Свойства «родственных» квадратичной функций в астрофизике

XXIV Международный конкурс научно-исследовательских и творческих работ учащихся
Старт в науке

Личный портфель

Свойства «родственных» квадратичной функций в астрофизике

Новиков Ф.М. 1
1МБОУ "Гимназия №44"
Ревуненкова Т.В. 1
1МБОУ "Гимназия №44"
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

ВВЕДЕНИЕ

В наши дни невероятной популярностью пользуются космические исследования. Современная астрофизика активно исследует динамику небесных тел и их взаимодействия в различных гравитационных полях. Квадратичная и «родственные» ей функции играют ключевую роль в описании траекторий движения объектов, включая планеты, астероиды и кометы. Понимание свойств этих функций и их взаимосвязи с физическими характеристиками движения объектов может помочь в более точном прогнозировании их поведения и взаимодействия в астрономических системах. Актуальность исследования заключается в необходимости углубленного анализа математических моделей для понимания сложных динамических процессов в астрофизике. Каждый из этих вариантов подчеркивает, как проект может быть актуален в современных условиях, предлагая как теоретическую, так и практическую ценность. В этом и заключается актуальность моего исследования.

Объектом моего исследования являются «родственные» квадратичной функции и их применение в описании траекторий движения небесных тел в астрофизических системах.

Предметом моего исследования являются свойства "родственных" квадратичной функций и их взаимосвязь с характеристиками движения объектов в контексте гравитационных взаимодействий и механики движения в астрономических системах.

Цель моего проекта заключается в выявлении особенностей и свойств «родственных» квадратичной функций, исследуя их, как с математической, так и с физической точки зрения для применения в астрофизических моделях.

Задачи моего исследования такие:

1. Составить перечень «родственных» функций.

2. Изучить информацию об истории их появления.

3. Проанализировать применение этих функций в физике.

4. Проанализировать, как различные квадратичные функции описывают движение небесных тел в астрофизике.

5. Рассмотреть примеры применения квадратичных функций в моделировании траекторий движения комет, планет и астероидов.

6. Создать модели, изложенных нами структур.

Можно предположить, что "родственные" квадратичной функции способны описывать положение астрономических объектов в пространстве с течением времени. Эти функции способны отражать изменения в таких характеристиках, как скорость, эксцентриситет и других параметрах, что связано с особенностями гравитационного взаимодействия и динамикой движения в астрономических системах. Исследование графиков этих функций может помочь выявить закономерности, которые позволят глубже понять механизмы, влияющие на поведение объектов в космосе, и их взаимодействие с окружающей средой. Это будет являться гипотезой моего проекта.

Методы, которые я использовал в своём исследовании:

- сравнение

- анализ

- синтез

- моделирование

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ФУНКЦИИ

Ключевыми понятиями моего проекта являются функции, и они есть в первых соотношениях, математически выраженных между величинами, в первых правилах действий с числами, в первых формулах, касающихся площади и объема различных фигур.

С 17 века одно из важнейших понятий - понятие функции в связи с проникновением идеи переменных в математику. В «Геометрии» Декарта и в работах Ферма, Ньютона и Лейбница понятие функции было по сути интуитивным и ассоциировалось либо с геометрическими, либо с механическими представлениями. Четкое представление о концепции функции заложил Декарт, систематически рассматривавший в своей «Геометрии» только те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, причем преимущественно алгебраических.

Лейбниц использовал слово «функция» (от латинского «выполнение функции», «выполнение») с 1673 года в значении роли (значение, выполняющее определенную функцию). В нашем понимании выражение «функция x» было использовано в 1718 году одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Иоганном Бернулли: «Функция переменной — это величина, которая каким-то образом образована из этих переменных и констант."

Если следовать историческому пути развития концепции функции, невольно приходишь к мысли, что эволюция далека от завершения и, вероятно, никогда не закончится, так же как никогда не закончится эволюция математики в целом. Новые открытия и исследования в естественных и других науках приведут к новым расширениям понятия функции и других математических понятий.

2.2. ФУНКЦИИ И ИХ РАЗНОВИДНОСТИ

Функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества.

1. Линейная функция:

Линейная функция - это функция, которая задается уравнением вида y = kx + b, где k и b - некоторые числа. Линейная функция имеет постоянный темп роста или убывания, то есть ее график всегда представляет собой прямую линию.

2. Квадратичная функция:

Квадратичная функция - это функция, которая задается уравнением вида y = ax2 + bx + c, где a, b и c - некоторые числа. Квадратичная функция имеет параболическую форму графика.

3. Степенные функции:

Степенные функции - это функции вида y = xn, где n - любое действительное число. Степенные функции могут иметь различные формы графиков в зависимости от значения показателя степени n.

