XXIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Система линейных уравнений с тремя неизвестными в задачах ГИА по математике

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Ананьева А.П. 1

---

1МБОУ «Лицей №9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги

Орешкова Е.В. 1

---

1МБОУ «Лицей №9 имени К.Э. Циолковского» г. Калуги

Работа в формате PDF

772.3 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

В 7 классе проходили тему «Решение задач с помощью систем уравнений»

Задача: Масса 15 кирпичей и 5 шлакоблоков равна 64 кг. Какова масса одного кирпича и одного шлакоблока, если 5 кирпичей тяжелее 2 шлакоблоков на 3 кг?

Пусть масса кирпича x кг, а шлакоблоков y кг. Тогда масса 15 кирпичей и 5 шлакоблоков будет 15x + 5y = 64.

Известно, что 5 кирпичей тяжелее 2 шлакоблоков на 3 кг. Значит,

5x – 2y = 3.

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо найти такие значения x и y, которые удовлетворяют системе

Решив эту систему, получим, что x = 2,6, y = 5.

Ответ: Масса кирпича 2,6 кг, а шлакоблоков 5 кг.

Проблема: А если при строительстве используются не только кирпичи, шлакоблоки, а, допустим, готовые лестницы, изготовленные из железобетона, различных масс? И при известной массе определим количество кирпичей, шлакоблоков и лестниц, если составим систему уравнений, то их должно быть три. А в школе такие системы не решали!

Гипотеза: Существуют способы решения систем линейных уравнений с тремя неизвестными.

Цель: Найти, изучить и решить задачи с помощью систем линейных уравнений с тремя неизвестными.

Задачи: 1. Выяснить, что такое матрица;
2 .Изучить метод Гаусса;
3. Найти задачи из ГИА по математике, которые решаются с помощью этого метода.

Теоретическая часть

Матрица

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел:

где, А – матрица, a_ij - элемент матрицы, i − номер строки, в которой стоит данный элемент, j − номер соответствующего столбца; m – число строк матрицы, n – число ее столбцов.

Числа m и n называются размерностями матрицы.

Матрица называется квадратной, если m = n. Число n в этом случае называют порядком квадратной матрицы.

Главной диагональю матрицы называется диагональ, проведённая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний угол.

Тождественными преобразованиями матрицы называются такие, при которых сохраняется эквивалентность матриц (из-за этого их часто называют эквивалентными). Другими словами такие преобразования не меняют множество решений системы линейных уравнений, которая представлена данной матрицей.

Тождественные преобразования применяются в методе Гаусса, чтобы привести матрицу к треугольному или ступенчатому виду.

К тождественным преобразованиям относятся:

• перестановка двух любых строк местами;

• умножение любой строки на ненулевую константу;

• сумма двух любых строк, одна из которых умножена на определенное ненулевое число.

Матрицы A и B являются тождественными, если B получена путем тождественных преобразований A (или наоборот). Для обозначения тождественности используется специальный символ – “~“, т.е. A ~ B.

На примере матрицы ниже показаны все виды элементарных преобразований.

1. Поменяем вторую и третью строки местами.

2. Умножим первую строку на число 3.

3. Вычтем из третьей строки удвоенную вторую.

Треугольная матрица — матрица, у которой все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю:

или

Метод Гаусса

М

К.Ф.Гаусс

атричный метод решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) впервые описан в древнекитайском трактате «Девять книг о математическом искусстве» (II век до н.э.). СЛАУ в этом трактате записывается в виде матрицы, столбцы которой составлены из коэффициентов при неизвестных и свободных членов, и решается методом исключения, впоследствии заново сформулированном немецким математиком Карлом Фридрихом Гауссом в 1849 году. Этот метод естественно формулируется в виде правил преобразования так называемой расширенной матрицы системы.

Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений [1] и имеет следующие преимущества:

• отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;

• есть возможность решать системы уравнений, где:

  • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;

  • количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;

  • определитель равен нулю.

• результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Пусть исходная система выглядит следующим образом:

,

где x₁, x₂, …, x_n – неизвестные переменные, a_ij, i=1, 2,…,m, j=1, 2,…,n – натуральные числа, b₁, b₂,…, b_n – свободные члены.

Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x₁=a₁, x₂=a₂, …, x_n=a_n, при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

СЛАУ можно записать в матричном виде:

AX = B,

где

(1)

Матрица A называется основной матрицей системы, X – столбец неизвестных переменных, B – столбец свободных членов.

Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве (n+1) столбца столбец свободных членов и имеет обозначение Т.

