XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Автоморфные числа

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Дзицоева В.К. 1Манукян А.М. 1

---

1мбоу сош№1 с.Октябрьское Пригородный район РСО-А

Тедеева Е.П. 1

---

1мбоу сош№1 с.Октябрьское Пригородный район РСО-А

Работа в формате PDF

72.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение.

Актуальность. Изучая историю возникновения и развития счета, ученые пришли к выводу, что в начале человек различал только понятия «один» и «много». Затем появились другие числа. На первых порах существования человеческого общества числа, открытые в процессе практической деятельности, служили для примитивного счета предметов, дней, шагов и т. д. В первобытном обществе человек нуждался лишь в нескольких первых числах. Но с развитием цивилизации ему потребовалось изобретать все большие и большие числа. С появлением обмена продуктами труда у людей появилась необходимость сравнивать число предметов одного вида с числом предметов другого вида. На этом этапе возникли понятия «больше», «меньше», «столько же».

Число – важнейшее понятие математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Понятие числа служит исходным для многих математических теорий. Числа используются в физике, химии, астрономии, биологии, медицине, архитектуре, кулинарии, в создании и работе компьютеров и мобильных телефонов, в повседневной жизни. Математика быстро развивается, и обойтись без вычислений невозможно. Поэтому очень важно знать разновидности чисел и их свойства.

Мы можем с уверенностью говорить об актуальности своей работы. Ведь периодические или почти периодические последовательности используются в таких современных областях науки и техники, как: комбинаторика слов, символическая динамика, выразимость в логических теориях, вычислимость, колмогоровская сложность, теория чисел, радиотехника, биоинженерия, криптография, широко полостные системы связи, физика колебаний и волн, астрофизика, цифровые технологии.

Цель нашей работы: познакомиться с удивительными числами, которые называются автоморфными; выяснить являются ли они периодическими.

Задачи: найти и описать алгоритм получения автоморфных чисел. Проверить наличие триморфных, тетраморфных, пентаморфных и т.д. чисел.

Метод проведения исследования: теоретический.

Объект исследования: автоморфные числа, триморфные, тетраморфные числа

Предмет исследования: свойства автоморфных чисел.

Проблема: Автоморфные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Например, 5² = 25, 6² = 36. Проблема в том, чтобы выяснить свойства автоморфных чисел.

Гипотеза: 1. Каждое из автоморфных чисел можно неограниченно продолжать влево единственным способом так, что на каждом шаге будет получаться автоморфное число.

2. Кубы автоморфных чисел тоже автоморфные числа.

3. Все автоморфные числа являются тетраморфными, гексаморфными, октаморфными и так далее. Обратное в общем случае неверно.

4. Множество триморфных чисел строго включает в себя множество автоморфных чисел; множество пентаморфных чисел строго включает в себя множество триморфных чисел.

Основная часть. В этой работе мы рассматриваем задачу об автоморфных числах. По определению автоморфные числа – это числа, квадрат которых оканчивается на это же число. Однозначных автоморфных чисел четыре: 0² = 0, 1² = 1, 5² = 25, 6² = 36. Двузначных автоморфных чисел всего два: 25² = 625; 76² = 5776. Дальнейшие свои вычисления и результаты поисков для наглядности запишем в виде таблицы:

Следующие числа получаем, используя период.

В ходе вычислений мы заметили некоторые закономерности появления автоморфных чисел и сформулировала их в виде правил.

1. Правило для первого столбца: слева приписывается цифра, которая появилась в квадрате предыдущего числа перед цифрами, образующими само число. Например, 25² = 625, перед цифрами 2 и 5, образующими число 25, появилась шестерка, значит, следующее автоморфное число получается из числа 25 приписыванием к нему слева цифры 6.

