XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Что такое лист Мёбиуса

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Чапля Н.А. 1

---

1Федеральное государственное казенное общеобразовательное учреждение «Волгоградский кадетский корпус Следственного комитета Российской Федерации имени Ф.Ф. Слипченко»

Семейкина И.В. 1

---

1Федеральное государственное казенное общеобразовательное учреждение «Волгоградский кадетский корпус Следственного комитета Российской Федерации имени Ф.Ф. Слипченко»

Работа в формате PDF

305.9 KB

Автор работы награжден дипломом победителя II степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Интригующая и захватывающая форма, лист Мёбиуса – уникальное геометрическое тело, которое интересует и удивляет людей разных профессий и интересов. Необычность листа Мёбиуса заключается в его единственности – он имеет всего одну грань и одно ребро, что делает его весьма фантастическим и удивительным объектом. Основная особенность листа Мёбиуса состоит в том, что он является не выпуклым объектом без различимых внутренней и внешней сторон. Если взять прямоугольную полоску материала, повернуть ее на 180 градусов и склеить края в одном месте, то получится лист Мёбиуса. Такая необычная форма обладает рядом удивительных свойств, которые заставляют нас задуматься о природе математического пространства и формы.

Лист Мёбиуса стал объектом изучения и исследования не только математиков, но и других научных областей, а также искусства и дизайна. Его символическая значимость варьируется от абстрактных математических концепций до применения в практических задачах, таких как ленты для принтеров и конвейерные ленты, которые благодаря своей особой форме обладают уникальными свойствами.

Исследование листа Мёбиуса открывает перед нами великолепный мир геометрических форм, пробуждая интерес к математике и возможности ее применения. Путешествие в его увлекательную глубину не только расширяет наши знания, но и вызывает новые вопросы, которые могут стать отправной точкой для новых научных открытий и творческих идей.

В ходе данного индивидуального проекта мы рассмотрим детали геометрии и топологии листа Мёбиуса, его особые свойства и вариации, а также исследуем его практическое применение в различных областях. Узнав больше о листе Мёбиуса, мы сможем лучше понять фундаментальные идеи математики и ее применимость в реальном мире.

Объект исследования: исследование листа Мёбиуса и его математических свойств

Субъект исследования:

Цель исследования: изучение ленты Мёбиуса и применение её на практике.

Цель, объект, предмет исследования определили задачи исследования:

1.Прочитать математическую литературу, в которой авторы рассказывают о таком объекте как «Мёбиус», исследовать полученную информацию.

2.Познакомиться со свойствами ленты Мёбиуса.

3.Выяснить, где применяется лента Мёбиуса.

4.Изучить опыты с лентой Мёбиуса,которые описываются в математической литературе и провести эксперименты, и сравнить с обычной лентой.

Гипотеза исследовательского проекта:

1.Вероятно Мёбиус-это учёный.

2.Скорей всего на листе Мёбиуса можно писать, делать рисунки, резать его на части.

3.Возможно лист Мёбиуса применяется в технике и исскустве.

1.ГЛАВА. А.Ф.Мёбиус и его открытие.

1.1 Историческая справка.

На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. Только в воздухе витало ощущение, что именно этот день принесет славу и увековечит имя Августа Фердинанда Мебиуса.

На пороге комнаты появилась любимая жена. Правда, она была не в хорошем расположении духа. Правильнее сказать, она была разгневана, что для мирного дома Мебиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту.

Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: “Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”

Эта история произошла в 1858 году. Открытая поверхность получила математическое обоснование и имя в честь описавшего ее математика и астронома.

Август Фердинанд Мёбиус был немецким математиком и теоретиком, жившим в XIX веке. Он стал известным благодаря своему открытию, которое получило название "лента Мёбиуса".

Математические изыскания Мёбиуса привели его к созданию особой поверхности, которая названа его именем. Лента Мёбиуса представляет собой необычную форму, которую можно создать из полоски бумаги. Для этого нужно взять прямоугольную полоску, склеить ее концы, но сделать одну полукружную поворот, прежде чем склеить концы. Таким образом, получается поверхность, на которой нету внешней и внутренней стороны - она единственная и не имеет разделения на лицевую и обратную стороны.

Открытие ленты Мёбиуса имело важное значение для математики и науки в целом. Эта поверхность позволила ученым исследовать новые аспекты топологии и геометрии. Лента Мёбиуса обладает удивительными свойствами, которые вызывают захватывающий интерес у исследователей.

Что такое лист Мёбиуса?

Лист Мёбиуса - это трехмерная форма, получаемая при искривлении ленты Мёбиуса. Лента Мёбиуса, как я уже упоминал ранее, представляет собой особую поверхность без внешней и внутренней сторон. Особенность листа Мёбиуса состоит в том, что он имеет только одну грань (лицевую сторону) и только один край. Это создает интересные свойства и визуальные эффекты. Например, если вы будете двигаться по поверхности листа Мёбиуса с одной стороны к другой, то в конечном итоге вернетесь в исходную точку, но на обратной стороне листа. Это происходит из-за то, что лист Мёбиуса является не ориентируемым объектом, то есть не имеет различия между лицевой и обратной стороной. Для научных и математических исследований, листы Мёбиуса представляют интерес как объекты с нетривиальной топологией и геометрией. Они используются в различных областях, таких как физика, математика, графика и дизайн.

