Вспомогательная окружность – ключ к поиску правильного решения задач

XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Вспомогательная окружность – ключ к поиску правильного решения задач

Кутузов А.Г. 1
1МАОУ «Гимназии №1» п. Мулино
Дятел О.И. 1
1МАОУ «Гимназии №1» п. Мулино
Автор работы награжден дипломом победителя I степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Цель:

Исследовать метод вспомогательной окружности, применить его при решении геометрических задач.

Задачи:

  1. Обобщить и систематизировать теоретические сведения об окружности и её свойствах.

  2. Изучить метод вспомогательной окружности.

  3. Рассмотреть наиболее типичные ситуации, в которых удобно применять вспомогательную окружность.

  4. Показать применение свойств метода вспомогательной окружности при решении задач.

Методы:

  1. Работа с первоисточниками.

  2. Исследовательский.

  3. Сравнительный анализ.

  4. Самостоятельный поиск решения.

  5. Поисковый.

План:

Введение 4

Глава 1. Окружность. Вспомогательная окружность 5

    1. Теоремы и следствия, изучаемые в курсе 8-9 класса 5

    2. Признаки вспомогательной окружности 8

Глава 2. Применение вспомогательной окружности. Решение задач 11

Ключевая идея 1 12

Ключевая идея 2 17

Ключевая идея 3 24

Ключевая идея 4 27

Заключение 33

Список литературы 35

Введение

В структуру выпускного экзамена ЕГЭ по математике профильного уровня входит геометрическая задача на доказательство повышенной сложности, требующая от обучающихся всестороннего знания планиметрии. Важнейшей особенностью является отсутствие единых алгоритмов решения таких задач, успех во многом зависит от накопленного учащимися опыта решения комбинированных планиметрических задач. Тем не менее, практика решения позволила выделить некоторые геометрические структуры, являющиеся вспомогательными ключами к поиску правильного решения. Одним из таких ключей является метод вспомогательной окружности. В моей работе сформулированы теоретические аспекты, лежащие в основе применения метода вспомогательной окружности, и показано, как он используется для решения различных геометрических задач.

Актуальность: данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе геометрии свойств окружности.

Гипотеза: метод вспомогательной окружности является одним из ключей к поиску правильного решения геометрических задач.

Объект исследования: планиметрические задачи.

Предмет исследования: метод вспомогательной окружности.

Глава 1. Окружность. Вспомогательная окружность

1.1.Теоремы и следствия, изучаемые в курсе 8-9 класса

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.

Вспомогательная окружность - одно из наиболее эстетичных дополнительных построений. Суть метода вспомогательной окружности заключается в том, что на чертежи к задаче вводится окружность, которую можно вписать или описать около треугольника, четырёхугольника или многоугольника. После этого связи между данными и искомыми величинами становятся очевидными. Использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче. Целесообразность применение метода зависит от этих признаков. Они основаны на теоремах и их следствиях, изучаемых в курсе геометрии 8, 9 классов.

Углы, связанные с окружностью.

1. Градусная мера дуги окружности равна величине центрального угла:

2.Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается:

  1. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой: α = 90°

  1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны: α = β

  1. Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой двух дуг, одна из которых между его сторонами, а другая между их продолжениями :

  1. У гол с вершиной вне круга измеряется полуразностью дуг, заключённых между её сторонами:

  2. Угол, составленный касательной и хордой, проведённой в точку касания, равен половине дуги, заключённой внутри этого угла.

Вписанные и описанные окружности.

      1. Около любого треугольника можно описать единственную окружность, центр - точка

пересечения серединных перпендикуляров.

      1. В треугольник можно вписать окружность и притом единственную. Центр окружности - точка пересечения биссектрис.

      1. И з всех параллелограммов только около прямоугольника и квадрата можно описать окружность. Центр - точка пересечения диагоналей.

      2. Только около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

      3. Если в четырехугольнике сумма длин его противоположных сторон равны, то в четырёхугольник можно вписать окружность. AB + DC = AD + BC

      4. Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 , то около него можно описать окружность.

