XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

ЛОГИКА + ВЕРОЯТНОСТЬ + ИНВАРИАНТ = МАТЕМАТИКА В ПОВСЕДНЕВНОЙ ЖИЗНИ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Феофилова Т.С. 1

---

1МОАУ "Лицей №6"

Мосина И.Г. 1

---

1МОАУ "Лицей №6"

Работа в формате PDF

707.7 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

Зачем же нужна математика в жизни? Ответ на этот вопрос дает сама наша жизнь. Знание математики необходимо для всех профессий от повара до ракетостроителя. Она заставляет нас ежедневно применять наши математические знания в повседневной жизни. Часто мы применяем неосознанно законы математики. Возьмём вероятность случайных событий. Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут нет места для математики, – какие уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные закономерности – они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встрече со случайными событиями.На жизненном пути нам часто приходится решать и логические задачи. Ведь логические задачи – это полезная зарядка для ума. С понятиями логика и вероятность мы были знакомы давно. А новым для нас стало понятие «инвариант». Термин инвариантность означает устойчивость, неизменность. Инварианты, с одной стороны образуют достаточно жесткий каркас, чтобы не позволить какой- либо системе перейти к хаосу, а с другой стороны, достаточно гибкий, чтобы обеспечить разнообразие в системе. Инварианты способствуют появлению разнообразия, не меняясь сами. Инварианты обеспечивают естественный отбор в ходе эволюции системы любой природы.

Объектом нашего исследования является процесс решения задач на инварианты, логику, вероятность.

Предмет исследования – инвариант, логика, вероятность, их свойства.

Цель нашего исследования заключается в изучении свойств инварианта, логики, вероятности и их прикладное применение в различных сферах жизни.

Для достижения поставленной цели выделены следующие задачи:

– провести теоретический анализ литературы по теме исследования, определить понятия: инварианты, логика и вероятность;

– изучить историю возникновения этих понятий;

– самостоятельно решить задачи на инварианты, логику, вероятность;

– реализовать учебное пособие в программе FrontPage.

1. Теоретические аспекты инварианта

Математическое описание фактов, законов природы, общества и познания позволяет по-новому взглянуть на их взаимосвязи, обнаружить новые связи. Зачастую эти связи невозможно обнаружить без математики, на опыте, в реальном мире.Концепция инварианта является одной из важнейших в математике, поскольку изучение инварианта непосредственно связано с задачами классификации объектов того или иного типа. Важность понятия инварианта обусловлена тем, что с его помощью можно выделить величины, не зависящие от выбора системы отсчёта, т. е. характеризующие внутренние свойства исследуемого объекта.

Инвариант ‑ это всегда инвариант преобразования, то есть нарушения, ограничения, отмены другого инварианта: неизменность ускорения при заданной силе, то есть постоянство массы, теряет смысл без изменения скорости, неизменная скорость имеет смысл при движении, при нарушении неизменного положения, инвариантность положения при преобразовании системы отсчета.

Понятие инварианта ‑ одно из самых общих понятий современной физики и современной математики. Однако произошло распространение его на иные области науки в каждом из научных направлений можно выделить то, что представляется для них инвариантным.

Инвариант ‑ величина, остающаяся неизменной при тех или иных преобразованиях.

Инвариантв математике ‑ это свойство некоторого класса (множества)математических объектовоставаться неизменными при преобразованиях определённого типа.

Полуинвариант – величина (свойство), изменяющаяся только в одну сторону (которая может только увеличиваться или только уменьшаться). Используется при доказательстве остановки процессов.

Многие пассажиры проверяют билеты в автобусе или троллейбусе, равна ли сумма трех первых цифр номера билета сумме последних трех цифр. На этом, как правило, всё и заканчивается. Попробуем поэкспериментировать с числами на билетах, взяв для чистоты эксперимента как «счастливые, так и несчастливые» количеством 25 штук. Манипуляции с цифрами числа на каждом билете привели к интересным результатам, относящимся, на наш взгляд, к инвариантным и периодическим свойствам многозначных чисел. Чтобы убедиться в полученных вычислениях и наблюдениях, мы проверили свои предположения на других, произвольно выбранных числах.

Например: 625981 ‑ произвольное шестизначное число. Сумма его цифр равна 31. В свою очередь, сумма цифр числа 31 равна 4. Пробуя ком­бинировать из цифр исходного числа 625981 всевозможные промежуточные суммы, мы находили сумму цифр этих сумм и сводили их к однозначному числу.

В итоге мы убедились в том, что как ни комбинируй значащие цифры взятого нами исходного числа, сумма цифр в конечном итоге окажется равной четырем. Четверка ‑ это и есть инвариант данного многозначного числа.

Выбирая другие многозначные числа и действуя так же, как и раньше, мы получили для каждого числа однозначные инварианты от 1 до 9.

