Построение графиков функций с модулем

XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Построение графиков функций с модулем

Осипова А.А. 1
1МБОУ СОШ №2, 8 Б
Григорьева С.А. 1
1МБОУ СОШ №2
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Построение графиков функций - одна из интереснейших тем в школьной математике. Крупнейший математик нашего времени Израиль Моисеевич Гельфанд писал: «Процесс построения графиков является способом превращения формул и описаний в геометрические образы. Это построение графиков является средством увидеть формулы и функции и проследить, каким образом эти функции меняются…». Понятие «модуль» является одним из основных понятий элементарной математики. Слово «модуль» произошло от лат. modulus — «маленькая мера». Это слово имеет множество значений и применяется не только в математике, физике и технике, но и в других точных науках.

Но исследование и построение графиков функций, содержащих знак модуля, появляется лишь эпизодически, в рамках изучения той или иной темы. Тем не менее, задачи, связанные с построением графиков функций, содержащих знак модуля, часто встречаются на математических олимпиадах, заданиях второй части ОГЭ.

Графический способ представления зависимостей очень удобен для восприятия особенностей и свойств функции, поэтому при исследовании функции всегда желательно представить ее график. Посмотрев на график функции, можно описать её некоторые характерные свойства, перечислить все ее основные особенности, а быть может, и указать формулу, задающую данную функцию.

Я выбрала эту тему, потому что в настоящее время она актуальна и в дальнейшем она поможет мне на экзамене, так как я хочу получить высокую оценку.

Меня заинтересовало:

  1. Есть ли другие методы построения графиков функций, содержащих модули?

  2. Какие из методов наиболее рациональные?

  3. Какой из методов менее затратный по времени?

Цель работы: 

Исследовать методы построения графиков, содержащих переменную под знаком модуля.

Задачи:

  1. Изучить методы построения графиков, содержащих переменную под знаком модуля.

  2. Найти общие подходы к построению графиков с модулями.

  3. Отыскать наиболее удобный метод построения графиков с модулями.

Объект исследования: 

Функции, содержащие переменную под знаком модуля.

Предмет исследования: 

Механизм построения графиков.

Гипотеза: 

Я предполагаю, что существует метод построения графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, менее затратный по времени и простой для понимания.

ГЛАВА I. ФУНКЦИИ И МОДУЛЬ

    1. История понятия функции

Идея функциональной зависимости восходит к древности, она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берут своё начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Более чем за 100 лет до нашей эры греческий учёный Гиппарх предложил провести на карте Земли параллели и меридианы. Таким образом, возникли хорошо всем известные Географические координаты: широта и долгота, которые обозначаются цифрами. В 14 веке французский учёный Оресле по аналогии с географическими координатами создал координатную плоскость. Он поместил на плоскость прямоугольную сетку и назвал широтой и долготой то, что сейчас мы называем абcциссой и ординатой. Термины абcцисса и ордината были введены в употребление Лейбницем в 17 веке.

Чёткого представления понятия функции в XVII в. ещё не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, притом преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы

    1. Виды исследуемых функций со знаком модуля

Если какая-то одна величина, например А, зависит от другой, например B, то говорят, что величина А есть функция величины B (или величина А находится в функциональной зависимости от величины B). Часто для обозначения функции (функциональной зависимости) используют символ f. Пишут f(x)y, где величина y зависит от величины x. Величины x и y называют переменными, причем x – независимой переменной (аргументом), а y – зависимой переменной (функцией). При этом существуют однозначные и многозначные функции. Функция f(x)y называется однозначной, если каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции

Функцией называется закон (соответствие или правило) f, по которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y. Иногда говорят короче: однозначная функция – это закон отображения множества X на множество Y. Множество X называют обычно областью определения функции, а множество Y – множеством значений функции.

