XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Единые законы в математике, искусстве и природе
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Порой кажется, что наш мир прост и понятен. На самом деле это великая загадка Вселенной, сотворившей такую совершенную планету. Какая необыкновенная, сложная и в то же время простая и непосредственная наша планета Земля! Окружающий мир удивителен своими правилами, формами, красками. Математика находится в тесной связи со всеми науками. Большая часть людей не хочет или не может замечать связь математики с искусством и природой и не считает ее значимой в силу сложившихся на протяжении жизни стереотипов.
Актуальность темы единых законов в математике, искусстве и природе является актуальной и интересной. Существуют многочисленные примеры, когда законы природы, математические концепции и художественное выражение соединены в едином целом. Например, фракталы- математические структуры, которые могут быть обнаружены в природе, будь то формы облаков, деревьев или гор. Использование пропорций, симметрии и геометрических форм позволяет художникам создавать привлекательные и эстетически приятные работы. Так же множество ученных и художников продолжают изучать и исследовать эту тему, чтобы лучше понять связь между этими областями и использовать данную информацию для новых открытий и творческих изысканий.
Проблема темы: "Единые законы в математике, искусстве и природе" заключается в том, что хотя существуют общие законы и принципы, которые пронизывают математику, искусство и природу, их интерпретация и применение могут быть существенно различными. Например, в математике законы выражены в виде формул и уравнений, в то время как в искусстве они могут проявляться через визуальное восприятие и выражение чувств. В природе же законы могут проявляться через физические процессы и взаимодействия между элементами.
Таким образом, проблема заключается в поиске общих принципов, которые объединяют эти различные области, и в развитии методов и подходов, которые позволят проявить эти общие законы на практике в различных областях человеческой деятельности.
Цель исследования. – познакомиться с едиными законами в математике, искусстве и природе; найти факты, подтверждающие связь математики с жизнью и искусством; показать связь математики с искусством и природой.
Задачи:
1.Расширить представления о сферах применения математики не только в естественных науках, но в искусстве, и в природе.
2.Раскрыть эстетический потенциал математики;
3.Опровергнуть стереотип сухости математики;
4.Найти материалы, подтверждающие связь между искусством и математикой;
5.Показать возможность применения полученных знаний
Предмет исследования - законы математики в искусстве и природы.
Объект исследования - законы, принципы или шаблоны, которые обнаруживаются как в математике, так и в искусстве и природе
Гипотеза: Мы предполагаем, что существует универсальный закон, который описывает основные принципы и закономерности в математике, искусстве и природе, и указывает на единство и гармонию во вселенной.
Методы исследования: Для данной работы мы использовали такие методы как : анализ литературы и материалов в сети, интернет, синтез информации из сети интернет.
Научная новизна: Изучением данной темы занималсяматематик Пифагор, исследовал гармоничные соотношения в музыке и математике, что позволило ему выявить законы, лежащие в основе музыкальных интервалов. Также античные философы пытались найти общие законы природы, объясняющие различные явления независимо от их области проявления.
Практическая значимость: Мысчитаем, что материал данного проекта можно будет применить на уроках математики, биологии, мировой художественной культуры в рамках освоения общеобразовательной программы
Глава 1.
1.1 Математика в искусстве.
Математика как наука родилась в Древней Греции. Математика использовалась либо для обыденных нужд (подсчёты, измерения), либо, наоборот, для магических ритуалов, имевших целью выяснить волю богов (астрология, нумерология и т. п.). Позже математику начали использовать в искусстве. Математика искусству дает возможность выразить идеи, формы и понятия, используя числа, фигуры и пропорции. Она играет важную роль в различных областях искусства, включая архитектуру, живопись, скульптуру, дизайн и музыку.
В архитектуре математика используется для создания симметричных и пропорциональных зданий, таких как греческие храмы или готические соборы. Формулы и геометрические принципы помогают архитекторам рассчитать необходимые размеры и углы для создания эстетически приятной и функциональной конструкции.
В живописи и скульптуре математика используется для создания перспективы, симметрии и гармонии. Например, правила золотого сечения и пропорции Пифагора могут быть использованы для создания уравновешенных и привлекательных композиций. Также, с помощью математических принципов можно создавать оптические иллюзии или визуальные эффекты.
В дизайне математика может быть использована для создания логичной и эффективной композиции, для расчета пропорций элементов и определения оптимального размещения объектов. Например, в дизайне интерьера математические принципы могут помочь создать эргономичные и функциональные пространства.
В музыке математика выражается через ритмы, аккорды, гармонии и мелодии. Музыкальные теории исследуют различные математические соотношения, такие как интервалы, тональности и аккорды. Математика также используется для создания компьютерной генерации звуков и эффектов в современной музыке.
В целом, математика служит основой для создания эстетически привлекательного искусства, позволяя художникам и дизайнерам использовать логику и пропорции для воплощения своего творческого видения.