Свойства окружности, пересекающихся хорд, секущих и касательных.

        1. Е сли из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной.

AD2 = AC·AB

        1. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть, равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть.

AB · АС = AE · AD

        1. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды

AE · EB = CE · ED

1.2. Признаки вспомогательной окружности

К построению вспомогательной окружности приводит наличие следующих признаков.

Первый признак.

Если дан правильный треугольник, то можно провести окружность с центром в любой из его вершин и радиусом, равным длине его стороны, или описать около него окружность, которая разобьется вершинами треугольника на равные дуги по 120° каждая.

 

Второй признак

Если дан прямоугольный треугольник, то вокруг него описывается окружность, центром которой является середина гипотенузы, а радиус равен медиане, проведённой к гипотенузе этого треугольника.

R = m

Третий признак

Если можно указать точку, равноудалённую от рассматриваемых четырех точек, то эти четыре точки будут лежать на одной окружности.

BO = CO = DO = AO

Четвертый признак.

П усть около треугольника ABC описана окружность с центром О. Если точки О и C лежат по одну сторону от прямой AB, то

Если же эти точки лежат по разные стороны от АВ, то

Обратно, если 1) Точки О и С лежат по одну сторону от АВ, OA = OB и

и ли 2) Точки О и С лежат по разные стороны от АВ,OA =

, то точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС.

П ятый признак

Если точки A и B лежат на одной стороне неразвернутого угла с вершиной O, точки C и D на другой, и при этом OA · OB = OC · OD, то четыре точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Ш естой признак

Если в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то вокруг него можно описать окружность.

Седьмой признак

Если отрезок AB из точек C и D виден под равными углами, то четыре точки A, B, C и D лежат на одной окружности.

Восьмой признак

Если отрезки AB и CD пересекаются в точке О, и при этом OA·OB=OC·OD, TO четыре точки A, B,

C и D лежат на одной окружности.

Г лава 2. Применение вспомогательной окружности.

Рассмотрим один из интересных приёмов решения геометрических задач, который состоит в том, что в чертёж вводится вспомогательная окружность, помогающая установить связь между данными и неизвестными элементами фигуры. Отыскать удачное вспомогательное построение часто бывает нелегко. Продвинуться в решении помогают знания признаков вспомогательной окружности.

Ключевая идея 1.Обнаружить или построить четырехугольник, сумма противоположных углов которого равна 180 °.

Задача 1. В четырехугольнике ABCD известны углы: ∠СBD = 58°, ∠ABD = 44°, ∠ADC = 78°. Найти ∠CAD.

Решение:

1. ∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = 44° + 58° = 102° 2. ∠ABC + ∠ADC = 102° + 78° = 180° и, следовательно, около четырехугольника ABCD можно описать окружность.

3. ∠CAD = ∠CBD = 58° (как вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу) Ответ: 58°.

Задача 2. На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найти расстояние между его центром и вершиной C, если АВ=1 и ∠ С=120°.

Р ешение: Четырехугольник ABCD:

∠C + ∠D = 180° ⟹ точки А, В, С, D лежат на окружности, описанной около равностороннего треугольника ABD.

Искомое расстояние равно радиусу этой окружности,

О твет:

Задача 3. Дан угол величиной α с вершиной в точке А. Расстояние между основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки M на стороны угла, равно β. Найти AM.

  1. Ч етырехугольник АВМС: отрезок AM виден из точек В и С под прямым углом ⟹ точки А, В, М и С лежат на окружности с диаметром АМ.

  2. ∆ АВС: По теореме синусов

Задача 4. Продолжение сторон PQ и ST вписанного четырехугольника PQST пересекаются в точке О. Доказать, что треугольники OPT и OQS подобны.

