Теоремы Чевы и Менелая

XXII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Теоремы Чевы и Менелая

Асаинова Р.Р. 1
1Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Многопрофильный лицей №10» Елабужского муниципального района Республики Татарстан
Санникова Г.И. 1
1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

Введение

Я выбрала эту тему для своей исследовательской работы, потому что она меня заинтересовала. Мне было интересно узнать, какие задачи можно решить с помощью теорем Чевы и Менелая.

На уроках геометрии мы часто разбираем темы, связанные с треугольниками. Геометрия треугольника считается одним из интереснейших разделов геометрии. Треугольник представляет собой простейший многоугольник, имеющий 3 вершины (угла) и 3 стороны, но несмотря на это треугольник имеет множество свойств, к которым сводятся свойства более сложных фигур.

Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение этих теорем состоит, прежде всего, в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых вошли в историю только благодаря треугольникам. Это теоремы Чевы и Менелая. Эти теоремы просты, интересны и позволяют легко и изящно решать целый класс, как простых, так и весьма сложных задач.

Цель: выяснить особенности применения теорем Чевы и Менелая, как при решении задач профильного уровня, так и простых задач.

Объектом исследования являются теоремы Чевы и Менелая.

Предметом исследования являются теоремы Чевы и Менелая, как способ решения целого ряда, как простых, так и весьма сложных задач практической направленности.

Для реализации поставленной цели, мной были выдвинуты следующие задачи:

1. Ознакомление с теоремами Чевы и Менелая.

2. Применение теорем Менелая и Чевы для решения и доказательства задач.

3. Сравнение и выявление эффективности применения теорем Чевы и Менелая по сравнению с другими способами решения геометрических задач.

4. Овладение приемами решений планиметрических задач с использованием теоремы Чевы и Менелая.

Методы: наблюдение, поиск, отбор, анализ, исследование.

Актуальность темы: применение теорем Чевы и Менелая помогают нам решать задачи, более рационально. Повышают уровень пространственного воображения и уровень логической культуры. Эти теоремы просты, интересны и лаконичны. Изучение данных тем поможет более глубоко подготовиться к олимпиадам, ОГЭ и ЕГЭ. Знание геометрии необходимо всем кому  приходиться исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.

Теоретический обзор материала по теме исследования

Геометрия - одна из наиболее древних математических наук.  Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах.Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей.  И уже в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направление их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому, нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков её предмет, содержание и методы.В геометрических задачах, в отличие от задач алгебраических, далеко не всегда удается указать этапы решения, алгоритм, приводящий к успеху. Здесь, помимо формального знания многочисленных соотношений между элементами геометрических фигур, необходимо иметь интуицию и опыт. Важно уметь смотреть и видеть, замечать различные особенности фигур, делать выводы из замеченных особенностей, предвидеть возможные дополнительные построения, облегчающие анализ задачи. «Умение решать задачи - такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения»,- писал Д. Пойа. Одним из интереснейших разделов элементарной геометрии справедливо считается геометрия треугольника. Это не случайно. Несмотря на то, что треугольник едва ли не простейшая после отрезка фигура, он имеет много важных и интереснейших свойств, к которым сводятся свойства других, более сложных фигур. Среди теорем о треугольниках есть такие, изучение которых позволяет существенно расширить круг решения геометрических задач. Значение их состоит прежде всего в том, что из них или с их помощью можно вывести большинство теорем геометрии, они служат основой многих дальнейших выводов. Таковыми являются теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов и т.д. С понятием треугольника связаны имена многих выдающихся ученых: теорема Пифагора, формула Герона, прямая Эйлера, теорема Карно и многие другие. Но в геометрии треугольника много и таких теорем, авторы которых остались в истории науки только «благодаря треугольникам». Речь идет о двух таких теоремах – теореме Чевы и теореме Менелая.

Историческая справка

Менелай Алекснадрийский - древнегреческий астроном и математик. Время его жизни и деятельности определяется приведёнными в «Алмагесте» Птолемея двумя астрономическими наблюдениями, которые Менелай произвёл в Риме в первом году царствования Траяна, то есть в 98 году н. э. Он является автором работ по сферической тригонометрии: 6 книг о вычислении хорд и 3 книги «Сферики».