1.2 Математика в музыке
Первый, кто заговорил о связи математики и музыки был Пифагор. Он сделал открытие в области теории музыки. Суть это открытия состоит в том, что сочетание звуков, издаваемых струнами, наиболее благозвучно, если длины струн музыкального инструмента находятся в правильном численном отношении друг к другу.
Для воплощения своего открытия Пифагор использовал монохорд - полуинструмент, полуприбор. Под струной на верхней крышке ученый начертил шкалу, с помощью которой можно было делить струну на части. Было проделано много опытов, в результате которых Пифагор описал математически звучание натянутой струны. Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.
Также, математика является вполне подходящим средством для описания музыкальных моделей. Пифагор, по распространенной версии, пытался свести всеобщую гармонию к числам. Например, канон Пифагора.
Названия тетрахордов указывают на соответствующие области Греции и Малой Азии, каждая из которых пела в своем ладу. Конечно, четырех струн в пределах кварты было мало для ведения мелодии, поэтому тетрахорды соединялись. Так как октава состоит из двух кварт и тона; следовательно, в пределах октавы можно расположить два тетрахорда, разделенных интервалом в тон. Объединяя с помощью разделительного тона два одноименных тетрахорда, получили октаву, которую греки назвали «гармония». Именно в античной теории музыки слово «гармония» обрело свое современное значение – согласие разногласного. Таких основных видов гармонии по числу тетрахордов получилось три: дорийская: 1/2 – 1 – 1 – 1 – 1/2 — 1 – 1; фригийская: 1 – 1/2 — 1 – 1 – 1 – 1/2 – 1; лидийская: 1– 1 — 1/2. Здесь 1 обозначает тон, 1/2 — полутон. Эти античные гармонии сопоставимы с современными гаммами. В самом деле, каждый, знакомый с азами музыкальной грамоты, узнает в лидийской гармонии обычный натуральный мажор (2 тона – полутон, 3 тона – полутон, или на белых клавишах фортепиано до – ре – ми – фа – соль – ля – си – до). А в дорийской и фригийской – почти натуральный минор (т. к в сравнении с натуральным минором (1 – ½ — 1 – 1 – ½ — 1 – 1) у дорийской гаммы понижена вторая ступень, а у фригийской – повышена шестая).
Легко получить математическое выражение гаммы, зная размеры интервалов, образующих лидийскую гармонию и правила действия с ними. Приняв частоту нижнего тона за единицу f1=1, находим первый тетрахорд:
f1=1, f2=9/8, f3=9/8*9/8 = 81/64, f4=4/3. Второй тетрахорд получается сдвигом первого на квинту: f5=3/2f1=3/2, f63/2f2=27/16, f7=3/2f3=243/128, f8=3/2f4=2. Окончательно для интервальных коэффициентов имеем
1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
до ре ми фа соль ля си до
Это и есть канон Пифагора [3]
Успеха, доказывая связь математики и музыки, добился ученый и музыкант Андреас Веркмейстер, установивший равномерное отношение между тонами, с помощью математики ввел равномерный темперированный музыкальный строй, который мы и сегодня можем увидеть и услышать у современных клавишных инструментов. Темперация – музыкальная система, основанная на полном равенстве всех двенадцати полутонов октавы [2]. Благодаря темперации на клавесине, стало возможно играть в тональностях с любым количеством знаков. Бах доказал это своим сборником «Хорошо темперированный клавир», в котором представлены все двадцать четыре тональности; прелюдии и фуги расположены в порядке хроматической гаммы. Ф. Шопен, а позже А. Скрябин в своих сборниках прелюдий также расположили их во всех двадцати четырех тональностях, в порядке квинтового круга мажорных тональностей, с параллельным минором после каждой из них [4].
Как и в математике, в музыке встречаются цифры: звукоряд – 7 нот, нотный стан – 5 линеек. Интервалы: прима – 1, секунда – 2, терция – 3, кварта – 4, квинта – 5, секста – 6, септима – 7, октава – 8. Обозначения аппликатуры и размер произведения записывается тоже при помощи цифр и там и тут господствуют идея числа и отношения. Исходя из этого, можно провести следующие параллели.
2. Ритм.
Ритм важнейший элемент в музыке. У каждого музыкального произведения свой ритмический рисунок (чередование нот разной длительности). Числа, оказывается, тоже обладают ритмом.
Например, числа кратные 3(трём) обладают следующим ритмом: Начнем с 0 и, увеличивая каждый раз на 1, будем акцентировать все числа, кратные 3. Получается 0 1 2 3 4 5 6 7 8…. и т.д. Получается красивый, правильный, равномерный ритм, звучащий как музыкальный размер 3/4, который соответствует вальсу.
