XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Теорема Виета, как быстрый способ решения квадратных уравнений

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Галлямова У.Э. 1

---

1МАОУ "Образовательный центр №5 г. Челябинска"

Грязнова Т.А. 1

---

1МАОУ "Образовательный центр №5 г. Челябинска"

Работа в формате PDF

916.3 KB

Введение

Актуальность:

Тема «Квадратные уравнения» является одной из самых актуальных. Она находит широкое применение в разных разделах математики, и других областях науки. Имеет теоретическую и практическую значимость. Теорема Виета при решении квадратных уравнений - один из способов быстрого решения, для отдельной группы квадратных уравнений которая экономит время. Именно по этой причине я выбрала тему своей работы «Теорема Виета, как быстрый способ решения квадратных уравнений»

Объект исследования: Квадратные уравнения.

Предмет исследования: Теорема Виета.

Цель:

Доказать, что решение уравнений по теореме Виета проще и быстрее.

Задачи:

1. Познакомиться с темой «Квадратные уравнения».

2. Изучить способы решения квадратных уравнений.

3. Научиться решать квадратные уравнения различными способами.

4. Провести опрос и сделать анализ среди старшеклассников какой из способов они выбирают при решении квадратных уравнений.

5. Доказать, что теорема Виета наиболее быстрый способ решения квадратных уравнений.

Методы:

1. Теоретический.

2. Аналитический.

Гипотеза: Любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами, но теорема Виета самый быстрый способ для отдельной группы квадратных уравнений

1. Теоретическая часть

В 8 классе мы будем изучать тему «Квадратные уравнения». От старшей сестры я слышала, что их решают разными способами, но она смогла назвать мне только два: по формуле дискриминанта и по теореме Виета. Мне стало интересно, а их только два способа или есть еще какие-то способы, о которых в школе не говорят? Я обратилась к источникам дополнительной информации и открыла для себя много интересного. Оказалось, что существует достаточно много способов решения. Анализируя полученную информацию, я решила поделиться ею и написать реферативно-исследовательскую работу. Тема первой моей работы стала «Квадратные уравнения и все способы их решения. Для начала я изучила историю появления квадратного уравнения, затем определение квадратного уравнения и способы решения. Оказалось для решения квадратных уравнений существует несколько способов решения, я нашла пока 8, которые в своей работе представила.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное. 
Числа a, b, c называются коэффициентами квадратного уравнения. 
a- называется первым коэффициентом; 
b- называется вторым коэффициентом; 
c- свободным членом 
Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида  , первый коэффициент которого равен единице ( ).

Если в квадратном уравнении коэффициенты   и   не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение  . Если один из коэффициентов   или   равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Например,  .

Значение неизвестного  , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение   является корнем квадратного уравнения  , потому что   или   — это верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

Решить уравнения.

Пример 1. 2x·(x+3)=6x-x².

Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:

2x²+6x=6x-x²; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x²+6x-6x+x²=0; приводим подобные слагаемые:

3x²=0, отсюда  x=0.

Ответ: 0

История Квадратных уравнений.

Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Древнеиндийский математик Баудхаяма (рис. 1) в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax² = c и ax² + bx = c и привел методы их решения.
Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид (рис.2) придумал более общий геометрический метод решения.
Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры) (рис.3). [https://ru.wikipedia ]

Однако эти формулы были известны и до Франсуа Виета (рис.4) . Ими пользовался итальянский математик Джероламо Кардано (рис.5), который родился на 40 лет раньше француза. Более того, подобные формулы были известны ещё древним вавилонянам. 

Франсуа Виет обобщил эти знания, показав, что подобные свойства есть у корней приведённого алгебраического уравнения любой степени.  Он нашёл общие методы решений уравнений второй, третьей и четвёртой степени, унифицировал методы, найденные ранее Ферро и Феррари, а также вывел формулы суммы и произведения корней квадратного уравнения (формулы Виета).

Существует 8 способов решения квадратных уравнений, которые мы сейчас рассмотрим.

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Разложение левой части уравнения на множители.

1. Решим уравнение х² + 10х – 24 = 0.

Разложим левую часть уравнения на множители:

х² + 10х – 24 = х² + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2).

Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0.

Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = - 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х² + 10х – 24 = 0.

Ответ: -12; 2.
Метод выделения полного квадрата.

Выделение полного квадрата - это такое тождественное преобразование, 
при котором заданный трехчлен представляется в виде (a±b)²(суммы или разности квадрата двучлена и некоторого числового или буквенного выражения).

Пример:
Решить уравнение x² + 14x + 45 = 0 
Решение: 
Разложим многочлен на множители методом выделения полного квадрата.
Для применения первой формулы необходимо получить выражение
x²+ 14x + 49 = 0.
Поэтому прибавим и отнимем от многочлена x² + 14x + 45 число 4, чтобы выделить полный квадрат
x² + 14x + 45+4−4 =0

(x² + 14x + 45+4)−4=0

(x² + 14x + 49)−4=0

(x+7)²−4=0
Применим формулу «разность квадратов» a²−b²= (a−b)⋅(a+b)
(x+7)² − 2²=0

( x + 7 – 2 ) ( x + 7 + 2 ) = 0

( x + 5 ) ( x + 9 ) = 0

x + 5 = 0, x + 9 = 0

x₁ = – 5, x₂ = – 9 Ответ: –9;–5.
Решение квадратных уравнений по формуле.