Например, число 7834516 имеет сумму значащих цифр, равную 34, что в итоге дает . Следовательно, именно число 7 ‑ инвариант для данного многозначного числа. Еще пример: 81376502 имеет сумму цифр, равную 32, что дает инвариант 5.

1.1.История возникновения инварианта

Теория инвариантов за более чем 150-летнюю историю своего развития прошла множество этапов. Она была создана трудами, главным образом, английских математиков Кэли и Сильвестра; из математиков континента ею занимались Аронгольд, Клебш, Эрмит и др. Символические обозначения инвариантов введены Клебшем.

Первоначально теория инвариантов имела приложение только при исследовании свойств чисел, но по мере своего развития эта теория получила большое значение в новейшей геометрии. Гильберт завершил эту эпоху и одновременно дал толчок к развитию современного понимания того, что является предметом (алгебраической) теории инвариантов в наиболее общей постановке этого вопроса. Вследствие частого приложения к различным математическим исследованиям, учение об инвариантах получило большое развитие и в настоящее время составляет самостоятельную отрасль математики. Инварианты вводят при помощи отношения эквивалентности, разбивающего совокупность объектов на классы, или при помощи некоторой группы преобразований.

1.2 Использование инварианта при решении задач

Б ольшинство задач требуют специальных знаний и подготовки, опыта в решении, умения думать, догадываться. Решение каждой задачи должно быть шагом вперед, должно учить ориентироваться в различных ситуациях. К таким относятся задачи на раскраски, четность и нечетность, задачи на применение инварианта. Полезно владеть и определенными общими подходами к решению нестандартных задач. Поэтому мы решили разобраться в решении этих задач, попробовать их исследовать, найти общие идеи. Выяснили, что инвариант бывает в задачах, где мы имеем дело с какими-то операциями, с каким-то процессом, который изменяет данный в условии объект.

Задача 1.На столе стоят вверх дном семь стаканов. Разрешается переворачивать одновременно любые два стакана (разумеется, можно перевернуть любой стакан, стоящий вверх дном, так, чтобы он стоял на дне, а можно перевернуть любой стоящий правильно стакан так, чтобы он стал стоять вверх дном). Можно ли добиться того, чтобы все семь стаканов на столе стояли на дне?

Решение: Сначала мы имеем7стаканов, которые стоят вверх дном и 0 стаканов, стоящих на дне. Переворачиваем два стакана, у нас будет5стаканов вверх дном и2стакана, стоящих правильно. Далее поставим на дно 2 стакана, стоящих вверх дном. Тогда у нас останется3стакана, стоящих вверх дном, а4стакана будут стоять правильно. Переворачиваем 1 стакан, стоящий вверх дном, и 1 стакан, стоящий правильно. Тогда ничего не изменится, и у нас останется5 стаканов, стоящих вверх дном, и2 стакана, стоящих на дне. И последний вариант: перевернем 2 стакана, которые стоят на дне. Тогда получим: 7 стаканов ‑ вверх дном и0 стаканов ‑ стоят правильно.

Ответ: Да, можно добиться того, чтобы все семь стаканов стояли на дне.

Задача 2.Круг разделен на шесть секторов. В каждом секторе написано число. Разрешается одновременно увеличивать числа в двух соседних секторах на один. Можно ли сделать все числа равными, если вначале они такие: 1, 0, 1, 0, 0, 0?

Р ешение: Раскрасим секторы, на которые разделен круг, в два цвета, например, красный и синий, так, чтобы красный и синий секторы чередовались. Инвариантом является разность сумм чисел в красных и синих секторах. В исходном варианте эта разность равна 2 (если секторы с числами 1синие), а в том случае, когда все числа равны, эта разность равна нулю. Значит, сделать все числа равными нельзя

Ответ: Нет, нельзя сделать все числа равными.

З адача 3Лена получила двойку за контрольную работу по математике и в порыве отчаяния разорвала листок со своей работой на десять кусков. Затем один из получившихся кусков она разорвала еще на 10 кусков. Может ли по завершении релаксации оказаться 1) 2012 кусков бумаги; 2) 2017 кусков бумаги?

Решение: Для начала важно определить, что в данной задаче является инвариантом. Попробуем проанализировать. Сначала у Лены был 1 листок – это один кусок. На втором шаге листков стало 10, то есть их количество увеличилось на листков. На третьем шаге листков будет уже 19, и их количество, очевидно, опять увеличится на листков, и так далее. Таким образом, нетрудно видеть, что инвариантом, то есть неизменной величиной на каждом шаге, в данной задаче является количество листков, на которое увеличивается общее число листков. Теперь разберемся, как нам поможет знание инварианта при решении данной задачи. Построим следующую схему.