Если посчитать числа, кратные двум 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 и т.д. то увидим, что мы пришли к ритму, звучащему, как музыкальный размер 2/4. Таким образом, числа обладают ритмом.
|
Музыка |
Математика |
|
Мажор – минор Быстро – медленно Тихо – громко Низкий звук – высокий звук Бемоль (понижение) – диез (повышение) |
Плюс-минус Больше – меньше Сложение – вычитание Умножение – деление Четное число – нечетное число |
В математике красота и гармония ведут за собой творческую мысль так же, как в музыке. Занимаясь музыкой, человек занимается математикой. Хороший математик - это всегда хороший музыкант, потому что логика чисел, с которой постоянно общаются математики, связана с логикой развития музыкальных фраз.
Принято считать, что "музыка идет от сердца", это нечто "духовное", "чувственное", что только чистый позыв творчества способен воздействовать на сознание и настроение. Но, как мы выяснили, у музыки есть четкие математические соотношения и закономерности. Они действую как вертикально (аккорды и созвучия в данный конкретный момент времени), так и горизонтально, то есть на протяжении какого-то времени (имеют ритм, размер, развитие). Многие музыканты составляли свои произведения, опираясь на математические модели и законы.
1.3 Математика в танце
Создать красивый танец невозможно без графиков математических функций. Красивый танец – это красивый график. В каждом танцевальном движении можно найти график одной из математических функций.
Часто, когда танцоры разводят в разные стороны руки или даже ноги, то получается – прямая. А когда они встают в круг, то получается окружность.
Если встать в аттитюд, это одна из основных поз в классическом танце, при которой равновесие сохраняется на одной ноге, а другая нога поднята и отведена назад в согнутом положении, то получится ломаная линия.
Если в классическом танце занять третью раскрытую позицию рук, то получится парабола. Если скрестить пары рук партнеров и совершить волновые движения, то непроизвольным образом получим знак бесконечности.
Угол — геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Эти лучи называют сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла. Единица измерения углов – градусы. В математике выделяют следующие виды углов на плоскости в зависимости от градусной меры угла: острый, прямой, тупой и развернутый. Танцоры во время выступления принимают различные позы, чередующиеся с другими элементами танца. Под позой в танце понимают остановку в движении, при котором тело танцора находится в неподвижном положении равновесия. В хореографии это называется «точкой».
Также понятие «точка» используется при выполнении любого поворота или вращения, когда важно сохранить равновесие. Это получается, как раз благодаря умению фокусировать взгляд или «держать точку».
Точка – положение тела. Для того чтобы непрерывное и, порой, достаточно быстрое движение можно было разучить в замедленном темпе, танец рассматривается как ряд поз, соединенных промежуточными движениями, каждая из которых называется точкой. Если в одной из точек происходит остановка, она называется фиксированной точкой. Если остановки нет или она взята условно для того, чтобы понять, через какие промежуточные стадии происходит движение от одной фиксированной точки к другой, мы говорим о наличии проходящей точки, то есть положении тела, в котором мы не задерживаемся.
Немаловажным математическим понятием является прямая. В балетных училищах танцоров обучают работать с линиями в пространстве, поскольку каждый рисунок танца состоит из линий (прямых). В течение танца, когда один рисунок сменяет другой, танцор должен «держать линию», то есть придерживаться траектории, по которой происходит перестроение. Одним из главных критериев оценки танца являются красиво и правильно выстроенные линии.
Древнейшим видом русских народных танцев, является хоровод, образующий круговую структуру. Часто можно встретить двойной круг (круг в круге). Иногда танцующие образуют два круга рядом, а иногда эти круги как бы переливаются один в другой и движение их образует рисунок «восьмерка». Большие и маленькие круги – очень распространённая форма построения русского хоровода.
В математике выделяют несколько видов симметрии: осевая (относительно прямой), центральная (относительно точки), зеркальная (относительно плоскости). Симметрия в танце – это гармоничный, комфортный для наблюдения элемент хореографии, который необходим для создания базисной структуры танца. В танце также выделяют несколько видов симметрии: симметрия балетных позиций ног, рук, тела, головы; симметрия рисунка танца; симметрия исполняемых движений. Симметрия в танце – это спокойный, невозмутимый, логичный и простой элемент хореографии. Принцип симметрии прослеживается во множестве ранних балетов, где танцоры в одинаковом количестве выстраивались в линии и формировали на сцене однородную структуру, имеющую центр и (или) ось симметрии. Также симметрией называется ситуация, при которой все танцоры одновременно исполняют одно и то же движение. Симметрию составляют уравновешенное расположение тела танцора, местонахождение тела танцора в пространстве. Например, балерина заканчивает свой номер искромётным фуэте, когда она вращается на одной ножке определенное количество раз.
Именно повторяемость этих движений (ножка многократно описывает окружность, имеющую множество осей симметрии – диаметров и центр симметрии) определяет их эстетический эффект.
Также в танце существуют определённые стандарты правильного исполнения движений. Одним из стандартов является параллельность частей тела полу при исполнении танцевального элемента. Так, например, гранд жете - прыжок, при котором обе ноги танцора должны быть параллельны полу и т.д.
