XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке
Увлекательный мир вычислений
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Устный счет – занятие, которым в наше время себя утруждает все меньшее количество людей. Гораздо проще достать калькулятор на телефоне и вычислить любой пример.
Но так ли это на самом деле? Я хочу представить математические способы, которые помогут научиться быстро складывать, вычитать, умножать и делить числа в уме, причем оперируя не только единицами и десятками, но и двухзначными и трехзначными числами.Это те способы, которые я перебрала , изучив разную литературу.
После освоения методо идея лезть в телефон за калькулятором уже не покажется такой хорошей. Ведь можно не тратить время и посчитать все в уме гораздо быстрее, а заодно размять мозги и произвести впечатление на окружающих .
Итак, добро пожаловать в увлекательный мир вычислений!
Внимание!
Если вы обычный человек, а не вундеркинд, то для развития навыка счета в уме понадобятся тренировки и практика, концентрация внимания и терпение. Сначала все может получаться медленно, но потом дело пойдет на лад, и вы сможете быстро считать в уме любые числа.
Актуальность данного исследования состоит в том, что в наше время все чаще на помощь ученикам приходят микрокалькуляторы, и многие из них просто не умеет считать устно. Это снижает качество знаний по очень важному предмету, снижает интерес к изучению математики. Допустить этого нельзя! Поэтому мы хотим помочь учащимся нашей школы научиться считать быстро и правильно и показать им, что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным, увлекательным занятием.
Цель проекта:Изучить методы и приемы устного счета и показать необходимость их эффективного использования.
Гипотеза исследования:
При существующих методиках и приёмах устного счёта, далеко не каждый человек осведомлён об их существовании и умеет ими пользоваться. Тем не менее такие методы достаточно просты и могут принести пользу не только для общего развития человека или успехов в обучении, но и в повседневной жизни.
Объект исследования: различные алгоритмы счета
Предмет исследования: процесс вычислений.
Метод исследования: сбор и анализ информации, изучение методов устного счёта, знакомство учащихся с этими приёмами.
Задачи проекта для достижения цели:
-
Изучить историю возникновения вычислений
-
Рассмотреть правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас,
-
Освоить правила быстрого счета и научить пользоваться ими учащихся нашей школы.
-
Создать памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.
ГЛАВА I.
Из истории устного счёта
Одним из математиков с феноменальной скоростью устного счета был знаменитый Карл Фридрих Гаусс (1777-1855). Да-да, тот самый Гаусс, который великий математик.
По его собственным словам, он научился считать раньше, чем говорить. Когда Гауссу было 3 года, мальчик взглянул на платежную ведомость своего отца и заявил: «Подсчеты неверны». После того как взрослые все перепроверили, выяснилось, что маленький Гаусс был прав.
Однажды в школе, Гауссу в то время было 10 лет, учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса был готов ответ :
1+2+3+…..+97+98+99+100=101·50=5050.
Как он складывал числа от 1 до 100?
Группируем: (1+100)+(2+99)+….=50 пар по 101,
а сумма S=101·50 = 5050.
В дальнейшем этот математик достиг немалых высот, а его труды до сих пор активно используются в теоретических и прикладных науках. До самой смерти большую часть вычислений Гаусс производил в уме.
У древних людей, кроме каменного топора и шкуры вместо одежды, ничего не было, поэтому считать им было нечего. Постепенно они стали приручать скот, возделывать поля; появилась торговля, и тут уж без счета никак не обойтись.
Сначала считали на пальцах. Когда пальцы на одной руке кончались, переходили на другую, а если на двух руках не хватало, переходили на ноги.
Первыми придумали запись чисел древние шумеры. Они пользовались всего двумя цифрами.
Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять.
Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что они писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.
Древний народ майя вместо самих цифр рисовал страшные головы, как у пришельцев и отличить одну голову – цифру от другой было очень сложно.
Индейцы и народы Древней Азии при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета.
У некоторых богатеев скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги», попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелочка на красном шнурке.
Было очень неудобно хранить глиняные таблички, веревки с узелками и рулоны папируса.
И это продолжалось до тех пор, пока древние индийцы не изобрели для каждой цифры свой знак.
От пальцевого счета пошли пятеричная система счисления (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног).
В древние времена не существовало единой для всех стран системы счета. Некоторые системы исчисления брали за основу 12, другие – 60, третьи – 20, 2, 5, 8.
Десятичную систему счисления ввели римляне. Римские цифры до сих пор используют в часах и для оглавления книг, но такая система цифр тоже была слишком сложной для счета.