В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант.

Дискриминант

Пусть дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b² − 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Важно знать: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

1. Если D < 0, корней нет;

2. Если D = 0, есть ровно один корень;

3. Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:

Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1. x² − 8x + 12 = 0;

2. 5x² + 3x + 7 = 0;

3. x² − 6x + 9 = 0.

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8)² − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16

Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3² − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.

Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.

Дискриминант равен нулю — корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.

Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:

Основная формула корней квадратного уравнения

Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.

Задача. Решить квадратные уравнения:

1. x² − 2x − 3 = 0;

2. 15 − 2x − x² = 0;

3. x² + 12x + 36 = 0.

Первое уравнение:
x² − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2)² − 4 · 1 · (−3) = 16.

D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:

Решение уравнений с помощью теоремы Виета.

Теорема Виета (точнее, теорема, обратная теореме Виета) позволяет сократить время на решение квадратных уравнений. Только надо уметь ею пользоваться. Как научиться решать квадратные уравнения по теореме Виета? Это несложно, если немного порассуждать.
Сейчас мы будем говорить только о решении по теореме Виета приведенного квадратного уравнения. Приведенное квадратное уравнение — это уравнение, в котором a, то есть коэффициент перед x², равен единице. Не приведенные квадратные уравнения решить по теореме Виета тоже можно, но там уже, как минимум, один из корней — не целое число. Их угадывать сложнее.
Теорема, обратная теореме Виета, гласит: если числа x₁ и x₂ таковы, что
x₁ + x₂ = -p

x₁ * x₂ = q
то x₁ и x₂ — корни квадратного уравнения  x² + px + q = 0
При решении квадратного уравнения по теореме Виета возможны всего 4 варианта. Если запомнить ход рассуждений, находить целые корни можно научиться очень быстро.
I. Если q — положительное число,
это означает, что корни x₁ и x₂ — числа одинакового знака (поскольку только при умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число).
I.a. Если -p — положительное число, (соответственно, p<0), то оба корня x₁ и x₂ — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Если -p — отрицательное число, (соответственно, p>0), то оба корня — отрицательные числа (складывали числа одного знака, получили отрицательное число).
II. Если q — отрицательное число,
это значит, что корни x₁ и x₂ имеют разные знаки (при умножении чисел отрицательное число получается только в случае, когда знаки у множителей разные). В этом случае x₁ и x₂ является уже не суммой, а разностью (ведь при сложении чисел с разными знаками мы вычитаем из большего по модулю меньшее). Поэтому x₁ + x₂ показывает, на сколько одно отличаются корни x₁ и x₂, то есть, на сколько один корень больше другого (по модулю).

II.a. Если -p — положительное число, ( то есть p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Если -p — отрицательное число, (p>0), то больший (по модулю) корень — отрицательное число.
Рассмотрим решение квадратных уравнений по теореме Виета на примерах.
Решить приведенное квадратное уравнение по теореме Виета:

1). x² -7x + 12 = 0
Здесь q=12>0, поэтому корни x₁ и x₂ — числа одного знака. Их сумма равна -p=7>0, поэтому оба корня — положительные числа. Подбираем целые числа, произведение которых равно 12. Это 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сумма равна 7 у пары 3 и 4. Значит, 3 и 4 — корни уравнения.
Ответ: 3; 4.

2). х² + 10x + 16 = 0
В данном примере q=16>0, значит, корни x₁ и x₂ — числа одного знака.

Их сумма -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Ответ: -8; -2.

3)x² - 2x - 15 = 0
Здесь q=-15<0, что означает, что корни x₁ и x₂ — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то большее число положительно. Значит, корни 5 и -3.

Ответ: -3; 5.
4) x² + 5x - 36 = 0
q= -36<0, значит, корни x₁и x₂ имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x₁ и x₂ (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, большее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Ответ: -9; 4.

Решение квадратных уравнений способом переброски.

Рассмотрим квадратное уравнение

ах² + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение

а² х² + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х = у/а ; тогда приходим к уравнению

у² + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у₁ и у₂ найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х₁ =   и х₁ =  . При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

 Примеры :

Решим уравнение 2х² – 11х + 15 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение

у² – 11y +30 = 0.

Согласно теореме Виета

Ответ: 2,5;3.