Аналогично используется и перпендикулярность. Перпендикулярность полу – элемент танца, при котором какая-либо часть тела перпендикулярна полу. Перпендикулярность частей тела – элемент танца, при котором части тела перпендикулярны друг другу (например, гранд батман).
Каждую танцевальную фигуру можно мысленно вписать в n-угольник. Геометрическая фигура устойчива, если правильно рассчитан центр тяжести. Центр тяжести – точка, через которую проходит линия действия равнодействующей элементарных сил тяжести. Устойчивые фигуры: треугольник с большей стороной в основании, трапеция с большим основанием снизу, квадрат, прямоугольник.
На основании изложенного можно сделать вывод, что в рисунке танца содержатся геометрические фигуры, линии, диагонали, круги. По их траекториям перемещаются танцоры, подчиняя свои движения музыкальным ритму и темпу. Они могут располагаться параллельно или перпендикулярно, симметрично или асимметрично. Более того, положение тела в танце фиксируется различными углами – острыми, тупыми, прямыми.
Итак, математическая составляющая танца содержится в рисунке танца, в движениях танцора, в классических позициях. Танец – это и здоровый образ жизни, и красота, и точный математический расчёт.
1.4 Математика в архитектуре.
Прежде привлекательное сооружение, мало иметь воображения, нужно точно знать где, как и сколько потребуется материалов для строительства пусть даже обычного дома. В своих творениях архитекторы должны совместить функциональность, красоту, гармоничность, комфортность, экономичность и долговечность. В этом им и помогают знания математики. Например, для измерения площади земельного участка, архитектору необходимы знания формулы расчета площади и, конечно же, единиц измерения.
Математика предлагает архитектору ряд, если так можно назвать, общих правил организации частей в целое. Архитектурные произведения живут в пространстве, являются его частью, вписываясь в определенные геометрические формы. Кроме того, они состоят из отдельных деталей, каждая из которых также строится на базе определенного геометрического тела. Часто геометрические формы являются комбинациями различных геометрических тел. (см. рис. 1)
Современный архитектор также должен быть знаком с различными соотношениями ритмических рядов, позволяющих сделать объект наиболее гармоничным и выразительным (помните - "Архитектура - это застывшая музыка"). Кроме того, он должен знать аналитическую геометрию и математический анализ, основы высшей алгебры и теории матриц, владеть методами математического моделирования и оптимизации. В конечном счете, все это многократно оправдает себя в процессе самостоятельной работы. Не случайно при подготовке архитекторов за рубежом большое внимание уделяется математической подготовке и владению компьютером. Математика используется для расчетов структурной прочности, оптимизации пространственного планирования, создания гармоничных пропорций, а также в алгоритмах компьютерного моделирования и проектирования. Таким образом, математика играет важную роль в процессе создания архитектурных проектов.
1.5 Математика в живописи.
Все состоит из фигур.Круг, овал, квадрат, прямоугольник, треугольник. Все, что вы хотите нарисовать, можно разбить на простые фигуры. Изобразить их несложно. Прорисовывая поверх геометрических фигур желаемую картину, вы получите правильные пропорции.
Если же нужно рисовать в объеме, помогут геометрические тела – цилиндр, конус, шар и другие.
В 1509 году в Италии появилась книга Луки Пачоли под названием «О божественной пропорции». В ней были установлены математические соотношения, соблюдая которые художник достигнет красоты. Иллюстрации - 60 многогранников и рисунок «Витрувианский человек» принадлежали руке Леонардо да Винчи. Леонардо да Винчи известен, прежде всего, как великий художник. Но он был разносторонним человеком, занимался математикой, физикой, химией, машиностроением, военной техникой, архитектурой. И во всех этих науках Леонардо добился успехов. Этот человек полон загадок, многие из которых до сих пор остались тайной. Его рукописи были зашифрованы, он писал так, что прочесть слова можно было только с помощью зеркала. (см. рис. 2)
Леонардо да Винчи был убежден в единстве живописи и математики. Он говорил: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды». Леонардо изучал пропорцию. В его рисунке «Витрувианский человек» выражена идеальная пропорция тела человека, которая заключена в соотношении стороны квадрата и радиуса окружности. Еще одна идеальная пропорция тела была сформулирована еще во времена Древней Греции: Рост человека=размаху рук (от кончиков пальцев) =8 ладоням=6 ступням=8лицам. Художники используют принципы геометрии, перспективы, пропорций и цветового равновесия, которые базируются на математических законах. Например, использование гармоничных пропорций и перспективы позволяет создавать более реалистичные и эстетически приятные произведения.
Глава 2. 2.1 Математика в природе.
