XXIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Виды уравнений и способы их решения

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Елсукова В.А. 1

---

1МАОУ СОШ № 8

Комлева С.А. 1

---

1МАОУ СОШ № 8

Работа в формате PDF

193.5 KB

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Диплом школьникаСвидетельство руководителя

Введение

С уравнениями в школьном курсе математики знакомство начинается еще с начальной школы. С каждым годом уравнения становятся все более сложными, для их решения применяются различные способы. Для решения только квадратных уравнений насчитывается более 10 способов. Чтобы разобраться со всеми известными способами уравнений, необходимо понять какие уравнения вообще существуют.

Целью исследовательского проекта является изучение различных видов уравнений и овладение различными способами их решения, чтобы развить навыки решения математических задач и подготовиться к успешной сдаче экзамена по математике в 9 классе, а также к дальнейшему изучению математики и других предметов.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• изучить историю развития уравнений;

• рассмотреть различные классификации уравнений;

• проанализировать стандартные и нестандартные методы решения уравнений;

• научиться решать уравнения различными способами;

• разработать дидактический материал для обучения решению уравнений;

• апробировать разработанный дидактический материал на уроках и факультативах по математике;

• создать памятку для одноклассников по методам решения уравнений.

Тема «Виды уравнений и способы их решения» является актуальной потому, что уравнения встречаются во многих областях науки и повседневной жизни. Умение решать уравнения необходимо для успешной сдачи ОГЭ по математике, а также для решения практических задач в физике, химии, биологии и других предметах.

Объектом исследования являются уравнения.

Предмет исследования – способы решения уравнений.

Во время работы над проектом необходимо изучить литературу, подходящую по теме. В первую очередь нужно актуализировать знания по школьным учебникам алгебры 7-9 классов. Также необходимо изучить информацию по теме, представленную в электронных ресурсах.

1. Уравнения и их виды

   1. История развития уравнений

Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3–4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные.

Математика как наука родилась в Древней Греции. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах.

Большой вклад в развитие решения уравнений внес узбекский математик и астроном Мухаммед аль Хорезми (IX век). Кстати, название «алгебра» пошло от названия трактата Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где он дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого алгебра получила свое название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений.

Многие математики занимались решением уравнений. Одним из них был французский математик Франсуа Виет. Франсуа Виет жил в XVI веке. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики, астрономии, ввел буквенные обозначения в уравнении. Громкую славу Ф. Виет получил при короле Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели сложную тайнопись, благодаря которой они вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции. Никто не мог найти шифр. Тогда обратились к Виету. Виет нашел ключ к шифру за две недели непрерывной работы, после чего Франция стала неожиданно выигрывать у Испании одно сражение за другим. Будучи уверенными, в том, что шифр разгадать невозможно, Виета обвинили в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиторам и вошел в историю как великий математик.

Алгебра как искусство решать уравнения зародилась очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приемов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приемы решения линейных уравнений. Нильс Хенрик Абель (1802–1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

Сейчас алгебра как наука значительно расширилась и усложнилась. Однако элементарная алгебра по-прежнему, как и во времена древних египтян, является наилучшим тренажером для развития мышления.

Итак, дадим определения понятиям «уравнение» и «решить уравнение».

Уравнение – это равенство, в котором есть одна или несколько неизвестных величин, которые необходимо найти. Решить уравнение – это значит отыскать все его корни или доказать, что их нет.

1. 2. Классификация уравнений

Все уравнения можно разделить на две большие группы: алгебраические и трансцендентные. Алгебраическим называется такое уравнение, в котором для нахождения корня уравнения используются только алгебраические действия, а именно четыре арифметических – сложение, вычитание, умножение и деление, а также возведение в степень и извлечение натурального корня.

Трансцендентным называется уравнение, в котором для нахождения корня используются не алгебраические функции: например, тригонометрические, логарифмические и иные. В курсе математики основной школы трансцендентные уравнения не рассматриваются, поэтому в своем проекте более подробно рассмотрю только алгебраические уравнения.

Группу алгебраических уравнений можно условно разделить на такие виды уравнений:

• целые – с обеими частями, состоящими из целых алгебраических выражений по отношению к неизвестным;

• дробные – содержащие целые алгебраические выражения в числителе и знаменателе;

• иррациональные – алгебраические выражения здесь находятся под знаком корня.

Дробные и иррациональные уравнения можно свести к решению целых уравнений.

