XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Эта удивительная лента (Лист Мёбиуса)
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В одном из справочников по математике я увидел такое понятие, как «Лист Мёбиуса», который считают символом бесконечности. Мне стало интересно – почему? И я решил посвятить свою исследовательскую работу этому понятию.
Актуальность заключается в том, что в наше время актуально изучение различных необычных фигур и их свойств и неожиданных, нестандартных применений. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Но натуральное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. И это полезно тем учащимся, у которых недостаточно развито пространственное воображение. Все вышесказанное и обусловило выбор темы исследовательской работы: «Эта удивительная лента».
Проблема исследования: Что такое лента Мёбиуса и какими удивительными свойствами она обладает.
Цель: Исследование ленты Мёбиуса.
Для достижения поставленной цели нам необходимо решить следующие задачи:
1.Провести эксперименты.
2.Проанализировать доступную информацию по теме;
3.Проанализировать свойства ленты в зависимости от разрезов;
4.Сформулировать выводы.
Объект исследования: перекрученная лента со скреплёнными концами.
Предмет исследования: свойства перекрученной ленты, концы которой скреплены.
Гипотеза исследования: лента Мёбиуса обладает уникальными свойствами, поэтому она интересна для изучения и часто применяется в науке и искусстве.
Основные этапы исследования:
І этап. Подготовка к исследовательской работе.
ІІ этап. Планирование исследовательской работы.
ІІІ этап. Эксперимент
IV этап. Исследование.
V этап. Выводы.
VІ этап. Оформление работы.
VІІ этап. Отчет и защита исследовательской работы.
Практическая значимость: Мы сумели получить интересный математический материал. Своими результатами исследования мы поделилась c одноклассниками. Это их заинтересовало. Вообще мы считаем, что наша работа будет интересна любителям математики для расширения математического кругозора. Ее можно использовать учителям математики, как на уроках, так и во внеклассной и кружковой работе.
Глава I. А. Ф. Мёбиус и его открытие
1.1. Что такое лист Мёбиуса?
Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: "лента Мёбиуса") придумал в 1858 г. немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868), ученик "короля математиков" Гаусса.
Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика была обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.
И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых - лист Мёбиуса.
Существуют две легенды открытия односторонней поверхности.
По первой легенде, знаменитую ленту Мёбиуса изобрел вовсе не сам Август Фердинанд Мёбиус, немецкий астроном и математик, а его горничная, которая в силу невезения неправильно прострочила воротничок рубашки ученого, таким образом войдя в историю.
По второй легенде, открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.
Что же поразило немецкого профессора? А то, что у листа Мёбиуса всего одна сторона. Мы же привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой мы имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера), – две стороны.
Лист Мёбиуса - это простейшая односторонняя поверхность с краем. Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части — ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части.
Глава II. Экспериментальная работа.
Нами проведено несколько экспериментов с листом Мёбиуса, в которых мы постарались ответить на интересующие нас вопросы, и сделали определённые выводы.
Для работы нужно подготовить достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты.
Хороши ленты, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие "кольца".
Итак, нам для работы понадобится набор лент, клей и ножницы.
Для проведения экспериментов мы пригласили одноклассников и вместе с ними выполняли работу по исследованию свойств.
Эксперименты с листом Мёбиуса
Вначале изготовим лист Мёбиуса. Берем бумажную ленту АВСD. Прикладываем ее концы АD и СB друг к другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка B с точкой D.
2.1. Эксперимент № 1
Что получится, если начать закрашивать лист Мёбиуса с одной стороны, не переходя через край, какая часть ленты окажется закрашенной?
Исходный материал – лист Мёбиуса.
П остепенно окрашиваем его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места.
Результат окрашивания: – весь лист полностью окрашен.
Вывод: Это подтверждение того, что лист Мёбиуса односторонняя поверхность.
2.2. Эксперимент № 2.
Что произойдёт с обычным кольцом, если его разрезать посередине?
Исходный материал – обычное кольцо, склеенное из полоски бумаги.
Р езультат разрезания кольца посередине – два отдельных обычных кольца. Вывод: Свойства – длина окружности та же, но кольца в два раза уже исходного.
2.3. Эксперимент № 3.
А если лист Мёбиуса разрезать посередине (то есть на 2 полоски)?
Исходный материал – лист Мёбиуса.
Р езультат разрезания кольца посередине – одно кольцо.
Вывод: Свойства – кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но в два раза уже.