Джованни Чева - итальянский математик и инженер. Он окончил иезуитский колледж в Милане, после чего стал студентом Университета в Пизе, где позже и стал работать профессором математики. С 1686 года Чева работал в Университете в Мантуе, оставаясь на этом посту до самого конца своей жизни. Большую часть жизни Чева изучал геометрию, стараясь возродить греческую геометрию; кроме того, сегодня его помнят и по изысканиям в области механики. В 1678-м Чева опубликовал свою, ставшую знаменитой, теорему «О взаимно-пересекающихся прямых» о синтетической геометрии треугольника; теорема эта впоследствии получила его имя - теорема Чевы. Теорема эта сегодня является классической теоремой геометрии треугольника. Говоря простым языком, Чева изобрел некий общий метод, позволяющий по положению точек на сторонах треугольника определять, пересекается ли соответствующая тройка прямых в одной точке или нет.

Теоремы Чевы и Менелая

Дан треугольник АВС и на его сторонах АВ,ВС и

СА точки С1 ,А1 ,В1 (рис. 1).

Рисунок 1.

Вопрос: при каком расположении этих точек отрезки АА1,ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке?

Ответ дает теорема , которую связывают с именем итальянского инженера и математика Джованни Чевы (1648-1734).

Т еорема Чевы. Если на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то отрезки АА1 , ВВ1 ,СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Р авенство 1


Доказательство. Пусть отрезки АА1,ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О (рис. 1). Докажем, что выполнено равенство 1. По теореме о пропорциональных отрезках в треугольнике имеем :

Левые части этих равенств одинаковы , значит , равны и правые части. Приравнивая их, получаем:

Разделив обе части этих равенств на правую часть, приходим к равеству 1.

Докажем обратное утверждение. Пусть точки А1, В1 и С1 взяты на сторонах АВ , ВС и АС так , что выполнено равенство 1. Докажем, что отрезки АА1,ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке .Обозначим буквой О точку пересечения отрезков АА1,ВВ1 и проведем прямую СО(рис. 2). Она пересекает сторону АВ в некоторой точке, которую обозначим С2.

Рисунок 2.

Так как отрезки АА1,ВВ1 и СС2 пересекаются в одной точке, то по доказанному в первом пункте

Равенство 2

Итак, имеют место равенства 1 и 2.
Сопоставляя их, приходим к равенству

,которое показывает, что точки С1 и С2 делят сторону АВ в одном и том же отношении. Следовательно, точки С1 и С2 совпадают ,и , значит, отрезки АА1 ,ВВ1 ,СС1 пересекаются в точке О.Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ. Я взяла точки А1, В1 и С1 на сторонах АВ, ВС и АС треугольника АВС. Если же только одна из этих точек берется на соответствующей стороне, а две другие- на продолжениях сторон, то справедливо следующее утвержение:

Если прямые АА1,ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке (рис. 3, а) либо параллельны (рис.3, б), то выполняется равенство 1, и , обратно , если выполняется равенство 1, то прямые АА1,ВВ1 и СС1 либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

Рисунок3,а Рисунок 3, б

Перейдем теперь к теореме , которая связана с именем Менелая Александрийского, древнегреческого математика и астронома, жившего в I веке нашей эры. Снова рассмотрим треугольник АВС и не совпадающие с вершинами точки А1, В1 и С1 на его сторонах АВ, ВС и АС или на продолжениях этих сторон. Теорема Менелая дает ответ на вопрос о том , при каком условии точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой. При этом возможны два случая : либо две точки берутся на соответствующих сторонах, а еще одна –на продолжении третьей стороны (рис. 4 , а), либо все три точки берутся на продолжениях соответствующих сторон (рис.4, б). Оказывается , что в каждом из этих случаев точки А1, В1 и С1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполнено то же самое равенство 1, что и в теореме Чевы.

Рисунок 4,а Рисунок 4,б

Т еорема Менелая. Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ , ВС и АС) взяты соответственно точки С1, А1 и В1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда , когда

Равенство 3

Доказательство. 1. Пусть точки А1, В1, и С1, лежат на одной прямой (рис. 4). Докажем, что выполнено равенство (3). Проведем прямые АD, ВЕ и СF параллельно прямой В1А1, (точка D лежит на прямой ВС). Согласно обобщению теоремы Фалеса имеем:

Перемножая левые и правые части этих равенств, получаем:

, откуда

Т.е. выполнено равенство (3).

