозначения долгов, убытков, направления движения и многого другого.
А в Древности, например, в Вавилоне и в Древнем Египте, отрицательные числа не использовали вовсе. А если при вычислении получалось отрицательное число, считалось, что решения нет.
Так и в Европе отрицательные числа не признавали очень долго. Их считали «мнимыми» и «абсурдными». Никаких действий с ними не совершали, а просто отбрасывали, если ответ получался отрицательным. Считали, что, если из 0 вычесть любое число, то ответом будет 0, так как ничто не может быть меньше нуля — пустоты.
Впервые в Европе свое внимание на отрицательные числа обратил Леонардо Пизанский (Фибоначчи). И описал их в своем произведении «Книга Абака» в 1202 году.
Позже, в 1544 году Михаил Штифель в книге «Полная арифметика» впервые ввел понятие отрицательных чисел и подробно описал действия с ними. «Нуль находится между абсурдными и истинными числами».
А в XVII веке математик Рене Декарт предложил откладывать отрицательные числа на цифровой оси слева от нуля.
С этого времени отрицательные числа стали повсеместно использовать и признавать, хотя еще долгое время многие ученые отрицали их.
В 1831 году Гаусс называл отрицательные числа абсолютно равнозначными с положительными. А то, что не все действия с ними можно совершать не считал, чем -то страшным, с дробями, например, тоже не все действия можно делать.
А в XIX веке Уильман Гамильтон и Герман Грассман создали полную законченную теорию отрицательных чисел. С этого времени отрицательные числа обрели свои права и сейчас уже никто не сомневается в их реальности.
В XVII веке знаменитый французский математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего. Оживлённо обсуждался парадокс Арно.
Антуан Арно - французский философ и математик, друг Блеза Паскаля. Известен его учебник элементарной геометрии «Новые начала геометрии». Занимался также составлением магических квадратов.
В Западной Европе отрицательные числа начинают использоваться примерно лишь с XIII в. При этом они обозначались словами или сокращенными словами как наименования в именованных числах. Только вначале XIX в. отрицательные числа получили всеобщее признание и современную форму обозначения.
Современный пример можно привести, используя действия с телефонным балансом. Если на вашем счету было 200 рублей, а вы «наговорили» на 300 рублей, то на вашем счету образуется отрицательный баланс -100 рублей (минус 100 рублей). Это значит, что теперь телефонной компании вы должны 100 рублей.
Введение отрицательных чисел было связано с необходимостью развития математики как науки, дающей общие способы решения арифметических задач, независимо от конкретного содержания и исходных числовых данных. Необходимость введения в алгебру отрицательных чисел возникает уже при решении задач, сводящихся к линейным уравнениям с одним неизвестным. В Индии еще в 6–11 вв. отрицательные числа систематически применялись при решении задач и истолковывались в основном так же, как это делается в настоящее время.
В европейской науке отрицательные числа окончательно вошли в употребление лишь со времени Французского математика Р.Декарта (1596–1650), давшего геометрическое истолкование отрицательным числам как направленных отрезков. В 1637 году он ввел «координатную прямую». Декарт и его последователи признавали их направление с положительными.
Но в действиях над отрицательными числами не все было ясно (например, умножение на них). Среди ученых разгорелся большой и долгий спор о сущности отрицательных чисел о том, признать отрицательные числа числами действительными или нет.
Спор этот после Декарта продолжался около 200 лет.
Полная и строгая теория отрицательных чисел была создана в XIX веке ирландским ученым и физиком Уильямом Гамильтоном и немецким математиком и филологом Германом Грассманом.
1.2 Отрицательные числа в разных странах.
Отрицательные числа в Индии.
Индийские математики, начиная с Брахмагупты (VII в. н. э.), систематически пользовались отрицательными числами и трактовали положительное число как имущество, а отрицательное — как долг. Брахмагупта приводит все правила арифметических действий над отрицательными числами. Ему еще не была известна двузначность квадратного корня, но уже в 850 г. Магавира в своей книге «Ганита-сара-санграха» («Краткий курс математики») пишет: «Квадрат положительного или отрицательного — числа положительные, их квадратные корни будут соответственно положительными и отрицательными. Так как отрицательное число по своей природе не является квадратом, то оно не имеет квадратного корня». Последние слова Магавиры показывают, что он ставил вопрос и об извлечении корня из отрицательного числа, но пришел к выводу, что эта операция невозможна. Не исключено, что об отрицательных числах индийские ученые узнали в результате контактов с китайской наукой. Прямых свидетельств в пользу такого предположения мы не имеем. Во всяком случае, в Индии отрицательные числа не применялись при решении систем линейных уравнений. Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные — «рина» или «кшайа» (долг)
Отрицательные числа в Египте.