2.4. Эксперимент № 4.
Каков результат разрезания листа Мёбиуса на 3 полоски?
Исходный материал - на обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев проводим по две пунктирные линии.
С клеиваем лист Мёбиуса. Разрезаем по пунктирным линиям (на 3 полоски).
Вывод: Результат разрезания – получается 2 кольца. Одно из них вдвое длиннее первоначальной ленты и вдвое перекручено. Оно получилось из краев исходной ленты. Другое - лист Мёбиуса - состоит из центральной части исходного листа Мёбиуса.
2.5. Эксперимент № 5.
Исходный материал - лента шириной 4 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса.
Р азрезаем его по пунктиру (на 4 полосок).
Вывод: Результат разрезания – получим 2 больших кольца.
2.6. Эксперимент № 6.
Исходный материал - лента шириной 5 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса.
Р азрезаем его по пунктиру (на 5 полосок).
Вывод: Результат разрезания– получим 3 кольца: I - лист Мёбиуса -1 перекрут, ширина 1 см, длина равна длине исходного кольца. II, III - кольца с двумя перекрутами, ширина 1 см, длина в 2 раза больше исходного листа. II и III кольцо сцеплены с I кольцом и между собой.
2.7. Эксперимент № 7.
Исходный материал - лента шириной 6 см, на которой нанесен пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см, 4 см, 5 см. Сделаем из неё лист Мёбиуса.
Р азрезаем его по пунктиру (на 6 полосок).
Вывод: Результат разрезания- получим 3 больших кольца.
Мы решили занести результаты в таблицу.
Таблица 1: Результаты опыта
|
На сколько полосок разрезан лист Мёбиуса |
Что получилось при разрезании листа Мёбиуса |
|
|
Большие |
Маленькие |
|
|
2 |
1 |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
|
4 |
2 |
0 |
|
5 |
2 |
1 |
|
6 |
3 |
0 |
Вывод: проведя эксперименты мы заметили, что разрезая лист Мебиуса на четное число полос получаем только большие кольца, а если на нечетное – большие и маленькие.
2.8. Фокусы
Для выполнения фокусов необходимы шарф, жилет. Сначала ставим перед собой проблемную ситуацию. С помощью фокуса-эксперимента ищем выход из сложившейся ситуации.
Фокус 1. Проблема завязывания узлов
Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой.
П осле того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде "трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на шарф.
Фокус 2. Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.
Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца.
Д ля демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет висеть в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку.
Нам показалось неудобным каждый раз склеивать бумажные кольца для экспериментов на разрезание. Мы придумали и изготовили наглядное пособие «Лист Мёбиуса», сшив между собой пять разноцветных застёжек - «молний».
Т еперь нет необходимости каждый раз разрезать данную импровизированную ленту Мёбиуса. Достаточно расстегнуть нужную «молнию».
Если Вы обратитесь к теме вязания крючком или спицами снудов, повязок на голову, некоторых шапок (в стиле чалма), в которых используется эффект перекручивания, то неминуемо столкнётесь с таким понятием, как петля Мёбиуса.
Глава III. Применение листа Мёбиуса
Сегодня лист Мебиуса и его свойства широко применяются в науке, служа основой для построения новых гипотез и теорий, проведения исследований и экспериментов, создания новых механизмов и устройств.
Так, существует гипотеза, согласно которой Вселенная – это огромнейшая петля Мебиуса. Косвенно об этом свидетельствует и теория относительности Эйнштейна, согласно которой даже полетевший прямо корабль может вернуться в ту же временную и пространственную точку.
По мнению физиков, многие оптические законы основываются на свойствах листа Мебиуса. Так, например, зеркальное отражение – это особый перенос во времени и человек видит перед собой своего зеркального двойника.
Кроме того, знак лента Мебиуса используется в разнообразных торговых марках и логотипах. Самый известный из них – это международный символ вторичной переработки.
Е го проставляют на упаковках товаров либо пригодных для последующей переработки, либо сделанных из переработанных ресурсов.
Лист Мебиуса - удивительная поверхность, притягивающая к себе внимание не только математиков, но и людей искусства.
О браз ленты Мёбиуса, как символа бесконечности, вдохновлял многих художников. Особенно известны работы нидерландского художника Мауриса Эшера.
Загадочная и удивительная лента Мёбиуса привлекает внимание. Взгляд как бы скользит вдоль бесконечной ленты.