Вырожденная квадратная матрица — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица называется невырожденной.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками расширенную матрицу системы приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. Для этого среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают содержащую его строку в крайнее верхнее положение, делая эту строку первой. Далее ненулевые элементы первого столбца всех нижележащих строк обнуляются путём вычитания из каждой строки первой строки, домноженной на отношение первого элемента этих строк к первому элементу первой строки. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают, пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

В результате тождественных преобразований над строками 2…m расширенной матрицы получаем нулевой элемент в первом столбце:

Далее те же действия производим над строками 3…m, получая нулевой элемент во втором столбце:

Повторяя эти операции над последующими строками и элементами, получим треугольную матрицу:

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последней строки, из которой выражают соответствующую базисную переменную и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Осуществляем тождественные преобразования над строками от m до 1 таким образом, чтобы на главной диагонали получалась 1:

В результате получим диагональную матрицу:

Так как эта матрица получена путём тождественных преобразований над исходной матрицей, то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях такие системы эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Перейдя от диагональной матрицы к СЛАУ, получим решение в виде: .

В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0=λ, где λ – некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.

Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.

Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечное количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.

Практическая часть

Изучив метод Гаусса, я решила сама составить задачу и решить ее с помощью этого метода. Часто требуется решать задачи связанные со строительством. Их тоже можно решать методом Гаусса.

Задача 1: Строители привезли для заливки цветной дорожки в парке 6 банок краски, 7 машин сухой смеси и 8 бочек воды общим весом 10221 кг. Найти массу одной банки краски, машины сухой смеси и бочки воды для третьей дорожки, если на первую дорожку затратили 1 банку краски, 3 машины смеси и 4 бочки воды общим весом 4403,5 кг, а на вторую 2 банки краски, 2 машины смеси и 1 бочку воды общим весом 2857 кг?

Решение:

Пусть масса банки a кг, машины b кг, а бочки c кг. Тогда из условия задачи можем записать систему линейных уравнений:

Прямой ход:

 



Обратный ход:

 

 

Ответ: Масса одной банки 3,5 кг, одной машины сухой смеси 1400 кг, одной бочки воды 50 кг.

Задача 2: Есть три коробки: в первой коробке 95 камней, во второй — 104, а третья — пустая. За один ход берут по одному камню из любых двух коробок и кладут в оставшуюся. Сделали некоторое количество таких ходов.

а) Могло ли в первой коробке оказаться 97 камней, во второй – 89, а в третьей – 15?

Решение:

Опишем возможные варианты ходов:

Стало в 1 кор. 2 кор. 3 кор.

ход 1 : из 1 кор. и 2 кор. переложили в 3 кор. –1 –1 +2

ход 2 : из 1 кор. и 3 кор. переложили в 2 кор. –1 +2 –1

ход 3 : из 2 кор. и 3 кор. переложили в 1 кор. +2 –1 –1

Обозначим число ходов 1 как x, ходов 2 как у и ходов 3 как z. Тогда можно составить систему линейных уравнений:

Запишем систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы:

 

 

В результате получаем неопределённую систему, имеющую бесконечное количество решений:

  

Так как число ходов может быть больше или равно ноля, то x,y,z {0, N}. Из полученной системы уравнений видно, что наименьшее значение принимает y. Задавая y=0, получим число ходов x=10, z=5.

Ответ: Да. [2]

З адача 3: На рисунке изображен график функции f(x)=ax²+bx+c.
Найти f(10).

Решение:

x y

 



Ответ: 64. [3]

Задача 4: Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?

Решение:

Пусть зарплата мужа x руб., зарплата жены y руб., а стипендия дочери z руб. Тогда из условия задачи можем записать систему линейных уравнений:

 

y + z = 0,33 x + 0,27 + 0,06 = 1

z = 0,02∙3 y = 0,33 –0,06 x = 1 –0,33

z = 0,06 y = 0,27 x = 0,67

Ответ: зарплата жены составляет 27% от общего дохода. [4]

Когда я полностью разобралась с тем, как использовать метод Гаусса, то ознакомила учеников 8-11 классы с результатами исследования. Провела уроки, на которых объяснила им этот метод. Поначалу не у всех получалось выполнять задания с его использованием, но позже почти все могли с легкостью их решать.

Выводы

Выяснено, что такое матрица, изучен метод Гаусса, найдены задачи из ГИА по математике, которые решаются с помощью этого метода.

Изучено решение задач с помощью систем линейных уравнений с тремя неизвестными.

Приведены решения различных типов задач с помощью метода Гаусса.

Список литературы

1. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н. Ш. Кремера. — 3-е изд. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. — 479 с. — ISBN 5-238-00991-7.

2. Все варианты 18 задания математика ЕГЭ Профиль 2022. URL:https://math100.ru/all_variations_18_number_ege_matematika_2022/.

3. ЕГЭ Профиль №10. Парабола. URL:https://math100.ru/prof-ege_2023_10-2/.

4. ЕГЭ профильный уровень. №9 Задачи на проценты, смеси и сплавы. Задача 4. URL:https://math100.ru/ege_profil_9_5-4/.

Приложения

Примеры решения задач из ГИА по математике

№ 16

xy

 



Ответ: ­­−50

№ 20

x y

 



Ответ: ­­−10

№ 17

x y

 



Ответ: ­­41