Предки русского народа – славяне - для обозначения чисел употребляли буквы. Этот способ обозначения цифр называется цифирью
И ещё: не один раз находили деревянные дощечки с фрагментами записей, подтверждающих, что подсчет при помощи таблицы вели уже в древней Японии и Китае.
В европейской культуре изобретение таблицы умножения приписывают Пифагору. «Таблицей Пифагора» система исчисления называется не только на русском, но и на итальянском, французском и других языках.
Таблица умножения была впервые введена в школьную программу в средневековой Англии. Это была таблица чисел не до 9, а до 12, и в таком виде английские школьники учат таблицу и сегодня.
За тысячелетия развития математики было придумано множество способов умножения.
Итальянский математик 15 века Лука Пачоли приводит 8 способов умножения Один из них носит название «решетчатое» умножение. Сначала рисуется прямоугольник, разделённый на квадраты. Затем квадратные клетки делятся по диагонали и получается картинка, похожая на решётчатые ставни-жалюзи. Такие ставни вешались на окна венецианских домов, мешая уличным прохожим видеть, сидящих у окон дам и монахинь.
Умножение чисел методом решетки:
Найдем произведение чисел 216 и 32.
-
Горизонтально запишем числа 216, вертикально 32.
-
Чертим решетку, проводим диагонали.
-
На пересечениях находим произведения чисел.
-
Складываем числа по диагоналям.
-
Получили результат: 6912
Приведем ещё один способ умножения.
Русский крестьянский способ умножения.
умножим 48 на 16,
-
запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;
-
левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);
-
деление заканчивается, когда слева появится единица;
-
вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;
-
далее оставшиеся справа числа складываем – это результат;
ГЛАВА II.
Устный счет в школе
Математика является одной из важнейших наук на земле и именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни. Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остается необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов.
Счет на пальцах
Сегодня еще можно встретить много защитников «пальчиковой гимнастики» и методики устного счета на пальцах. Нас убеждают, что учиться складывать и отнимать, загибая и разгибая пальцы - это очень наглядно и удобно. Диапазон таких вычислений очень ограничен. Как только расчеты выходят за рамки одной операции возникают трудности: надо осваивать следующий прием. Да и загибать пальцы в эпоху айфонов как-то несолидно.
Например, в защиту «пальчиковой» методики приводится приём умножения на 9. Хитрость приёма такова:
•Чтобы умножить любое число в пределах первой десятки на 9, надо развернуть ладони к себе.
•Отсчитывая слева направо, загнуть палец, соответствующий умножаемому числу. К примеру, чтобы умножить 5 на 9, надо загнуть мизинец на левой руке.
•Оставшееся количество пальцев слева будет соответствовать десяткам, справа - единицам. В нашем примере - 4 пальца слева и 5 справа. Ответ: 45.
Да, действительно, решение быстрое и наглядное! Но это - из области фокусов. Правило действует только при умножении на 9. А не проще ли, для умножения 5 на 9 выучить таблицу умножения? Этот фокус забудется, а хорошо выученная таблица умножения останется навсегда.
Некоторые приемы устных вычислений по математике в 5 и 6 классах.
1. Умножение чисел, оканчивающихся нулями.
40•7 = (4•7)•10 8•60 = (8•6)•10
400•7 = (4•7)•100 4•600 = (4•6)•100
1200•50•=(12•5)•1000 120•70 = (12•7)•100
2. Умножение любого числа на двузначное путем разложения множителя на десятки и единицы.
46•12 = 46•10 + 46•2 243•31 = 234•30 + 243•1
3. Перестановка сомножителей.
2•93•5 = 2•5•93 = 10•93 4•17•25 = 17•4•25 = 17•100 125•201•8 = 201•125•8 = 201•1000
Особые приемы умножения.
Чтобы применять особые приемы умножения, необходимо уметь всякое целое число быстро устно умножить и делить на 2 и 3, а также уметь быстро устно складывать и вычитать числа в пределах сотни.
Умножение на 4 может быть сведено к двукратному последовательному умножению данного числа на 2.