Обратное утверждение. Пусть точка В1, взята на продолжении стороны АС, а точки С1, и А1, — на сторонах АВ и ВС, причем так, что выполнено равенство (3). Докажем, что точки А1, В1, и С1, лежат на одной прямой. ПрямаяВ1С1, пересекает сторону ВС в некоторой точке А2; (рис. 5). Так как точки В1, С1, и А2, лежат на одной прямой, то по доказанному в первом пункте Равенство 4 Рисунок 5

Рисунок 5. Сопоставляя (3) и (4), приходим к равенству которое показывает, что точки А1, и А2, делят сторону ВС В одном и том же отношении. Следовательно, точки А1, и А2 совпадают, и, значит, точки А1, В1, и С1, лежат на одной прямой. Аналогично доказывается обратное утверждение в случае, когда все три точки А1, В1, и С1, лежат на продолжениях соответствующих сторон. Теорема доказана. Замечание. Если ввести некоторые величины, связанные с направленными отрезками, то вместо соотношения (3), общего для теорем Чевы и Менелая, можно написать равенства, отличающиеся друг от друга в этих теоремах.

Применение теорем Менелая и Чевы для решения

и доказательства задач

Задача 1. На медиане ВD треугольника АВС отмечена точка М так, что ВМ : МD = m:n. Прямая АМ пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение ВК : КС.

Решение: Прямая АК пересекает стороны ВС и ВD треугольника ВСD в точках К и М и продолжение стороны СD в точке А. Тогда по теореме Менелая для треугольника ВСD справедливо следующее тождество:

 

 

Ответ:

Задача 2.(ОГЭ, 9 класс , 2024 год) Прямая, проходящая через вершину, А треугольника АВС и делящая медиану ВМ в отношении 1:2, считая от вершины, пересекает сторону ВС в точке К. Найдите отношение площадей треугольников АВК и АВС.

Решение:1 способ. Проведем МN параллельно АК. По усл. ВО:ОМ=1:2,

Значит по теореме Фалеса ВК:KN=1:2 или KN=2BK, по усл.ВМ-медиана, АМ=СМ, по теореме Фалеса KN=CN значит, MN-средняя линия треугольника АСК.ВС=BK+KN+CN=BK+2BK+2BK =5BK. В треугольниках АВС и АВК общая высота из вершины А, значит, по теореме

Ответ:

2способ. Для треугольника ВМС , АК пересекает стороны ВМ и ВС в точках О и К соответственно. По теореме Менелая . Треугольник АВК и треугольник имеют одинаковые высоты. По теореме о отношении площадей следует, что .

Задача 3.На стороне AC треугольника ABC взяты точки P и E , на стороне BC – точки M и K, причем AP: PE: EC= CK: KM: MB. Отрезки AM и BP пересекаются в точке O, отрезки AK и BE – в точке T. Докажите, что точки O, T и С лежат на одной прямой.

Доказательство Пусть луч СT AB=С СO AB=C . Докажем, что точки C и C совпадают, это и будет означать, что O, T, C лежат на одной прямой.

Пусть AP: PE: EC= CK: KM : MB=m:n:k

Так как CT AB=C , BE AK CC = T, то по теореме Чевы ;

(1)

Так как CO AB=C , AM BP= O, то СС BP AM=O, по теореме Чевы (2)

Из (1) и (2) следует, что , то есть точки С и C делят отрезок AB в одном и том же отношении, начиная от точки A, а значит, С и C совпадают. А это означает, что точки O, T, C лежат на одной прямой.

Дважды применили теорему Чевы в треугольнике АВС, в 1 случае в точке Т пересеклись АК, ВЕ, СЕ. Во 2 случае - в точке О АМ, ВР, СС2.

Задача 4. .( ОГЭ, 25, И.В. Ященко, 2022 год) В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК: КМ=6:7. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АВК.

Решение : По теореме Менелая в треугольнике МВС .

SАВМ=SMBC= ;

1 способ ; SABK= ; ; SBPK= ;

2 способ. По теореме Менелая в треугольнике АСР, ВМ пересекает АС и АР ы точках М,К соответственно и в точке В продолжение стороны СР.

Дважды применили теорему Менелая.