Свойства коэффициентов квадратного уравнения

Свойство 1
Дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если a + b + c = 0 (сумма коэффициентов), то x₁ = 1, x₂ = c/a
Свойство 2
Дано квадратное уравнение ax² + bx + c = 0. Если a - b + c = 0 (сумма коэффициентов), когда b взято с противоположным знаком или a + c = b, то 
x₁ = -1, x₂ = -c/a

Пример:
341x² + 290x - 51 = 0
Решение:
Здесь, a = 341, b = 290, c = -51.
Проверим удовлетворяют ли коэффициенты условию 
свойства 2
341 - 51 = 290. Получим а + с = b. Следовательно, мы 
можем воспользоваться свойством 2.
x₁ = -1 и х₂ = 51/341
Ответ: -1; 51/341.
Свойство 3
Если в квадратном уравнении ax² + bx + c = 0. Коэффициент b представлен в виде 2k, т.е. является четным числом, то формулу корней уравнения можно переписать в более простом виде
D = (b/2)2 + a*c
Пример:
3x² + 2,2x - 0,16 = 0
Решение:
Коэффициент b = 2,2 
D = 1,12 + 3 * (-0,16) = 1,69
x_1.2= (-1,1 ± 1,3)/3

Геометрический способ решения квадратных уравнений.
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Приведу ставший знаменитым пример из «Алгебры» Аль - Хорезми. 
* Примеры. 
1) Решим уравнение х² + 10х = 39. 
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: «Квадрат и десять корней равны 39» (рис. 15). 

Решение. Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5х. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата ABCD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого их них 2,5, а площадь 6,25. 
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х², четырех прямоугольников (4* 2,5х = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25* 4 = 25), т.е. S = х² + 10х + 25. Заменяя х² + 10х числом 39, получим, что S = 39 + 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата ABCD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим 
2) А вот, например, как древние греки решали уравнение у² + 6у - 16 = 0. 
Решение представлено на рис. 16, где 
у² + 6у = 16, или у² + 6у + 9 = 16 + 9. 
Решение. Выражения у² + 6у + 9 и 16 + 9 геометрически представляют собой один и тот же квадрат, а исходное уравнение у2 + 6у - 16 + 9 - 9 = 0 - одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у₁ = 2, у₂ = - 8 (рис. 16). 

3) Решить геометрически уравнение у² - 6у - 16 = 0. 
Преобразуя уравнение, получаем у² - 6у = 16. 
Находим «изображения» выражения у² - 6у, т.е. из площади квадрата со стороной у два раза вычитается площадь квадрата со стороной, равной 3. Значит, если к выражению у² - 6у прибавить 9, то получим площадь квадрата со стороной у - 3. Заменяя выражение у² - 6у равным ему числом 16, получаем: (у - 3)² = 16 + 9, т.е.

у - 3 = ±
или у - 3 = ± 5, где у₁ = 8 и у₂ = - 2.

Неполные квадратные уравнения.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов. 
1)Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент c=0, то есть уравнение имеет вид ax²+bx=0. Это уравнение типа «произведение равно нулю». Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. 
2)Неполные квадратные уравнения, в которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0). Если знаки a и c — разные, уравнение имеет два корня. 
3)Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0. Уравнение такого рода имеет единственный корень x=0

II. Неполные квадратные уравнения, к которых коэффициент b=0, то есть уравнение имеет вид ax²+c=0 (или ax²-c=0).

Раскладываем левую часть уравнения по формуле разности квадратов:

Это уравнение — типа «произведение равно нулю».приравниваем к нулю каждый множитель:

Ответ: 7; -7.

Ответ: 2,25; -2,25.

III. Неполные уравнения, в которых коэффициенты b=0 и c=0, то есть уравнение имеет вид ax²=0.

Пример 1. 2x·(x+3)=6x-x².

Решение. Раскроем скобки, умножив 2х на каждое слагаемое в скобках:

2x²+6x=6x-x²; переносим слагаемые из правой части в левую:

2x²+6x-6x+x²=0; приводим подобные слагаемые:

3x²=0, отсюда  x=0.

Ответ: 0.

Практическая часть.

Для доказательства гипотезы, которая выдвинута, я решила провести эксперимент. Для этого я решила одно и тоже уравнение двумя способами, через дискриминант и через теорему Виета. Результат можно увидеть в видеоролике

Вывод

Мы убедились, что выдвинутая нами гипотеза подтвердилась с помощью эксперимента, наглядное применение теоремы Виета при решении приведенных квадратных уравнений действительно является наиболее простым и быстрым способом. При изучении научной литературы, мы неоднократно сталкивались и с другими способами решения квадратных уравнений и мы их будем изучать дальше, т.к есть очень интересные способы.

Литература и интернет-ресурсы

1. https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-po-teme-reshenie-kvadratnih-uravneniy-razlichnimi-sposobami-571792.html
2. http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/kvadratnoe-uravnenie.html
3. https://multiurok.ru/files/issledovatelskaia-rabota-10-sposobov-resheniia-kva.html
4. https://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations
5. http://kvadur.info
6. Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы для средней школы. – м., просвещение, 1990

7. Пресман А.А. Решение квадратного уравнения с помощью циркуля и линейки. М., Квант, №4/72. С.34.

Приложение

Рис. 2

Рис. 1

Рис. 3 рис. 4

Рис. 5