4. Показательные функции:

Показательные функции - это функции вида y = ax, где a > 0 и a ≠ 1. Показательные функции имеют экспоненциальный рост или убывание.

5. Логарифмические функции:

Логарифмические функции - это функции вида , где a > 0 и a ≠ 1. Логарифмические функции являются обратными к показательным функциям.

6. Тригонометрические функции:

Тригонометрические функции — элементарные функции, которые исторически возникли при рассмотрении прямоугольных треугольников и выражали зависимости длин сторон этих треугольников от острых углов при гипотенузе

В процессе исследования мы выделим собственный критерий, по которому мы и будем классифицировать все, рассматриваемые далее функции. Будем называть эту классификацию: “родственные квадратичной функции”.

2.3. АСТРОНОМИЧЕСКАЯ ТЕРМИНОЛОГИЯ

Необходимо также дать определения нескольким астрономическим терминам для осознанного их использования в дальнейшем.

Орбита - траектория движения материальной точки в заданной системе пространственных координат для заданной конфигурации поля сил, которые на точку действуют.

Эксцентриситет - числовая характеристика конического сечения, показывающая степень его отклонения от окружности.

Временные рамки и условия движения:

  • Эллиптические орбиты: объекты на таких орбитах, как планеты, имеют периодические движения с постоянными временными рамками (например, год для Земли). Эти орбиты зависят от начальных условий, таких как скорость и эксцентриситет.

  • Параболические и гиперболические орбиты: такие орбиты возникают в условиях, когда объект достигает скорости, достаточной для покидания гравитационного поля. Временные рамки здесь зависят от скорости и углового момента объекта.

Изменения в параметрах:

  • Скорость: изменение скорости объекта влияет на его орбиту. Например, увеличение скорости может перевести объект с эллиптической на гиперболическую орбиту.

  • Эксцентриситет: определяет форму орбиты и связан с распределением энергии в системе. Изменение эксцентриситета может указывать на изменение гравитационных взаимодействий.

Гравитационные взаимодействия и механика движения

  • Законы Ньютона и теория относительности описывают, как гравитация влияет на движение объектов. Изменение параметров орбиты может быть связано с изменением гравитационного поля или взаимодействиями с другими телами.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

3. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ

3.1. «РОДСТВЕННИКИ» ПАРАБОЛЫ

Ближайшими «родственниками» параболы являются: гипербола ( ), эллипс ( , a b) и окружность ( ). Все они образованы коническими сечениями, также, как и парабола. То есть мы можем, условно, выделить новую группу функций - “функции, образованные коническими сечениями”. Проведя горизонтальное сечение мы можем увидеть, что оно будет кругом — это частный случай эллипса (эллипс же получается при небольшом отклонении сечения от горизонтали). При вертикальном сечении конуса оно будет иметь форму треугольника — гипербола вырождается в две пересекающиеся прямые (её можно получить при небольшом отклонении сечения от вертикали). Если отклонение от вертикали будет больше, чем требуется для образования гиперболы, но меньше чем для образования эллипса, то мы получим параболу (см. Приложение №1).

Существуют также два других «родственника» параболы: брахистохрона (кривая скорейшего спуска), она же дуга циклоиды (траектория фиксированной точки производящей окружности, катящейся без скольжения по прямой) и функция, не имеющая научного названия, но в научно-популярных журналах называемая «функция цепи».

«Функция цепи»

На первый взгляд, свисающая часть цепи (см. Приложение №2), концы которой закреплены сверху, образуют параболическую форму, но это не так. Именно из-за этой схожести в графиках мы и относим её к “родственникам” параболы. Эта форма лишь близка к параболической и задать её можно другой функцией:

Брахистохрона

Брахистохрона — кривая скорейшего спуска (см. Приложение №2). В связи со внешними сходствами графиков этих функций мы и относим её к “родственникам” параболы. Задача о её нахождении была поставлена в 1696 году Иоганном Бернулли. Заключается она в следующем:

Среди плоских кривых, соединяющих две данные точки А и В, лежащих в

одной вертикальной плоскости (В ниже А), найти ту, двигаясь по которой под действием только силы тяжести, со-направленной отрицательной полуоси OY, материальная точка из А достигнет B за кратчайшее время.

Решением задачи о брахистохроне является дуга циклоиды с горизонтальным основанием, точка возврата которой находится в точке А, или иными словами, имеющая вертикальную касательную в точке A. Примечательно, что время спуска не зависит от расположения начальной точки на дуге циклоиды.

На статью Иоганна Бернулли откликнулись Исаак Ньютон, Якоб Бернулли, Г. В. Лейбниц, Г. Ф. Лопиталь, Э. В. Чирнхаус. Все они, как и сам Иоганн Бернулли, решили задачу разными способами. Метод решения, полученного 26 января 1697 года Исааком Ньютоном, лёг в основу важнейшей области естествознания — вариационного исчисления.