1 шаг – листок;

2 шаг – листков;

3 шаг – листков, и так далее.

Из нее видно, что, если предположить, что в конечном счете может оказаться 2012 листков, то число должно делиться нацело на 9. Но это неверно. Значит, 2012 кусков в конечном итоге получиться не может.

Теперь рассмотрим случай 2. Число делится на 9, так как сумма его цифр делится на 9. А, значит, второй вариант возможен.

Ответ: 1) Нет, не может оказаться 2012 кусков бумаги; 2) Да, может оказаться 2017 кусков бумаги.

Задача 4.На доске записано 10 знаков «+» и 15 знаков «–». За один ход можно стереть 2 знака и написать вместо них «+», если знаки одинаковые и «–», если знаки различные. Каким будет знак на доске после 24 ходов?

Решение: Рассмотрим произвольный ход. Он может быть трех типов:

1) + + = + (количество плюсов уменьшилось на 1, количество минусов осталось прежним);

2) – – = + (количество плюсов увеличилось на 1, количество минусов уменьшилось на 2);

3) +– = – (количество плюсов уменьшилось на 1, количество минусов осталось прежним).

Заметим, что количество минусов за один ход или не меняется, или уменьшается на 2. То есть, мы можем утверждать, что в данной задаче инвариантом является четность количества минусов, на которое изменяется общее количество минусов при каждом последующем ходе. В начале количество минусов было 15, то есть нечетным. Значит, после 24 ходов оно также будет нечетным, так как если от нечетного числа отнимать четное, то получим опять нечетное. Значит, число минусов на доске не может стать равным, например, двум или нулю. А так как после 24 ходов на доске должен остаться ровно один знак, то это и будет «–».

В этой задаче можно было выбрать и другой инвариант. Заметим, что число плюсов на доске на каждом ходе или увеличивается на 1, или уменьшается на 1, то есть на каждом шаге меняется четность числа плюсов. Это закономерное изменение на каждом шаге и примем за инвариант. А тогда, четность числа плюсов на 24 ходе будет такая же, как и в начале (10 – четное число). Значит, число плюсов на доске не может быть 1, следовательно, последний знак – «–».

Ответ: На доске после 24 ходов будет знак минус.

Задача 52 012 шашек выставлено в ряд. За один ход любые две шашки, стоящие через одну можно, можно поменять местами. Можно ли через несколько ходов переставить шашки в обратном порядке?

Решение: Пронумеруем все шашки по порядку, то есть первой шашке присвоим номер 1, второй – 2, третьей – 3 и так далее. Мысленно закрасим позиции, на которых стоят шашки в черный и белый цвет через одну так, чтобы на черных позициях стояли шашки с нечетными номерами, а на белых – шашки с четными номерами.

Заметим, что инвариантом в данной задаче является то, что на каждом шаге перестановки цвета позиций шашек не меняются. Цвет позиции первой шашки – черный, а последней – белый, значит, в ходе перестановки  первая шашка никак не может стать на место последней, а последняя – на место первой, ведь их цвета разные, поэтому переставить шашки в обратном порядке невозможно.

Ответ: Нет, нельзя переставить шашки в обратном порядке.

Задача 6.Даны три числа: и . За один ход разрешается заменить числа на числа . Можно ли через несколько ходов получить числа ?

Решение: Нетрудно заметить, что в данной задаче неизменным остается произведение чисел. Действительно,

Поскольку , то получить вторую тройку чисел из первой невозможно.

Ответ: Невозможно через несколько ходов получить числа 2008, 2012, 2016.

З адача 7. На чудо-яблоне растут бананы и ананасы. За один раз разрешается сорвать с нее два плода. Если сорвать два банана или два ананаса, то вырастает еще один ананас, а если сорвать один банан и один ананас, то вырастает один банан. В итоге остался один плод. Какой это плод, если известно, сколько бананов и ананасов росло вначале?

Решение: Четность числа бананов не меняется, если число бананов было четным, то оставшийся плод ананас, если число бананов было нечетным, то это банан.

Ответ: 1) Остался один ананас; 2) Остался один банан.

З адача 8.На 44 деревьях, расположенных по кругу, сидели по веселому чижу. Время от времени какие-то два чижа перелетают на соседнее дерево один ‑ по часовой стрелке, а другой ‑ против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве?

Решение: Пронумеруем деревья по кругу с 1-го по 44-е. сумма номеров деревьев, на которых сидят чижи либо не меняются, либо уменьшается на 44, либо увеличивается на 44. Тем самым, остаток от деления этой суммы номеров на 44 не меняется. Изначально этот остаток равен 22, а если все чижи усядутся на одно древо, то он будет равен нулю. Поэтому чижи не смогут собраться на одном дереве.

Ответ: Все чижи не смогут собраться на одном дереве.