Однако, несмотря на такие сомнения, правила действий с положительными и отрицательными числами были предложены уже в III веке в Египте. Введение отрицательных величин впервые произошло у Диофанта. Он даже использовал специальный символ для них (сейчас мы в этом качестве используем знак «минус»). Правда, ученые спорят, обозначал ли символ Диофанта именно отрицательное число или просто операцию вычитания, потому что у Диофанта отрицательные числа не встречаются изолированно, а только в виде разностей положительных и в качестве ответов в задачах он рассматривает только рациональные положительные числа. Но в то же время Диофант употребляет такие обороты речи, как «Прибавим к обеим сторонам отрицательное», и даже формулирует правило знаков: «Отрицательное, умноженное на отрицательное, дает положительное, тогда как отрицательное, умноженное на положительное, дает отрицательное» (то, что сейчас обычно формулируют: «Минус на минус дает плюс, минус на плюс дает минус»)
Отрицательные числа в Древней Азии.
Положительные количества в китайской математике называли «чен», отрицательные – «фу»; их изображали разными цветами: «чен» - красным, «фу» - черным. Такой способ изображения использовался в Китае до середины XII столетия, пока Ли Е не предложил более удобное обозначение отрицательных чисел – цифры, которые изображали отрицательные числа, перечеркивали черточкой наискось справа налево. Индийские ученые, стараясь найти и в жизни образцы такого вычитания, пришли к толкованию его с точки зрения торговых расчетов.
В V–VI столетиях отрицательные числа появляются и очень широко распространяются в индийской математике. В Индии отрицательные числа систематически использовали в основном так, как это мы делаем сейчас. Индийские математики используют отрицательные числа с VII в. н. э.: Брахмагупта сформулировал правила арифметических действий с ними. В его произведении мы читаем: «имущество и имущество есть имущество, сумма двух долгов есть долг; сумма имущества и нуля есть имущество; сумма двух нулей есть нуль… Долг, который отнимают от нуля, становится имуществом, а имущество – долгом. Если нужно отнять имущество от долга, а долг от имущества, то берут их сумму».
Индийцы называли положительные числа «дхана» или «сва» (имущество), а отрицательные – «рина» или «кшайя» (долг). Впрочем, и в Индии с пониманием и принятием отрицательных чисел были проблемы.
Отрицательные числа в Европе.
В Европе признание наступило на тысячу лет позже. К идее отрицательного количества достаточно близко подошел в начале XIII столетия Леонардо Пизанский (Фибоначчи), который тоже ввёл его для решения финансовых задач с долгами и пришел к мысли, что отрицательные количества надо принимать в смысле, противоположном положительным. В те годы были развиты так называемые математические поединки. На состязании в решении задач с придворными математиками Фридриха II Леонардо Пизанскому (Фибоначчи) было предложено решить задачу: требовалось найти капитал нескольких лиц. Фибоначчи получил отрицательное значение. «Этот случай, - сказал Фибоначчи, - невозможен, разве только принять, что один имел не капитал, а долг». В 1202 году он впервые использовал отрицательные числа для подсчёта своих убытков. Однако, в явном виде отрицательные числа применил впервые в конце XV столетия французский математик Шюке.
Тем не менее до XVII века отрицательные числа были “в загоне” и долгое время их называли «ложными», «мнимыми» или «абсурдными». И даже в XVII веке знаменитый математик Блез Паскаль утверждал, что 0-4=0 ибо нет такого числа, которое может быть меньше ничего, а вплоть до XIX века математики часто отбрасывали в своих вычислениях отрицательные числа, считая их бессмысленными…
Бомбелли и Жирар, напротив, считали отрицательные числа вполне допустимыми и полезными, в частности, для обозначения недостачи чего-либо. Отголоском тех времён является то обстоятельство, что в современной арифметике операция вычитания и знак отрицательных чисел обозначаются одним и тем же символом (минус), хотя алгебраически это совершенно разные понятия
ГЛАВА 2. ПРИМЕНЕНИЕ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
2.1 Применение чисел в медицине.
Отрицательные числа выражают патологию глаза. Близорукость проявляется снижением остроты зрения. Для того чтобы при близорукости глаз мог ясно видеть отдаленные предметы применяют рассеивающие (отрицательные) линзы. Близорукость (-), дальнозоркость(+).
Дальнозоркость (гиперметропия) - вид рефракции глаза, при котором изображение предмета фокусируется не на определенной области сетчатки, а в плоскости за ней. Такое состояние зрительной системы приводит к нечеткости изображения, которое воспринимает сетчатка.