Д оказательство: 1. Точки

P,Q,S,T лежат на окружности ⟹

∠1+ ∠2 = 180°

    1. ∠2 + ∠3 = 180° (т. к. они смежные)

    2. ∠1+ ∠2 = 180°, ∠2 + ∠3 = 180° ⟹ ∠1

= ∠3

    1. ∆OQS ~∆ОРТ - по двум углам, ∠O- общий; ∠1 = ∠3.

Ч то и требовалось доказать.

Задача 5. Окружность пересекает стороны PQ и

QR треугольника PQR в точках X и Y

соответственно и проходит через вершины P и R. Найдите длину отрезка XY, если QX=28, а сторона QR в 1,75 раз больше стороны PR.

Решение: 1. PXYR-вписанный четырехугольник => ∠PRQ + ∠PXY = 180°,

∠PXY + ∠YXQ = 180° (т.к. они смежные) => ∠PRQ = ∠YXQ

2. ∆ XYQ~ ∆ RPQ подвум углам => XY = 28:1,75 = 16

Ответ:16

Задача 6. Из произвольной точки M катета АС прямоугольного треугольника

ABC опущен перпендикуляр МК на гипотенузу AB. Доказать, что ∠МКС=

∠МВС.

Доказательство: 1. Четырехугольник СМКВ: ∠С + ∠K

= 180° ⟹ точки С, М, К и В лежат на одной окружности. 2. ∠ МКС= ∠ МВС (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу МС).

Что и требовалось доказать.

Задача 7. Из точки М, которая принадлежит углу АОВ, но не принадлежит

его сторонам, опущены перпендикуляры МЕ и МF на прямые OA и OB.

Д оказать, что ЕF≤OM.

Доказательство: 1. Четырехугольник EMFO:

∠E + ∠F = 180° => точки Е, М, F и О лежат на одной окружности.

  1. EF- хорда, МО- диаметр, т.к вписанный ∠МЕО=90°, хорда EF<МО.

Что и требовалось доказать.

З адача 8. Биссектрисы ВК и СМ треугольника АВС пересекаются в точке О, ∠ А=60°.

Доказать, что ОК=ОМ.

Доказательство: 1. ∆ АВС: ∠A=60°=>

∠B + ∠C = 120°, тогда

2. ∆ВОС: ∠BOC = 180°- 60° = 120°

  1. ∠MOK = ∠BOC = 120° (вертикальные)

4.Четырехугольник АМОК: ∠A + ∠MOK = 180° ⟹точки А, М, О, К лежат на одной окружности.

5.АО - биссектриса ∠ А => ∠ МАО= ∠ КАО => ⟹MO =

OK (хорды, стягивающие равные дуги).

Что и требовалось доказать.

Задача 9. Из точки А, расположенной вне окружности, проведены касательные AB, АС и секущая MN. Пусть B и C- точки касания, а P- середина хорды MN. Доказать, что ∠ВРА = ∠ СРА.

Д оказательство: 1. ОВ⊥АВ, ОС⊥АС

(свойство касательных к окружности) ∠ABO +∠ ACO = 180° ⟹ точки А, В, О,

С лежат на окружности с диаметром АО.

2.Хорды АВ и АС равны (отрезки касательных проведенных к окружности из одной точки) ⟹

3. Р - середина MN ⟹РО ⊥ МА ⟹ медиана в равнобедренном ∆ MON является высотой) ⟹ ∠ АРО=90°, ∠ АРО опирается на диаметр АО ⟹ Р лежит на окружности.

2. ∠ ВРА= ∠ СРА (вписанные углы, опирающиеся на равные дуги).

Что и требовалось доказать.

Задача 10. В треугольнике АВС проведены высоты АЕ, BD, CF, пересекающиеся в точке О. Известно, что AE · AO + BD · BO + CF · CO = 5.

Найти сумму квадратов длин сторон ∆ АВС.