Первые древнегреческие философы пытались описать и объяснить порядок в природе, предугадывая современные идеи. В своих работах о закономерностях природы Платон (около 427–347 до н. э.) писал о существовании универсалий. Он предполагал, что они состоят из идеальных форм (др.-греч. форма), а физические объекты — это не более чем несовершенные копии. Таким образом, цветок может быть примерно круглым, но это никогда не будет идеальный круг. Пифагор рассматривал закономерности в природе, так же, как и гармонии в музыке, берущими начало из числа, как первоначала всего сущего. Эмпедокл в какой-то степени предвосхитил эволюционное объяснение структуры организмов Дарвина.
В 1202 году Леонардо Фибоначчи открыл последовательность чисел Фибоначчи западному миру в своей «Книге абака». Фибоначчи привел (несуществующий) биологический пример численного роста теоретической популяции кроликов. В 1917 году Дарси Томпсон (1860–1948) опубликовал свою книгу «О росте и форме». Его описание взаимосвязи филлотаксиса (расположения листьев на стебле растения) и чисел Фибоначчи (математическое отношение закономерностей спирального роста в растениях) стало классическим. Он показал, что простые уравнения могут описать все с виду сложные закономерности спирального роста рогов животных и раковин моллюсков.
Тюринг, Плато, Геккель, Цейзинг — знаменитые деятели искусства и науки — искали строгие законы математики и находили ее в красоте природы
Так же математика имеет глубокое взаимодействие с природой и может быть использована для объяснения и анализа ее различных аспектов. Некоторые примеры включают:
Физические законы: Математика играет фундаментальную роль в формулировании физических законов и теорий, таких как закон всемирного тяготения Ньютона или уравнения Максвелла, описывающие электромагнитные поля. Математические модели упрощают сложные физические явления, позволяя ученым предсказывать результаты экспериментов и изучать поведение природы.
Биология и генетика: Математика играет важную роль в моделировании биологических систем и генетических процессов. Примером может служить использование стохастических моделей для изучения эволюции популяций или применение дифференциальных уравнений для моделирования биологических процессов.
Экология и моделирование популяций: Математические модели используются для анализа экосистем и популяций различных видов. Модели позволяют исследовать взаимодействие разных организмов, прогнозировать изменения в популяциях и оценивать последствия экологических воздействий.
Геометрия и описания формы: Математические понятия и методы геометрии используются для описания формы и структур в природе. Например, фракталы, которые имеют неравные по масштабу детали, широко распространены в природе, таких как формы листьев, капиллярные сетки или горные хребты.
2.2 Законы природы.
Первое, на что можно обратить внимание на нашей огромной и удивительной планете - это осевая симметрия. Она обнаруживается во всех формах окружающего мира, а также является основным принципом красоты, идеальности и пропорциональности. Это ничто иное, как математика в природе. Понятие (симметрия) означает гармонию, правильность. Это свойство окружающей действительности, систематизирующее фрагменты и превращающее их в единое цело. Еще в древней Греции начали впервые замечать признаки этого закона.
Например, Платон считал, что красота проявляется исключительно вследствие симметрии и соразмерности. В действительности, если посмотреть на предметы, пропорциональные, правильные и завершенные, то наше внутреннее состояние будет прекрасным. Законы природы - это основные принципы и правила, которые описывают фундаментальные закономерности и поведение природы и вселенной. Они являются основой для научных исследований и позволяют нам понять и объяснить различные процессы и явления.
Одним из самых известных законов природы является закон всемирного тяготения, открытый Исааком Ньютоном. Он устанавливает, что каждое тело во Вселенной притягивает другие тела силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Этот закон объясняет движение планет вокруг Солнца, а также другие гравитационные явления.
Другим известным законом природы является закон сохранения энергии, согласно которому энергия не может быть создана или уничтожена, а только превращаться из одной формы в другую. Этот закон применим ко всему в природе, от движения тел до химических реакций.
Закон сохранения массы гласит, что масса системы остается неизменной во время химических реакций или физических превращений. Этот закон основополагающий для химии и позволяет рассчитывать количество вещества в реакции.
Есть еще множество других законов природы, таких как закон Архимеда, закон Гука, закон Ома и многие другие, которые описывают различные аспекты физики, химии, биологии и других научных дисциплин. Они позволяют нам лучше понять и объяснить окружающий нас мир.
2.3 Законы математики в живой и неживой природе
Давайте взглянем на любое существо, например самое совершенное - человек. Мы увидим строение тела, которое с обеих сторон выглядит одинаково. Еще можно перечислять множество образцов, таких как насекомые, животные, морские обитатели, птицы. Каждый вид имеет свой окрас. Если присутствует какой-нибудь узор или рисунок, он, как известно, отражается зеркально относительно центровой линии.
Все организмы созданы благодаря правилам мироздания. Такие математические закономерности прослеживаются и в неживой природе. Если обращать внимание на все явления, такие как смерч, радуга, растения, снежинки, то можно обнаружить в них много общего.