З адача 9. На прямой стоят две фишки: слева красная, справа синяя. Разрешается производить любую из двух операций: вставку двух фишек одного цвета подряд (между фишками ли с краю) и удаление пары соседних одноцветных фишек (между которыми нет других фишек). Можно ли с помощью таких операций оставить на прямой ровно две фишки: слева синюю, а справа красную?

Решение: Рассмотрим число разноцветных пар (не только соседних), где левая фишка красная, и заметим, что четность этого показателя не меняется. Но в исходной ситуации наш показатель равен 1, а в желаемой ситуации- нулю. Поэтому перейти к желаемой ситуации невозможно.

Ответ: С помощью таких операций нельзя оставить на прямой ровно две фишки.

2. Теоретические аспекты логики

Слово логика означает совокупность правил, которым подчиняется процесс мышления. Сам термин «логика» происходит от древнегреческого logos, означающего «слово, мысль, понятие, рассуждение, закон»Логика- это наука правильно рассуждать, наука о формах и законах человеческого мышления.Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания, опираясь на знания, полученные ранее.Главная задача логики состоит в том, чтобы выявить, какие способы рассуждения правильные, а какие нет, определить, как прийти к выводу из предпосылок (правильное рассуждение) и получить истинное знание о предмете размышления. В любой науке логика служит одним из основных инструментов. Основная цель логики: исследование того, как из одних утверждений можно выводить другие. При этом предполагается, что вывод зависит только от способа связи входящих в него утверждений и их строения, а не от их конкретного содержания. Изучая, «что из чего следует», логика выявляет наиболее общие или, как говорят, формальные условия правильного мышления. Современная формальная логика является очень разветвленной наукой и может быть разделена на части по различным основаниям. В зависимости от того, применяется ли математический аппарат или изучаются общие формы мысли без его применения, в ней выделяются две части: 1) общая (несимволическая) логика и 2) символическая (математическая) логика.

В свою очередь, общая логикаподразделяется на два раздела по различию изучаемыхобъектов.

Первыйраздел является учением об основных формах (элементах) мышления, без которых невозможно ни обыденное, ни научное мышление. К основным формам мышления относятся понятия, суждения и умозаключения. В этот раздел включается учение об основных формально-логических законах.

Второй раздел включает систематические формы, без которых невозможно научное мышление. Сюда входят определения, классификация, доказательства, логические методы, связанные с анализом данных опыта.

Математическая логика имеет много разветвлений. Она применяет табличное построение логики высказываний, использует специальный язык символов и формулы логики высказываний.

2.1.История возникновения логики

Наука логика – одна из древнейших наук. Ее следы просматриваются в древнеиндийской и древнекитайской философии, а также в философии античной Греции. Наиболее значительной фигурой здесь был Аристотель, которого по праву считают основателем формальной логики. В его сочинениях мы находим основы теоретического знания о формах и приемах мышления, именно он подверг анализу человеческое мышление, такие его формы, как понятие, суждение, умозаключение, и рассмотрел мышление со стороны строения, структуры, то есть с формальной стороны. Так возникла формальная логика - наука, пытавшаяся найти ответ на вопрос, как мы рассуждаем, изучающая логические операции и правила мышления.

Ко времени зарождения логики математика уже прошла значительный путь развития. В течение многих веков логика помогала математике стать строгой, последовательной наукой. Постепенно взаимная связь между математикой и логикой привела к тому, что логика оказалась под влиянием математики.

Если обратиться к эпохе Возрождения, к истокам науки нового времени, нетрудно установить, что и в этом случае первыми восстанавливались и использовались именно разработанные в античности логические методы. С этого начиналась философия и математика Рене Декарта (1596-1650). Декарт рекомендовал науке о мышлении логике руководствоваться общепринятыми в математике принципами.

Основоположником математической логикисчитают великого немецкого математика и философа Вильгельма Лейбница. Это он в XVII веке пытался построить первые логические исчисления: арифметические и буквенно-алгебраические. Это он впервые высказал мысль о возможности применения двоичной системы счисления в вычислительной математике.

Но этим идеям Лейбница суждено было получить дальнейшее развитие лишь в середине XIX века в трудах другого великого математика Джорджа Буля. Он вывел для логических построений особую алгебру (алгебру логики). В отличие от обычной, в ней символами обозначают не числа, а высказывания.

2.2 Использование логики при решении задач

Логические задачи – это своеобразная «гимнастика для ума». Умение рассуждать, логически мыслить, давать ответы на поставленные вопросы играет очень важную роль в жизни человека.

Свойства логических операций

Рассмотрим основные свойства (законы) алгебры логики.

