XXIII Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Применение формул сокращенного умножения
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Актуальность проекта
Формулы всюду – в космосе, в небе,
К Северу, в Африку с ними плыви.
Даже в кино есть такое названье,
Как в алгебре, помните,
«Формула любви»
В физике, в химии формулы,
Нам их не сосчитать.
Алгебра нам поможет
Формулы изучать!
Надо уметь составить,
Надо уметь доказать!
Надо ее использовать,
Ну а короче, - знать!
И. Кушнир, Л. Финкельштейн [8]
Моя старшая сестра закончила 9 класс и не так давно сдавала ОГЭ по математике. Часто я слышала, что при подготовке к экзамену она говорила про какие-то формулы сокращенного умножения, что их так тяжело запомнить, кто их вообще придумал, зачем они нужны…
Получив учебники на 7 класс летом, я пролистала учебник алгебры и наткнулась на эту тему, сразу скажу, меня несколько охватила паника, затем я задумалась, а что это за страшные формулы, для чего они вообще нужны и можно ли обойтись без них. И так как данная тема представлена ближе к концу учебника, я решила изучить ее самостоятельно.
В ходе работы мной были рассмотрены материалы школьного учебника алгебры, задания школьной и внешкольной программы, а также исторические сведения по теме. Часть моей работы посвящена алгебраическому доказательству представленных в учебнике формул сокращенного умножения, а также в работе приведено решение множества заданий с применением этих формул на практике, в том числе: из учебника, каталогов заданий для подготовки к ВПР 7 класс профильного уровня, каталогов заданий для подготовки к ОГЭ, а также составленные мной задания.
Эта тема значимая в курсе математики и применяется на протяжении всего периода обучения: при умножении многочленов, упрощении алгебраических выражений, сокращении дробей, разложении на множители, решении уравнений и других.
Цель: доказать, что формулы сокращенного умножения помогают сделать вычисления и преобразования более простыми и сокращают вероятность ошибки по невнимательности.
Задачи: - собрать сведения из истории математики о формулах сокращенного умножения; -рассмотреть формулы сокращенного умножения учебника алгебры и представить алгебраический вывод формул сокращенного умножения; -привести примеры использования формул сокращенного умножения при решении заданий различного уровня сложности.
Выбор и обоснование проекта: я предполагаю, что знания, полученные мною в процессе работы, позволят мне упростить решение некоторых задач и избежать ошибок в вычислениях, а также помогут мне в дальнейшем изучении математики и подготовке к сдаче ОГЭ и решила в ходе работы над проектом проверить эту гипотезу
Методы исследования: анализ литературы, исследовательский метод, эксперимент.
1. Как появились формулы сокращенного умножения
Некоторые правила сокращенного умножения были известны еще около 4 тысяч лет назад. Вавилоняне, греки и другие древние народы уже владели этими знаниями. В Древней Греции жили выдающиеся ученые — математики, философы, астрономы и физики, посвятившие свою жизнь науке. Начиная с VI века до н.э., древнегреческие математики формулировали общие утверждения о преобразовании многочленов и применении формул, установленных Пифагором, который жил в VI веке до н.э.
В то время было принято выражать все алгебраические утверждения в геометрической форме. Особенно активно алгебраические тождества использовал Евклид в III веке до н.э. В своих «Началах», состоящих из 13 книг, он посвятил вторую книгу алгебраическим тождествам (всего их было 10). У древних греков величины обозначались не числами или буквами, а отрезками прямых. Они говорили не «a²», а «квадрат на отрезке a», не «ab», а «прямоугольник, заключенный между отрезками a и b». Однако, наряду с этим, они использовали и числа, арифметические выражения, стараясь перевести все на геометрический язык[2].
В настоящее время при разложении многочленов на множители и других преобразованиях часто применяются скобки. Круглые скобки появились в XV веке в трудах Штифеля, Тартальи и других ученых. В конце того же века фигурные скобки начали использоваться в книгах Виета. Однако на протяжении почти всего XVII века вместо скобок использовалась горизонтальная черта, проводимая над выражением.
На общепринятом языке математические формулы обосновал Исаак Ньютон.
Формулы сокращенного умножения позволяют проводить умножение быстрее при более компактной записи решения. Эти тождества служат для разложения многочленов на множители, упрощения выражений и приведения многочленов к стандартному виду.
2. Формулы сокращенного умножения школьного курса математики 7 класса
Прежде всего я изучила материал учебника.
В учебнике алгебры представлены 7 формул сокращенного умножения, а также словесное прочтение этих формул[1]:
Формула квадрата суммы
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.
Формула квадрата разности
Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражения плюс квадрат второго выражения.
Формула куба суммы
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведения первого выражения и квадрата второго плюс куб второго выражения.
Формула куба разности
Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения и второго плюс утроенное произведения первого выражения и квадрата второго минус куб второго выражения.