Аналитически линейная функция задается следующим образом: b  kx  y. Графиком линейной функции является прямая, которая в прямоугольной декартовой системе координат может располагаться по-разному. За расположение прямой b  kx  y в пространстве отвечают коэффициенты k и b. Коэффициент k – это тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, а коэффициент b – это отрезок, который отсекает прямая от оси ординат (рис. 1)

Частные случаи расположения прямой в пространстве:

1) 0  k , тогда b – это прямая, параллельная оси абсцисс;y

2) 0  b , тогда kx – это прямая называется прямой пропорциональностью.y

Для построения графиков линейных функций, то есть прямой, достаточно определить две точки, через которые данная прямая проходит. Очень часто в качестве этих точек выбирают точки пересечения с осями координат. Так как целью является не просто рассмотрение функций, а построение графиков функций, содержащих знак модуля, введем это понятие. Модулем числа называется выражение:

Построение графика функции у = f(∣x∣)

У = f(∣x∣) =

Следовательно, график функции у = f(∣x∣) состоит из двух графиков: у = - в правой полуплоскости, у = - в левой полуплоскости.

Исходя из этого, можно сформулировать правило (алгоритм).

График функции у = f(∣x∣) получается из графика функции у= следующим преобразованием: х≥0 график сохраняется, а при х<0 полученная часть графика отображается симметрично относительно оси Оу.

П ример :

а) Построить график функции у=2∣х∣-2.

Построение:

1-й способ.

У = 2∣х∣-2=

2-й способ.

  1. Строим график функции у=2х-2 для х>0.

  2. Достраиваем его левую часть для х<0, симметрично построенной относительно оси Оу.

Построение графика функции у=∣f(x)∣

У = f(∣x∣) =

Отсюда вытекает алгоритм построения графиков функции у=∣f(x)∣.

а) Строим график функции .
б) Часть графика у= лежащая над осью Ох, сохраняется, часть его, лежащая под осью Ох, отображается симметрично относительно оси Ох.

Пример: а) Построить график функции у=∣х-2∣.

Построение:

а) Строим график функции у=х-2.
б) График нижней полуплоскости отображаем
вверх симметрично относительно оси Ох.

2. у=∣х-2∣⬄

Построение графика функции у=∣f(∣x∣)∣

Правило (алгоритм) построения:

Чтобы построить график функции у=∣f(∣x∣)∣, надо сначала построить график функции у=f(x) при х>0, затем при х<0 построить изображение, симметричное ему относительно оси Оу, а затем на интервале, где f(∣x∣)<0, построить изображение, симметричное графику f(∣x∣) относительно оси Ох.

Пример:

а) Построить график функции y = |1 – |x||

Построение:

1. y = |1 –|x||⬄
⬄

2. 1) Строим график функции у=1-х.
2) График функции у = 1-∣х∣, получаем из графика функции у = 1-х отображением симметрично (при х≥0) относительно оси Оу.
3) График функции y = |1 – |x||, получаем из графика функции у=1-∣х∣ отображением симметрично оси Ох нижней части графика.

б ) Рассмотрим функцию вида y = |2 – |1 – |x|||.

Рассуждая как и в примере а), получим график функции y = |2 – |1 – |x|||.

Построение:

П оэтапное строение графика

1)

  

2)

  

3)

  

4)

  

5)

  

 

Построение графиков функций вида ∣у∣ = f(x)

 

Учитывая, что в формуле ∣у∣ = f(x), f(x)≥0, и на основании определения модуля

∣у∣ =

Перепишем формулу ∣у∣ = f(x) в виде у =+ f(x), f(x)≥0.

Исходя из этого, сформулируем правило-алгоритм.

Для построения графиков функций вида ∣у∣ = f(x) достаточно построить график функции у = f(x) для тех х из области определения, при которых f(x)≥0, и отразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс.

Таким образом, график зависимости ∣у∣ = f(x) состоит из графиков двух функций: у= f(x) и

У =-f(x).