Переместительный (коммутативный) закон

‑ для логического умножения:

‑ для логического сложения:

Сочетательный (ассоциативный) закон

‑ для логического умножения:

‑ для логического сложения:

При одинаковых знаках операций скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

Распределительный (дистрибутивный) закон

‑ для логического умножения:

‑ для логического сложения:

Закон двойного отрицания:

Закон исключения третьего

‑ для логического умножения:

‑ для логического сложения:

Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе – ложно, третьего не дано.

Закон повторения

‑ для логического умножения:

‑ для логического сложения:

Законы операций с 0 и 1

‑ для логического умножения:

‑ для логического сложения:

Законы общей инверсии

‑ для логического умножения:

‑ для логического сложения:

Законы алгебры логики могут быть доказаны с помощью таблиц истинности. Выделение логических задач носит до некоторой степени условный характер. Трудно определить, какую задачу следует назвать логической. Кажется, любая задача является таковой, так как для ее решения требуются определенные логические рассуждения.И это верно, но всё же по традиции для тренировки именно логического мышления человеком придумано множество задач, в которых речь идет об объектах, вообще говоря, произвольной природы.

Типы логических задач.

Кто есть кто?

Смысл задач под кодовым названием «Кто есть кто?» довольно прост. Вам даны отношения между предметами и следуя по цепочке этих отношений, вы приходите к правильному результату.

Существует несколько методов решения задач типа «Кто есть кто?». Один из методов решения таких задач – метод графов. Второй способ, которым решаются такие задачи – табличный способ.

Задача № 1. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Решение:

Ответ: молоко в кувшине, лимонад в бутылке, квас в банке, вода в стакане.

Задача № 2. Жили-были на свете три поросёнка, три брата: Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Построили они три домика: соломенный, деревянный и кирпичный. Все три брата выращивали возле своих домиков цветы: розы, ромашки и тюльпаны. Известно, что Ниф-Ниф живет не в соломенном домике, а Наф-Наф – не в деревянном; возле соломенного домика растут не розы, а тот, у кого деревянный домик, выращивает ромашки. У Наф-Наф аллергия на тюльпаны, поэтому он не выращивает их. Узнайте, кто в каком домике живет, и какие цветы выращивает.

Решение: Из условий задачи получаем граф:

Можно сделать вывод, что возле кирпичного домика растут розы, а возле соломенного – тюльпаны. А так как Наф-Наф живет не в деревянном домике, то он и не выращивает ромашки. А так как на тюльпаны у него аллергия, то он может выращивать только розы. Внесем эти данные в чертеж и получим:

Теперь стало ясно и то, что Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки. Методом исключения получаем, что Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Ответ: Наф-Наф живет в кирпичном домике и выращивает розы; Ниф-Ниф живет в деревянном домике и выращивает ромашки; Нуф-Нуф живет в соломенном домике и выращивает тюльпаны.

Круги Эйлера

Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.

Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления.

Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.

Задача № 3. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение: Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.

Ответ: 5 человек заняты только спортом.

Истинностные задачи

Истинностные задачи – это задачи, в которых требуется установить истинность или ложность высказываний.

Задача № 4. В языческом храме есть три говорящих идола – языческие боги. Среди них: бог Лжи, который всегда лжет; бог Правды, который всегда говорит правду; бог Коварства, который может солгать или сказать правду. Паломнику, который не знает, кто есть кто из них, идолы сообщили следующее:

«Я – бог Лжи»

«Я – бог Правды»

«Я – бог Коварства»,

(идолы перенумерованы в том порядке, в котором они высказывались). Определите по этим высказываниям, кто есть кто на самом деле.

Решение: Сказать о себе «Я – бог Лжи» не могли ни бог Лжи (иначе он изрек бы истину), ни бог Правды (иначе он изрек бы ложь), поэтому

1 идол – бог Коварства

(заметим, что его утверждение – «Я ­– бог Лжи» является ложью).

Бог Правды не мог сказать о себе ни «Я ­– бог Лжи», ни «Я – бог Коварства» (эти утверждения в устах бога Правды – ложные). Поэтому,

2 идол – бог Правды

(его утверждение «Я – бог Правды», как и положено, – истинно). Учитывая, что 1 идол – бог Коварства, а 2 идол – бог Правды, получим, что

3 идол – бог Лжи

(его утверждение «Я – бог Коварства» оказывается ложным, как то и положено утверждениям бога Лжи).

Ответ: 1 – бог Коварства, 2 – бог Правды, 3 – бог Лжи.

Задача № 5. В языческом храме есть три говорящих идола – языческие боги. Среди них: бог Лжи, который всегда лжет; бог Правды, который всегда говорит правду; бог Коварства, который может солгать или сказать правду. Паломнику, который не знает, кто есть кто из них, идолы сообщили следующее:

«Я – не бог Лжи»

«Я – не бог Правды»

«Я – не бог Коварства»,

(идолы перенумерованы в том порядке, в котором они высказывались). Определите по этим высказываниям, кто есть кто на самом деле.

