XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Аннотация

Числа и вычисления играют огромную роль в повседневной жизни. От момента, когда мы просыпаемся и проверяем время, до того момента, когда мы снова ложимся в кровать и считаем «овец», чтобы заснуть.

Именно поэтому в школе такое внимание уделяется математике и основным арифметическим операциям – сложению, вычитанию, умножению и делению. Но меня заинтересовал вопрос: существуют ли еще способы выполнения вычислений, помимо тех, которых нас научили в школе?

Целью данного проекта является изучение и исследование китайского способа умножения, его истории, принципов и методов применения. Мы также стремимся понять преимущества и ограничения этого метода и сравнить его эффективность с другими традиционными методами умножения.

Задачи:

1. Изучить исторический контекст возникновения китайского способа умножения, его источники и применение в различных сферах жизни.

2. Освоить принципы китайского способа умножения и методы его применения на примере конкретных примеров.

3. Исследовать эффективность китайского способа умножения в сравнении с традиционными алгоритмами умножения, определить его потенциальные преимущества и ограничения.

4. Проверить гипотезу, что китайский способ умножения может быть более эффективным и быстрым, особенно при работе с большими числами.

5. Сделать выводы на основе полученных результатов и предложить возможные области применения китайского способа умножения.

Гипотеза проекта

Мы предполагаем, что китайский способ умножения может иметь преимущества перед традиционными методами умножения, особенно при работе с большими числами. Объект исследования: математическое

действие умножения

Предмет исследования: необычные способы умножения

Использование китайского способа умножения может увеличить скорость выполнения умножения и сэкономить время при выполнении математических операций. Более того, предполагается, что китайский способ умножения может быть полезным инструментом для применения в сфере высоких математических исследований, а также в повседневной жизни для быстрого выполнения вычислений.

В результате данного проекта мы надеемся достичь углубленного понимания китайского способа умножения, его преимуществ и ограничений, а также предоставить рекомендации по его дальнейшему использованию и дальнейшим исследованиям в данной области.

ВВЕДЕНИЕ

Математика всегда играла важную роль в нашей жизни, и умение умножать числа - одно из основных навыков, которые мы приобретаем в школе. Многие методы умножения были разработаны разными народами и культурами в течение нескольких веков, и китайский способ является одним из самых уникальных и интересных.

Актуальность выбранной темы объясняется не только историческим значением, но и ее практическим применением в современном мире. Китайский способ умножения позволяет быстро и эффективно умножать двузначные числа, используя всего лишь несколько простых шагов. Этот метод может быть полезен для школьников и студентов, а также для любителей математики, которые хотят расширить свои знания.

Целью моей работы является исследование и выявление сущности китайского способа умножения. Мы собираемся провести анализ этого метода и дать подробное объяснение его принципов. Кроме того, планируем исследовать историю развития китайского способа умножения, а также его применение в настоящее время. Надеемся, что эта работа поможет лучше понять и овладеть этим захватывающим методом умножения.

В процессе написания работы, мы предлагаем решить несколько задач. Во-первых, необходимо провести исследование и изучить различные источники информации о китайском способе умножения. Во-вторых, нужно выявить сущность этого метода, опираясь на принципы и шаги, предложенные китайскими математиками. Затем, следует провести анализ исторического контекста развития этого метода, показав его значимость и вклад в математику. Наконец, я собираюсь исследовать современные применения китайского способа умножения и рассмотреть его преимущества и ограничения.

В итоге, работа будет представлять собой исчерпывающий обзор о китайском способе умножения, его актуальности и значимости. Мы надеемся, что это исследование будет полезным и интересным для всех, кто интересуется математикой и желает узнать о различных методах умножения.

Теоретическая часть

1.1. Китайская система счисления.

Прежде чем приступить к детальному изучению возникновения математики и использования математических методов Древнем Китае, хотелось бы сказать немного о зарождении самой науки.

Счет предметов на самых ранних ступенях развития культуры привел к созданию простейших понятий арифметики натуральных чисел. Только на основе разработанной системы устного счисления возникают письменные системы счисления и постепенно вырабатываются приемы выполнения над натуральными числами четырех арифметических действий.

Система счисления — символический метод записи чисел, представление чисел с помощью письменных знаков.

Одна из самых древнейших систем счисления была создана в Китае. Эта система возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Китайская структура системы счисления имела свои особенности: ярко выраженное вычислительно-алгоритмическое направление - древние китайские математики старались свести к правилу, состоящему из последовательного выполнения некоторого числа шагов.

