Среднее геометрическое и другие средние

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Гумаров А.Н. 1

---

1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ

Санникова Г.И. 1

---

1МБОУ "Многопрофильный лицей №10" ЕМР РТ

Работа в формате PDF

318.8 KB

Автор работы награжден дипломом победителя I степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Введение

Цели: выяснить что такое среднее геометрическое, среднее арифметическое, среднее гармоническое, среднее квадратичное для двух отрезков, различные средние для нескольких отрезков и научиться применять их при решении задач в подготовке к ОГЭ, к ЕГЭ и олимпиаде по математике.

Актуальность: область применения и использования средних величин довольно широка. Сами средние и их неравенства широко применяются не только в алгебре, геометрии, математическом анализе, но и в физике, в астрономии, в статистике, в теории вероятностей, в экономике, при обработке результатов измерении: средняя урожайность, средняя плотность населения, средняя температура, средняя рождаемость, средняя глубина реки.

Объект исследования: Среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное.

Предмет исследования: Математика, геометрия и алгебра.

Почему я выбрал эту тему: на уроках алгебры и геометрии мы прошли среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное. Я заинтересовался их зависимостью между собой. Решил глубже изучить тему. И научиться решать задачи по теме.

1. Среднее геометрическое

Средним геометрическим или средним пропорциональным для двух чисел вычисляется как квадратный корень из их произведения. То есть, если у нас есть два числа a и b, то среднее геометрическое будет равно .

Средним геометрическим или средним пропорциональным для двух отрезков AB и CD называется такой отрезок XY, длина которого является средним геометрическим для длин отрезков AB и СD, т. е.

XY= .

Среднее геометрическое связано с прямоугольным треугольником. На рисунке катеты прямоугольного треугольника ABC равны a и b, гипотенуза AB равна c, высота CD равна h, а отрезки, на которые точка D делит гипотенузу, равны ac и bc. Треугольники ABC, ACD и BCD подобны друг другу. Из их подобия вытекают равенства:

, , .

Понятие среднего геометрического вводится не только для двух, но и для любых n положительных чисел. Средним геометрическим для n положительных чисел a₁, a₂ ..., а_n называется такое положительное число а, что aⁿ = а₁ а₂ ... a_n. Число а называется также корнем n-й степени из произведения а₁ a₂ ... а_n и обозначается так:

.

В соответствии с этим определением средним геометрическим для n отрезков с длинами a₁, a₂, ..., a_n назову отрезок с длиной . Рассмотрю примеры среднего геометрического для трёх и четырёх отрезков.

Задача 1. В прямоугольном треугольнике А ВС отрезок СD — высота, проведенная из вершины прямого угла С, а DЕ и DF — высоты в треугольниках АСD и ВСD.

Доказать: что ,

Решение. Применяя первую формулу к треугольнику ABC, получаю , откуда СD⁴=АD²×ВD². Используя вторую (или третью) формулу, из треугольников АСD и ВСD нахожу: АD²=АЕ×АС, ВD²=BF×BС.

Следовательно,

СD⁴=АС×ВС×АЕ×ВF,

СD=⁴√АС×ВС×АЕ×ВF.

Вторая формула доказана. Для доказательства третьей формулы воспользуюсь равенством (оно следует из соотношений S_ABC=1/2АВ×СD=1/2АС×ВС). Разделив четвёртое равенство на это равенство, получим , откуда .

Формула доказана.

2. Среднее арифметическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное для двух отрезков

Средним арифметическим двух чисел a и b называется их полусумма .

Средним гармоническим для чисел a и b называется число c, определяемое равенством = ( + )

Из этого равенства можно выразить c через a и b:

c = .

Средним квадратичным для чисел а и b называется число , т.е. число с равно квадратному корню из среднего арифметического для квадратов чисел а и b. В соответствии с этими определениями средним арифметическим для двух отрезков с длинами a и b будем называть отрезок c длиной , средним гармоническим - отрезок длиной и средним квадратичным - отрезок с длиной .