Относительно оси симметрии листок дерева и бабочка делится пополам, и каждая часть будет отражением предыдущей. (См. рис. 3. См. рис. 4)
Еще если взять в качестве примера смерч, который возвышается вертикально и имеет вид воронки, то его тоже можно условно разделить на две абсолютно одинаковые половинки.(См. рис. 5) (см. рис.6)
Можно встретить явление симметрия в смене дня и ночи, времен года. (см. рис.7)
Законы окружающего мира - это математика в природе, которая имеет свою совершенную систему. На нее опирается вся концепция создания вселенной.
Радуга
Мы не часто задумываемся над явлениями природы. Пошел снег или дождь, выглянуло солнышко или грянул гром - привычное состояние меняющейся природы. Рассмотрим разноцветную дугу, которую обычно можно обнаружить после выпадения осадков.
Радуга в небе - удивительное явление в природе, сопровождающее видимым только человеческому глазу спектром всех цветов. Каждая дождинка служит призмой, которая обладает оптическими свойствами. Радуга представляет собой результат дифракции и отражения света в каплях воды, что также можно объяснить с помощью математики, в частности, с использованием уравнений для распространения света и оптической физики (См. рис. 8)
Спираль ДНК
Как справедливо отметил немецкий учёный Гуго Вейль, корни симметрии пришли через математику. Многие отмечали совершенность геометрических фигур и обращали на них внимание. Например, пчелиные соты -это не что иное, как шестиугольник, сотворённый самой природой. Ещё можно обратить внимание на шишки ели, которые имеют цилиндрическую форму. Также в окружающем мире часто встречается спираль: рога крупного и мелкого скота, раковины моллюсков, молекулы ДНК.
Спираль ДНК сотворена по принципу золотого сечения. Она является связующим звеном между схемой материального тела и её реальным образом. А если рассмотреть мозг, то он представляет собой не что иное, как проводник между телом и разумом. Интеллект связывает жизнь и форму её проявления и позволяет жизни, заключённой в форме, познавать саму себя. С помощью этого человечеству достижимо понять окружающую планету, искать в ней закономерности, которые затем применять к изучению внутреннего мира.
Спираль Фибоначчи
Спирали распространены среди растений и некоторых животных, особенно среди моллюсков. Например, у моллюсков-наутилид каждая ячейка их раковины — примерная копия следующей, масштабированная константой и выложенная в логарифмическую спираль.
Чаще всего в природе встречается последовательность Фибоначчи. Она начинается с чисел 1 и 1, а затем каждое последующее число получается путем сложения двух предыдущих чисел. Следовательно, после 1 и 1 следующее число — 2 (1 + 1). Следующее число — 3 (1 + 2), затем 5 (2 + 3) и так далее. (см. рис. 9) (см. рис. 10)
Спирали в растениях наблюдаются в расположении листьев на стебле, а также в структуре бутона и семян цветка — например, у подсолнуха или структуры плода ананаса и салака. Последовательность Фибоначчи можно заметить и у сосновой шишки, где огромное количество спиралей расположено по часовой и против часовой стрелки. Эти механизмы объясняются по-разному — математикой, физикой, химией, биологией. Каждое из объяснений верно само по себе, но необходимо учитывать их все.
С точки зрения физики, спирали — конфигураций низких энергий, которые возникают спонтанно путем самоорганизации процессов в динамических системах. С точки зрения химии, спираль может быть образована реакционно-диффузионным процессом с привлечением как активации, так и ингибирования. Филлотаксис контролируется протеинами, которые управляют концентрацией растительного гормона ауксина, который активирует рост среднего стебля наряду с другими механизмами контроля относительного угла расположения бутона к стеблю.
С точки зрения биологии листья расположены настолько далеко друг от друга, насколько позволяет естественный отбор, так как он максимизирует доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету, для фотосинтеза
Фракталы
Фракталы — еще одна интересная математическая форма, которую каждый видели в природе. Сам Фрактал — это самоподобная повторяющаяся форма, что означает, что одна и та же основная форма появляется снова и снова. Другими словами, если вы увеличите или уменьшите масштаб, везде будет видна одна и та же. Эти самоподобные циклические математические конструкции, обладающие фрактальной размерностью, встречаются довольно часто, особенно среди растений.
Самый известный пример — папоротник. (См. рис. 11)
Листья папоротников являются типичным примером самоповторяющегося ряда. Кстати, бесконечная повторяемость невозможна в природе, поэтому все фрактальные закономерности — это только аппроксимации (приближения).
Схожие с папоротником паттерны встречаются также у многих растений (брокколи, капуста сорта Романеско, кроны деревьев и листья растений, плод ананаса), животных (мшанки, кораллы, гидроидные, морские звезды, морские ежи). Также фрактальные паттерны имеют место в сруктуре разветвления кровеносных сосудов и бронхов животных и человека.
Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций (например, функция Больцано, функция Вейерштрасса, множество Кантора).