1.2. Китайская система счета

Первые дошедшие до нас китайские письменные памятники относятся к эпохе Шан (XVIII—XII вв. до н. э.). И уже на гадальных костях XIV в. до н. э., найденных в Хэнани, сохранились обозначения цифр.

Китайская нумерация просуществовала тысячелетия и сохранилась до наших дней. Согласно данным, собранным при изучении надписей на иньских гадательных костях, уже в XIV–XIII вв. до н.э. китайцы обладали достаточно развитой десятичной системой счисления с зачатками применения позиционного принципа. В такой же системе записаны числа на чжоуских монетах и бронзовых сосудах. Однако при этом частично использовались другие по форме цифровые знаки (рис. 1).

Рис.1 I.

Все иньские и чжоуские цифры можно разделить на две группы.

В первую входят цифры, обозначающие числа от 1 до 9 («и», «эр», «сань»,

«сы», «у», «лю», «ци», «ба», «цзю»). Число 1 символизируется одной горизонтальной чертой, а числа от 2 до 4 (иногда и 5) – количественно соответствующими сочетаниями горизонтальных черт. Для чисел от 5 до 9 выбраны знаки, происхождение которых неясно.

Во вторую группу входят цифры 10, 100, 1000 и 10 000 («ши», «бай»,

«цянь», «вань»). Цифра 10, представляющая собой вертикальную черту, возникла, возможно, как поворот на 90 градусов цифры 1, поскольку такой же принцип, но только в противоположной записи, встречается в выражении чисел 1 и 10 с помощью счетных палочек. Происхождение цифр 100, 1000 и 10 000 неясно.

Запись всех чисел, применявшихся китайцами в эпохи Шан-Инь и Чжоу, осуществлялась с помощью указанных цифр путем их сочетаний, варьирующихся по положению и допускающих вариации форм исходного набора знаков. Например, числа 11, 12 и 13 записывались с помощью вертикальной черты и помещенных справа или слева от нее соответственно одной, двух и трех горизонтальных. Числа 20, 30 и 40 записывались как сочетания двух, трех и четырех вертикальных черт, подобных цифре 10, но изогнутых и соединяющихся книзу так, что они образуют знаки в форме вил соответственно с двумя, тремя и четырьмя зубьями. Цифры 100 и 1000 являются, по сути, сочетаниями единицы (горизонтальная черта) и неких знаков, обозначающих соответственно сотый и тысячный разряды и не встречающихся в «свободном состоянии». Так, числа 200 и 300 обозначаются символом 100, у которого сверху добавляются соответственно одна и две горизонтальные черты, а числа 2000 и 3000 – символом 1000, который дополнительно перечеркивается одной или двумя горизонтальными чертами. В общем случае исходные знаки для 100 и 1000 без горизонтальных черт дополняются той или иной цифрой из набора 1–9 при необходимости выразить соответствующее число сотен и тысяч. За исключением упомянутой выше разновидности записи чисел 20, 30 и 40, числа десятичного разряда выражаются схожим способом, отличающимся лишь тем, что знак этого разряда и цифра 10 не различаются. Таким образом, сочетая в горизонтальной или вертикальной записи, составленные указанным способом цифры, древние китайцы могли записать любое число от 1 до 99 999.

После реформ письменности, осуществлявшихся во время царствования династий Цинь и Ранняя Хань, в Китае установилась иероглифическая форма цифр, которой китайцы пользуются до сих пор при записи чисел, и которая базируется на старом написании, но является полностью именованной.

Она десятичная, непозиционная, с мультипликативным принципом записи чисел. Это значит, что в ней существуют девять цифр и обозначения

Рис.3

Всякое число любого разряда за исключением единичного может быть записано и произнесено с помощью двух иероглифов: сначала ‒ цифра, обозначающая число единиц разряда, за ней ‒ название самого разряда. Например, число 1234 записывается как «и» «цянь» «эр» «бай» «сань» «ши»

«сы», что в буквальном переводе означает «одна тысяча две сотни три десятка четыре» (в русском языке «одна тысяча двести тридцать четыре»). А число 38071 ‒ как «сань» «вань» «ба» «тянь» «чи» «ши» «и» и представляется как на рис. 3 слева.

Такого рода нумерацию, один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии Древнего мира Б. Л. ван дер Варден называет именованной позиционной. Стоит в ней только опустить названия разрядов и ввести нуль, как она превратится в позиционную.