Р ешение: 1. ∠ BFO + ∠ BEO = 180° ⟹ около четырехугольника FBEO можно описать окружность. По теореме о секущих, проведенных к окружности из одной точки

следует, что

AB · AF = AE · AO(1); BC · EC = CF · CO (2)

3.∠ AFC + ∠ ADB = 180° ⟹ точки А, F,

O, D лежат на одной окружности ⟹

AB · BF = BD · BO (3); AC · CD = CF· OC(4)

4. ∠ AEC + ∠ BDC = 180° ⟹ точки O, E, C, D лежат на одной окружности ⟹

Ответ: 10

Ключевая идея 2.Обнаружить две точки, лежащие в одной полуплоскости от данной прямой, из которых данный отрезок, принадлежащий этой

прямой, виден под одинаковыми углами.

Задача 11. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AE и BD.

Доказать, что углы BDE и BAE равны.

Д оказательство:

    1. ∠ADB = ∠ АЕВ = 90° .Отрезок АВ виден из точек Е и D под одним и тем же углом => около четырехугольника ADEB можно описать окружность.

    2. ∠BDE= ∠ ВАЕ (вписанные углы, С опирающиеся на одну дугу BE).

Что и требовалось доказать.

Задача 12. В остроугольном треугольнике ABC ∠В=40° проведены высоты AD и BE. Найдите ∠BED.

Р ешение: 1. Отрезок АВ виден из точек D и Е под прямыми углами ⟹ точки D, E,A и В лежат на одной окружности.

2. ∠В + ∠AED = 180° =>

∠BED = 180° - 40° - 90° = 50°

Ответ: 50°

Задача 13. В четырехугольнике ABCD известны углы: ∠ BAD=96°, ∠BAC=54°.Найти, чему равен ∠ BDC.

Р ешение:∠DAC = ∠BAD - ∠BAC = 96° - 54° = 42° , т.е. ∠DAC= ∠ CBD. Но тогда около четырехугольника ABCD можно описать окружность. Следовательно, ∠ CBD = ∠BAC = 54°(вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу).

Ответ: 54°

Задача 14.В остроугольном треугольнике ABC угол В равен 60°, АМ и CN- его высоты, а P- середина стороны АС. Доказать, что треугольник MNP- равносторонний.

Д оказательство: 1. Четырехугольник ANMC: Отрезок АС из точек N и M виден под прямым углом ⟹ точки А, N, M и С лежат на одной окружности с диаметром АС.

  1. ∠ NPM- центральный, ∠ NAM- вписанный, опираются на одну и ту же дугу NM ⟹ ∠NPM = 2 ∠NAM = 2 ∠BAM = 2·30° = 60°

  2. ∆NMP- равнобедренный с углом при вершине Р, равном 60° ⟹ ∆NMP- равносторонний.

Что и требовалось доказать.

Задача 15. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О. ∠АВС=111°, ∠ОВС=49°, ∠ACD=62°. Найти ∠ СAD и ∠ADC.

Р ешение: 1. ∠ABD = 111°- 49° = 62°

2.Отрезок AD из точек В и D виден под одним и тем же углом ⟹ точки А, В, С, D лежат на одной окружности.

    1. ∠ B + ∠ D = 180° ⟹ ∠ ADC = 180°-111° = 69°

    1. ∠ CAD = ∠ CBD = 49° (вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу). Ответ: ∠ CAD=49°; ∠ ADC=69°

Задача 16.В трапеции ABCD с основанием AD и BC угол ABD равен углу ACD. Доказать, что ABCD- равнобедренная трапеция.

Доказательство: 1. Отрезок AD из точек В и

С виден под одним и тем же углом ⟹ точки А,

В,С, и D лежат на одной окружности.

2.

(равные дуги стягивают равные хорды) ⟹ АВСD- равнобедренная трапеция.

Что и требовалось доказать.

Задача 17. Середина S стороны KN выпуклого четырехугольника KLMN равноудалена от всех его вершин. Найдите KN, если LM=8, ∠ L=101°, ∠ M=124°.

, тогда

Ответ:

Вписанные углы, опирающиеся на общую дугу позволяют выявить подобные треугольники.

Задача 18. В треугольнике PQR с тупым углом R проведены высоты PE и QF.

