Исследование способов получения функций траектории криволинейного движения материальной точки

XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Исследование способов получения функций траектории криволинейного движения материальной точки

Далакова С.Р. 1Канчурина Э.Р. 1
1РГСУ
Власов В.И. 1
1РГСУ
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Диплом школьникаСвидетельство руководителя
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

Криволинейное движение является одним из наиболее фундаментальных типов движения в физике. Оно играет ключевую роль в различных областях, таких как, астрофизика, инженерия, робототехника и биомеханика. Описание траектории движения материальной точки позволяет не только предсказывать её положение в пространстве, но и анализировать влияние внешних факторов, таких как силы, ускорения и сопротивления среды.

Актуальность темы: исследование криволинейного движения актуально как в теоретической, так и в прикладной физике. Понимание принципов построения траектории необходимо для моделирования сложных систем, таких как движение спутников, полёты ракет, перемещение частиц в ускорителях и транспортировка жидкостей в инженерных конструкциях.

Цель работы: исследование существующих методов получения функции траектории криволинейного движения материальной точки на основе кинематических и динамических уравнений.

Задачи исследования:

  1. Провести обзор существующих подходов к описанию криволинейного движения.

  2. Разработать алгоритм получения функции траектории.

  3. Привести примеры решения задач на основе известных методов.

  4. Провести анализ практического применения алгоритмов и методов исследования криволинейного движения.

Основная часть

Криволинейное движение — это движение материальной точки, траектория которой представляет собой кривую. Основные характеристики криволинейного движения:

Траектория: геометрическое место точек на плоскости или в пространстве, через которые проходит материальная точка.

Координаты : зависят от времени и описывают положение точки в пространстве.

Скорость : это отношение приращения пути к приращению времени. Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории.

Ускорение : это отношение приращения скорости к приращению времени. Ускорение состоит из касательной и нормальной составляющих к траектории движения материальной точки.

Криволинейное движение может быть описано несколькими методами: аналитическим, графическим и численным.

Существует два основных способа получения функции траектории:

Параметрическое представление

Координаты точки выражаются как функции времени:

(1)

Этот подход удобен для анализа сложных движений, таких как движение под углом или в неоднородной среде [1].

Пример 1: Движение тела под углом к горизонту.

На рисунке 1 представлен чертеж траектории криволинейного движения.

Рисунок 1 - Чертеж траектории криволинейного движения.

Тело, брошенное с начальной скоростью под углом к горизонту α описывается выражением:

(2)     

Чтобы исключить время из уравнения, нужно найти связь между другими переменными, которые зависят от времени t. В данном случае, если есть уравнение движения проекции, например, по горизонтали:

(3)

то можно решить это уравнение относительно t [2]:

{ cos (a)} (4)

Теперь, если подставить выражение 4 в другие уравнения, связанные с вертикальным движением (например, уравнение для высоты), можно исключить t.

Если под выражением (2) и выражением (3) имеется ввиду какое-то конкретное уравнение, характеризующее сложную траекторию, то их необходимо подставить в выражение 4. Но в общем случае это обычно делается путем подстановки значений и преобразования алгебраических выражений.

Если есть уравнение для высоты в зависимости от времени, например:

(5)

Можно подставить выражение 4 в выражение 5. Таким образом, вертикальная координата станет зависимой от горизонтальной координаты . Это может означать, что зависит от угла и переменной .

(6)

Если подставить в выражение 6 выражение 5, то можно получить выражение:

(7)

Полученная траектория представляет собой параболу.

Если рассмотреть траекторию движения частицы в магнитном поле, то алгоритм исследования остается прежним.

На частицу с зарядом , движущуюся со скоростью перпендикулярно однородному магнитному полю с индукцией , испытывает силу Лоренца [3]:

(8)

Это приводит к круговой траектории движения частицы с радиусом траектории:

(9)

Координаты траектории:

(10)

где — циклическая частота.

Таким образом, обобщив предыдущие исследования, можно представить алгоритм получения функции траектории

  1. Задание начальных условий: координат, скорости и углов направления движения.

  2. Построение параметрических уравнений: .

Параметрические уравнения: Обычно описываются через один или несколько параметров например, (t)например, (x(t)) (y(t)) (z(t))Это позволяет задавать зависимости между переменными.