1.3. Вычислительные устройства и вычисления

Узелки и зарубки

Предыстория китайской системы счисления начинается в глуби веков, во время формирования первоначальных математических представлений человека на самых первых этапах его развития. Еще до возникновения письменности существовал, по-видимому, устный счет и элементарные способы фиксирования чисел при помощи узлов на веревках и зарубок на дереве. Это было первым примитивным моделированием: замена при счете пальцев рук и ног моделью.

В древнекитайских классических текстах имеются упоминания о подобных способах фиксирования чисел. В комментарии «Си цы чжуань» к знаменитой «Книге перемен» записано: «В глубокой древности пользовались узелками на веревках и управляли государством, а впоследствии мудрецы заменили их зарубками на дереве». Философы Лао-цзы и Чжуан-цзы, жившие в VI‒V вв. до н. э., подтверждают эти способы представления чисел.

В равной степени достоверны сведения о зарубках на дереве. Каждому русскому хорошо известна поговорка: «Заруби на носу». Ее происхождение указывает на существование деревянной дощечки, с нанесенными на ней памятными зарубками, которую носили привязанной к поясу. Весьма возможно, что от зарубок на дереве происходят современные китайские цифры 1, 2, 3, а также древнейшие иньские начертания чисел 20, 30, 40. В Китае до изобретения бумаги (в I в. н. э.) на протяжении первого тысячелетия до н. э. писали на бамбуковых и деревянных дощечках.

Счетные палочки

Есть основания полагать, что китайская десятичная позиционная система была связана по своему происхождению со способом вычислений посредством счетных палочек (чоу, чоуцэ, чоусуань и проч.). Сам иероглиф суань算 – «вычисление» – восходит к древней пиктограмме, изображающей подсчет палочек. Некоторые цифры на иньских гадательных костях и чжоуских монетах и бронзовых сосудах напоминают «палочную» запись. На монетах эпохи Сражающихся царств (Чжань-го) числа прямо записаны в

«палочной» нумерации. Ханьские математические тексты содержат математические выражения, подразумевающие использование счетных палочек.

В «Хань шу» («Книга о [династии] Хань») Бань Гу сообщил, что счетные палочки изготавливались из бамбуковых стеблей приблизительно 2,5 мм в диаметре и имели длину 14 см. Набор из 271 палочки связывался в шестигранную связку, которую было удобно держать в руке.

При археологических раскопках, проводившихся в 1971 г. в уезде Цянь- ян (пров. Шэньси), было найдено три десятка счетных палочек, датируемых годами правления ханьского императора Сюань-ди (73–49 гг. до н.э.). Их размеры совпадают с описанием из «Хань шу», но сделаны они не из бамбука, а из кости.

Палочки делали так же из рога, а позже изготавливались из нефрита и дерева. В IX в. китайцы стали отливать палочки из железа. Шэнь Ко (1031–1095), описывая одного из своих современников, астронома Вэй Поу, говорил, что

«он мог передвигать счетные палочки настолько быстро, что казалось, что они летали, и глаз не мог поспеть за их движениями до тех пор, пока не был готов результат». Это описание позволяет представить скорость, с которой мог совершаться профессиональный счет. После эпохи Мин о счетных палочках стало меньше сообщений, поскольку они были вытеснены абаком.

Счетные палочки можно было раскладывать просто на ровной поверхности или на специальной счетной доске суаньпань, на которой каким- либо образом обозначена клеточная структура.

«Палочный» счет имел преимущество по сравнению с письмом, поскольку позволял «разобрать» числа, которые больше не требовались. Кроме того, посредством перемещения палочек можно было легко производить действия сложения, вычитания, умножения и деления.

«Палочный» счет оставил свой след в китайской письменности, выражающийся в том, что большинство терминов для вычисления имеет в качестве корневого элемента (ключа) иероглиф «бамбук» и существует много выражений типа «подвинуть палочки» (туй суань), «взять палочки» (чичоу) и т.д., которые применяются при том или ином вычислении.

Счетные палочки и доска выполняли функции простейшей счетной машины, оперирование которой требовало четких алгоритмических предписаний. Целью китайских математиков было найти наиболее общие алгоритмы. Этот процесс был параллелен развитию греческой аксиоматизации.