Решение: Бог Лжи не мог сказать о себе «Я – не бог Правды» и «Я – не бог Коварства», поскольку в устах бога Лжи оба эти утверждения будут истинными, что противоречит условиям. Поэтому, ни 2 идол, ни 3 идол не могут быть богом Лжи, поэтому возможно только, что

1 идол – бог Лжи

(и тогда его утверждение «Я ­– не бог Лжи» оказывается ложью, что вполне согласуется с условиями).

Бог Правды не мог сказать о себе «Я – не бог Правды» (иначе он высказал бы ложь), поэтому с учетом того, что 1 идол – бог Лжи

2 идол – бог Коварства

(заметим, что на этот раз его утверждение – «Я – не бог Правды» оказалось истинным). Учитывая, что 1 идол – бог Лжи, а 2 идол – бог Коварства, получим, что

3 идол – бог Правды

(его утверждение «Я – не бог Коварства» оказывается истинным, что также согласуется с условиями).

Ответ: 1 – бог Лжи, 2 – бог Коварства, 3 – бог Правды.

Переливания

Это задачи на переливания, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости.

Задача № 6.Как при помощи 5-ти литрового и 9-ти литрового ведра набрать из реки 3 литра воды?

Решение: Заполняем водой из реки 9‑ти литровое и переливаем из него воду в 5-ти литровое (в 9-ти‑литровом остается 4 литра). Освобождаем 5-ти литровое ведро и переливаем в него 4 литра из 9-ти литрового. Еще раз заполняем водой из реки 9-ти литровое и из него доливаем в 5-ти литровое 1 литр воды (в 9-ти литровом остается 8 литров). Освобождаем 5-ти литровое и переливаем в него из 9-ти литрового 5 литра воды. В 9-ти литровом ведре останется 3 литра воды.

Взвешивания

Задачи на взвешивание ‑ достаточно распространённый вид математических задач. В таких задачах от решающего требуется локализовать отличающийся от остальных предмет по весу за ограниченное число взвешиваний. Поиск решения в этом случае осуществляется путем операций сравнения, правда, не только одиночных элементов, но и групп элементов между собой.

Задача № 7. На столе лежат девять монет. Одна из них — фальшивая. Как при помощи двух взвешиваний можно найти фальшивую монету? (Фальшивая монета легче настоящих.)

Решение: первое взвешивание: на каждую чашку весов кладем по три монеты. Если весы уравновешены, то для второго взвешивания берутся две из трех оставшихся монет. Если фальшивая монета на весах, то ясно, на какой она чашке весов. Если же весы уравновешены, то фальшивой является оставшаяся не взвешенная монета. Если при первом взвешивании одна из чашек перевешивает другую, то фальшивая монета находится среди монет, вес которых оказывается меньше. Тогда вторым взвешиванием устанавливаем, какая из монет фальшивая.

Математические ребусы

Математическими ребусами называют задания на восстановление записей вычислений.

Условие математического ребуса содержит либо целиком зашифрованную запись (цифры заменены буквами), либо только часть записи (стертые цифры заменены точками или звездочками).

Записи восстанавливаются на основании логических рассуждений. При этом нельзя ограничиваться отысканием только одного решения. Испытание нужно доводить до конца, чтобы убедиться, что нет других решений, или найти все решения. Есть математические ребусы, имеющие несколько решений.

Задача № 8. Замените буквы цифрами, чтобы получилось верное равенство:

Решение: условие ‑ , ДА ‑ двузначное число, а число . Е может быть равно только 1. Тогда у нас выходит уравнение: ‑ отнимем от каждой стороны уравнения ДА. Получим , отсюда следует, что =

Ответ:

Задачи, решаемые с конца

Этот тип весьма прост и лёгок в применении. Если вам предлагают какую-либо задачу, имеет смысл, прежде чем бросаться в дебри логических построений, нужно заглянуть в конец ситуации и посмотреть, не видно ли там решение.

Задача № 9.Я задумал число, прибавил к нему 5, потом разделил сумму на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил число 2. Какое число я задумал.

Решение: решаем задачу с конца

1) – число до деления на 7.

2) (14 + 6) : 4 = 5 – число до умножения на 4.

3) 5 ∙ 3 = 15 – число до деления на 3.

4) 15 – 5 = 10 – искомое число.

Ответ: задумано число 10.

Задача № 10. Группа туристов отправилась в поход. В первый день они прошли 1/3 пути, во второй – 1/3 остатка, в третий – 1/3 нового остатка. В результате им осталось пройти 32 км. Сколько километров был маршрут туристов?