Задача 2.Пешеход отправился из посёлка А на станцию В со скоростью км/ч. Придя на станцию, он обнаружил, что оставил дома необходимые документы, и возвратился обратно в посёлок со скоростью км/ч. Взяв документы, он снова пошёл на станцию со скоростью км/ч. Выясните, какой была средняя скорость пешехода на всём пройденном им пути.

Пусть расстояние АВ равно s км. Тогда на путь от А до В пешеход затратил сначала — ч., на путь от В до А — ч., а на повторное прохождение пути от А до В — ч.. На весь путь пешеход затратил ч. За это время он прошёл 3s км. Теперь можно найти среднюю скорость пешехода на всем пути:

.

Сократив данную дробь на s, найдём, что

.

Мы получили формулу для вычисления средней скорости, если известны скорости на каждом из трёх участков одинаковой длины. Из полученного равенства видно, что средняя скорость движения пешехода не равна среднему арифметическому скоростей . Она вычисляется по более сложной формуле, которую называют формулой среднего гармонического трёх чисел.

Средняя скорость движения на двух участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического двух чисел:

,

где — скорости на этих участках.

Средняя скорость движения на четырёх участках пути одинаковой длины вычисляется по формуле среднего гармонического четырех чисел:

,

где — скорости на этих участках.

Задача 3. Пусть a и b — положительные числа. Как известно, число называется средним арифметическим чисел а и b, число — средним геометрическим, число — средним гармоническим. Докажу, что среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое положительных чисел а и b связаны следующим соотношением:

.

Докажу сначала, что

.

Преобразую разность левой и правой частей этого неравенства:

.

При а >0 и b> 0 рассматриваемая разность неотрицательна и, следовательно, верно неравенство

.

Теперь рассмотрю разность :

.

При а >0 и b> 0 составленная разность либо является отрицательным числом, либо равна нулю и, значит, верно неравенство

.

Итак, доказано, что если a>0 и b>0, то

.

Примеры среднего арифметического, среднего гармонического и среднего квадратичного двух отрезков.

Средняя линия трапеции равна полсумме оснований. Это означает, что средняя линия трапеции является средним арифметическим ее оснований (рис. 1)

3. Различные средние для нескольких отрезков

Подобно среднему геометрическому понятия среднего арифметического, среднего гармонического и среднего квадратичного можно ввести для n чисел и соответственно для n отрезков. Если имеется n отрезков с длинами а₁, а₂, ..., а_n, то средним арифметическим для этих отрезков называется отрезок с длиной

,

средним гармоническим - отрезок, длина с которого определяется равенством

,

и, наконец, средним квадратичным - отрезок с длиной

.

Трапеция дает возможность наглядно проиллюстрировать эти средние с помощью отрезков, параллельных её основаниям. Начнем со среднего квадратичного.

Рис. 5 a) Рис. 5 б)

Два отрезка, параллельных основаниям трапеции, равным а и b, и разбивающих её на три равновеликие трапеции: S₁=S₂=S₃ (рис. 5, а). Пусть длины этих отрезков равны х₁ и х₂. Используя результат задачи 5 из п. 2, получаю:

так как S₁=S₂, то ,

а так как S₂=S₃, то .

Из этих двух равенств выражаем x₁ и x₂ через a и b:

,

.

Таким образом, отрезок c длиной x₁ есть среднее квадратичное для трёх отрезков, два из которых равны a и один равен b, а отрезок c длиной x₂ есть среднее квадратичное также для трех отрезков, один из которых равен a, а два равны b. Теперь рассмотрю (n-1) отрезков, которые параллельны основаниям трапеции и разбивают ее на n равновеликих трапеций: S₁=S₂=...=S_n (рис. 5, 6). Нетрудно убедиться в том, что каждый из этих отрезков является средним квадратичным для n отрезков, часть из которых равна основанию a, а другая часть-основанию b. Более точно, отрезок длиной x₁ (см. рис. 5, 6) является средним квадратичным для n отрезков, из которых (n - 1) отрезков равны a, а один отрезок равен b; отрезок длиной x₂ является средним квадратичным для n отрезков, из которых (n-2) отрезков равны a, а два отрезка равны b, и т. д.; отрезок длиной х_k является средним квадратичным для n отрезков, из которых (n-k) отрезков равны a и k отрезков равны b. Этот факт можно выразить следующей формулой:

.

