XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Исследование методов вычисления неопределенных интегралов
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Интегралы являются одним из фундаментальных понятий в математике и играют важную роль в различных областях науки и техники. В настоящее время весьма актуален вопрос извлечения интегралов из различных функций.
Интеграл — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой, пройденного пути при неравномерном движении, массы неоднородного тела, а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл).
Одной из основных областей, в которых интегралы применяются, является вычислительная математика. Здесь они позволяют разрабатывать алгоритмы численного интегрирования, которые широко используются для приближенного вычисления интегралов, когда точное аналитическое решение может быть сложно или даже невозможно найти. Такие методы численного интегрирования имеют важное значение в различных областях науки, таких как физика, экономика, биология и других.
Следует отметить, что интегралы имеют и другие важные приложения в науке и технике. Они позволяют решать задачи оптимизации, находить массы и центры тяжести, а также анализировать различные физические явления.
Цель работы: провести исследование неопределенных интегралов с помощью разных методов их решения
Основная часть
Эпоха возникновения интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур, которые в древности называли задачи на вычисление площадей различных плоских фигур. Первым учёным, предвидевшим понятие интеграла, был древнегреческий математик Евдокс Книдский, живший примерно в IV-III веках до н.э. Он дал полное доказательство теоремы об объёме пирамиды, утверждение о соотношении площадей двух кругов и другие математические методы [3]. Следом за ним метод "исчерпывания" и его варианты для вычисления объёмов и площадей использовал древний греческий учёный Архимед. Продолжая идеи своих предшественников, он определил длину окружности, площадь круга, объём и поверхность шара. Архимед показал, что определение объёмов различных фигур сводится к определению объёма цилиндра. Метод "исчерпывания" предвосхитил многие идеи интегрального исчисления, но для их математического оформления и развития потребовалось более полутора тысяч лет. Через две тысячи лет метод "исчерпывания" был трансформирован в метод интегрирования, который объединил различные математические задачи – от вычисления площадей и объёмов до массы тела, работы, давления, электрического заряда, светового потока и многого другого.
Основные идеи и теория интегрального и дифференциального исчислений непосредственно связаны с операциями дифференцирования и интегрирования, а также их практическим применением. Начало этой теории было положено в конце XVII века на основе концепций, выдвинутых известным европейским ученым И. Кеплером. В своих работах он представил формулы для расчета объема бочки и объемов различных вращающихся тел, разрабатывая сложные методы для каждого из них. Это привело к необходимости поиска общих и простых методов для решения задач, что впоследствии привело к формированию интегрального исчисления. И. Кеплер развивал эту теорию в своем труде "Новая астрономия", опубликованном в 1609 году, а также написал "Стереометрию винных бочек" в 1615 году, где он правильно рассчитал различные площади и объемы, используя подход с разделением тела на бесконечно маленькие пластины [2]. Работы итальянских математиков Б. Кавальери и Э. Торричелли продолжились и дополнили эти исследования. В XVII веке было сделано множество открытий, связанных с интегральным исчислением. Например, П. Ферма в 1629 году работал над проблемой квадратуры кривых, что привело его к разработке формулы для их вычисления и решения задач по определению центров тяжести. И. Кеплер, при изучении своих законов движения планет, фактически оперировал идеей приближенного интегрирования. И. Барроу, учитель Ньютона, приблизился к пониманию взаимосвязи между интегрированием и дифференцированием. Важным вкладом в развитие этой теории также стали работы английских ученых по представлению функций в виде степенных рядов [5].