Решение: так как осталось 32 км, а в третий день туристы прошли остаток, то 32 км будут составлять последнего 2/3 остатка, тогда сам последний остаток будет равен 32 : 2/3 = 48 (км). Эти 48 км будут составлять 2/3 длины маршрута, оставшегося пройти после первого дня. Тогда весь маршрут, который осталось пройти, будет равен 48 : 2/3 = 72 (км). Эти 72 км составляют вновь 2/3, но уже всего маршрута туристов, а значит, весь маршрут будет равен 72 : 2/3 = 108 (км).

Ответ: 108 км – маршрут туристов.

3. Теоретические аспекты вероятности

Случай, случайность – с ними мы встречаемся повседневно: случайная встреча, случайная поломка, случайная находка, случайная ошибка. Этот ряд можно продолжать бесконечно. Итак, какова вероятность случая?

Давайте поподробнее рассмотрим понятие вероятность.Вероятность ‑ математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого-либо события в тех или иных определенных, которые могут повторяться в неограниченное число раз условиях.Вероятность обычно обозначается латинской буквой P. Например, выражение P(A) = 0,5 означает, что вероятность наступления события A равна 0,5.

С практической точки зрения,вероятность события ‑ это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений.

Согласно определению П. Лапласа, мерой вероятности называетсядробь,числителькоторой есть число всех благоприятных случаев, азнаменатель ‑ число всех равновозможных случаев.

Для анализа вероятностей сложных событий следует различать прежде всего события совместимыеи несовместимые, а также зависимыеи независимые. В первом случае речь идет о событиях, которые могут (или не могут) появиться совместно, во втором ‑ о таких, что вероятность одного события в той или иной мере связана (или не связана) с тем, осуществилось ли другое.

Правило сложения вероятностей

Два события называются несовместными, если они не могут появиться одновременно в результате однократного проведения случайного эксперимента.

Если события попарно несовместны, то справедливо равенство

Правило умножениявероятностей

Два события называются независимыми, если появление одного из них не влияет на вероятность появления другого.

Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению их вероятностей, т.е.

3.2 Историческая справка

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попытка математического анализа азартных игр.Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей, а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей вышлав печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половинеXIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П.Л. Чебышев, А.А. Марков иА.М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

3.3. Задачи на теорию вероятности

Решение таких задач основывается на следующих теоретических фактах:

• Случайным называется событие, исход которого невозможно точно предсказать заранее.

• Вероятность случайного события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов события.

• Вероятность события не может быть больше 1 (число благоприятных исходов, понятно, не может превышать общее число исходов события).

Задача 1. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых.

1 12 3 4 5 6

21 2 3 4 5 6

3 1 2 3 4 5 6

4 1 2 3 4 5 6

5 1 2 3 4 5 6

6 1 2 3 4 5 6

Решение: Возможные исходы – 36. Благоприятные исходы – 2 (1 2; 2 1).

Итого, 2 благоприятных исхода: факт выпадения того или иного числа на кубиках является случайным событием, следовательно, искомая вероятность определяется отношением числа благоприятных исходов к общему числу исходов эксперимента: 2/36 = 0,0(5) ≈ 0,06 (с учетом округления до сотых).

Ответ: Вероятность того, что в сумме выпадет три очка, равна 0,06.

Задача 2. В чемпионате по гимнастике участвуют 76 спортсменок: 30 из России, 27 из Украины, остальные — из Белоруссии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии.

Решение:Случайное событие-выбор спортсменки, выступающей первой. Благоприятные исходы этого события равно 76-30-27 = 19 (число спортсменок, выступающих за Белоруссию). Общее число возможных исходов события ‑ 76. Вероятность случайного события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов события 19/76 = 0,25.

Ответ: Вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Белоруссии, равна 0,25..

Задача 3Бросаем игральную кость. Какова вероятность, что выпадет четное число?

Решение: Всего исходов-6 (по числу граней). Благоприятные исходы: 3 (выпадают числа 2, 4, 6). Вероятность события: 3/6=0,5

Ответ: Вероятность того, что выпадет четное число, равна 5.

Задача 4. Подбрасываем монету два раза. Какова вероятность того, что оба раза выпадет орел?

Решение: главное определить, какие элементарные исходы будем рассматривать при подбрасывании двух монет. После подбрасывания двух монет может получиться один из следующих результатов:

1. РР ‑ оба раза выпала решка.

2. РО – первый раз – решка, второй раз – орел.

3. ОР – первый раз – орел, второй раз ‑ решка.

4. ОО – оба раза выпал орел.

Других вариантов нет. Значит, элементарных исходов четыре. Благоприятный исход из них только первый, 1. Вероятность: 1/4 =0,25

Ответ: Вероятность того, что оба раза выпадет орел равна 0,25.