Термин «фрактал» введен Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом в 1977 году его книги «Фрактальная геометрия природы».
Пена
Пена — это множество пузырей. В природе существуют пенопласты из разных материалов. Пена, состоящая из мыльных пленок, подчиняется законам Плато, согласно которым три мыльные пленки соединяются под углом 120 градусов, а четыре грани соединяются в каждой вершине тетраэдра под углом 109,5 градусов. Затем по законам Плато требуется, чтобы пленки были гладкими и непрерывными, а также имели постоянную среднюю кривизну в каждой точке.
Например, пленка может оставаться почти плоской в среднем, имея кривизну в одном направлении (например, слева направо), и в то же время искривляться в обратном направлении (например сверху вниз). Лорд Кельвин сформулировал задачу упаковки клеток одного объема наиболее эффективным способом в виде пены в 1887 году; его решение — кубическая сота со слабо изогнутыми гранями, удовлетворяющими законам плато. До 1993 года это решение оставалось лучшим, пока Денис Ваэрен и Роберт Фэлан не предложили структуру Ваэра-Фэлена. Впоследствии эта структура была адаптирована для внешней стены Пекинского национального плавательного комплекса, построенного для проведения летних Олимпийских игр 2008 года.(см. рис.12)
Природа озабочена экономией. Пузыри и мыльная пленка состоят из воды (и слоя мыльных молекул), и поверхностное натяжение сжимает. поверхность. Жидкости таким образом, чтобы она занимала наименьшую площадь. Поэтому капли дождя при падении принимают форму, близкую к сферической: у сферы наименьшая площадь поверхности по сравнению с другими фигурами того же объема. На восковом листке капли воды сжимаются в маленькие бусинки по той же причине.
Поверхностное натяжение объясняет и тот узор, который образуют пузыри или пена. Пена стремится к такой конструкции, при которой общее поверхностное натяжение будет минимальным, а значит, минимальной должна быть и площадь мыльной мембраны. Но конфигурация стенок пузырей должна быть прочной и с точки зрения механики: натяжение в разных направлениях на «перекрестке» должно быть идеально сбалансировано (по тому же принципу нужен баланс при строительстве стен собора). Трехстороннее соединение в пленке из пузырьков и четырехстороннее — в пене — комбинации, которые достигают этого баланса. Математические концепции, такие как поверхностный натяжение, деформации и геометрические модели, могут применяться для описания формирования, стабильности и поведения пены.
Многоугольники — инженерный гений.
При достаточной наблюдательности в живой природе легко обнаружить строгую геометрию. В особом почете оказываются гексагоны — правильные шестиугольники. (см. рис.13) Например, соты, в которых пчелы хранят золотистый нектар, — это чудеса инженерного искусства, набор ячеек в форме призмы с правильным шестиугольником в основании. Толщина восковых стенок строго определена, ячейки немного отклоняются от горизонтали, чтобы вязкий мед не вытекал, и соты находятся в равновесии с учетом влияния магнитного поля Земли. А ведь эту конструкцию без чертежей и прогнозов строят множество пчел, которые одновременно работают и как-то координируют свои попытки. Если вы подуете на пузырьки на поверхности воды, чтобы согнать их вместе, то они приобретут форму шестиугольников — или, по крайней мере, приблизятся к ней. Вы никогда не увидите скопище квадратных пузырей: если даже четыре стенки соприкоснутся, они немедленно перестроятся в конструкцию с тремя сторонами, между которыми будут примерно равные углы в 120 градусов. Почему так происходит?
Заключение.
Поскольку математика представляет по своей природе всеобщее и абстрактное знание, она в принципе может и должна использоваться во всех отраслях науки.
Настоящее искусство имеет свою теорию. Иногда эту теорию можно выразить в терминах математики, так как она тесно связана практически со всеми разновидностями современно искусства и искусства древних времен.
Математическое изобразительное искусство процветает сегодня, и многие художники создают картины в стиле Эшера и в своем собственном стиле. Эти художники работают в различных направлениях, включая скульптуру, рисование на плоских и трехмерных поверхностях, литографию и компьютерную графику. А наиболее популярными темами математического искусства остаются многогранники, невозможные фигуры, ленты Мебиуса, искаженные системы перспективы.
Мы не осознаем, насколько наша жизнь связана с математикой. Даже такие творческие направления деятельности человека, как живопись, архитектура без математических законов не могут существовать и развиваться. В самом деле, она считается всеобщей и абстрактной наукой, поскольку математический аппарат в принципе может использоваться и практически используется во всех без исключения областях знания. Задача математики состоит в описании того или иного процесса с помощью какого-либо математического аппарата, то есть формально-логическим способом.
Данная работа посвящена "Единым законам в математике, искусстве и природе". Она заключается в том, что хотя существуют общие законы и принципы, которые пронизывают математику, искусство и природу, их интерпретация и применение могут быть существенно различными. Таким образом, проблема заключается в поиске общих принципов, которые объединяют эти различные области, и в развитии методов и подходов, которые позволят проявить эти общие законы на практике в различных областях человеческой деятельности.