Доказать, что треугольники ERF и PRQ подобны.

Д оказательство: 1. ∠ PEO= ∠ PFQ=90° ⟹

Р, Е, F, Q лежат на одной окружности диаметром PQ.

  1. ∠ FEP= ∠ FOP (вписанные углы,

опирающиеся на одну и ту же дугу РF)

  1. ∠ EFO= ∠ ЕРО (вписанные углы, опирающиеся на дугу QE)

  2. ∆ ERF~ ∆ PRO (по 2-м углам).

Что и требовалось доказать

Задача 19. На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС во внешнюю сторону построен квадрат с центром в точке О. Доказать, что СО - биссектриса прямого угла.

Д оказательство: 1. Четырехугольник АСВО: ∠ С=90°( по условию); ∠ АОВ=900(диагонали квадрата перпендикулярны) ⟹ отрезок АВ из точек С и О виден под прямым углом ⟹ А,С,В, и О лежат на окружности с диаметром АВ.

2. АО=ОВ (диагонали квадрата в точке

пересечения делятся пополам) ⟹ ⟹ СО

- биссектриса прямого угла С.

Что и требовалось доказать.

Задача 20.Из вершины А квадрата АВСD проведены лучи, образующие между собой угол 45°. Один из них пересекает диагональ ВD в точке М, другой- сторону CD в точке N. Найти величину угла АМN.

Р ешение: 1. Отрезок MN виден из точек А и D под углом 45°⟹ около четырехугольника ADNM можно описать окружность.

2. По теореме о вписанном четырехугольнике

∠MAD +∠MND = ∠ADN + ∠AMN = 180° ⟹

∠AMN = 180°- 90° = 90°

Ответ: ∠AMN=90°.

Задача 21. Известно, что ВМ и СN высоты треугольника АВС, при этом

M N=10, ВС=26. Найти расстояние между серединами отрезков MN и ВС. Решение: 1. Из точек М и N отрезок ВС виден под прямым углом ⟹ точки M, N, B и

С лежат на одной окружности с диаметром ВС.

2. Р- центр окружности, Q- середина хорды

NM⟹PQ⊥NM

3. ∆PQM: ∠Q=90°;MP=13, QM=5⟹QP=12

Ответ:12.

Задача 22.Основание CD, диагональ ВD и боковая сторона АD трапеции

АВСD равны р. Боковая сторона ВС равна q. Найдите диагональ АС.

Решение: 1. Точки С,В и А равноудалены от точки D⟹ окружность проходит через точки С, В и А.

  1. Продолжим отрезок СD до пересечения с окружностью. СЕ - диаметр ⟹СЕАВ- равнобедренная трапеция, EA=BC=q

  2. ∆CAE: ∠А=90°; По теореме Пифагора

 

Ответ:

Задача 23.Из вершины А правильного треугольника АВС проведен луч, пересекающий сторону ВС. Точка М расположена на этом луче таким образом, что ∠АМВ=20°, ∠АМС=30°. Найти ∠МАВ.

Решение: 1. На продолжении прямой АВ отложим отрезок BD, равный АВ.

  1. AB=BC=BD⟹ BC - медиана ∆ АСD.

Медиана ВС равна половине стороны АО. Это возможно только в прямоугольном треугольнике

⟹ ∠ ACD=90°

  1. ∆ ACD: ∠ ACD=90°, ∠ DAC=60° (по условию)

⟹ ∠ ADC=30°

  1. Сторона АС из точек D и М видна, под одним и тем же углом ⟹ точки A,D,M,C лежат на одной окружности.

  2. ∠ ACD=90° ⟹ AD- диаметр окружности, В-центр ⟹ ВА=ВМ ⟹∠ BAM = ∠ BMA = 20°.

Ответ:∠ BMA = 20°.

Задача 24.В треугольнике АВС ( АС<ВС) проведена медиана СD. Известно, что ∠ DCA + ∠ DBC = 90°. Доказать, что ∠ АСВ=90°.