Задача 5.В корзине 9 красных шаров и 3 синих. Шары различаются только цветом. Наугад (не глядя) достаём один из них. Какова вероятность того, что выбранный таким образом шар окажется синего цвета?

Решение: Событие А: «выбранный шар оказался синего цвета». Все возможные исходы ‑ 9+3=12 (количество всех шаров, которые мы могли бы вытащить). Число благоприятных исходов для события А: 3 (количество таки исходов, при которых событие А произошло, ‑ то есть, количество синих шаров). P (A) =3/12=1/4=0,25

Ответ: Вероятность того, что выбранный шар окажется синего цвета, равна 0,25.

Задача 6 Набирая номер телефона, абонент забыл последнюю цифру. Какова вероятность того, что он правильно дозвонится, набрав последнюю цифру наугад.

Решение: Абоненту нужно выбрать одну из 11 цифр, то есть число возможных исходов 11. Число благоприятных исходов 1 (верной может быть только одна цифра). Вероятность того, что он правильно дозвонится, равна 1/11.

Ответ: Вероятность того, что абонент правильно дозвонится, равна 1/11.

Задача 7. В урне 3 красных, 5 синих и 2 белых шара. Наудачу вынимает 1 шар. Какова вероятность того, что шар окажется цветным?

Решение: Пусть событие А ‑ вынут синий шар, событие В ‑ красный шар. Эти события несовместны. Интересующее событие вынут цветной шар, означает, что вынут красный или синий, т.е событие используем сумму о несовместных событий Вычислим вероятности событий и .

. Тогда искомая вероятность равна =1/2+3/10=8/10=0,8

Ответ: Вероятность того, что шар окажется цветным, равна 0,8.

З адача 8. Пенсионер гуляет по дорожкам парка. На каждой развилке он наудачу выбирает следующую дорожку, не возвращаясь обратно. Схема дорожек показана на рисунке. Пенсионер начинает прогулку в точке A. Найдите вероятность того, что он придет в точку F.

Решение: Событие А (Пенсионер окажется в точке В). Р(А)= .

Событие В (Пенсионер окажется в точке F). P(B)= .

Поскольку эти события независимы, то по правилу умножения вероятностей 0,125.

Ответ: Вероятность того, что пенсионер придет в точку F, равна 0,125.

Задача 9. При двукратном бросании игрального кубике в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало меньше 3 очков.

Решение:А – событие «первый раз выпало меньше 3 очков». Все равновозможные элементарные исходы данного эксперимента представим в виде таблицы.

из таблицы видно, что событию А благоприятствуют 2 (они выделены в таблице красным) из всех возможных 5 исходов. Значит, .

Ответ: Вероятность того, что в первый раз выпало меньше трех очков, равна 0.4.

Заключение

Работа над темой исследования помогла нам понять, увлекает ли нас поиск ответов на необычные математические вопросы.

Методика нашего исследования заключалась в изучении специализированной литературы и обобщении полученной информации, а также проведении собственных исследований при решении задач.

Нами были рассмотрены общие подходы при решении некоторых логических, нестандартных задач, задач на вероятность, мы научились ориентироваться в различных ситуациях при решении задач, используя метод инвариантов. Поставленные цель и задачи исследования были решены в результате изучения свойств инварианта, логики и вероятности.

Исследуемый нами материал был реализован в электронном учебном пособии, созданном с помощью программы FrontPage.

В связи с изложенным, предлагаемое электронное учебное пособие «Логика + Вероятность + Инвариант = Математика в повседневной жизни» имеет несколько особенностей.

Во-первых, в нем приведен системный материал, необходимый для решения нестандартных задач на логику, вероятность и инвариант.

Во-вторых, представленный материал структурирован по схеме: 1. Теоретические аспекты понятия. 2. Историческая справка. 3. Решение задач.

Настоящее пособие может быть полезно для учащихся и учителей при подготовке к олимпиадам, ГИА и ЕГЭ по математике и информатике.

Список литературы и интернет - ресурсов

1. Вакарелов Д., Путешествие в топологические головоломки//.Квант.- физико-математический журнал для школьников и студентов, №1,1994г.

2. Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947.

3. Визгин В. П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. — М.: Наука, 1972. — 240 с.

4. Заочные математические олимпиады.- 2-еизд., перераб.- М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.-176 с.

5. Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Васильев Н.Б. Подготовительные задачи к LVII Московской математической олимпиаде 1994 года для 8-11 классов// М.: «TREADEPUBLISHERS», 1994г. – 80с.:ил.

6. Королёв Д.Н. Инварианты в задачах по математике и программированию. http://potential.org.ru/Info/ArtDt200509292052PH3C1J9

7. Кузнецов Б. Путешествие через эпохи. Инварианты познания, (гл.18). http://www.marie-olshansky.ru/bb/caliostro/c18.shtml