XXIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Комплексные числа Поверхности Римана Применение комплексных чисел в науке Применение комплексных чисел в науке
Автор работы награжден дипломом победителя III степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
В данной работе рассмотрена тема мнимых и комплексных чисел, многозначных функций, Римановых поверхностей и применения их в научной деятельности. Так как эта тема выходит за рамки школьного курса, мне стало очень интересно познакомиться с ней. Я поставил перед собой цель: изучить свойства комплексных чисел.
Актуальность данной работы представлена тем фактом, что подобная тема плохо раскрыта в научно-популярном ключе, понимание вещей, рассмотренных в данной работе, поможет пониманию математики в целом.
Задачи:
-
изучить многомерные математические модели и задачи, которые с помощью них можно решить;
-
применить на практике математические знания, связанные со свойствами комплексных чисел;
-
научиться решать уравнения с помощью комплексных чисел;
-
изучить применение комплексных чисел в физике и математике.
В первой главе мы решаем первую проблему: может ли площадь быть числом отрицательным? Можно ли найти корень из отрицательного числа?
Во второй главе: новые проблемы новые решения. Подобных задач, где мнимые, так теперь называли корни из отрицательных чисел, числа использовались в вычислениях, но не использовались в ответе, становилось больше. После решения проблемы Кардано мнимые числа считались математическим ’костылем’ и не более, но развитием науки стало необходимым изучать подобную часть математики.
В третьей главе мы изучили природу поведения многозначных функций, разобрали, как решил определенные проблемы Риман, создав целый метод решения различных задач
В четвертой главе мы узнали, как развивались и применялись комплексные в физике и математике с течением времени, разобрали применение комплексных чисел на задачах из различных разделов физики и математики.
В нашей работе вы узнаете комплексные числа, векторы на комплексной плоскости функции с комплексным аргументом. Вы узнаете: многозначные функции, решение Римана, поверхности Римана. На практике всё работает так, что одна фигура на плоскости w превращается в две фигуры на плоскости z, при чем меньшего размера. Дублирование фигур происходит из-за того, что каждой точке на плоскости w соответствует 2 точки на плоскости z. Изменение масштаба происходит из-за того, что из модуля оригинальной точки извлекается корень, а угол делится на двое. А также как этими знаниями пользуются современные математики и физики.
Моя работа может заинтересовать не только учащихся, но и учителей. Её могут использовать при проведении математических кружков, на дополнительных уроках математики.
Глава 1
Первая проблема
Математические задачи люди решали всегда. Счет налогов, количество скота, перепись населения. Уравнения, как логическое продолжение арифметических задач возникли тоже достаточно давно. Время шло, задачи усложнялись, возникли дробные, отрицательные, иррациональные и трансцендентные числа. Уравнения также усложнялись. Возникли квадратные уравнения. Возьмем одно из таких. . В далеком прошлом квадратные уравнения вида решали геометрически, брав за квадрат со стороной , за прямоугольник со сторонами 2 и , а 3, то есть свободный член, за сумму площадей квадрата и прямоугольника. Вернемся к нашей задаче , после преобразования . Но как площадь может быть отрицательной? Отвечая на этот вопрос, математики делали вывод, что уравнение нерешаемо. При его решении алгебраическим методом получается, что , следовательно . Уравнение получается нерешаемым, ведь как может существовать число, квадрат которого равен -1. Также уравнение можно попытаться решать графически:[7]
П олучается парабола подобного вида. Математики, наблюдая, что график не пересекает ось X также делали вывод, что уравнение не имеет решение. Так продолжалось, до великого открытия. Рафаэль Бомбелли, пользуясь трудами Джироламо Кардано, который внес внушительную долю в решение кубических уравнений, нашел решение одной задачи, что положило начало новой эпохи математики
Введение в мнимые числа
Задача, которую решил Бомбелли являлась уравнением: .
По формуле Кардано при мы получаем , что одно из решений это + .