  1. Исключение времени : преобразование параметрических уравнений в зависимость вида или . При исключении параметра (t) можем получить зависимости между (x), (y) и (z) без явного упоминания времени. Это может быть сделано, например, путём выражения (t) через(x) и подстановки в остальные уравнения.

Координата в контексте преобразования параметрических уравнений в зависимости вида или часто возникает в многомерных системах, где необходимо описать зависимость между несколькими переменными. Если есть три переменные, например, (x), (y) и (z), то (z) может быть использована для описания третьего измерения системы. Например, в пространственных задачах (z) может быть высотой, или другим параметром, зависящим от (x) и (y) [4].

Обзор и анализ открытых источников показывает, что:

В физике, для описания движения объекта в трехмерном пространстве, можно использовать как vertical coordinate (высота), которая может зависеть от горизонтальных координат и .

В математике, при работе с поверхностями, такие зависимости могут также возникать при анализе уравнений поверхностей, где определяется как функция двух переменных :

Поэтому координирование появляется в зависимости от конкретной задачи, в которой необходимо учитывать трехмерность или дополнительные параметры. Если есть конкретный пример или контекст, где встретили этот вопрос, я смогу предоставить более точное объяснение.

Анализ траектории: изучение симметрии, экстремумов и физических особенностей движения.

Дифференциальный метод исследования криволинейного движения основывается на применении законов Ньютона. Векторное уравнение движения из второго закона Ньютона:

(8)

Решение дифференциальных уравнений позволяет получить зависимость координат точки от времени.

Для нахождения экстремумов функции, связанной с системой, чаще всего используются производные. Экстремумы находят через решение уравнения, при котором производная равна нулю.

Симметрия экстремумов и физические особенности движения изучаются в контексте различных дисциплин, таких как физика, математика и механика.

Симметрия является основополагающим понятием в физике. Законы сохранения, такие как закон сохранения энергии или импульса, возникают из симметрии. Например, симметрия времени приводит к сохранению энергии [5].

В механике исследуются симметриидвижений, например, симметрия кругового движения или колебания. Изучаются характерные точки (экстремумы) движения, такие как максимумы и минимумы кинетической и потенциальной энергии.

Если рассматривать движение частиц в пространстве, то симметрии помогают предсказать поведение системы в различных состояниях.

Для получения научного результата используются различные методы:

Для изучения симметрии и экстремумов часто используют экспериментальные методы, которые могут подтвердить теоретические вывода. Это включает в себя измерения движений в различных условиях.

Численные методы включают в себя моделирование, с помощью которого можно исследовать сложные системы, где симметрия может быть нарушена, позволяя анализировать физические свойства и поведение движений в различных условиях.

Методы построения траекторий широко применяются:

В инженерии: для расчета траекторий ракет и автомобилей.

В астрофизике: для предсказания орбит планет.

В биомеханике: для анализа движения конечностей.

Заключение

В рамках данной работы были изучены основные подходы к описанию криволинейного движения материальной точки. Разработан алгоритм получения функции траектории, включающий использование параметрических уравнений и дифференциального метода. Проведённый анализ подтвердил универсальность предложенного подхода для различных типов движений. Работа имеет как теоретическое, так и прикладное значение, поскольку позволяет решать задачи в области механики, инженерии и космических исследований.

Список использованных источников и литературы :

  1. https://dl.libcats.org/genesis/150000/337d67e27784598c68baf40c01d1597d/_as/[D.V.Sivuhin]_Obshy_kurs_fiziki._T.1._Mehanika(libcats.org).pdf

  2. https://chembaby.ru/wp-content/uploads/2017/10/Л.Д.-Ландау-Е.М.-Лифшиц-Теоретическая-физики-в-10-томах.-Том-1.-Механика..pdf?ysclid=m6ynlzfm2c37117560

  3. https://dl.booksee.org/genesis/106000/a4cc031fac5611dfad6421aa475c65f0/_as/[Kochin_N.E.,_Kibel_I.A.,_Roze_N.V.]_Teoreticheska(BookSee.org).pdf

  4. https://dl.libcats.org/genesis/859000/001cfa0350f358a4ce68f7fafdb4e610/_as/[Rogachev_N.M.]_Kurs_fiziki(libcats.org).pdf

  5. https://dl.libcats.org/

Просмотров работы: 6