Лента Мебиуса положила начало новой науке – топологии. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета, который почти в тоже время, что и его лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней поверхности уже знакомую нам, единожды перекрученную, ленту. Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – “взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют “геометрией непрерывности”. Она известна и под именем “резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

Лист Мёбиуса иногда называют прародителем символа бесконечности  , так как, находясь на поверхности ленты Мёбиуса, можно было бы идти по ней вечно. Это не соответствует действительности, так как символ   использовался для обозначения бесконечности в течение двух столетий до открытия ленты Мёбиуса.

Свойства петли Мёбиуса

1. Односторонность – топологическое свойство листа Мёбиуса, характерное только для него. Если двигаться по поверхности Ленты Мебиуса в одном направлении, не пересекая ее границ, то, в отличие от двусторонних поверхностей (например, сферы и цилиндры), попадаешь в место, перевернутое по отношению к исходному. Если двигать по этой ленте окружность, одновременно обходя ее по часовой стрелке, то в начальном положении направление обхода станет против часовой стрелки.

2. Непрерывность – это ещё одно топологическое свойство. С топологической точки зрения круг неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая непрерывности. Разрывов нет – непрерывность полная.

3. Связность, или двухмерность, заключается в том, что при разрезании ленты вдоль, из нее не получится несколько разных фигур, и она остается цельной. Чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Но вот чтобы располовинить кольцо, потребуется уже два разреза. А лист Мебиуса? Конечно двусвязен, т. к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.Количество связей меняется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен и т.д.

4. В ней отсутствует такое важное свойство, как ориентированность. Это значит, что человек, идущий по этой фигуре, вернется к началу своего пути, но только в зеркальном отражении самого себя. Таким образом, бесконечная лента Мебиуса может привести к вечному путешествию.

5.«Хроматический номер». Он равен максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с любым другим. Так вот, на листе бумаги, даже если его склеить в кольцо, ещё никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы, которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не более четырёх. Это и значит что хроматический номер этих поверхностей – четыре. А на бублике число соответствующих цветов равняется семи. Каков же хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как ни поразительно, равен шести.

1.2.Использование листа Мёбиуса в жизни.

Лист Мёбиуса, с его уникальной топологией и геометрией, нашел применение в различных сферах жизни. Вот некоторые из них:

1. Математика и физика: Листы Мёбиуса используются в математике и физике для иллюстрации и исследования различных топологических и геометрических концепций. Они помогают визуализировать абстрактные и сложные идеи, такие как неориентируемость и континуум.

2. Проектирование и архитектура: За счет своей интересной структуры, листы Мёбиуса могут использоваться в дизайне и архитектуре. Они придают элементам строений неповторимость и уникальность, перемещаясь от классических форм к более современным и экспериментальным.

3. Производство лент и пленок: Топологические свойства листа Мёбиуса используются при производстве лент и пленок, таких как конвейерные ленты и пакетные материалы. Их структура позволяет создавать ленты с улучшенными характеристиками, такими как прочность, гибкость и стойкость к износу.

4. Химия и биология: В некоторых химических и биологических исследованиях листы Мёбиуса используются в качестве модели или подложки для обнаружения и анализа различных веществ и реакций. Их форма и особенности могут помочь улучшить чувствительность и эффективность экспериментов.

5. Искусство и дизайн: Листы Мёбиуса вдохновляют художников и дизайнеров на создание удивительных произведений искусства. Они используются в скульптуре, живописи и других формах художественного выражения, чтобы передать идеи бесконечности,непрерывности и гармонии.

6.Научное приминение: Существует гипотеза, согласно которой Вселенная – это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку.

Другая теория рассматривает ДНК как часть поверхности Мебиуса, что объясняет сложности с прочтением и расшифровкой генетического кода. Кроме всего прочего, такая структура дает логичное объяснение биологической смерти – замкнутая на самой себе спираль приводит к самоуничтожению объекта.

7. В науке и технике:Патентные службы вынуждены были познакомиться с поразительными свойствами листа Мебиуса – в разное время и в разных странах зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же односторонняя поверхность.

В 1923 году знаменитый американский изобретатель Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу – триод, предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух сторон». Ему выдали патент № 1442632.Изобрели магнитофон – и сразу же нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания увеличивается ровно вдвое. (Речь идет, разумеется, о так называемой «непрерывной ленте», то есть замкнутой в кольцо, вроде автоматических телефонных часов или милицейских лозунгов о безопасности движения, передаваемых через репродукторы патрульных машин.).

В 1969 году советский изобретатель А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил натянуть сделанную из специального материала ленту Мебиуса на два вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что такая лента служит вдвое больше обычной.

Ту же идею использовали сотрудники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство № 259449).

В 1963 году патентное ведомство США зарегистровало целых два «практически геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии на службу химчистки – он придумал самоочищающийся фильтр, который представляет собой все ту же ленту Мебиуса и беспрерывно освобождается от впитанной грязи, «работая» при этом обеими своими сторонами.