По мере распространения бумаги китайские математики стали все чаще проводить свои вычисления письменно, но по тем же принципам, которые использовались при манипулировании со счетными палочками. При этом цифры могли записываться не иероглифами, а комбинациями штрихов, повторяющих расположение счетных палочек.

Использовавшиеся в Китае счетные палочки с числами, отмеченными на них, были китайским вариантом костей Джона Непера (шотландского математика, 1550–1617), которые появились на Западе в 1617 г. и активно использовались в XVII в. В это же время они попали в Китай и Японию, где вызвали значительный интерес.

Набор «неперовских» счетных палочек, применявшийся в Китае и имевший то же самое название, как и у древних простых счетных палочек, включал также нулевую палочку и палочки для квадратных и кубических корней. С помощью этого набора можно было производить ряд арифметических операций, двигая одну палочку по отношению к другой. Эти счетные палочки, возможно, получили бы и дальнейшее развитие в Китае, если бы их вскоре не заменили два других европейских изобретения – логарифмическая линейка и счетная машинка.

Абак (суаньпань)

Кроме счетной доски китайские математики имели в своем распоряжении еще два типа механических устройств для облегчения вычислений: абак и счетные палочки, помеченные числами аналогично костям Непера.

Китайский абак называется чжусуаньпань, чжусуань (букв. «пластина с шариковыми счетами», «шариковые счеты») или так же, как и счетная доска,

– суаньпань («счетная пластина», «счетное блюдо»). Эти счеты историки называют «абаком», имея в виду некоторое сходство с европейским счетным устройством, возникшим в древней Греции и использовавшимся в Европе вплоть до XVIII в. В своем первоначальном виде европейский абак – это доска с ложбинами, в пределах которых можно передвигать счетные костяшки. Суаньпань – счетное устройство, широко используемое в Китае с древних времен и до наших дней.

Китайский абак (рис.5) представляет собой деревянную раму с рядами стержней (проволок или веревок), на которые нанизывались костяшки в виде приплюснутых шаров. Обычно устанавливалось 12 стержней, но их могло быть и больше (до 30). На каждом стержне размещалось 6–7 костяшек, разделенных планкой на две группы: ниже планки 5 костяшек, а выше – 1–2. Каждая верхняя костяшка эквивалентна пяти нижним. Каждая нижняя костяшка эквивалентна 10 нижним костяшкам на соседнем стержне справа (или, по договоренности, слева). С помощью абака достаточно удобно выполнять действия сложения, вычитания и умножения, используя только одну из верхних костяшек, но для деления иногда удобнее иметь возможность указать на любом из столбцов число от 10 до 15, используя для этого обе верхних костяшки и соответствующее число нижних. На основании того, что в китайской литературе не было найдено никакого полного описания абака в его современной форме до сочинения Чэн Да-вэя «Суань фа тун цзун» («Все главное о методах счета») (рис.6), опубликованного в 1593 г., многие историки науки полагали, что этот инструмент не был известен в Китае до конца XVI в. Однако имеются и более ранние прямые или косвенные упоминания о нем. Так, о «доске с перемещающимися шарами», которой следует пользоваться по  твердо установленным правилам, сказано в сочинении «Лу тан ши хуа» («Эссе из чертога в предгорье»), которое было издано в 1513 г. Самое раннее изображение этого инструмента было найдено в напечатанном в 1436 г. иллюстрированном детском учебнике «Синь бянь Дуй сянсыянь» («Новая исправленная Хрестоматия изображений четверок иероглифов»).

Вероятно, самой древней работой, в которой говорится о счете с помощью абака, является трактат «Шу шуцзи и» («Заметки для потомков о правилах вычислений»/«Аритмологический мемуар», русский перевод С.В. Зинин, 1985), который приписан Сюй Юэ (ок. 160–227), жившему в конце Поздней Хань, и снабжен комментариями (частичный русский перевод С.В. Зинин, 1986), написанными приблизительно в 570 г. Чжэнь Луанем, возможно, и являющимся истинным автором трактата.

Согласно комментарию Чжэнь Луаня, абак представляет собой доску с тремя, символизирующими указанную «триаду», горизонтальными перегородками – двумя боковыми и одной средней, образующими две секции, в которых по перпендикулярным к перегородкам направлениям могут перемещаться шарики, видимо, нанизанные на веревки –

«ленты». В «нижней» секции размещаются символизирующие «четыре сезона» четыре шарика одного цвета, а в «верхней» – находится всего один шарик, имеющий отличный от них цвет. Каждый шарик из «нижней» секции соответствует единице, а «верхний» шарик – пяти единицам.