Я считаю, что все поставленные задачи в своем проекте были выполнены. У нас получилось расширить представления о сферах применения математики не только в естественных науках, но в искусстве, и в природе. Так же раскрыть эстетический потенциал математики.
Опровергнуть стереотип сухости математики. Также у меня получилось подтвердить свою гипотезу, тем что мы нашли универсальный закон который описывает основные принципы и закономерности в математике, искусстве и природе, и указывает на единство и гармонию во вселенной. Была достигнута наша цель познакомиться с едиными законами в математике, искусстве и природе. Я научился искать информацию в разных источниках, анализировать ее, а также синтезировать ее по смыслу в единый текст. Мне бы хотелось пожелать людям, которые захотят изучать тему дальше: 1. Удачи в поиске и понимании обобщающих принципов и закономерностей в различных областях знания.
2. Терпение и терпеливость в изучении сложных идей и концепций, которые могут требовать времени и усилий для освоения.
3. Стремление к обретению глубокого понимания и взаимосвязи между различными областями знания, что может привести к новым открытиям и творческим идеям.
Хотелось бы пожелать тем, кто продолжит изучать тему единых законов в математике, искусстве и природе, которая опирается на идею универсальных принципов, наблюдаемых во всех аспектах нашего мира. Эта тема обычно связана с теорией систем, гармонией и красотой. Это интересная тема, и вы можете продолжить изучение ее различными путями. Например в математике. Мне бы хотелось пожелать изучить математические законы и принципы, такие как геометрия, алгебра, теория чисел, исчисление вероятностей и статистика, теория множеств и многие другие. Можно также изучить более специализированные области, такие как математическая физика, математическая биология или математическая экономика, где идея единых законов может быть применена на практике. Так же стоит изучить историю искусства, чтобы понять как различные стили и движения искусства были вдохновлены природой и её законами. Изучите принципы композиции, цвета и света, которые используются художниками для создания гармоничных и красивых произведений искусства. Я считаю ,что мой интерес к данной теме был полностью исчерпан. Я узнал много нового благодаря данной теме, потому что мне удалось узнать много нового ,о чем раньше я даже не мог задуматься.
Список источников и литературы
-
https://ru.wikipedia.org/wiki
-
https://hightech.fm/2021/04/15/math-in-nature
-
https://fb.ru/article/268949/matematika-v-prirode-primeryi
-
https://урок.рф/library/uchebnij_proekt_matematika_v_prirode_104656.htm
-
https://blog.fenix.help/zalipatelnaya-nauka/matematika-v-iskusstve-zhivopis
-
https://myslide.ru/presentation/skachat-matematika-v-iskusstve
-
1. Дзен. yandex.ru [Электронный ресурс]. Статья: Музыка – часть нашей жизни. URL: Режим доступа:.https://zen.yandex.ru/
-
(https://zen.yandex.ru/media/id/5e5e676e3db6b34676256c5b/muzyka-chast-nashei-jizni-5e79d0b3def832242c9c108d)
-
. Великие музыкальные имена. – СПб: Композитор, 2000. – 192 с.
-
Основы классического танца. Издание 6. Серия «Учебники для вузов. Специальная литература» — СПб: Издательство «Лань», 2000.
-
Окунева. М. Русские народные хороводы и танцы: методический сборник для работы с детьми: АПН РСФСР, 1948.
-
Писарев, А. Школа классического танца 1976 г.; Изд-во: Л.: Искусство
-
Пуртова Т.В., Беликова А.Н., Кветная О.В. Учите детей танцевать: учебное пособие. М.: Владос. 2003.
-
Смирнов, И.В. Искусство балетмейстера 1986 г.; Изд-во: М.: Просвещение
-
Хореографическая педагогика: учебное пособие. СПб: СПбГУП, 2006.
-
Эстетическое воспитание средствами хореографического искусства / Под ред. Е.В. Коноровой. М.: АПН РСФСР, 1953.
-
Дзен. yandex.ru [Электронный ресурс]. Статья: Музыка – часть нашей жизни. URL: Режим доступа:.https://zen.yandex.ru/
-
(https://zen.yandex.ru/media/id/5e5e676e3db6b34676256c5b/muzyka-chast-nashei-jizni-5e79d0b3def832242c9c108d) (дата обращения 04.11.2023)
Приложение.
Египетские пирамиды
Иллюстрация головы человека, пропорции которой обозначены равносторонним треугольником и линиями сетки (из книги Луки Пачоли «Божественная пропорция»)
Симметрия листка клена и бабочки.
Воронка в математике.
Воронка в природе.
Радуга в природе.
Спираль Фибоначчи в математике.
Спираль Фибоначчи в природе.
Листья папоротников
Пчелиные соты