2. Правило для второго столбца: слева приписывается не сама цифра, которая появилась в квадрате предыдущего числа перед цифрами, образующими это число, а разность между десяткой и этой цифрой. Например, 76² = 5776, перед цифрами 7 и 6, образующими число 76, появилась цифра 7. Значит, следуя нашему правилу, для получения нового автоморфного числа слева к 76 приписываем 3= 10 – 7, получаем 376. Проверяем: 376² =141376, оканчивается на 376, что соответствует определению автоморфных чисел.

Далее в четырнадцатизначном автоморфном числе появилась цифра 5, и далее цифры повторялись. Нами был сделан вывод, что автоморфные числа, получаемые в первом столбце, периодические и период равен 5260982128199. У чисел второго столбца период тоже состоит из 13 знаков 4739017871800. То есть каждое следующее автоморфное число можно получать, просто приписывая слева цифру из периода.

Если сложить периоды первого и второго столбца получится тринадцать девяток 9999999999999.

Кроме того, в ходе исследования мы обнаружили, что у автоморфных чисел есть некоторые интересные свойства, например, кубы автоморфных чисел тоже автоморфные числа ( Приложения.Таблица1,Таблица 2)

Триморфное число – это натуральное число, десятичная запись куба которого оканчивается цифрами самого этого числа. Последовательность триморфных чисел начинается так --- 1;4;5;6;9;24;25;49;51;75;76;99;125;249;251;375;376;499;501;624;625;749;751;875;999…

Каждое автоморфное число является триморфным. Обратное в общем случае неверно. То есть множество триморфных чисел строго включает в себя множество автоморфных чисел.

Числа вида 10ⁿ – 1 (9, 99,999,9999…) и 5*10ⁿ± 1 (49, 51, 499, 501, 4999, 5001…) при натуральных n являются триморфными.

Если по аналогии с триморфными ввести понятие тетраморфных, пентаморфных, гексаморфных, гептаморфных и … n-морфных чисел, то получим следующее:

Тетраморфное число - это натуральное число, десятичная запись четвертой степени которого оканчивается цифрами самого этого числа. Например, 1;5;6;25; 76…

1⁴=1; 5⁴=625; 6⁴=1296; 25⁴=3900625; 76⁴ = 33362176

Пентаморфное число – это натуральное число, десятичная запись пятой степени которого оканчивается цифрами самого этого числа.

Все однозначные числа являются пентаморфными!

1⁵=1; 2⁵=32; 3⁵=243; 4⁵ =1024; 5⁵=3125; 6⁵= 7776; 7⁵= 16807; 8⁵= 32768; 9⁵ = 59049.

Гексаморфное число – это натуральное число, десятичная запись шестой степени которого оканчивается цифрами самого этого числа. Последовательность гексаморфных чисел начинается так – 1;5;6;25; 76;….

Гептаморфное число – это натуральное число, десятичная запись седьмой степени которого оканчивается цифрами самого этого числа. Последовательность гептаморфных чисел начинается так – 1;4;5;6; 9;…

Заключение.

Изучение истории развития теории чисел показало, что когда-то числа служили только для решения практических задач. А потом им дали имена, придумали цифры, стали изучать – узнавать их свойства. Приписывали им удивительные свойства, считали их магическими [1]. Мы поняли, что числа – основа математики, её фундамент. Знание свойств чисел позволяет быстро выполнять арифметические действия над ними.

В процессе изучения чисел, нами решена была решена задача о нахождении способа получения автоморфных чисел и выяснено, что

1. автоморфные числа, оканчивающиеся на цифру 5, периодические с периодом 5260982128199. Автоморфные числа, оканчивающиеся на цифру 6, периодические с периодом 4739017871800.

2. кубы автоморфных чисел тоже автоморфные числа.

3. С данным количеством знаков существует ровно 2 автоморфных числа

4. По приведенным ранее примерам автоморфных чисел мы заметили интересное свойство: числа первого столбца кратны 5ⁿ, числа второго столбца кратны 2ⁿ, где n — количество цифр. Значит произведение соответствующих чисел из двух столбцов кратно 10^п

5*6=30: 10

25*76=1900: 100

625*376=235000:1000…

5. Сумма соответствующих автоморфных чисел из двух таблиц равна 10^п +1:

5+6= 10¹+1

25+76=10²+1

625+376=10³+1….

n показывает какие числа берем—однозначные, двузначные, трехзначные и т.д.