Рассмотрю рисунок 6, на котором изображена трапеция ABCD с основаниями, равными a и b. Как было показано в п. 2 (задача 4), отрезок M₁N₁, проходящий через точку O₁ пересечения диагоналей трапеции и параллельный основаниям, является средним гармоническим для оснований трапеции:

.

Рис. 6

Проведем отрезок AN₁ и обозначим через O₂ точку пересечения AN₁ с диагональю BD. Через точку О₂ проведем отрезок M₂N₂, параллельный основаниям трапеции (см. рис. 6). Далее проведем отрезок АN₂ и через точку О₃ пересечения АN₂ и ВD проведем отрезок M₃N₃, параллельный основаниям трапеции. Продолжая этот процесс, мы построим отрезки M₄N₄, ..., M_kN_k, для любого k. Нетрудно доказать, что

,

т.е. отрезок M₂N₂ является средним гармоническим для трёх отрезков, один из которых равен a и два отрезка равны b. Аналогичная формула получается для любого отрезка M_kN_k:

т.е. отрезок M_kN_k, является средним гармоническим для (k+1) отрезков, один из которых равен a и k отрезков равны b.

Задачи.

З адача 1.Докажите, что диагональ делит трапецию на два подобных треугольника тогда и только тогда, когда она равна среднему геометрическому оснований трапеции.

Дано: ABCD-трапеция; треугольник ABC подобен треугольнику ACD;

Доказать:

Доказательство: по условию треугольник ABC подобен треугольнику ACD, от сюда следует

;

следовательно,

(по свойству пропорции),

отсюда ;

Что и требовалось доказать

Задача 2. Через вершину A параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая прямые BD, CD и BC соответственно в точках M, N и P. Докажите, что отрезок AM является средним геометрическим для отрезков МN и МР

Заключение.

Исследуя средние величины, я понял, что они играют не последнюю роль в современной математике, давая простое объяснение при доказательстве сложных практических задач по алгебре и геометрии.

Знание формул и зависимостей средних величин значительно упрощают решение задач, особенно, где количество исходных данных недостаточно.

Программа по математике общеобразовательной школы включает в себя лишь малую часть понятия средних величин, что свидетельствует о необходимости самостоятельного изучения. Более подробное знакомство со средними величинами, проведённое в исследовании, позволяет не только расширить кругозор, но и повысить уровень моих знаний в области математики при решении задач, что позволяет по-новому посмотреть на задачи, предлагаемые на экзаменах и олимпиадах.

Список литературы:

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, 7 – 9: Учеб. для общеобразоват. уч. – М.: Просвещение, 2013.

2. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Шестаков С.А., Юдина И.И. Геометрия. Дополнительные главы к учебнику. 8 кл. – М.: Вита-Пресс, 2006.

3. Берколайко С.Т. Использование неравенства Коши при решении задач.- М.: Квант, 1975.- №4.

4. Боковнев О. А., Фирсов В. В., Шварцбурд С. И. Избранные вопросы математики. 9 класс. Факультативный курс. - М.: Просвещение, 1979г.

5. Галицкий М. Л., А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. – М. Просвещение, 1995.

6. Журнал «Квант» №23, 1999 г.

7. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Учебник. – М.: Мнемозина, 2014 г.

8. Семенов А.Л., ГИА: 3000 задач с ответами по математике. – М.: Издательство «Экзамен», 2014.

9. https://MathUs.ru https://ru.wikipedia.org/wiki/Коши,_Огюстен