48•4 = 48•2•2 157•4 = 157•2•2
Умножение на 5
42•5 = •10 = 21•10 = 210 93•5 = •10 = 465
Умножение на 6
При умножении на 6 можно применять два способа:
1) Последовательное умножение
52 • 6 = 52•2•3 = 104•3 = 312
2) Представление 6 в виде суммы 5 и 1
52 • 6 = 52 • (5+1) = 312
Умножение на 7
52 • 7 = 52 • (5+2) = 260 + 104 = 364
Умножение на 9
52 • 9 = 52 • (10-1) = 520 - 52 = 468
Умножение на 11
52 • 11 = 52 • (10+1) = 520 + 52 = 572
Умножение на 25 Умножение на 50
36 • 25 =36:4• 100 = 9 •100 = 900 52 • 50 =52:2 • 100 = 2600
Можно применить умножение на 99 и 999.
Например: 52 • 99 = 52 • (100-1) = 5200 – 52 и т.д.
«Любопытные свойства натуральных чисел».
Возьмем любое число из 4-х цифр (например, 2365) и расставим их сначала в порядке возрастания (2356), затем убывания (6532). Из большего числа вычтем меньшее: 6532 – 2356 = 4176. С полученным числом проделаем то же самое: 7641 – 1467 = 6174. Интересно то, что к этому числу не более чем за 7 шагов мы приходим вышеуказанным способом от любого, взятого наугад четырехзначного числа.
3) 7641 – 1467 = 6174
Пример: 6598. Пример: 3582.
1.9865 – 5689 = 4176 1) 8532 – 2358 = 6174
2.7641 – 1467 = 6174.
Пример: 3198.
1.9831 – 1389 =8442
2.8442 – 2448 = 5994
3.9954 – 4599 = 5355
4.5553 – 3555 = 1998
5.9981 – 1899 = 8082
6.8820 – 288 = 8532
7.8532 – 2358 = 6174
Оказывается, учащиеся, которые хорошо считают, порой лучше и быстрее справляются с заданиями по математике, чем даже те ученики, которые по природе своей имеют лучшие математические способности.
ГЛАВА III.
Разные способы устного счёта «на всякий случай»
Основная хитрость со сложением больших чисел – разбить их на разрядные части, а потом сложить эти части между собой.
Пусть нам нужно сложить два числа: 356 и 728. Число 356 можно представить как 300+50+6. Аналогично, 728 будет иметь вид 700+20+8. Теперь складываем:
356+728=(300+700)+(50+20)+(8+6)=1000+70+14=1084
Вычитание чисел в уме
Вычитание чисел тоже будет даваться легко. Но в отличие от сложения, где каждое число разбивается на разрядные части, при вычитании «разбить» нужно только то число, которое мы отнимаем.
Например, сколько будет 528-321? Разбиваем число 321 на разрядные части и получаем: 321=300+20+1.
Теперь считаем: 528-300-20-1=228-20-1=208-1=207
Попробуйте визуализировать процессы сложения и вычитания. В школе всех учили считать в столбик, то есть сверху вниз. Один из способов перестроить мышление и ускорить счет – считать не сверху вниз, а слева направо, разбивая числа на разрядные части.
Умножение чисел в уме
Так как все сложные задачи сводятся к более простым, нужно уметь умножать все однозначные числа. Для этого существует отличный инструмент – таблица умножения. Если вы не знаете эту таблицу на зубок, то мы настоятельно рекомендуем первым делом выучить ее и только потом приниматься за практику устного счета. К тому же учить там, по сути, нечего.
Умножение многозначных чисел на однозначные
Сначала потренируйтесь в умножении многозначных чисел на однозначные. Пусть нужно умножить 528 на 6. Разбиваем число 528 на разряды и идем от старшего к младшему. Сначала умножаем, а потом складываем результаты.
528=500+20+8
528*6=500*6+20*6+8*6=3000+120+48=3168
Умножение двузначных чисел
Здесь тоже нет ничего сложного, только нагрузка на краткосрочную память немного больше.
Перемножим 28 и 32. Для этого сведем всю операцию к умножению на однозначные числа. Представим 32 как 30+2
28*32=28*30+28*2=20*30+8*30+20*2+8*2=600+240+40+16=896
Еще один пример. Умножим 79 на 57. Это значит, что на нужно взять число «79» 57раз. Разобьем всю операцию на этапы. Сначала умножим 79 на 50, а потом – 79 на 7.
-
79*50=(70+9)*50=3500+450=3950
-
79*7=(70+9)*7=490+63=553
-
3950+553=4503
Деление чисел в уме
Осталось разобраться с делением. По сути, это операция, обратная умножению. С делением чисел до 100 никаких проблем вообще возникать не должно – ведь есть таблица умножения, которую вы знаете на зубок.
Деление на однозначное число
При делении многозначных чисел на однозначное необходимо выделить максимально большую часть, которую можно разделить с помощью таблицы умножения.