Казалось бы, уравнение нерешаемо, так как невозможно найти корень из отрицательного числа. Но при этом, на графике функции видно, что ось x пересекается трижды, следовательно все из корней уравнения могут быть найдены. Бомбелли, трудясь над этим уравнением, заметил это и сделал вывод, что при решении корни из отрицательных чисел должны сокращаться. Он решил разложить , как . После этого он разбил выражение, определяющее на две составных части, присвоив свободному члену 2 переменную , а коэффициенту корня отрицательного числа переменную .
После возведения в куб, для упрощения обоих частей и преобразований он получил систему уравнений Для решения этой системы необходимо было решить уравнение, он решил его методом подбора, получил 4. Далее, подставив, он получил коэффициенты = 2, = 1. Опять все подставив в формулу он получил . При сложении получается 4, то есть корень изначального уравнения. Теперь проблема, выдвинутая Джироламо Кардано была решена. Корней из отрицательных чисел нет ни в условиях, ни в ответе задачи, то есть уравнение может быть решено только тогда, когда мы признаем существование корней из отрицательных чисел [1]
Глава 2
Новые проблемы – новые решения
Подобных задач, где мнимые, так теперь называли корни из отрицательных чисел, числа использовались в вычислениях, но не использовались в ответе, становилось больше. После решения проблемы Кардано мнимые числа считались математическим ’костылем’ и не более, но развитием науки стало необходимым изучать подобную часть математики.
Рассмотрим геометрический смысл и геометрические свойства мнимых чисел. Для начала вспомним, как работают квадратные корни и вторая степень с обыкновенными числами.
Для примера берем число -2, при возведении в квадрат мы получим число 4, что, условно, повернет наш отрезок числовой прямой на 180 градусов. В свою очередь мнимая единица, обозначим его за i, при возведении в квадрат дает -1, также, как и –i, следовательно умножение само на себя мнимое число описывает поворот отрезка числовой, теперь уже, плоскости на 90 градусов. Из этого следуетpa , , . То есть мнимая единица, которую мы обозначаем за i, повторяется каждые 4 степени.[5]
Комплексные числа
Для выражения комплексных чисел требуется числовая плоскость, где ось X – реальная составляющая комплексного числа, а ось Y – мнимая. Числа на этой плоскость представлены в формате , где – реальная составляющая, – мнимая составляющая комплексного числа. Учитывая все вышесказанное следует, что комплексные числа могут быть представлены в виде точек на числовой плоскости в формате z = (1;i), при этом существует вариант z = (1;0), из чего следует, что действительные числа – подмножество мнимых, а множество комплексных является расширением действительных ч исел. Учитывая, что комплексные числа — это расширение действительных следует, что комплексные числа обладают всеми свойствами действительных. Разберем арифметические действия над комплексными числами. Операция сложения над комплексными числами проводятся по правилу Операция вычитания над комплексными числами производятся по правилу
Также стоит учитывать свойство, что комплексные числа нельзя сравнивать. Если, для точек, расположенных на числовой прямой большей, является та, которая лежит правее, то для точек плоскости аналогичного отношения ввести невозможно, поэтому комплексные числа нельзя соединять знаком неравенства.
Векторы на комплексной плоскости
Если представить комплексные числа в виде векторов, провести построение умножаемых и искомого векторов, наблюдается связь. Угол искомого вектора к оси Х равен сумме углов двух умножаемых векторов к плоскости Х. При нахождении длин векторов, используя дополнительное построение перпендикуляров к осям и теорему Пифагора, наблюдается то, что длина искомого вектора равна произведению длин умножаемых. Благодаря этому комплексные числа можно записывать с помощью угла к оси Х и его длинны, такой способ называется полярным методом. Так наблюдаются поворотные свойства комплексной плоскости, с помощью которых описывают повороты объектов на плоскости.
Р езюмируя. Произведения двух комплексных чисел есть . Угол может быть, как положительным, так и отрицательным.
, , = | |
Другие формы записи комплексных чисел
Разберем другие формы записи комплексных чисел. Вышеупомянутая полярная форма записи, может быть представлена в тригонометрической форме, где , из чего следует, что комплексное число , где – полярный радиус, то есть длинна вектора, а – угол вектора к оси , то есть оси действительных чисел. Такая форма записи называется тригонометрической.