Формула разности квадратов
Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений и их суммы.
Формула суммы кубов
Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений и неполного квадрата их разности.
Формула разности кубов
Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений и неполного квадрата их суммы.
Формулы безусловно сложны для запоминания.
Для лучшего понимания и запоминания, я решила рассмотреть алгебраический вывод данных формул. Все формулы доказываются раскрытием скобок через умножение многочленов и приведением подобных слагаемых. Эти доказательства я провела самостоятельно.
Доказательство формулы суммы кубов и формулы разности кубов я провела справа-налево:
Таким образом, формулы сокращенного умножения не обязательно заучивать, их можно вывести в любой момент, хотя их знание наизусть безусловно сократит время.
Далее в работе я буду рассматривать примеры, которые я прорешала самостоятельно и в которых применяются формулы сокращенного умножения.
Также в некоторых из них я применяла переместительное, сочетательное, распределительное свойство сложения и умножения чисел, тождественное преобразование изучаемые в курсе математики 7 класса.
3.Примеры использования ФСУ
Так каким же образом формулы сокращенного умножения позволяют облегчить вычисления? Приведу некоторые примеры.
Задание 904(г) учебника [1]
Найти значение выражения
г)
Решение: Применю формулу разности квадратов:
Ответ: 0,566
Без использования формулы сокращенного умножения мои вычисления были бы следующими:
При этом мне пришлось бы выполнять громоздкие вычисления, умножение в столбик, и вероятнее всего я допустила бы ошибку в вычислениях.
Также с помощью формул сокращенного умножения становится намного легче решать жизненные задачи, например:
Перед нами стоит задача посчитать количество квадратных метров линолеума для того, чтобы застелить пол в квадратной комнате размером 23 на 23 метра.
Решение: Для того, чтобы избежать умножения в столбик, я могу использовать формулу сокращенного умножения, для этого я представлю 23 как сумму числе 20 и 3:
Ответ: 529
Таким образом, в строительном магазине я уже точно смогу проверить, правильный ли расчет материала мне предлагают. Без использования формулы сокращенного умножения мне пришлось бы выполнять умножение в столбик в уме и вряд ли это привело к верному результату.
Данное упражнение навело меня на мысль провести эксперимент с вычислением квадрата четырехзначного числа и я придумала следующее задание:
Вычислить 10012
Решение: Умножение четырехзначного числа в столбик также является трудоемким процессом, поэтому попробую применить формулу сокращенного умножения.
Представлю 1001 как сумму 1000 и 1
Таким образом, моя задача сводится к возведению в квадрат суммы двух чисел:
Далее использую формулу квадрата суммы:
Ответ: 1002001
Без использования формулы сокращенного умножения я проверяла бы результат умножением в столбик:
Я получила такой же результат, однако на решение данного примера с использованием формулы сокращенного умножения у меня ушло гораздо меньше времени, чем умножение в столбик, а также вероятность ошибки существенно сократилась.
И здесь я задумалась, а что если число будет представлено в виде смешанного и решила продолжить свое исследование по применению формулы сокращенного умножения на смешанных числах и придумала следующее задание:
Требуется вычислить
Решение: Представлю смешанное число в виде разности , моя задача свелась к нахождению квадрата разности
Использую формулу квадрата разности в своем примере
Ответ:
Без применения формулы сокращенного умножения мои вычисления выглядели бы так
Значит формула сокращенного умножения позволяет облегчить работу со смешанными числами.
Далее я решила применить свои знания в подготовке в ВПР по математике для 7 класса и решила несколько заданий профильного уровня
Задание [3]
Найдите значение выражения
Решение: Найду значение выражения, применив формулу разности квадратов в числителе и формулу квадрата суммы в знаменателе, при этом в числителе я буду расписывать формулу, а в знаменателе собирать :
Ответ: 2,6.
Без использования формул сокращенного умножения мне пришлось бы выполнять умножение, возведение в квадрат и сложение десятичных дробей и я потратила бы намного больше времени на вычисления.
Дальше я попробовала уже сейчас решить задание прототипа 8 из ОГЭ из каталога заданий и я с успехом справилась.
Задание [6]
Найдите значение выражения
Решение: Применю формулу разности квадратов:
Ответ: 2.
Без использования формулы сокращенного умножения мои вычисления были бы только примерными.
Далее я представлю несколько примеров использования формулы сокращённого умножения для преобразования выражений.
Задание 918 (а) учебника [1]
Представьте многочлен в виде квадрата двучлена или выражения, противоположного квадрату двучлена
а)
Решение: Перепишу изначальное выражение в виде:
При том, вижу, что это удвоенное произведение первого множителя на второй, таким образом, я могу применить к выражению формулу квадрата разности
Итак,
Ответ:
Задание 924 (в) учебника [1]
Разложите на множители
в)
Решение: Представлю данное выражение в виде суммы кубов двух выражений:
Применю формулу суммы кубов, получаю
Итак,
Ответ:
Также представлю решение заданий из каталога заданий для подготовки к ВПР 7 класса профильного уровня прототипа 8
Задание [4]
Найдите значение выражения , при x = 45.