Ответ:

Задача 5.( ОГЭ, 25, И.В. Ященко, 2021 год) В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:KM=4:9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найти отношение площади треугольника АКМ к площади четырехугольника КРСМ

Решение: SАВМ=SMBC= т.к по усл. ВМ-медиана. SABK= По теореме Менелая в треугольнике МВС ; SAPC= ; SKPCM=SAPC-SAKM= ;

Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

  1. В треугольнике АВС точки А1, В1, С1, делят стороны ВС, АС, АВ соответственно в отношениях: BA1:A1C=3:7; AB1:B1C=1:3; AC1:C1B=1. Найдите отношение площадей треугольников АВС и А1В1С1.

  2. В прямоугольнике ABCD AD:AB=5:3. На сторонах АВ, ВС, CD и DA выбраны точки E, F, M и P соответственно так, что АР:PD=2:3, а EFMP- ромб. Найдите отношение площадей прямоугольника и ромба.

  3. Высота ромба, проведенная из вершины его тупого угла, делит сторону ромба в отношении 1:2, считая от вершины его острого угла. Какую часть площади ромба составляет площадь вписанного в него круга?

  4. Точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС так, что A1В: A1C=1:3. Вершина А- середина отрезка МС. В каком отношении( считая от В) прямая А1М делит сторону АВ.

  5. На сторонах ВС, АС и А треугольника АВС выбраны точки А1 , В1, С1 соответственно, причем отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. Докажите, что =

  6. В треугольнике АВС медиана ВМ и биссектриса АК пересекаются в точке О, АС:АВ=k. Найдите отношение площадей треугольника АОВ и четырехугольника МОКС.

  7. Используя теорему Чевы, докажите, что в произвольном треугольнике прямые, проходящие через вершины и делящие периметр треугольника пополам, пересекаются в одной точке.

  8. На основании АD трапеции АВСD взяты точки К и Т так, что АК= TD. Отрезки АС и ВТ пересекаются в точке М, отрезки КС и BD – в точке Р. Докажите, что отрезок МР параллелен основаниям трапеции.

  9. Докажите. что середины оснований трапеции, точка пересечения ее диагоналей и точка пересечения продолжений ее боковых сторон лежат на одной прямой.

  10. Через середину М стороны ВС треугольника АВС , в котором АВ≠АС, проведена прямая, параллельная биссектрисе угла А и пересекающая прямые АВ и АС соответственно в точках D и E. Докажите, что BD=CE.

Заключение

Моя работа была посвящена двум таким теоремам как теорема Менелая и

теорема Чевы, которые позволяют решать многие, казалось бы, сложные

математические задачи просто, красиво, быстро и оригинально.

Замечательные теоремы Менелая и Чевы, сложные на первый взгляд, оказались просты и интересны. Они находят применение в задачах, в которых присутствуют секущие прямые. Теоремы Чевы и Менелая не изучаются в основном курсе геометрии 7-9 классов. Но решение задач с помощью теорем Чевы и Менелая более рационально, чем их решение другими способами, требующими дополнительных действий и построений, которые не всегда оказываются очевидными.

Я думаю, что теоремы Чевы и Менелая заинтересуют многих учащихся, так как решение задач с помощью этих теорем рациональнее и интереснее.

В результате проведенной работы, я узнала много интересного и познавательного, научилась применять теоремы в решении задач. Я думаю, что данное исследование, проведённое мной, поможет мне в дальнейшем при подготовке к ОГЭ, ЕГЭ и олимпиадам.

Я советую одноклассникам изучить теоремы Чевы и Менелая!

Список использованной литературы

  1. http://mirznanii.com/a/276832/primenenie-podobiya-k-dokazatelstvu-teorem-i-resheniyu-zadach-obobshchenie-teoremy-falesa-teoremy-ch

  2. Атанасян Л.С. Геометрия 7-9 кл. М. Просвещение, 1991.

  3. https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Менелая

  4. https://infourok.ru/teorema-chevi-i-menelaya-1309340.html

  5. Дополнительные главы по геометрии 8 класса (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, С.А.Шестаков, И.И.Юдина) - настоящее пособие является дополнением к учебнику `Геометрия, 7-9 авторов Л.С.Атанасяна, Шарыгин И.Ф. Теоремы Чевы и Менелая. М.: Квант, 1976, № 11, С. 22-30

  6. http://gigabaza.ru/doc/174559-pall.html

  7. Качалкина Е.Применение теорем Чевы и Менелая/Математика. Издательский дом «Первое сентября», 2004, - №13. – с.23-26

  8. Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника. – Библиотека «Математическое просвещение» - М.: Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2002. – 32с.

Просмотров работы: 42