Занимаясь исследованиями автоморфных чисел, мы обнаружили, что если находить суммы квадратов цифр автоморфных чисел, то обязательно приходишь к периоду из восьми чисел (145,42, 20,4,16,37, 58,89). Но потом мы выяснили, что любые числа (а не только автоморфные) с помощью таких действий можно привести к числу 145 (период 145, 42,20,4,16, 37,58,89) или к единице [4].

Например, 64 переходит в 36 +16=52

52 переходит в 25+4=29

29 переходит в 4+81=85

85 переходит в 64+81= 145→42→20→4→16→37→58→89→145.

Теперь приведу пример для единицы:

70→49→16+81=97→81+49=130→ 1+9=10→1

6. Если теперь рассмотреть цифры периодов, также находя суммы квадратов, то придём в обоих случаях к единице:

5260982128199→446→68→100→1

4739017871800→383→82→68→100→1.

6. Если у периодов находить суммы кубов цифр, то придем к неподвижной точке:

5260982128199→3578→1007→344→155→251→134→92→737→713→371→371…

4739017871800→12875→988→1753→496→1009→730→370→370…

6. По нашим расчётам, множество пентаморфных чисел строго включает в себя множество триморфных чисел. Обратное в общем случае неверно.

7. Все автоморфные числа являются гексаморфными. Все триморфные числа являются гептаморфными.

8. Автоморфные числа распределяются неравномерно по натуральному ряду.

Чтобы подчеркнуть важность наших исследований приведу примеры использования периодических последовательностей [5]:

1. Радио – периодические сигналы.

2. Биоинженерия – компьютерный анализ последовательностей оснований ДНК и белков.

3. Широко полостные системы связи – двоичные М-последовательности.

4. Криптография и кодирование: Автоморфные числа могут использоваться в криптографии для создания безопасных алгоритмов шифрования и генерации случайных чисел. Это связано с их способностью сохранять свою форму при определенных математических преобразованиях.

5. Теория графов: Автоморфные числа могут быть использованы для изучения и классификации графов. Они могут помочь в определении частных свойств графов и применении этих свойств для решения задач, связанных с сетями и коммуникацией.

6. Математическая физика: Автоморфные числа могут использоваться в математической физике для изучения симметрии и законов сохранения. Они могут помочь в решении уравнений, моделирующих физические системы, и понимании их свойств. В общем, автоморфные числа имеют широкий спектр применений в различных областях математики, благодаря своим уникальным свойствам сохранения формы при определенных преобразованиях.

Дальнейшие исследования автоморфных чисел, мы думаем, представляют широкие перспективы. Важным направлением является расширение теории автоморфных чисел на более сложные математические структуры и объекты. Также имеется потенциал для применения автоморфных чисел в криптографии и информационной безопасности. Дополнительно, возможны новые алгоритмы и методы исследования автоморфных чисел, что позволит более подробно изучить их свойства.

Мы планируем выяснить так же, есть ли еще периодические числа с другими интересными свойствами и где еще в математике и природе встречается периодичность.

Список литературы.

1. А.Н. Колмогоров, Математика – Наука и профессия, Москва, «Наука» главная редакция физико - матем. литературы, 1988

2. В. В. Мадер, Математический детектив, Книга для учащихся, Москва, «Просвещение», 1992, 97с

3. Википедия – числа с собственными именами.

4. Гусак А.А., Гусак Г.М., Гусак Е.А. В мире чисел, Минск: Народная асвета,1987, 191стр.

5. Деплан И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики: Пособие для учащихся 5-6классов средней школы, Москва, Просвещение,1989, 287стр

Приложения.

Таблица 1.

Таблица 2.