Решение: Упрощу выражение, применив формулу квадрата разности:
Подставляю значение x = 45:
Ответ: 1,5.
Без использования формулы сокращенного умножения я не бы смогла упростить выражение и мне бы пришлось подставлять значение х в изначальное условие, что привело бы к громоздким вычислениям.
Также я решила проверить свои силы при решении прототипа 8 из каталога заданий по подготовке к ОГЭ
Задание [5]
Упростите выражение найдите его значение при с=0, 5. В ответ запишите полученное число.
Решение: Упрощу выражение:
Найду значение полученного выражения при с=0, 5:
Ответ: 0.
Без использования формулы сокращенного умножения мне пришлось бы возводить в квадрат десятичное число.
Задание [7]
Упростите выражение и найдите его значение при .
Решение: Упрощу выражение:
Найду значение выражения при
Ответ: 1,7.
Без использования формулы сокращенного умножения я бы не смогла упростить выражение и мне бы пришлось подставлять значение х в начальное условие, что привело бы к громоздким вычислениям.
А теперь мне хотелось бы немного побыть телепатом, что если предложить друзьям такую задачку, я думаю, что многим станет интересно каким образом я угадываю числа:
Загадайте число от 0 до 10. Умножьте это число на себя. Прибавьте к результату задуманное число. К полученной сумме прибавьте 1. К полученному числу прибавьте задуманное число. Назовите получившийся результат и я назову число, которое Вы загадали.
Пояснение
Пусть х-исходное загаданное число. Перепишем условие задачи в алгебраическом виде: . Мы получили ни что иное, как правую часть формулы сокращенного умножения квадрата суммы, допишем левую часть: , зная результат, мне остается из него извлечь квадратный корень и вычесть 1.
Приведем пример, по итогу условия задачи получили результат 81, т.е. , откуда и . Следовательно, загаданное число равно 8.
Выполним проверку
Без использования формулы сокращенного умножения я могла угадать задуманное число только методом перебора.
Таким образом, гипотеза, которую я проверяла в данной работе подтвердилась и применение формул сокращенного умножения позволяет сократить количество выполняемых операций и упростить некоторые вычисления, а также сократить вероятность ошибки. Также формулы сокращенного умножения могут помочь в решении бытовых вопросов и даже помогут удивить друзей и одноклассников телепатическими способностями.
Также формула разности квадратов может помочь и в геометрии при нахождении катета по известной гипотенузе и второму катету в прямоугольном треугольнике, но об этом я узнаю в 8 классе.
В 8 классе мне также предстоит применять формулы сокращенного умножения для выделения полного квадрата.
Заключение
При изучении материала по этой теме я узнала много нового и интересного. Оказалось, что формулы сокращенного умножения не обязательно заучивать, их можно вывести алгебраически.
В процессе работы я применяла формулы сокращенного умножения в заданиях базового курса алгебры 7 класса, а также в заданиях профильного уровня, также уже сегодня я смогла с помощью этих формул решить некоторые задания ОГЭ. В целом без формул сокращенного умножения обойтись можно, однако вычисления становятся громоздкими и есть большая вероятность ошибиться.
Я рассмотрела множество интересных задач, которые не встречу на уроке математики. Мне очень нравится предмет математика, я считаю, что те знания, которые я приобрела, готовя эту работу, пригодятся мне в дальнейшей учебе и подготовке к выпускным экзаменам. Данная тема актуальна, так как математику нельзя представить без формул сокращенного умножения, потому что они применяются не только в школьном курсе, но и в курсе высшей математики. Данная работа может использоваться другими учащимися и преподавателями математики на своих уроках.
Мне понравилось заниматься исследовательской работой и самой выступать в качестве автора заданий и в следующем году обязательно потренируюсь в применении формул сокращенного умножения в геометрии и при выделении полного квадрата.
Список использованных источников и литературы
-
Математика. Алгебра: 7 класс: базовый уровень: учебник/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. С.А. Теляковского. -15-е изд., перераб. –Москва: Просвещение, 2023.- 225 с.
-
https://infourok.ru/prezentaciya-iz-istorii-vozniknoveniya-formul-sokrashennogo-umnozheniya-6168198.html
-
https://math7p-vpr.sdamgia.ru/test?id=1
-
https://math7p-vpr.sdamgia.ru/test?theme=8
-
https://oge.sdamgia.ru/test?theme=10
-
https://oge.sdamgia.ru/test?theme=54
-
https://oge.sdamgia.ru/test?theme=90
-
https://urok.1sept.ru/articles/666191