XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся

Старт в науке

Приемы быстрого счета

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Заборских П.А. 1

---

1ПМАОУ "Школа №32", 8 Ф

Заборских Д.В. 1

---

1ПМАОУ "Школа №32"

Работа в формате PDF

133.5 KB

Введение

Счет и вычисления - основа порядка в голове. (Песталоцци)

В современном мире несмотря на повсеместное распространение высоких технологий и массового использования смартфонов и компьютеров умение быстро и правильно считать в уме не теряет своей актуальности. Гибкость ума, скорость реакций, умение принимать решения является предметом гордости многих людей, а способность производить сложные вычисления в уме вызывает откровенное удивление. Такие навыки помогают в учебе, в быту и в профессиональной деятельности. Кроме того, устный счет – настоящая тренировка для ума, приучающая быстро реагировать в различных ситуациях, находить максимально простые и логичные пути решения.

Цель: изучение методов и приёмов быстрого счёта и создание обучающей игры «Устный счет для школьников».

Задачи:

1. Изучить историю возникновения счета.

2. Изучить как можно больше способов быстрого счёта.

3. Понять и научиться применять способы быстрого счёта

4. Создать игру для учащихся 7-8 класса на скорость и качество вычислений с использованием приемов быстрого счета.

Объект исследования – вычислительные навыки и быстрый счёт в процессе обучения математике

Гипотеза исследования - если показать, что применение приемов быстрого счета, облегчает вычисления, то можно добиться того, что повысится вычислительная культура учащихся, и им будет легче решать практические задачи.

Методы исследования:

1) сбор информации;

2) систематизация и обобщение

Глава 1. Теоретические основы

К истории развития счета

Число и счет являются продуктом человеческой культуры, своим появлением они в большой мере обязаны развитию торговли, земледельческим работам. История развития счета началась с умения устанавливать соответствие между количеством предметов (или частей предмета), нуждающихся в пересчете, и количеством пальцев на руке. Десять пальцев на руках явились самым первым и естественным орудием и средством счета. Позже в качестве орудия счета стали использоваться зарубки на дереве, камешки и т.д. Поэтому в латинском языке счет обозначался словом «calculus», что значит «счет камешками». Это слово дошло до наших дней, оно используется и в современном русском языке, например калькулятор. В этот период развития счета речь, слово еще не выступали в своей специфической роли. Слово служило обозначением соотношения между группами предметов: объектов счета и орудий счета («равно», «меньше», «больше»). Позже появились различительные слова «этот», «тот», «другой», которые можно назвать зародышами «счетных» слов, слов-числительных: «первый», «второй» и др. Уже в этих первых словах выражена двойственная природа и функция числа: они выражали идею количества и идею порядка.

В самом деле, слова «этот» и «тот», с одной стороны, означают количество — два, а с другой — порядок, т.е. сначала «этот», потом — «тот». С течением времени были найдены специальные названия (словесные) для каждого числа натурального ряда, т.е. в этот период развития счета в его структуру уже включилась речь, которая и стала организатором этого процесса.

Понятие числа развивалось только благодаря и совместно с развитием системы счисления и конкретных действий с числами. Отражению числовых характеристик окружающего предметного мира способствует не словесное, не письменное обозначение чисел, а именно разрядное строение системы счисления.

В нашей современной системе счисления и нумерации используются все достижения предыдущих систем для обозначения числа. Десятично-разрядный принцип координируется наиболее рациональным образом с позиционным принципом благодаря использованию только девяти цифр, которые представляют собой эволюционирование первых девяти египетских (иероглифических) знаков, и использованию нуля для обозначения пустых разрядов, что облегчает не только чтение чисел, но и арифметические операции с ними.

Однако понятие числа у взрослого человека настолько прочно, а действия с ним сокращены по составу операций и автоматизированы, что трудно усмотреть связь числа с реальной действительностью и его сложную структуру.

Современная система счисления прошла огромный путь развития, прежде чем в ней установились соответствие и взаимообусловленность между количеством и порядком, между реальным количеством и знаком, обозначающим его, между записью числа в присущих ему обозначениях и его обозначением в речи.

Совершенствование систем счисления шло в основном в направлении развития понятия о числе и правил операций с ним. Отмирали многие системы счисления, оставались те из них, в которых был возможен синтез двух главных качеств числа — порядка и количества. Так, ионическая система, применившая позиционный принцип записи и чтения числа, была в свое время наиболее совершенной системой, в ней впервые наметилось сочетание разрядного и позиционного принципа построения числа.