Иная форма записи комплексного числа была предложена Эйлером, что заметил связь между степенью с комплексным показателем и комплексным числом. Впервые степень с комплексным показателем при основании была введена Эйлером. Он заметил закономерность и вывел формулу Это равенство легло в основу определения степени с комплексным показателем. Пусть , зависит от действительной переменной Сопоставим взаимно однозначным образом каждому комплексному числу комплексно показательное выражение . Получим , эта формула называется формулой Эйлера. Пусть дано комплексное число . Сопоставляя это с формулой получаем Такая форма записи комплексного числа называется показательной [2]
Функции с комплексным аргументом
Практически любое выражение в математике можно представить разными способами. Мы рассмотрим 2 способа. Алгебраический и графический. К примеру, возьмем функцию — это представление в алгебраической форме. В графической форме данная функция представляет собой параболу:[7]
Практически любое выражение в математике можно представить разными способами. Мы рассмотрим 2 способа. Алгебраический и графический. К примеру, возьмем функцию — это представление в алгебраической форме. В графической форме данная функция представляет собой параболу: где первая плоскость – значения аргумента, вторая плоскость – значения функции
Другие свойства подобных функций
Функция имеет прямую связь с комплексным умножением, поэтому поведение этой функции можно узнать при рассмотрении конкретных точек на плоскости с помощью векторов. Так как наша функция , то вектор должен изменяться по модулю, а его угол к оси реальных чисел удваиваться:
Мы наблюдаем изменение вектора по модулю, а также изменение угла, но возникает проблема с самопересечением. Если мы будем дорисовывать окружности на плоскости , они начнут пересекать сами себя на плоскости Это происходит из-за того, что каждой точке на плоскости соответствуют две точки на плоскости
Также эта проблема связана с обратным преобразованием этой функции. следовательно, при обратном преобразовании функция возвращает 2 значения, а это противоречит определению функции. Для подобного явления математиками было придумано понятие многозначной функции. Следовательно, когда мы возвращаем переменную w от z, это называется функцией, в случае, когда мы возвращаем переменную z от w, это многозначная функция [2]
ГЛАВА 3
Многозначные функции
На практике все работает так, что одна фигура на плоскости w превращается в две фигуры на плоскости z, при чем меньшего размера. Дублирование фигур происходит из-за того, что каждой точке на плоскости w соответствует 2 точки на плоскости z. Изменение масштаба происходит из-за того, что из модуля оригинальной точки извлекается корень, а угол делится на двое.
На практике все работает так, что одна фигура на плоскости w превращается в две фигуры на плоскости z, при чем меньшего размера. Дублирование фигур происходит из-за того, что каждой точке на плоскости w соответствует 2 точки на плоскости z. Изменение масштаба происходит из-за того, что из модуля оригинальной точки извлекается корень, а угол делится на двое.
Решение Римана
Из-за того, что каждой точке на плоскости w соответствуют две точки на плоскости z, Риман предложил ввести дополнительную плоскость w. Теперь для каждой точки на плоскости z существует одна точка на одной из плоскостей w. Для определения какой точке на плоскости w соответствует точка на плоскости z решено было поделить плоскость z пополам, по оси Y. Теперь левую половину мы преобразуем на плоскость , а левую на плоскость
При подобном дроблении плоскости z при любом начертании любых кривых точка начала и конца графика будет находится в одном и том же месте, но подобное решение нам не подходит, так как происходит разрыв функции, при пересечении вещественной оси. Разрыва происходит, из-за способа нашего отображения, учитывая, что каждой точке на поверхности w соответствует две точки на поверхности z, но мы берем точки только правой половины плоскости z. Подобные половины плоскости z называются ветвями многозначной функции, а поведение нашего графика говорит о том, что ветви функции разрывны, следовательно функцию нельзя интегрировать и дифференцировать [4], следовательно такое решение нам не подходит, так как является неполным. [3]
Для изучения поведения функции, а точнее для изучения разрывов ветвей воспользуемся цветовой индексацией кривой, начерченной на плоскости z, для точного понимания, где эти разрывы происходят. Наблюдаем, что разрывы наблюдаются при переходе из первой четверти плоскости во вторую и из третей в четвертую. Для неразрывности функции нам требуется соединить п лоскости и в точках разрыва.