Существует также и еще одна классификация, которая основывается на степени, имеющейся в левой части многочлена. Исходя из этого различают линейные, квадратные и кубические уравнения. Линейные уравнения также называются уравнениями первой степени, квадратные – второй, кубические – третьей, и т. д.

Исходя их вышесказанного, приведу следующую схему видов уравнений.

Алгебраические уравнения.

I. Рациональные уравнения.

1. Дробно-рациональные уравнения.

2. Целые уравнения.

a. Линейные уравнения

b. Квадратные уравнения

1) полные

2) неполные

3) приведенные

с. Биквадратные уравнения

d. Уравнения высших степеней

II. Уравнения с переменной под знаком модуля

III. Иррациональные уравнения

Трансцедентные уравнения:

I. Тригонометрические уравнения

II. Логарифмические уравнения

III. Показательные уравнения

2. Способы решения уравнений.

«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, что, следуя нашему методу, мы достигли цели».

Готфрид Лейбниц

Во время работы над проектом, обнаружила, что способов решения уравнений более 20, и их также можно разделить на большие подгруппы:

• стандартные способы;

• нестандартные способы;

• численные методы.

Для меня большой интерес представляют нестандартные способы решения уравнений, поэтому хочу более подробно остановиться именно на этих способах.

Многие способы решений уравнений покажу на примерах, без теоретического обоснования. Некоторые методы требуют дополнительных разъяснений, поэтому буду приводить как теоретическое обоснование, так и примеры с их использованием.

1. 1. Замена переменной

Рассмотрим для примера уравнение, в котором в качестве замены возьмем дробное выражение.

Пример 1. Решить уравнение .

Пусть , тогда .

=>

=> => .

=> =>

Ответ: .

1. 2. Метод выделения полного квадрата

Этот метод можно использовать при оценке выражений и решении уравнений. Выделение полного квадрата – это тождественное преобразование, при котором заданный трехчлен представляется в виде – суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения.

Пример 2. Решить уравнение .

,

.

Ответ: .

1. 3. Разложение на множители способом группировки

Группировка множителей – это объединение в одну группу нескольких множителей. Процесс группировки проводится следующим образом: сначала нужно переставить нужные слагаемые так, чтобы они оказались рядом, а потом расставляем скобки. После группировки слагаемых выносим общие множители и анализируем полученное выражение с целью найти снова общие множители в полученных произведениях.

Пример 3. Решить уравнение

,

,

,

или ,

Уравнение корней не имеет.

Ответ: .

1. 4. Графический способ

Алгоритм решения уравнений графическим способом:

1. 1. Преобразовать уравнение так, чтобы в левой и правой частях уравнения стояли известные функции.

   2. В одной системе координат построить графики соответствующих функций левой и правой частей.

   3. Определить точки пересечения полученных графиков. Абсциссы этих точек и есть решение уравнения.

Пример 4. Решить уравнение графически.

Перенесу второе и третье слагаемые в правую часть уравнения, оставив слева только :

Построю в одной системе координат графики

Рисунок 1. Графики функций

На рисунке 1 видно, что абсциссами точек пересечения графиков являются .

Ответ:

1. 5. Решение уравнений с помощью циркуля и линейки

Допустим, что искомая окружность пересекает ось абсцисс в точках и , где – корни уравнения , и проходит через точки и на оси ординат (рис. 2). Тогда по теореме о секущих¹ имеем , откуда

Рисунок 2. Метод решения квадратного уравнения с помощью

циркуля и линейки.

Центр окружности находится в точке пересечения перпендикуляров и , восстановленных в серединах хорд и , поэтому

Точка .

Итак:

1) построим точки (центр окружности) и ;

2) проведем окружность с радиусом ;

3) абсциссы точек пересечения этой окружности с осью являются корнями исходного квадратного уравнения.

Рассмотрим возможные случаи.

1) Радиус окружности больше ординаты центра ( ), окружность пересекает ось в двух точках (рис. 3) и , где – корни квадратного уравнения .

Рисунок 3. Радиус окружности больше ординаты центра

2) Радиус окружности равен ординате центра ( ), окружность касается оси (рис. 4) в точке , где – корень квадратного уравнения.

Рисунок 4. Радиус окружности равен ординате центра

3) Радиус окружности меньше ординаты центра ( ), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс (рис. 5), в этом случае уравнение не имеет решения.

Рисунок 5. Радиус окружности меньше ординаты центра .

Пример 5. Решить уравнение с помощью циркуля и линейки.

Вычислю центр окружности по формулам: .