Влияние цивилизации на представления о счете

По мере развития речи люди начали использовать слова для обозначения чисел. Отпала необходимость показывать кому-то пальцы, камешки или реальные предметы, чтобы назвать их количество. Для изображения чисел стали применяться рисунки, чертежи или символы. Существовали и системы с отдельными символами для каждой цифры до 9 включительно, как в арабской системе счисления, которую мы сейчас используем, а у греков имелся специальный символ и для 10.

При помощи пальцев рук люди научились не только считать большие числа, но и выполнять действия сложения и вычитания.

Древние торговцы для удобства счёта начали накладывать зерна и раковины на специальную дощечку, которая со временем стала называться абаком.

Особенно сложны и трудны были в старину действия умножения и деления, особенно последнее. «Умноженье – мое мученье, а с деленьем – беда» – говорили в старину. Тогда не существовало еще, как теперь, одного выработанного практикой приёма для каждого действия. Напротив, в ходу была одновременно чуть ли не дюжина различных способов умножения и деления – приёмы один другого запутаннее, твёрдо запомнить которые не в силах был человек средних способностей. Каждый учитель счётного дела держался своего излюбленного приёма, каждый «магистр деления» (были такие специалисты) восхвалял собственный способ выполнения этого действия.

Появление первой литературы о различных способах счета

В книге В. Беллюстина «Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики» (1914) изложено 27 способов умножения, причем автор замечает: «весьма возможно, что есть и еще (способы), скрытые в тайниках книгохранилищ, разбросанные в многочисленных, главным образом рукописных сборниках». Наш современный способ умножения описан там под названием «шахматного».

Был так же и очень интересный, точный, лёгкий, но громоздкий способ «галерой» или «лодкой», названный так в силу того, что при делении чисел этим способом получается фигура, похожая на лодку или галеру. У нас такой способ употреблялся до середины XVIII века. («Арифметика» – старинный русский учебник математики, которую Ломоносов назвал «вратами своей учености») пользуется исключительно способом «галеры», не употребляя, впрочем, этого названия.

Упоминаются такие способы, как «загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие. Многие такие приемы для умножения чисел долгие и требуют обязательной проверки.

Интересно, что и наш способ умножения не является совершенным, можно придумать еще более быстрые и еще более надежные.

Глава 2. Исследование способов быстрого счёта

Приемы быстрого счета с помощью простых арифметических действий

Умножение на 4

Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:

Пример:

Умножение на 9

Это просто. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например, 9×7 – загните седьмой палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9×7 – это 6), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае – 3). Ответ – .

Умножение на 11

Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:

Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 3 + 4 = 7

Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 374

Шаг 1 — 6 + 5 = 11

Шаг 2 — Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9: 6 + 1 = 7 (справа остается второй символ, в данном случае это 1)

Шаг 3 — На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 7. Далее у нас осталась 1, которую ставим в центр, и дописываем 5. Ответ: 715

Сложное умножение

Если вам нужно умножать большие числа, причем одно из них — четное, вы можете просто перегруппировать их, чтобы получить ответ:

64×125 все равно, что:

32×250 все равно, что:

16×500 все равно, что:

8×1000 = 8 000

Быстрое возведение в квадрат

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

Пример:

Шаг 1 — Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72

Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату 25: 7225

Пример:

Шаг 1 — 4 х (4 + 1) = 20. Шаг 2 — 2025

Деление на 5

На самом деле делить большие числа на 5 очень просто. Все, что нужно, — просто умножить на 2 и перенести запятую:

Пример:

Шаг1: 195×2 = 390

Шаг2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.

Пример:

Шаг1: 2978×2 = 5956

Шаг2: 595,6

Умножение на 5; 50; 0,5

Чтобы умножить число на 5, надо умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 2.

Чтобы умножить число на 50, надо умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2.

Чтобы умножить число на 0,5, надо его разделить на 2:

Умножение на 25; 2,5; 0,25

Чтобы умножить число на 25, надо умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4.

Чтобы умножить число на 2,5, надо умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 4.

Чтобы умножить число на 0,25, надо его разделить на 4.