Э то используют ювелиры в изготовлении как недорогой бижутерии, так и самых дорогих ювелирных украшений.
Лента Мёбиуса известна далеко не всем людям, но она является частью того, что нас окружает. Просто удивительно, как часто мы в повседневной жизни сталкиваемся с лентой Мёбиуса, даже не подозревая об этом! Родившееся под девизом "Двойное кресло - двойное удовольствие", кресло-диван мебель для влюбленных.
И нтересная вещь шарф Мёбиуса появившаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав концы шарфа перекрутив на один оборот.
Идея листа Мёбиуса вдохновляла и продолжает вдохновлять многих архитекторов и дизайнеров.
И зображения этой удивительной и загадочной ленты можно увидеть в различных объектах городской архитектуры современных городов. Лента Мёбиуса нашла своё применение и в архитектуре.
Необычное строение с философским смыслом расположено в одном из внутренних дворов в Мюнхене (Германия), это лестница, которая никуда не ведет, но идти в одном направлении можно вечно. Название этой лестницы не менее странное – «Перезапись».
Этот удивительный буддийский храм, который уже в скором времени будет построен в Тайчанге (Китай), принимает форму ленты Мебиуса, отражающей основные принципы буддизма и идею реинкарнации.
Похожие элементы городского дизайна есть в самых разных странах.
В Технике.
К инолента. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон.
Кассета. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.
Матричный принтер. Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса.
Шлифовальная лента. В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса.
Применение Лента Мебиуса в Омской области.
В нашей Омской области лента Мёбиуса тоже нашла широкое применение. Так, в аэропорту многие из нас получали багаж, который подаётся на транспортерную ленту, а эта лента как раз и выполнена в форме ленты Мёбиуса. Конвейерная лента на молокозаводе также выполнена в форме ленты Мёбиуса. В различных ремонтных мастерских имеются шлифовальные ленты, которые выполнены в виде ленты Мёбиуса. Такое исполнение шлифовальной ленты, как и конвейерной ленты позволяет продлить срок службы, т.к. уменьшается износ рабочего органа. Не могла лента Мёбиуса обойти стороной и самую ведущую сферу промышленности нашей области – нефтяную, а именно: наконечники бура для бурения нефтяных скважин имеют форму ленты Мёбиус.
Заключение
Работая над темой, мы узнали много нового и интересного, мы достигли поставленной цели, доказали гипотезу исследования, проводили эксперименты с объектом (лента Мёбиуса).
Простая перекрученная, определённым образом, со креплеными концами лента, превращается в загадочную ленту Мёбиуса и приобретает удивительные свойства.
Любопытно, что лист Мёбиуса и сейчас продолжает будоражить умы изобретателей. Во многих странах мира запатентованы на его основе удивительные механизмы.
Лист Мёбиуса используется в жизни и в различных сферах промышленности.
Он волнует литераторов и художников, архитекторов и скульпторов, озадачивает и вдохновляет людей творческой натуры.
Зная свойства листа Мёбиуса, можно изготовить полезные и нужные вещи.
Лист Мёбиуса известен далеко не всем людям, но он является частью того, что нас окружает в повседневной жизни!
Опыты с лентой Мёбиуса не исчерпаны. Они бесконечны и интересны. Это ведёт к пониманию и более глубокому осмыслению математики (геометрии), как прикладной науки.
Я не останавливаюсь на достигнутом и продолжу изучать удивительные свойства ленты, экспериментируя с её разрезами. И Вам советую, это очень увлекательно.
Список используемой литературы
-
Гарднер М. «Математические чудеса и тайны» - «Наука» 1978 г., стр. 43 - 48
-
Глейзер, Г. И. История математики в школе⁄ Г. И. Глейзер ⁄⁄ История математики в школе: пособие для учителей/под редакцией В. Н. Молодшего. – М.: Просвещение, 1964. – 97 с.Внеклассная работа по математике В.А.Гусев, А.И.Орлов, А.Л.Розенталь.
-
Энциклопедический словарь юного математика / cост. Савин А.П. – М. Просвещение, 1986. -145 с.
Ресурсы:
-
http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00046/48100.htm
-
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B8%D1%81%D1%82_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0
-
http://www.genon.ru/GetAnswer.aspx?qid=e2ab6eb5-5fb6-4fc6-b1a4-6ee7961a0dc1
-
www.vokrugsveta.ru
-
http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/
http://www.univer.omsk.su/omsk/Edu/Math/mmebius.