Для этого Риманом была предложена многомерная математическая модель, где плоскости соединены в местах разрыва функции. Риман предположил, что двумерная плоскость может являться областью определения этой многозначной функции, из-за этого он обратился к трехмерному отображению многомерного решения. Также решение Римана решает проблему многозначности функции, так как решение с помощью поверхности Римана возвращает лишь одно значение для одного аргумента.[1]
Поверхности Римана
Риман представлял себе поверхности, которые лежат непосредственно над плоскостью w, сама поверхность же состоит из копий двух комплексных плоскости. Суть в том, что аргумент функции w и соответствующие ему точки на поверхности Римана находятся одна под другой.[6] Вместо разведения значений функции на две плоскости поверхность Римана осуществляет это для многозначной функции, когда значение w – аргумент. Мы разносим из на разные ветви. Это решат проблему разрывности. Поверхность Римана расположена над плоскостью w таким образом, чтоб двум из трех измерений соответствовали вещественная и мнимая часть, что раньше были названы u и v, Риман хотел использовать третье измерение, для визуализации переменной z, но z тоже комплексное число, поэтому одной оси для него недостаточно, из за этого обычно при визуализации подобных поверхностей третье измерение служит для отображения одной из частей комплексного числа z, зачастую – вещественной части. Теперь каждая точка поверхности Римана находится в трехмерном пространстве и может определятся переменными u, v и x. Но при этом переменная y, которая отображает мнимую часть числа z, осталась не отображенной. Без отображения возникнут проблемы с непрерывностью функции, ведь будет неясно на какую из ветвей переступить при пересечении.
Причина самопересечения поверхности кроется в проблеме отображения подобных поверхностей. При рассмотрении конкретных точек. К примеру, , подставив получим 2 решения - но на графике [8] они выглядят одинаково, поскольку вещественная часть у обоих равна нулю. Нам не видно, что это разные точки, потому что нельзя пространственно отобразить переменную y, так как придется ввести четвертое измерение.
Это классическая проблема визуализации многомерных математических концепций. [3]
На самом деле никакого самопересечения нет. Все происходит из-за нашего метода моделирования. По сути, мы видим трехмерную тень четырехмерной поверхности. Также как двухмерные тени трехмерных объектов могут пересекаться, при том, что трехмерные объекты не будут пересекаться.
Проблема визуализации четвертой переменной y решается если отобразить её с помощью цвета.[8] При задании цветовой шкалы и раскраске поверхности мы получаем точное представление о переменной y. Мы видим, что в точке самопересечения соприкасаются совершенно разные цвета, отсюда следует, что если мы встречаем подобные пересечения на поверхностях Римана, то можем их игнорировать. График полностью непрерывен, самопересечение, вызванное проблемами моделирования и визуализации, не влияют на конечное решение задачи.
Рассмотрим ранее заданные примеры. При двумерном отображении зеленая кривая возвращается в ту же точку, где и началась, но при обратном преобразовании уходит в другую часть плоскости.[8] Это происходит потому, что зеленая кривая уходит на другой лист поверхности Римана, но при взятии проекции оказывается на том же месте. Проще говоря конец графика, находится под его началом, из-за этого возникает проблема пересечения на плоскости. Также стоить помнить, что для каждого значения w существует два значения z, на поверхности Римана это будет зеркальная копия кривой.[3]
Решение уравнения
Корни изначально заданного уравнения Построим модель с помощью поверхности Римана для решения этого уравнения.[8] Для отображения переменной v используем цвет. Заметим, что для решения уравнения нам нужны такие точки, где значения функции равно нулю, то есть мнимая и действительная часть переменной w. Координата u будет равно нулю там, где поверхность пересекает плоскость z, а ноль координаты v мы найдем с помощью цветовой индексации. Теперь на графике видно, что точек, где вещественная и мнимая составляющие w, пересекающее плоскость z ровно две, в точках +I и -I, что и является корнями нашего уравнения
ГЛАВА 4
Дальнейшее развитие комплексных чисел. Применение в физике
С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики. Главная особенность использования комплексных чисел заключается в том, что с их помощью удивительно легко и просто решаются задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. С самых ранних этапов использования комплексных чисел, велись дискуссии о реальности результатов вычислений, содержащих не только действительную часть, но и часть с мнимой единицей. Особенно актуальным этот вопрос был в тех разделах классической физики (электрические цепи, передача информационных сигналов, гидродинамика, аэродинамика и др.), где результаты расчета непосредственно проверялись экспериментом. Здесь существуют многочисленные примеры наблюдений, описываемых комплексными числами. Наиболее четко это можно проследить на примере, так называемого, импеданса ( ) – комплексного полного сопротивления электрической цепи. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления еще конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Но теперь формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа
( - мнимая единица, - напряженность, – индуктивность, – частота, – омическое сопротивление, – электрический ток).