Построю окружность, радиус которой , где . На рисунке 6 видим точки пересечения окружности и оси . Абсциссы этих точек соответственно равны и .

Ответ: .

Рисунок 6. Окружность с центром в точке и радиусом .

1. 6. Геометрический способ

В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» Мухаммеда аль Хорезми.

Пример 6. Решить уравнение .

,

.

В оригинале эта задача формулируется так: «Квадрат и десять корней равны ». Рассмотрим квадрат со стороной , на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна , следовательно, площадь каждого равна . Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата , достраивая в углах четыре равных квадрата , сторона каждого их них , а площадь (рис. 7).

Рисунок 7. Квадрат

Площадь квадрата можно представить как сумму площадей первоначального квадрата, четырех прямоугольников и четырех пристроенных квадратов:

Зная, что , получаю . Значит, сторона квадрата .

.

Ответ: .

1. 7. Способ «переброски»

Рассмотрим метод, который позволяет решать подавляющее большинство полных квадратных уравнений устно, аналогично решению приведенных квадратных уравнений с помощью теоремы Виета.

Рассмотрим полное квадратное уравнение

Для его решения мы вначале используем формулу дискриминанта: и если , то с помощью формул найдем корни .

Теперь рассмотрим другое полное приведенное квадратное уравнение: (2).

Старший коэффициент у этого уравнения равен , а второй коэффициент равен и совпадает со вторым коэффициентом уравнения (1). Свободный член уравнения (2)равен и получен как произведение первого коэффициента и свободного члена уравнения (1) (то есть произошла «переброска» к ).

Дискриминант уравнения (2) полностью совпадает с дискриминантом уравнения (1).

Корни уравнения (2) . Т. е. корни уравнения (1) можно получить из корней уравнения (2) делением на .

Рассмотрю пример, в котором очень удобно пользоваться методом «переброски».

Пример 7. Решить уравнение .

,

,

При возвращении к переменной , результаты и нужно разделить на : , .

Ответ. .

Заключение

В ходе работы над исследовательским проектом мне пришлось решить множество различных видов уравнений. В процессе выполнения работы я изучила разнообразные уравнения, овладела способами их решения, смогла развить свои навыки решения математических задач.

Мне довелось подробно изучить историю развития уравнений; рассмотреть их различные классификации; проанализировать стандартные и нестандартные методы решения, в том числе те, что используются в контрольно-измерительных материалах ОГЭ; научиться решать уравнения разными способами; разработать дидактический материал и апробировать его на уроках и факультативах по математике, а также создать памятку по методам решения уравнений.

Благодаря данному проекту у меня получилось отработать свои уже имевшиеся навыки решения и узнать о множестве новых методов, о которых я даже не догадывалась. Я приобрела много новых теоретических знаний и воспользовалась ими на практике, разобралась в тех моментах, что ранее были мне непонятны и могли вызывать трудности. Кроме того, разработанные пямятки и дидактический материал теперь могут помочь и моим ровесникам.

Список литературы

1. Алгебра. 9 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. / [А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.]. – 25-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2021. – 232 с.: ил.

2. История математики в школе: IV–VI кл. Пособие для учителей. / Глейзер Г.И. – М.: Просвещение, 1981 – 239 c., ил.

3. Математика. Алгебра : 7-й класс : базовый уровень : Учебник / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова ; под ред. С. А. Тляковского. – 17-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 2023. – 255, с.: ил.

4. Математика. Алгебра : 8-й класс : базовый уровень : Учебник / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова ; под ред. С. А. Тляковского. – 15-е изд., стер. – М.: Просвещение, 2024. – 319, с.: ил.

5. Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Э-68 А. П. Савин. – М.: Педагогика, 1989. – 352 с.

6. Научно-технический энциклопедический словарь / [Электронный ресурс] // https://rus-scientific-technical.slovaronline.com/ : [сайт]. – URL: (дата обращения: 25.08.2024).

7. Ремизова Н.Г. Уравнения. Способы решения. Обобщение материала при подготовке к ОГЭ: методические рекомендации / Ремизова Н.Г. [Электронный ресурс] // https://adekkk.mil.ru/ : [сайт]. – URL: https://adekkk.mil.ru/upload/site15/document_file/aY6PwKZkNt.pdf (дата обращения: 28.08.2024).

8. Решение квадратных уравнений методом переброски / [Электронный ресурс] // https://blog.tutoronline.ru/ : [сайт]. – URL: https://blog.tutoronline.ru/reshenie-kvadratnyh-uravnenij-metodom-perebroski (дата обращения: 11.09.2024).