Например, есть число 6144, которое нужно разделить на 8. Вспоминаем таблицу умножения и понимаем, что на 8 будет делиться число 5600. Представим пример в виде:
6144:8=(5600+544):8=700+544:8
Далее из числа 544 также выделяем максимально большое число, которое делится на 8. Имеем:
544:8=(480+64):8=60+64:8
Осталось разделить 64 на 8 и получить результат, сложив все результаты деления
64:8=8
6144:8=700+60+8=768
Деление на двузначное число
При делении на двузначное число нужно пользоваться правилом последней цифры результата при умножении двух чисел.
При умножении двух многозначных чисел последняя цифра результата умножения всегда совпадает с последней цифрой результата умножения последних цифр этих чисел.
Например, умножим 1325 на 656. По правилу, последняя цифра в получившемся числе будет 0, так как 5*6=30. Действительно, 1325*656=869200.
Теперь, вооружившись этой ценной информацией, рассмотрим деление на двузначное число.
Сколько будет 4424:56?
Первоначально будем пользоваться методом «подгона» и найдем пределы, в которых лежит результат. Нам нужно найти число, которое при умножении на 56 даст 4424. Интуитивно попробуем число 80.
56*80=4480
Значит, искомое число меньше 80 и явно больше 70. Определим его последнюю цифру. Ее произведение на 6 должно заканчиваться цифрой 4. Согласно таблице умножения, нам подходят результаты 4 и 9. Логично предположить, что результатом деления может быть либо число 74, либо 79. Проверяем:
79*56=4424
Готово, решение найдено! Если бы не подошло число 79, второй вариант обязательно оказался бы верным.
Обощение разных способов устного счёта.
Я с большим интересом познакомилась с методами Якова Трахтенберга.
Яков Трахтенберг-еврейско-русский математик, который, находясь в заключении в фашистском концлагере во время Второй мировой войны, разработал систему быстрого счета. Занимался он этим, чтобы сохранить рассудок. Система Трахтенберга позволяет умножать большие числа на небольшие.
Рассмотрим умножение чисел на 11 по методу Трахтенберга:
Правило умножения на 11: нужно поочередно прибавлять к цифрам её соседа.
43 х11= (0+4), ( 4+3), ( 3+0) =473
68 х11 = (0+6), (6+8), (8+0) = (6),(14),(8)= (6+1), (4), (8) = 748
325х11=(0+3), (3+2), (2+5), (5+0) = 3575
Правило умножения на 12: нужно удваивать поочередно каждую цифру и прибавлять к ней поочередно ее «соседа».
Пример: 63247 · 12
Необходимо записывать цифры множимого через интервал и каждую цифру результата писать точно под цифрой числа 63247, из которой она образовалась.
-
63247 · 12 дважды 7 будет = 14, переносим
4
-
63247 · 12 дважды 4 и +7+1=16, переносим 1
64
-
63247 · 12 дважды 2 и +4+1 = 9
964
-
Следующие шаги аналогичны.
-
Окончательный ответ:
63247 · 12 = 758964
Я изучила много способов быстрого сложения, вычитания, умножения и деления чисел. Сейчас я остановлюсь на некоторых из них.
Сложение с использованием свойств действий с числами:
Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:
12+63+28=(12+28)+63=40+63=103.
Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:
549+94= (500+100)+(49-6)=600+43=643.
Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
504+497=(500+500)+(4–3)=1000+1=1001.
Поразрядное вычитание:
Если число единиц каждого разряда уменьшаемого больше, то вычитаем поразрядно и результаты складываем.
Пример1:
574-243=(500-200)+(70-40)+(4-3)=300+30+1=331.
Если меньше, то занимаем у высшего разряда.
Пример 2:
647–256=(500-200)+(140-50)+(7-6)=300+90+1=391.
Применение свойств вычитания:
Если из числа вычесть сумму чисел, можно сначала вычесть из этого числа одно слагаемое, а затем, из полученной разности второе слагаемое:
934 – (123 + 634)= (934 – 634) – 123 = 300 – 123 = 177
Если из суммы чисел вычесть число, можно вычесть его из одного слагаемого и затем к полученной разности прибавить второе слагаемое:
(567 + 148) – 367 = (567 - 367) +148 = 200 +148 = 348
Умножение чисел от 10 до 20:
Чтобы найти произведение чисел от 10 до 20 необходимо:
к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.
Пример 1. 16∙18 = (16+8) ∙ 10 + 6 ∙ 8 = 288,
Пример 2. 17 ∙ 19 = (17+9) ∙ 10 + 7 ∙ 9 = 323.