Доказательство: 1. Проведём КD ⊥ АВ

    1. ∆ ВКD: ∠ B + ∠ BKD = 90°; ∠ B + ∠ DCA = 90° ⟹

∠ BKD= ∠ DCA

    1. ∆ BAK: КD- высота, медиана ⟹ ∆ ВАК- равнобедренный ⟹ ∠ BKD= ∠ AKD

    2. Отрезок AD виден из точек К и С под одним и тем же углом ⟹ точки С, К, D и А лежат на одной окружности

    3. Суммы противоположных углов вписанного четырехугольника равны 180° ⟹ ∠ АСВ=90°.

Что и требовалось доказать.

Ключевая идея 3.Сопоставление данных ( чаще всего числовых) приводит к выводу о возможности использования свойств вписанных и соответствующих им центральных углов вспомогательной окружности.

Задача 25.В треугольнике АВС: ∠ А=70°, ∠ В=50°. Точка М лежит внутри треугольника, причем ∠ MAC = ∠ MCA = 40° .Найдите ∠ ВМС.

Р ешение: 1. ∆ ACM: ∠ A = ∠ C = 40° ⟹ ∆ ACM- равнобедренный, МС=МА

      1. Точки А и С равноудалены от точки М. Значит лежат на одной окружности с центром в точке М.

      2. ∠ М=100°, ∠ В=50° ⟹ точки В, А и С лежат на окружности.

      3. ∠ А=70°⟹ ∠ М=140°(центральный) Ответ: 140°

Задача 26.Точки О и В расположены в одной полуплоскости относительно прямой АС. Известно, что ОА=ОС и ∠ АОС=2· ∠ АВС. Докажите, что точки А, В и С лежат на окружности с центром О.

Д оказательство: 1. Точки А и С равноудалены от точки О ⟹ А и С лежат на окружности с центром О.

2. Предположим, что точка В также лежит на

окружности. Тогда ( вписанный);

. Значит ∠ AOC = 2 · ∠ ABC. Условие задачи выполняется, значит точки А, В и С лежат на окружности с центром О.

Что и требовалось доказать.

Задача 27.В трапеции MNPQ( MQ//NP) угол NQM в 2 раза меньше угла MPN. Известно, что NP , MQ=12. Найти площадь трапеции.

Р ешение: 1. NP=MP ⟹P- центр окружности, проходящий через точки M и N. 2. ∠NPM- центральный, ∠ NQM меньше ∠ NPM в 2 раза ⟹ точка Q лежит на окружности с центром в точке Р и радиусом 6,5.

  1. ∆MPQ: HP ⊥MQ; PH

  2. S(MNPQ) = (6,5 +12): 2 ·

Ответ:

Задача 28. Вне равностороннего треугольника АВС, но внутри угла ВАС

взята точка М, причем ∠СМА=30°, ∠ВМА=α. Найти ∠АВМ.

Р ешение: 1. АВ=ВС ⟹ В- центр окружности, проходящей через точки А и С.

2. ∠ АВС=60°; ∠ АМС=30°=> точка М лежит на окружности с центром в точке В и радиусом АВ. 3. ∆ АВМ- равнобедренный ⟹ ∠ ABM = 180°- 2α

Ответ: 180°—2α

Задача 29.Точки О и С расположены в разных полуплоскостях относительно прямой АВ. Известно, что АО=ОВ и ∠ AOB = 2 ·(180° - ∠ ACB). Докажите, что точки А, В и С лежат на окружности с центром О.

Д оказательство: 1. По условию АО=ОВ ⟹ точки А и В лежат на окружности; ОА, ОВ- радиусы, АВ- хорда.

  1. Предположим, что точка С лежит на окружности.

∠ АОВ - центральный; ∠ АСВ-вписанный;

∠ AOB = 360° - 2 · ∠ACB = 2·(180°- ∠ACB)

Условия задачи выполняются ⟹ предположение о том, что точка С лежит на окружности верно, значит точки А, В и С лежат на окружности с центром О.