Стоит отметить что китайские счеты похожи на русские счеты, которые применялись в советское время в торговле. Многие исследователи утверждают, что идея русских счет была позаимствована у китайцев, что из Китая они перешли к сибирским народам, что известные купцы Строгановы привезли их в Россию.

2. Практическая часть

2.1. Китайский способ умножения. Метод решетки.

Мы привыкли умножать числа традиционным способом, которому нас учили в школе, записывая числа-множители столбиком. Однако в Китае принято считать иначе. Для созерцательного восточного менталитета важна непременная визуализация. Даже общепризнанные в мире арабские цифры китайцы записывают иероглифами. Именно с особенностью азиатской графической системы связан китайский способ умножения чисел. Давайте рассмотрим его.

Суть китайского метода состоит в визуализации произведения с помощью графического изображения процесса умножения. Другими словами, числа изображаются в виде прямых линий, сотни, десятки и единицы отделяются промежутками и располагаются параллельно друг другу на плоскости. Один из множителей располагается горизонтально сверху вниз, второй — вертикально слева направо. Количество пересечения линий, образующих десятки при умножении двузначных чисел, будет первой цифрой в произведении. Точки пересечения десятков и единиц — вторая цифра результата, количество точек, образовавшихся при пересечении всех единиц - третья цифра.

Допустим, нам надо умножить 13 на 24. Начертим следующий рисунок: Этот рисунок состоит из 10 линий (количество может быть любым)

· Вертикальные линии обозначают число 24 (2 линии, отступ, 4 линии)

· Горизонтальные линии обозначают число 13 (1 линия, отступ, 3 линии)

Теперь нужно сосчитать пересечения линий на всех четырех концах следующим способом: (Рис.9). Пересечения на рисунке указаны точками.

Рис. 9

Количество пересечений:

· Верхний левый край: 2

· Нижний левый край: 6

· Верхний правый: 4

· Нижний правый: 12

1) Пересечения в верхнем левом крае (2) – первое число ответа

2) Сумма пересечений нижнего левого и верхнего правого краев (6+4) – второе число ответа

3) Пересечения в нижнем правом крае (12) – третье число ответа. Получается: 2; 10; 12.

Т.к. два последних числа – двузначные, то записываем только единицы, а десятки прибавляем к предыдущему: 3(2+1)1(0+1)2

Ответ: 312

Как видно, китайское умножение помогает быстро и эффективно, без калькулятора, умножать двухзначные и трёхзначные числа друг на друга. Именно визуализация, то есть изображение всех точек пересечения прямых на одной плоскости, даёт зрительную помощь и подсказку, тогда как способ умножения столбиком подразумевает знание таблицы умножения и требует большого количества арифметических действий в уме. Но при умножении больших чисел этот способ становиться чересчур громоздким и не таким эффективным.

2.2. Ментальная математика

Ментальная арифметика - это программа развития умственных способностей детей от 4 до 16 лет с помощью арифметических вычислений на счетах абакус без использования компьютера, калькулятора и другой вычислительной техники только перекидывая косточки счетов в уме. Обучаясь этой методике, можно решить любые арифметические задачи за несколько секунд (сложение, вычитание, умножение, деление и т.д.) в уме быстрее, чем с помощью калькулятора.

Новаторская методика была придумана турком Шеном. В основу ее положен древний абакус – счеты, придуманные в Китае еще пять тысячелетий назад и которые были рассмотрены в первой главе моей исследовательской работы.

Использование в образовательном процессе древних счетов способствовало формированию новой программы, которая получила название

«ментальная арифметика», или «менар». Впервые она была запущена в 1993 году в Азии. В настоящее время действует около пяти тысяч образовательных центров в 50 странах, которые обучают устному счету.

Суть ментальной методики в том, что вся программа по освоению устного счета построена на последовательном прохождении двух этапов. На первом из них происходит ознакомление и овладение техникой выполнения арифметических действий с использованием косточек, во время которых задействованы одновременно две руки. Благодаря этому в процессе участвует как левое, так и правое полушарие. Это позволяет достигнуть максимально быстрого усвоения и выполнения арифметических действий. В своей работе ребенок использует абакус. Этот предмет позволяет ему совершенно свободно вычитать и умножать, складывать и делить, вычислять квадратный и кубический корень.