П ример: а) Построить график функции ∣у∣ = 1-х

Решение:

1 способ.

∣у ∣= 1-х=

2 способ.

1) Строим график функции у=1-х.
2) Отражаем ту часть графика, которая
находится выше оси абсцисс симметрично
относительно оси абсцисс.

Построение графиков функции вида ∣у ∣= ∣f(x)∣.

Осуществляя уже известные преобразования графиков, выполним построение сначала графика у = ∣f(x)∣, а затем множество точек, координаты которых удовлетворяют условию ∣у∣ = ∣f(x)∣.

Порядок построения:

1 . Строим график функции у=f(x).
2. Часть графика f(x)<0, симметрично отображаем относительно оси Ох.
3. Полученный график симметрично отображаем относительно оси Ох.

Пример: Построить график функции ∣у∣=∣1-х∣

Решение:

1 способ.

∣у∣ = ∣1-х∣⬄

2 способ.

1. Строим график функции
2. График у = ∣1-х∣ получаем из графика

симметрично отобразив ту часть, лежащую под осью относительно оси Ох.
3. График ∣у∣ = ∣1-х∣ получаем из графика у = ∣1-х∣, отобразив последний симметрично относительно оси Ох.

ГЛАВА II. МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ ФУНКИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ

2.1. Метод симметрии

Метод симметрии – графический метод решения функций с модулем. Он подходит для простых функций и основывается на преобразовании функции относительно симметрии. Это правила, основанные на выявленных закономерностях при построении любой функции, поэтому они считаются общими. Рассмотрим понятие преобразования функции относительно симметрии. Функция называется чётной, если она не меняет своего значения при перемене знака аргумента: f (– x) = f (x). График чётной функции симметричный относительно оси ординат.

Пример: Функция у = х 2– чётная, так как при любых х:– х= х. Функция называется нечётной, если при перемене знака аргумента она меняет свой знак, но сохраняет абсолютную величину (модуль): f (– x)=– f (x), График нечётной функции симметричный относительно начала координат.

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого x из ее области определения выполняется равенство. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, — нечетные функции. Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.

Осмотрим основные преобразования функции y=f(x):

  1. y = −f(x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси x.

  2. y = f(x) + n получается из графика функции f(x) параллельным переносом последнего вдоль оси ординат на n единиц вверх, если n > 0, и на |n| единиц вниз, если n < 0.

  3. y = f(−x) получается из графика функции f(x) преобразованием симметрии относительно оси y.

Таким образом, если у нас есть произвольный график  , то для построения графика   необходимо график   симметрично отразить относительно оси   (см. Рис. 2). Такое преобразование называется преобразованием симметрии относительно оси  .

Преобразование симметрии – зеркальное отражение относительно прямой. График   получается из графика функции   преобразованием симметрии относительно оси  .

Пример: y = ∣2∣x∣ - 1∣

1. Строим функцию у = 2х – 1;

2. Строим функцию у = 2∣x∣ - 1 и симметрично отображаем по оси ординат;

3. Строим функцию y = ∣2∣x∣ - 1∣: отображаем все, что ниже оси абсцисс, наверх, т.е. симметрично отображаем по оси абсцисс.

1) 2) 3)

2.2. Метод интервалов

Метод интервалов позволяет решать любые функции, содержащие модуль. Суть этого метода в том, чтобы разбить числовую ось на несколько участков (интервалов), причем разбить ось нужно именно нулями выражений, стоящих в модулях. Затем на каждом из получившихся участков всякое под модульное выражение либо положительно, либо отрицательно. После этих действий остается лишь решить каждое из полученных простых уравнений на рассматриваемом интервале и объединить полученные ответы.
Давайте решим следующее уравнение: у = |x − 5| + |x| 