Что и требовалось доказать.

З адача 30.В выпуклом четырехугольнике ABCD известно, что ∠ BAD=100°, ∠ BCD=130°, AB=AD.Докажите, чтоАВ=АС.

Доказательство: 1. По условию АВ= AD ⟹ точки В и D лежат на окружности с центром в точке А, АВ и

AD - радиусы

2. Предположим, что точка С лежит на окружности.

Тогда

∠ BAD = 360° - 2 · ZBCD = 360° - 2·130° = 100°

  1. Равенство выполняется.

Предположение о том, что точка С лежит на окружности верно, значит D, B и С лежат на одной окружности ⟹ АВ=АС.

Что и требовалось доказать.

Задача 31.Дан квадрат AВСD. Вне квадрата отметили точку Е так, что

∠ ВАЕ=30°, ∠ ВСЕ=75°. Найдите угол СВЕ.

Решение: 1. ∆ ВАМ: ∠ M = 90° - 30° = 60°

    1. ∠ BMA = ∠ EMC = 60° (вертикальные)

    2. ∆ ЕМС: ∠ MEC = 180°- 60°- 75° = 45°

4.Точки А и С равноудалены от точки В ⟹ А и С лежат на одной окружности

  1. Предположим, что точка Е лежит на этой же окружности. ∠ АЕС=45°( вписанный) ⟹ ∠ АВС=90°. Условия задачи выполняются ⟹ точки А, С, Е лежат на одной окружности.

  2. Продолжим АВ до пересечения с окружностью ( точка N); ∠ ВАЕ=30° ⟹ = 180°- 90°- 60° = 30° ⟹ ∠ CBE=30°( центральный) Ответ: 30°

Ключевая идея 4. Если на чертеже к задаче есть треугольник, в котором заданы замечательные линии, то около треугольника описывается

окружность, и рассматриваются точки пересечения заданных замечательных линий с ней. Чаще всего этот прием применяется в случаях, когда заданы биссектриса, высота и медиана, проведенные к одной и той же стороне треугольника.

З адача 32. Высота и медиана треугольника, проведённые из одной вершины внутри него, различны и образуют равные углы со сторонами, выходящими из той же вершины. Доказать, что треугольник прямоугольный.

Доказательство: 1. Опишем около ∆ АВС окружность

2. Продолжим медиану СМ до пересечения с окружностью в точке D 3. Рассмотрим ∆ АСН и ∆ CBD:

∠ АСН= ∠ DCB ( по условию), ∠ А= ∠ D

( вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу ВС), ⟹∠ ACH = ∠ DBC = 90° ⟹ CD-

диаметр окружности.

4. Центр окружности лежит на диаметре CD и на серединном перпендикуляре m к стороне АВ. Т.к. медиана СМ не является высотой, то прямые CD и m имеют одну общую точку М, которая является центром окружности ⟹ ∠ ACB = 90°

Что и требовалось доказать.

Построение дополнительной окружности значительно упрощает решение, даже в тех случаях, когда в условии задачи нет и намёка на окружность.

Задача 33. Высота, биссектриса и медиана, проведённые из одной вершины треугольника АВС, делят угол при этой вершине на четыре равных части.

Найдите углы треугольника.

Р ешение: 1. Опишем около ∆ АВС окружность и продолжим медиану ВМ до пересечения с окружностью в точке К

  1. Пусть∠АВН= ∠ HBD= ∠ DBM= ∠

MBC= α

  1. ∆ НСВ: ∠ HCB = 90° - Зα

  2. ∠ HCB = ∠ AKB = 90° - Зα (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу АВ) 5. ∆ АВК: ∠ BAK = 180°-(Зα + 90°-Зα) = 90° ВК- диаметр описанной окружности около ∆ АВК.

  1. Центр описанной окружности- точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника АВС. Пусть m один из таких перпендикуляров, проходящих через точку М, т.к. М - середина АС. М

Просмотров работы: 32