Великий немецкий учёный Г. Лейбниц, параллельно с английским учёным И. Ньютоном, создал фундаментальные принципы дифференциального и интегрального исчисления в восьмидесятых годах XVII века. Эта теория приобрела свою силу после того, как Лейбницем и Ньютоном было доказано, что дифференцирование и интегрирование являются взаимно обратными операциями. Ньютон был знаком с этим свойством, но только Лейбниц смог увидеть замечательные возможности, которые открывает использование символьного метода. Для Ньютона интеграл, выступал прежде всего, как неопределенная, то есть первообразная. В то же время, для Лейбница понятие интеграла выступало прежде всего в форме определенного интеграла, как сумма бесконечного числа бесконечно малых дифференциалов, на которые разбивается данная величина. Введение понятия интеграла и его обозначений Г. Лейбницем произошло осенью 1675 года, а знак интеграла был опубликован в его работе в 1686 году. Термин "интеграл" был впервые использован в печати швейцарским ученым Я. Бернулли в 1690 году, после чего стал широко использоваться в выражении "интегральное исчисление", вместо ранее употребляемого Лейбницем термина "суммирующее исчисление". Вычисления интегралов проводились Г. Лейбницем и его учениками, сначала из которых стали братья Якоб и Иоганн Бернулли. Они сводили вычисления к обращению операции дифференцирования, то есть к поиску первообразных. Постоянная интегрирования была впервые опубликована в статье Лейбница в 1694 году.
Среди специальных способов интегрирования, использованных Г. Лейбницем, были замена переменной, интегрирование по частям, а также дифференцирование по параметру под знаком интеграла, что он представил в 1697 году. Г. Лейбницу принадлежит, и идея интегрирования рациональных дробей путем их разложения на простейшие дроби, которая впоследствии была усовершенствована другими учеными. Используя общую теорему о степени бинома, И. Ньютон выражал интегралы через бесконечные степенные ряды. Таким образом, многие иррациональные функции были проинтегрированы. Также, путем замены переменных и других методов, И. Ньютон установил ряд случаев интегрируемости в алгебраических, логарифмических и обратных тригонометрических функциях интегралов. В его работах функции в виде площадей некоторых конических сечений, а также аналитические выражения с помощью бесконечных рядов. В "Математических анализах натуральной философии", написанных в 1687 году, И. Ньютон фактически решал задачи, эквивалентные вычислению некоторых двойных и тройных интегралов, хотя общие понятия были введены позже. Применение методов графического интегрирования также относится к И. Ньютону, Г. Лейбницу и их современникам. При вычислении интегралов с определенными пределами с помощью неопределенных интегралов как Ньютон, так и Лейбниц использовали формулу, названную в их честь, однако современная терминология была установлена лишь в конце 18 века.
Основные работы по дальнейшему развитию интегрального исчисления в 18 веке принадлежат И. Бернулли и Л. Эйлеру. «Интегральное исчисление» Л. Эйлера, изданное в 1768-1770 годах, было настольной книгой крупнейших учёных второй половины 18 века. Он называл интеграл с произвольной постоянной – полным, с фиксированной постоянной – частным [4]. Значение частного интеграла при каком-либо значении аргумента давало величину, позднее названную «определённым интегралом». Эйлер систематизировал прежние приемы вычисления неопределённых интегралов, разработал новые, а также существенно развил теорию определенных интегралов. В развитии интегрального исчисления приняли участие русские математики М.В. Остроградский, В.Я. Буняковский, П.Л. Чебышев. Принципиальное значение имели, в частности, результаты П. Чебышева, доказавшего, что существуют интегралы, не выразимые через элементарные функции. Термин «определенный интеграл» предложил в 1779 году французский ученый П. Лаплас, а современную запись определенного интеграла – в 1819 году французский ученый Ж. Фурье [1]. Строгое изложение теории интеграла появилось только в 19 веке. Решение этой задачи связано с именами О. Коши, немецкого ученого Б. Римана, французского математика Г. Дарбу. Ответы на многие вопросы, связанные с существованием площадей и объемов фигур, были получены с созданием К. Жорданом теории меры. Различные обобщения понятия интеграла уже в начале двадцатого столетия были предложены французскими математиками А. Лебегом и А. Данжуа, русским математиком А. Хинчиным.
Вычислить интегралы не всегда возможно, но задача на дифференцирование может быть решена для любой функции. Именно поэтому единого метода интегрирования, который можно использовать для любых типов вычислений, не существует.