Для начала нарисуем координатную прямую и обозначим её как x. Теперь надо разбить координатную прямую на промежутки. Для этого сначала нужно найти на ней те точки, на которых модули нашего уравнения будут менять свой порядок раскрытия. То есть, найти точки перехода для модулей |x − 5| и |x|. Чтобы найти точки перехода, нужно выяснить при каких значениях x под модульные выражения равны нулю. Узнать это можно приравняв к нулю под модульные выражения обоих модулей, и решить обычные линейные уравнения: С помощью неравенств подпишем каждый промежуток. Получится три промежутка: от минус бесконечности до нуля, от нуля до пяти, и от пяти до плюс бесконечности. То есть: x < 0, 0 ≤ x < 5 и x ≥ 5

Обращаем внимание, что в первом промежутке x < 0 значение 0 не включено в данный промежуток. Но зато это значение включено во второй промежуток 0 ≤ x < 5. Во втором же промежутке 0 ≤ x < 5 значение 5 не включено в данный промежуток, но зато оно включено в третий промежуток x ≥ 5. Если x < 0, то при любом значении x на данном промежутке под модульное выражение x − 5 станет отрицательным, а значит модуль |x − 5| на промежутке x < 0 будет раскрываться со знаком минус. В результате на первом промежутке у нас получиться:

1. у = - (х - 5) – х

y = - x + 5 – x

y = -2x + 5Аналогично решим для второго и третьего промежутков:

2. y = - (x – 5) + x 3. y = x – 5 + x

y = 5 y = 2x - 5

В итоге у нас вышла кусочная функция, где:

У =

Найдём координаты точек кусочной функции и изобразим на графике. Однако мы берём именно пограничные точки:

1. y = - 2x + 5, 0 > х

x

0

-1

y

5

7

2. y = 5, 0≤ x < 5

3. y = 2x – 5, х ≥ 5

x

5

6

y

5

7

2.3. Метод вершин

Если формула функции включает сумму или разность несколько модулей, то следует разбить координатную плоскость на участки и построить каждую ветвь графика отдельно. Границы участков определяются приравниванием каждого модуля к нулю и решением соответствующего уравнения. Подробный пример такого подхода можно увидеть в методе интервалов.

Однако, если под модульные выражения простые и содержат элементарные функции, графики которых вам хорошо известны, то можно получить результат прямым сложением ординат этих графиков в характерных точках.

Под простейшими функциями понимают алгебраическую сумму модулей линейных выражений. В том случае, когда модулей несколько, удобнее не раскрывать модули, а использовать следующее утверждение: алгебраическая сумма модулей n линейных выражений представляет собой кусочно-линейную функцию, график которой состоит из n +1 прямолинейных отрезков. Тогда график может быть построен по n+2 точкам, n из которых представляют собой корни внутри модульных выражений, ещё одна — произвольная точка с абсциссой, меньшей меньшего из этих корней и последняя — с абсциссой, большей большего из корней.

Заметим, что графиком является ломаная, с вершинами в точках, имеющих абсциссы -1 и 2. При x = -1 и x = 2 под модульные выражения равны нулю. Практическим путем мы приблизились к правилу построения таких графиков: Графиком функции вида y = a1|x – x1| + a2|x – x2| + … + an|x – xn| + ax + b является ломаная с бесконечными крайними звеньями. Чтобы построить такую ломаную, достаточно знать все ее вершины (абсциссы вершин есть нули под модульных выражений) и по одной контрольной точке на левом и правом бесконечных звеньях.

Пример: построить график: у = ׀х+2׀ + ׀х-1׀ – ׀х-3׀

Найдем нули под модульных выражений:

1. х+ 2 = 0 2. х – 1 = 0 3. х – 3 = 0

х = - 2 х = 1 х = 3

Теперь эти значения вписываем в таблицу. Нам нужно взять ещё по два значения с крайних промежутков ( х < - 2, х > 3 ) Слева у нас будут значения со знаком минус, справа – плюс.

Теперь, чтобы вычислить у, мы подставляем эти значения вместо х в функцию и решаем, раскрывая модули.