Умножение на 125; 12,5; 1,25; 0,125

Чтобы умножить число на 125, надо умножить его на 1000 и полученное произведение разделить на 8.

Чтобы умножить число на 12,5, надо умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 8.

Чтобы умножить число на 1,25, надо умножить его на 10 и полученное произведение разделить на 8.

Чтобы умножить число на 0,125, надо его разделить на 8.

Умножение двузначного числа на 101

Для умножения двузначного числа на 101 надо просто записать число два раза.

Применение формул сокращенного умножения для быстрых вычислений

Чтобы упростить умножение многочленов придумали «таблицу умножения для многочленов» – формулы сокращенного умножения (ФСУ)

Все они доказываются непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных слагаемых. Формулы сокращённого умножения, изучаемые в школьном курсе математики необходимо знать наизусть:

1. Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Эту формулу можно применять для быстрых вычислений

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

2. Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Применение для быстрых вычислений

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

3. Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

4. Разность квадратов

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму.

Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Обучающая игра «Устный счет для школьников»

Пояснительная записка

Данная дидактическая настольно-печатная игра предназначена для совершенствования навыков быстрого устного счета с учетом рассмотренных приемов при работе парами, в группе.

Игру можно применять во время уроков и во внеурочное время.

Игра состоит из 6 игровых карточек (количество можно увеличить) с таблицей ответов, карточек с примерами.

Учебный предмет: математика.

Аудитория: учащиеся 6-7 класса.

Этап урока: закрепление пройденного материала.

Форма работы: фронтальная, индивидуальная, работа в парах, работа в группах.

Время: 5 – 10 минут на уроке. Игры на переменах в школе.

Цель: Закрепление навыков быстрого счета в уме.

Задачи:

• формировать прочные навыки быстрого счета в уме;

• способствовать развитию зрительного восприятия, внимания, основных мыслительных операций, наглядно-образного мышления; памяти;

• воспитывать положительную мотивацию к учебной деятельности.

Планируемые результаты:

Личностные: проявлять интерес к математике; устанавливать взаимодействие с одноклассниками, учителем; работать индивидуально, в паре, группе; осуществлять самоконтроль.

Метапредметные: понимать и выполнять учебную задачу; выполнять мыслительные операции анализа, синтеза.

Предметные: актуализировать знания табличного умножения, формул; уметь применять случаи умножения и деления.

Материал: игровые карточки (6 штук) с таблицей чисел, карточки с примерами.

Правила использования игры:

На уроке: учитель раздает по одной карточке с таблицей.

Учитель достаёт по одной карточке с примерами и диктует пример. Учащимся на клетку с ответом нужно положить карточку в соответствии с получившимся числом. Тот, кто первый закроет все окошки в таблице, выигрывает.

На перемене: учащиеся выбирают себе игровые карточки, фишки. Один учащийся берёт карточки с примерами и поочередно диктует примеры.

Заключение

В ходе проведения данной работы было изучено множество способов и приёмов быстрого счёта. Исследование подтвердило эффективность применения этих приемов для быстрого и качественного вычисления. Эти способы можно использовать как для решения сложных математических задач, так и для применения в повседневной жизни. Так же данные приемы можно использовать на ОГЭ и ЕГЭ для более быстрых и правильных вычислений.

Описывая способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я понял, что как в прошлом, так и в будущем, без математики не обойтись, однако старинные способы умножения в отличии от современных громоздкие.

Цели и задачи, поставленные в начале работы, выполнены.

Если регулярно тренироваться в применении этих приемов, то можно сформировать навыки быстрого счета, и в этом поможет игра.

Знание приемов быстрого счета позволяет упрощать вычисления, экономить время, развивает логическое мышление и гибкость ума.

Литература

1. Алгебра.8 класс. В 2ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / [А. Г. Мордкович и др.] ; под ред. А. Г. Мордковича. – 16-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013. – 280 с. :

2. Ткачева М.В. Домашняя математика: кн. для учащихся 7 класса сред.шк. – М.: Просвещение, 1993. – 191 с.

3. Хэндли Билл. Быстрая математика: секреты устного счета/ Б. Хэндли; перевод с англ. Е.А. Самсонов. – Минск: Попурри, 2014. – 304 с.

4. Цветкова Л.С. Нейропсихология счета, письма и чтения: нарушение и восстановление. -- М.: «Юристъ», 1997. – 256 с.