А Ричард Дэвис, физик из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое сопротивление, обладающее нулевой реактивностью.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.

В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

И это только ничтожная часть примеров использования этой удивительной поверхности.

На основе исследований поверхности ленты Мебиуса и ее свойств было создано множество устройств и приборов. Ее форму повторяют при создании полосы ленточного конвейера и красящей ленты в печатных устройствах, абразивных ремней для заточки инструментов и автоматической передачи. Это позволяет значительно увеличить срок их службы, так как изнашивание происходит более равномерно.
Не так давно удивительные особенности листа Мебиуса позволили создать пружину, которая, в отличие от обычных, срабатывающих в противоположном направлении, не меняет направление срабатывания. Применяется она в стабилизаторе рулевого привода штурвала, обеспечивая возврат рулевого колеса в исходное положение.

Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них – это международный символ вторичной переработки. Его проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.

8. В фокусах. Хорошо всем известный «лист Мёбиуса» используется на протяжении последних 75 лет для многих фокусов. В одном из них показывающий вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной бумажной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивания. Второе кольцо (его называют листом Мёбиуса) получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180⁰. Одним из наиболее любопытных свойств этой поверхности, имеющей только одну сторону и один край, является то, что, разрезая ее вдоль посередине, мы получаем одно большое кольцо, если же разрезать его не посередине, а на расстоянии в одну треть ширины от края, то получается два кольца: одно большое и сцепленное с ним маленькое. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды, т. е. на 360°.

2.ГЛАВА.Исследовательская деятельность

2.1Анкетирование учащихся.

Чтобы выяснить, что же знают учащиеся нашего кадетского корпуса о листе Мёбиуса и его свойствах, я провел среди них анкетирование. Анкета содержала следующие вопросы:

Анкета.

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

1. Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»?

- я знаю, что это такое

- только слышал о таком понятии

- не знакомо

2.Знаете ли вы как выглядит"Лист Мёбиуса"?

-Да,знаю

-нет,никогда не видел

3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса?

- нет

- да,

4. Какие свойства вам знакомы?

-однородность

-непрерывность

-связанность

-орентированность

-хроматический номер

5. Применяется ли он в повседневной жизни?

-я предполагаю,что нет

-я не уверен,но думаю,что да

6.Делали ли вы когда-нибудь "Лист Мёбиуса"

-нет,но хотел бы его сделать

-да,

Результат

Чтобы выявить актульность данной темы, я провёл анкитирование в своём классе. Я распечатал 20 экземпляров и провёл анкитирование анонимно. После данного опроса я анализировал все ответы моих одноклассников. Данный опрос показал, что об “Листе Мёбиусе” знают очень малое число учащихся, что и доказывает актульность моей темы.

 2.2. Изготовление Листа Мёбиуса

Лист не относится к числу простых геометрических фигур. Чтобы сделать такую ленту достаточно рассмотреть рисунок. На нем изображен бумажный лист, с вершинами ABCD. Накладываем вершины так, чтобы точка A совпала с точкой B, а точка D совпала с точкой C. Перед склеиванием необходимо перекрутить ленту один раз (на 180°). Получилось бумажное кольцо, под названием «Лист Мёбиуса». Он получается из прямоугольника, у которого длина намного больше ширины (например, в 10 раз – 30 × 3 см).

Опыты

Заключение.

1. Лист Мёбиуса можно получить простым способом.

2. Лист Мёбиуса действительно необыкновенный. В этом мы убедились, проводя анализ результатов опыты с обычным кольцом и перекрученным листом.

3.Свойства листа многообразны. Они получены в результате эксперимента и были сравнимы со свойствами, описанными в математической литературе.

Я сумел получить интересный математический материал. В ходе работы я создал таблицу с проведёнными мною опытами , в которую включены иллюстративные материалы о листе Мёбиуса.

Своими результатами исследования о листе Мебиуса я поделился со своими одноклассниками. Думаю, что это их заинтересовало. Вообще я считаю, что моя работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.

Используемая литература.

1) Альфорс Л. - А 59 - Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве: Пер. с англ. – М.: Мир, 1986. – 112 с., ил.

2) Левитин К. Е. – Л 36 – Геометрическая рапсодия. – 2-е изд., переработ. и доп. – М.: Знание, 1984. – 176 с. с ил. – 60 к. – 100000 экз.

3) Сайт «Топологические свойства ленты Мёбиуса» [электронный ресурс] – режим доступа: https://mydocx.ru/12-72675.html, свободный (18:16, 13.01.20)

4) Сайт «Лист Мёбиуса» [электронный ресурс] – режим доступа: https://kopilkaurokov.ru/matematika/prochee/proiect_list_miebiusa, свободный (20:34, 04.02.20)

5) [электронный ресурс] – режим доступа:ru.wikipedia.org, свободный (10:22, 15.03.20)

6) Сайт «Толковый словарь Ожегова» [электронный ресурс] – режим доступа: https://gufo.me/dict/ozhegov?letter=r&page=4, свободный (10:19, 15.03.20)