1. у = ׀-3+2׀ + ׀-3-1׀ – ׀-3-3׀ 2. у = ׀-2+2׀ + ׀-2-1׀ – ׀-2-3׀ 3. у = ׀1+2׀ + ׀1-1׀ – ׀1-3׀

у = ׀-1׀ + ׀-4׀ – ׀-6׀ у = ׀-3׀ – ׀-5׀ у = ׀3׀ – ׀-2׀

у = 1 + 4 – 6 у = 3 – 5 у = 3 - 2

у = - 1 у = - 2 у = 1

4. у = ׀3+2׀ + ׀3-1׀ – ׀3-3׀ 5. у = ׀4+2׀ + ׀4-1׀ – ׀4-3׀

у = ׀5׀ + ׀2׀ у = ׀6׀ + ׀3׀ – ׀1׀

у = 7 у = 8

Используя таблицу, строим график по точкам:

х

-3

-2

1

3

4

у

-1

-2

1

7

8

Заключение

Решение более сложных, выходящих за рамки школьной программы задач требует дополнительных знаний и умений. В данной работе затронут серьёзный математический вопрос – построение графиков функций, содержащих знак модуля. В ходе исследовательской работы я рассмотрела теоретический материал по абсолютной величине (модулю) и решила практические задачи. В результате работы над темой я сумела изучить поведения линейных функций со знаком модуля. Научилась преобразованию графиков, содержащих переменную под знаком модуля. Данная исследовательская работа может быть использована учащимися для самоподготовки и самоконтроля при подготовке к экзаменам. Применение разработанной мною темы, поможет мне решить задания из второй части ОГЭ и выбрать наиболее удобный способ, который сэкономит мое время на экзамене. Я составила сравнительную таблицу, исходя из своего опыта:

Метод

Плюсы и минусы, общий вид функции:

Вывод

По определению модуля

Для любой функции, содержащей переменную под знаком модуля;

- Сложно, легко запутаться;

- Долго;

Менее удобный

Метод симметрии

У = f(∣x∣); у = ∣f(x)∣; у = ∣f(∣x∣)∣; ∣у∣ = f(x);

∣у∣ = ∣f(x)∣;

- Быстро;

- Подходит не всем, в приоритете простые функции;

- Есть последовательность, удобно графически;

Более удобный

Метод интервалов

У = ∣f(x)∣ + ∣f1(x)∣ + ∣f2(x)∣+ ...+ ∣ fn(x) ∣

- Долго;

- Подходит всем функциям;

- Последовательный;

Более удобный

Метод вершин

У = ∣f(x)∣ + ∣f1(x)∣ + ∣f2(x)∣+ ...+ ∣fn(x)∣

- Подходит только линейным функциям;

- Последовательный, проще метода интервалов;

- Средний по скорости;

Более удобный

Библиографический список:

  1. Гриншпон И. Э., Гриншпон Я. С., «Элементарные функции и их графики».

  2. И. М. Гельфанд, Е. Г. Глаголева, Э. Э. Шноль, «Функции и графики».

  3. Калнин Р. А., «Алгебра и элементарные функции».

  4. М. К. Потапов, А. В. Шевкин, «Алгебра. Методические рекомендации. 8 класс».

  5. И. П. Гурский, «Функции и построение графиков».

  6. https://school-science.ru/3/7/32190?ysclid=lsm4l12gce400441974

  7. https://www.math10.com/ru/vysshaya-matematika/funktsii/oblast-opredeleniq-2.html

  8. https://www.resolventa.ru/spr/algebra/modul.htm?ysclid=lsm4lmeulv230565214

  9. https://sgpi.ru/user/-150/umk/Продолжение%20лекций%20Алгебраический%20материал.pdf

  10. http://www.fa.ru/fil/surgut/student/Documents/Функции%2C%20их%20свойства%20и%20графики.pdf

Просмотров работы: 25