В самом общем случае, для любых сложных электрических цепей, сопротивление представляется в виде суммы активного (вещественного) и реактивного (мнимого). Физическое измерение (с помощью физических приборов) дает суммарное сопротивление. Теоретически можно выделить действительную и мнимую части, но зафиксировать их по отдельности, видимо невозможно.
Основные свойства комплексных чисел легко обобщаются на случаи комплексных векторов и комплексных функций. Кроме того, комплексная плоскость позволяет применять, так называемые, конформные (подобные) отображения, упрощающие расчеты не только в электрических цепях, но и в задачах теплопроводности, гидродинамики и, даже, магнитных полях.
Та же проблема реальности мнимых форм возникает при использовании, так называемого, интеграла Фурье в комплексном виде: в электрической цепи электродвижущую силу (ЭДС) можно с помощью интеграла Фурье рассматривать как сумму бесконечного числа синусоидальных колебаний. Андре Анго приводит ряд примеров, когда комплексный интеграл Фурье следует рассматривать как физическую реальность. Его соображения применимы и к оптическим задачам, где имеется тесная связь между коэффициентом преломления и коэффициентом поглощения в виде соотношений, связывающих вещественную и мнимую части диэлектрической постоянной. В последние годы дисперсионные соотношения стали широко использоваться при изучении взаимодействия элементарных частиц.
[ 1]
Следует отметить еще одну особенность интеграла Фурье: в комплексной форме ему можно придать вид, когда между самим интегралом Фурье (зависящим от времени) и его коэффициентом Фурье (зависящим от частоты) устанавливается полная симметрия: это означает, что существует полная симметрия между временем и частотой. Данный факт играет большую роль в современной теории информации.
Современное применение комплексных чисел в науке
После появления новой области математики началось бурное развитие и изучение комплексных чисел. Стоит упомянуть о революционных изменениях в базовых понятиях математики второй половины ХIХ века. Все началось с открытия Вейерштрассом непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции.
В сущности, эта функция уже была прообразом фрактала, но никто еще об этом не догадывался. Математическая мысль пошла в сторону введения новых понятий - дробной размерности и, соответственно, - дробной производной. «Фрактальная» функция Вейерштрасса, из-за ее «изрезанности» («шероховатости»), воспринималась как линия с шириной. В начале ХХ века Жулиа и Фату (1918 г.) открыли нелинейное итерационное отображение с комплексными аргументами:
Это уже был настоящий фрактал, но «разглядеть» его не представлялось
возможным, в виду отсутствия технических средств. Такая возможность
появилась с созданием компьютерных технологий.
Считается, что фракталы открыл Мандельброт в 1980 г. Он впервые наблюдал на экране дисплея множество Жулиа. Эффект превзошел все ожидания – перед учеными наглядно открылся виртуальный мир комплексных чисел. Фрактальные картины с экрана дисплея быстро перекочевали в музейные залы искусствоведов – началась эпоха фрактальной геометрии. Множество Мандельброта в координатах — реальная и мнимая части константы.
Данное открытие было обусловлено тремя составляющими:
1. Использование нелинейного итерационного отображения