Интегралы делятся на определенные и неопределенные.
Совокупность всех первообразных для функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на интервале .
Где функцию называют подынтегральной функцией
Выражение подынтегральным выражением
C – произвольная постоянная.
В данной работе будут рассмотрены три метода решения неопределенных интегралов:
1. Метод непосредственного интегрирования
2. Метод подстановки
3. Метод подведения под знак дифференциала
Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования – это способ нахождения неопределенного интеграла функции путем прямого вычисления интеграла по определению. Он заключается в использовании формулы интегрирования для различных видов функций и применении их непосредственно к данной функции. Этот метод часто применяется для нахождения интегралов от простых функций и подходит для функций, которые не удается интегрировать с помощью других методов, таких как метод замены переменных или метод интегрирования по частям. При использовании метода непосредственного интегрирования необходимо уметь распознавать вид функции и знать соответствующие формулы интегрирования для этого вида функции.
Для анализа метода непосредственного интегрированияможно привести пример решения задачи:
Вычислить интеграл:
Для этого нужно разделить числитель и знаменатель на :
Получается, что :
Далее нужно проинтегрировать :
Где C – произвольная постоянная.
Метод подстановки
Метод подстановки для вычисления интегралов - один из основных методов интегрирования в математике. Он основан на замене переменной в интеграле с целью упрощения выражения под знаком интеграла. Этот метод позволяет эффективно интегрировать различные функции и вычислять определенные интегралы. Основная идея метода подстановки заключается в том, что если производная функции, стоящей под знаком интеграла, присутствует в выражении под знаком интеграла, то можно провести подстановку переменной, чтобы свести интеграл к более простому виду. Метод подстановки позволяет упростить задачу вычисления интегралов и сделать их доступными для решения.
Для анализа метода подстановкиможно привести пример решения задачи:
Вычислить интеграл:
Упростить выражение, используя ,
Используя найти интеграл:
Где C – произвольная постоянная.
Метод подведения под знак дифференциала
Метод подведения под знак дифференциала для интегралов - это прием, который используется для упрощения вычисления определенных интегралов. Суть метода заключается в том, что происходит замена одного из элементов подынтегрального выражения на его производную путем домножения и деления на эту производную. Интеграл может быть выражен в более удобной форме для последующего вычисления. Этот метод является мощным инструментом для решения сложных интегралов и находит широкое применение в различных областях математики и физики.
Для анализа метода подведения под знак дифференциаламожно привести пример решения задачи:
Вычислить интеграл:
Рассмотреть функцию , чтобы переписать интеграл в виде:
Подвести под знак дифференциала выражение заменив его на :
Переписать интеграл:
Произвести подстановку тогда :
Где C – произвольная постоянная.
Заключение
По результатам изучения методов решения неопределенных интегралов можно сделать вывод, что каждый из них имеет свои особенности и применимость в различных задачах. Метод непосредственного интегрирования, метод подстановки и метод подведения под знак дифференциала являются основными инструментами для нахождения аналитического выражения для неопределенного интеграла функции.
При выборе метода решения неопределенного интеграла необходимо учитывать сложность выражения под знаком интеграла, наличие знаков и корней, а также возможность упрощения функции. Кроме того, важно умение применять различные методы с учетом специфики задачи и умение проводить анализ полученного результата.
Изучение методов решения неопределенных интегралов позволяет развивать навыки аналитического мышления, уверенность в применении математических методов и умение решать задачи в различных областях науки и техники.
Список использованных источников и литературы
-
Виленкин М.Я. “Алгебра и математический анализ”/ М.Я. Виленкин, О.С.Ивашев–Мусатов, С.И.Шварцбурд// Москва-1993
-
Гейзер Г. И. История математики в школе. / Г. И. Гейзер// Просвещение-1981
-
Рыбников К. А. История математики. / К. А. Рыбников// МГУ-1994
-
Юшкевич А. П. История математики. / А. П. Юшкевич// Наука-1970
-
http://xreferat.com/54/608-1-integral-i-ego-primenenie.html