Причиной дальнозоркости может быть укороченное глазное яблоко, либо слабая преломляющая сила оптических сред глаза. Увеличив ее, можно добиться того, что лучи будут фокусироваться там, где они фокусируются при нормальном зрении.
С возрастом зрение особенно вблизи все больше ухудшается из-за уменьшения приспособления способности глаза вследствие возрастных изменений в хрусталике — снижается эластичность хрусталика, ослабевают мышцы, удерживающие его, и как следствие снижается зрение. Именно поэтому возрастная дальнозоркость (пресбиопия) наличествует практически у всех людей после 40–50 лет.
При малых степенях дальнозоркости обычно сохраняется высокое зрение и вдаль, и вблизи, но могут быть жалобы на быструю утомляемость, головную боль, головокружение. При средней степени гиперметропии — зрение вдаль остается хорошим, а вблизи затруднено. При высокой дальнозоркости — плохое зрение и вдаль, и вблизи, так как исчерпаны все возможности глаза фокусировать на сетчатке изображение даже далеко расположенных предметов.
Дальнозоркость, в том числе и возрастная, может быть выявлена только при проведении тщательного диагностического обследования (при медикаментозном расширении зрачка хрусталик расслабляется и проявляется истинная рефракция глаза).
Близорукость – это болезнь глаз, при которой человек плохо видит предметы, расположенные вдалеке, но хорошо видит те предметы, которые находятся близко. Близорукость также называется миопией.
Считается, что около восьмисот миллионов людей болеют близорукостью. Близорукостью могут страдать все и взрослые, и дети.
В наших глазах существуют роговица и хрусталик. Эти составляющие глаза способны пропускать лучи, преломляя их. А на сетчатке возникает изображение. Потом это изображение становится нервными импульсами и по зрительному нерву передается в мозг.
Если роговица и хрусталик преломляют лучи так, что фокус находится на сетчатке, то изображение будет четким. Поэтому люди без каких-либо болезней глаз будут хорошо видеть.
При близорукости изображение получается размытым и нечетким. Это может происходить по следующим причинам:
– Если глаз сильно удлиняется, то сетчатка отходит от стабильного расположения фокуса. При близорукости у людей глаз достигает тридцати миллиметров. А у нормального здорового человека величина глаза равна двадцать три – двадцать четыре миллиметра;
– Если хрусталик и роговица преломляют лучи света слишком сильно.
По данным статистики, на земле каждый третий человек страдает миопией, то есть близорукостью. Таким людям сложно увидеть предметы, которые находятся вдалеке от них. Но при этом если книга или тетрадь будут близко расположены от глаз человека, который болеет близорукостью, то он будет хорошо видеть данные предметы. (см. рис.1)
2.2 Применение в технике
Термометр: Примером применения отрицательных чисел является термометр, показывающий температуру воздуха, почвы или воды. В зимнее время, когда на улице очень холодно, температура бывает отрицательной (или как говорят в народе «минусовой»). Например, −10 градусов холода. (Рис.2)
Телефон: Проверяя баланс на своем телефоне или планшете можно увидеть число со знаком (-), это означает что данный абонент, имеет задолженность и не может осуществить звонок, пока не пополнит свой счет, число же без знака (-) означает что можно звонить или осуществлять какую-либо другую функцию. (Рис.3)
2.3 Применение в науке
Отрицательные числа применяются во многих областях науки, включая математику, физику, экономику и психологию.
Числа в физике возникают в результате измерения физических величин.
Можно измерить высоту здания и расстояние от школы до дома (рулеткой),
массу тела (рычажными весами), температуру (термометром), скорость
автомобиля (спидометром), объем банки (мензуркой), силу тока (амперметром или гальванометром), показатель преломления воды (рефрактометром), напряжение между электродами (вольтметром), продолжительность урока (часами), мощность ядерного взрыва (сейсмографом), электрический заряд шарика (электрометром или баллистическим гальванометром) и др. Значение измерений зависит от того, как определена эта физическая величина относительно принятой точки отсчета. Отрицательные величины появились в физике в результате
договорённостей. Например, согласно Цельсию, температуру ниже точки замерзания чистой воды договорились считать отрицательной. Поэтому в физике применяется шкала температуры с отрицательными числами.
При измерении сил, действующих на пружину, целесообразно считать
положительными силы, растягивающих пружину, и отрицательными – силы,
сжимающие пружину.
В географии принято отсчитывать высоту географических пунктов от
уровня океана. Эта высота считается положительной, если пункт расположен
выше этого уровня, и отрицательной, если ниже. Например, высота самой
высокой горы Эверест 8848 м, а самого глубокого озера Байкал 1642 м. За точку отсчета принимается высота поверхности воды в Мировом океане. В отличие от этого, в быту мы обычно за нулевую высоту принимаем высоту поверхности земли (в том месте, в котором мы находимся). Говоря об изменении уровня воды в реке, подъем можно выразить положительным числом, а спад – отрицательным числом. Аналогично приливы отливы в морях и океанах.