Во время прохождения второго этапа ученики обучаются ментальному счету, который производится в уме. Ребенок перестает постоянно привязываться к абакусу, что также стимулирует и его воображение. Левые полушария детей воспринимают цифры, а правые – образ костяшек. На этом и основана методика ментального счета. Мозг начинает работать с воображаемым абакусом, воспринимая при этом числа в форме картинок. Выполнение же математического счета ассоциируется с движением косточек.

В настоящее время в Китае все дети в школах проходят курс обучения ментальной арифметике в начальных классах. Данный курс включен арифметику в обязательную программу.

Как отмечают китайские ученики, главное — это регулярные тренировки работе со счетами. Через время дети обучаются устному счету просто представляя суан-пан в уме. Благодаря этому работает не только «рациональное» левое полушарие, но и «творческое» правое. Это значит, что ментальная арифметика — полезный тренажер для всего мозга и гарантия его гармоничного развития.

Как бы ни была трудна на первый взгляд китайская система счёта, тем не менее в России она нашла своё применение и активно набирает популярность, и уже признана одной из инновационных областей образования.

Ментальная арифметика помогает научиться нестандартно мыслить; способствует развитию логики, мышления, памяти, мелкой моторики; за счет задействования обоих полушарий мозга развивает творческие способности; человек учится быстро решать в уме. Анализируя изученный материал и проведенное исследование, я пришела к выводу, что изучение математики Древнего Китая, а также системы китайского счета и техник математических вычислений имеет большой потенциал в обучении, будет способствовать повышению интереса к математике, развитию логического мышления и интеллекта, а также расширит кругозор и по другим предметам, таких как история зарубежных стран и в изучении китайского языка.

В связи с этим представленный мною материал может быть использован на факультативных уроках математики. А также на дополнительных мероприятиях: неделя математики, математические вечера, викторины, интеллектуальные конкурсы, олимпиады и т.д.

Для этих целей мною разработан буклет «Как легко научится считать по-китайски». (Приложение 1)

Данное пособие предназначено для учеников общеобразовательной школы, но будет интересна и взрослым людям.

Подходит как для групповых занятий с преподавателем, так и для самостоятельного изучения.

Основные задачи пособия:

- развить интерес в области математики, истории Китая, китайского языка.

- освоение основных способов китайского счета;

-развитие математических способностей, логического мышления, интеллекта, памяти, творческих умений и навыков.

Заключение

В ходе моего исследования я изучила китайскую систему счета, которая возникла еще четыре тысячи лет назад и изначально была позиционной и десятичной, то есть принципиально не отличалась от нынешней общепринятой системы счисления.

В древние времена математики демонстрировали простейшие арифметические вычисления при помощи счётных палочек, которые выкладывали на специальной доске. Так появилась одна из наиболее ранних систем записи чисел, которая представляла собой комбинации горизонтальных и вертикальных палочек.

Цифры в древнем Китае обозначались специальными иероглифами, которые появились во II тысячелетии до н. э., и окончательно установились к III веку до н. э. Эти иероглифы применяются и в настоящее время. Вычисления производились на специальной счётной доске суаньпань (абак), но и не потеряли свою популярность и в современное время в обучении математики.

В ходе исследовательской работы все поставленные мной задачи были решены: я рассмотрела историю возникновения и описала некоторые способы счёта, провела исследования и эксперименты использования техник китайского счета.

Результаты исследований показали, что китайская система счета и техника вычислений вызывает большой интерес и имеют большой потенциал в обучении.

Разработанное мною пособие может быть использовано на факультативных уроках математики и дополнительных образовательных мероприятиях с целью углубления и расширение знаний, развития математических способностей, логического мышления, интеллекта, памяти, творческих умений и навыков.

Список литературы

1. Березкина Э. И. Математика древнего Китая. М., 1980.

2. История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. М.: Наука, 1970. ‒ Т. II.

3. Кобзев А. И. Учение о символах и числах в китайской классической философии. М., 1994.

4. Рыбников К. А. История математики. М., 1994

5. Гашков С.Б. Системы счисления и их применение / С.Б. Гашков. - МЦНМО, 2004.

6. Бендукидзе А.Д. О системах счисления // Квант - 1975 - №8 - с 59-61.

7. Рутчина Л. В. Внеурочная деятельность. Занятие кружка по математике в 6 классе по тФеме: «Необычные способы умножения» // Научно- методический электронный журнал «Концепт». – 2015. – Т. 6. – С. 161–165.М., 1970.

Приложение 1