Пример:
94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.
Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125:
Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:
32 · 125 = 32 : 8 · 1000 = 4000.
Чтобы умножить число на 12,5, нужно умножить его на 100 и разделить на 8:
24 · 12,5 = 24 : 8 · 100 = 300.
Чтобы умножить число на 1,25, нужно умножить его на 10 и разделить на 8:
64 · 1,25 = 64 : 8 ·10 = 80.
Чтобы умножить число на 0,125, нужно разделить его на 8.
16,8 · 0,125=16,8 : 8 = 2,1.
Умножение на 1,5; 2,5; 3,5… :
Чтобы умножить число на 1,5, надо к данному числу прибавить его половину:
16·1,5 = 16+8= 10+14=24
Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на два и прибавить половину числа:
16·2,5 = 16·2 + 8 = 32+8= 40
Чтобы умножить число на 3,5, надо умножить его на 3 и прибавить половину числа:
16·3,5 = 16·3+8=48+8 = 40+16=56
Деление на 5, на 50, на 25:
При делении на 5, на 50, на 25 воспользуемся следующими выражениями:
a : 5 = a ∙ 2 : 10
a : 50 = a ∙ 2 : 100
a : 25 = a ∙ 4 : 100
135 : 5 = 135 ∙ 2 : 10 = 270 : 10 = 27
3750 : 50 = 3750 ∙ 2 : 100 = 7500 : 100 =75
6400:25 = 6400 ∙ 4 : 100 = 25600 : 100 = 256
Деление на 0,5; 0,25; 0,125:
Чтобы разделить число на 0,5, нужно это число умножить на 2:
32 : 0,5 = 32 · 2 = 60 + 4 = 64
Чтобы разделить число на 0,25, нужно это число умножить на 4:
32 : 0,25 = 32 · 4 = 120 + 8 = 128
Чтобы разделить число на 0,125, нужно это число умножить на 8:
32 : 0,125 = 32 · 8 = 240 + 16 = 256
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося на 5:
Чтобы возвести в квадрат двузначное число, оканчивающееся на 5, нужно цифру десятков умножить на цифру, большую на единицу, и к полученному произведению приписать справа число 25
Примеры:
-
35² = 3·(3+1) и приписать 25, получим 35²= 1225
-
75² = 7·8 и приписать 25 , 75² = 5625
-
85² = 8·9, приписать 25 = 7225
Возведение в квадрат числа, начинающегося на 5:
Для возведения в квадрат двузначного числа, начинающегося на пять, нужно прибавить к 25 вторую цифру числа и приписать справа квадрат второй цифры, причем если квадрат второй цифры – однозначное число, то перед ним надо приписать цифру 0.
Примеры:
56² = (25+6), приписать 6² =36, 56² = 3136
58² = (25+8), приписать 8² = 64, 58² = 3364
53²= (25+3), приписать 3² = 09, 53² = 2809
Заключение
Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Я рассмотрела лишь немногие способы быстрого счета.
Все рассмотренные мною методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления
Устный счет – гимнастика ума!
Вычислительная техника с каждым днем становится все более совершенной, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а я узнала некоторые приемы устного счета, которые помогут мне в жизни.
Мне было интересно работать над проектом.
Полезные советы
В заключение приведем несколько полезных советов, которые помогут быстро научиться устному счету:
1.Выучите таблицу умножения!
2.Не забывайте тренироваться каждый день;
3.Не бросайте тренировки, если результат не приходит так быстро, как хотелось бы;
4.Скачайте мобильное приложение для устного счета: так вам не придется самостоятельно придумывать себе примеры;
5.Почитайте книги по методикам быстрого устного счета. Существуют разные техники устного счета, и вы сможете овладеть той, которая лучше всего подходит именно вам.
Результаты работы над проектом:
-
Я изучила историю возникновения вычислений.
-
Рассмотрела правила вычислений, которыми пользовались в древности и которыми пользуются сейчас.
-
Освоила правила быстрого счета и познакомила с ними учащихся нашей школы.
-
Создала памятку о наиболее полезных для школьников приёмах быстрого счёта.
Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырех и пятизначные числа. Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться.
Литература.
-
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
-
Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986г.
-
Перельман Я.И. Живая математика. - Екатеринбург, Тезис, 1994.
-
Перельман Я. И. Быстрый счет. Тридцать простых приемов устного счета.– Ленинград: Дом занимательной науки, 1941.
Интернет-источники
-
http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm
-
http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html