В экономической географии есть понятие естественный прирост
населения. Отрицательный естественный прирост говорит о том, что
смертность людей превышает рождаемость и наоборот. В заключение снова
заметим, что привлечение отрицательных чисел в географии и других науках
целесообразно, если есть начало отсчета.
Точки отсчета лет в разных странах были разные. Это было связано со
значимыми историческими событиями. Счет лет, которым мы пользуемся,
возник давно и связан с почитанием Иисуса Христа – основателя христианской религии. Счёт лет от рождения Иисуса Христа постепенно был принят в разных странах. В нашей стране он введён царём Петром Первым. Время, исчисляемое от Рождества Христова, мы называем «наша эра» (н. э.).
Наглядно счет времени представлен на рисунке «4»
Условимся, что время движется слева направо. Вертикальной чертой
обозначено начало «нашей эры». Здесь годы исчисляются последовательно
вперед, один за другим – первый, второй, третий и так до нынешнего года. По
левую сторону разделительной черты – годы «до нашей эры». Если мы захотим посчитать годы в первом веке до н. э., то, чем ближе к концу века, тем меньше будет число года. То есть первый век до н. э. начался в 100 году до н. э., а закончился в 1 году до н. э. Лента времени в истории – это аналог координатной прямой в математике. Так слова 135 год до н. э. можно заменить отрицательным числом -135. Доход и расход в экономике – два противоположных направления операции с деньгами, поэтому их можно выразить положительными и отрицательными числами. Также прибыль и долг. Если говорить о изменении ставок по вкладам в банках, то повышение
процентной ставки – это «+», а понижение – это «-». Итак, отрицательные числа наряду с положительными числами и с числом нуль в науках служат для измерения величин, которые могут изменяться в двух противоположных направлениях от принятого начала отсчета.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Большинство людей знают отрицательные числа, но есть и такие у которых представление отрицательных чисел не полное.
По ходу выполнения работы были выполнены следующие задачи: Изучена литература по данной теме, исследована история возникновения отрицательных чисел, рассмотрено применение отрицательных чисел в медицине, техники, природе, и науке. Выполняя данную работу, я значительно расширил знания по математике об отрицательных числах. Древнегреческий философ Платон прав своим утверждением: «Мы…никогда не стали бы разумными, если бы не исключили число из человеческой природы». Понять суть отрицательных чисел без истории их возникновения немыслимо. История возникновения отрицательных чисел тесно связана с развитием математики и потребностями людей в решении разнообразных задач в своей деятельности. Начиная с простых операций вычитания и расчетов задолженностей, отрицательные числа постепенно стали играть свою большую роль в математике и были признаны как неотъемлемая часть числового мира. С появлением новых алгебраических концепций и развитием финансовых операций, отрицательные числа стали необходимым инструментом для анализа и решения различных задач, что подтверждает их важное место в математике и повседневной жизни.
В заключении считаю, что мой проект может быть применим для проведения факультативного занятия по математики, для расширения кругозора и знаний об отрицательных числах.
Список используемой литературы.
-
Вигасин А.А,.Годер Г.И., «История древнего мира», учебник 5 кл.,2001.
-
Выговская В.В. « Поурочные разработки по Математике:6 класс» -М.:ВАКО, 2008г.
-
Газета «Математика» №4, 2010г.
-
Гельфман Э.Г. «Положительные и отрицательные числа», учебное пособие по математике для 6-го класса, 2001.
-
Большая научная энциклопедия, 2005.
-
Детская энциклопедия «Я познаю мир», Москва, «Просвещение», 1995г.
-
«История математики в школе», Москва, «Просвещение», 1981 г.
-
« Элементы историзма в преподавании математики в средней школе», Москва, «Просвещение», 1982г
-
История математики в школе , IV-VI классы. Г.И. Глейзер, Москва, Просвещение, 1981.
-
Возникновение и развитие математической науки: Кн. Для учителя. – М.: Просвещение, 1987.
-
Фридман Л.М. «Изучаем математику», учебное издание, 1994
-
Глейзер Г.И. «История математики в школе», Москва, «Просвещение»,1981г
-
История возникновения отрицательных чисел [Электронный ресурс] Режим доступа: http://lubopitnie.ru/istoriya-vozniknoveniya-otritsatelnyih-chisel/. Ru
-
Лиман М.М. Школьникам о математике и математиках. – М.: Просвещение, 1981. – С. 26.
ПРИЛОЖЕНИЕ
РИС.1
РИС.2
РИС.3
РИС.4