Функция, задающая график циклоиды:

3.2. ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ И ЕЁ «РОДСТВЕННИКОВ» В ФИЗИКЕ

Парабола

В механике парабола используется для описания траектории движения тел, брошенных под углом к горизонту. Например, траектория камня, брошенного под углом к горизонту, будет параболой. Это связано с тем, что сила тяжести действует на камень, вызывая его ускорение, которое описывается квадратичной зависимостью.

В оптике парабола используется для описания формы зеркал и линз. Например, сферические зеркала автомобилей и фотоаппаратов имеют форму параболы, чтобы обеспечить равномерное распределение света на изображении.

В электродинамике парабола используется для описания формы электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве. Например, форма антенны радара или спутниковой антенны также имеет форму параболы.

Связь с астрофизикой: Параболические орбиты характерны для объектов, которые движутся под воздействием гравитации и имеют достаточную скорость, чтобы покинуть притяжение тела, но не достигают необходимой скорости для перехода на гиперболическую орбиту. Например, кометы, проходящие близко к планетам, могут иметь параболическую траекторию.

Примечание: Гипербола и “функция цепи” имеют те же физические свойства, что и парабола из-за своего близкого внешнего сходства.

Эллипс

Эллиптические зеркала и линзы используются в оптических системах для фокусировки света. В этом случае, фокусное расстояние и оптическая сила системы зависят от отношения полуосей эллипса.

Орбиты планет и спутников вокруг Солнца или других небесных тел описываются эллипсами. Изучение движения этих объектов основано на законах Кеплера, которые связывают параметры эллипса с массой центрального

тела и энергией движения.

В электростатике и электродинамике эллипсы используются для описания распределения электрических зарядов и магнитных полей. В частности, магнитное поле проводника с током описывается эллипсом, ось которого совпадает с направлением тока.

В механике и динамике эллипсы используются для описания движения тел под действием силы тяжести. В этом случае, эллипс представляет собой траекторию движения тела, брошенного под углом к горизонту.

В теории волн эллипсы используются для описания распространения волн в неоднородных средах. В этом случае, эллипс описывает форму волнового фронта, а его параметры зависят от характеристик среды и источника волн.

Связь с астрофизикой: Орбиты планет в Солнечной системе, согласно законам Кеплера, имеют эллиптическую форму. Это основное уравнение, описывающее движение планет вокруг Солнца, где фокусом является солнце.

Брахистохрона

Теория этой задачи тесно связана с так называемым принципом Ферма, также известным как принцип наименьшего времени. Принцип Ферма гласит, что путь, пройденный лучом между двумя заданными точками, — это путь, который можно пройти за наименьшее время. И это является связующим звеном между лучевой оптикой и волновой оптикой. Впервые этот принцип был использован как средство объяснения закона преломления света.

Связь с астрофизикой: в астрофизике, когда рассматриваются движения тел в гравитационном поле (например, планет или спутников), брахистохронные кривые могут служить оптимальными маршрутами для перемещения. Это может быть применимо в проектировании траекторий космических аппаратов, чтобы минимизировать время полета.

4. ГРАФИК ФУНКЦИИ КУБИЧЕСКОГО МНОГОЧЛЕНА И КАСАТЕЛЬНЫЕ К ОКРУЖНОСТИ

Следует провести анализ свойств графика функции кубического многочлена для того, чтобы сделать вывод о «родственных» признаках графика функции кубического многочлена и квадратичной функции.

Важно будет уточнить: почему мы классифицируем график функции кубического многочлена, как “родственную” квадратичной функцию. Очевидно, что они имеют схожее графическое представление (кубический полином в графическом представлении похож на две параболы). Как мы далее увидим, они также имеют схожие математические и физические свойства.

В описании свойств графика функции кубического многочлена я буду опираться на статью из научно-популярного физико-математического журнала «Квант» «Корни многочленов и касательные к окружностям» под авторством Андрея Рябичева и Константина Щербакова.

График кубического многочлена ( ), являющегося многочленом 3-й степени, имеет некоторые особенности:

- Кубическая форма: график будет иметь S-образную форму;

- Поворотные моменты: может быть, до двух поворотных точек;

- Может иметь до трех действительных корней и пересечений с осью X.

Кроме того, функция кубического многочлена, как и квадратичная функция могут использоваться для моделирования различных физических и математических явлений, таких как свободное падение, движение тела или рост популяций.

Рассмотрим многочлен третьей степени от одной переменной , имеющий три действительных корня (см. Приложение №3). Отметим эти корни на оси абсцисс и проведем через них вертикальные прямые k1, k2, k3. Легко показать, что существует правильный треугольник A1A2A3 с вершинами на соответствующих прямых.

Американским математиком Дэвидом Мейером был замечен факт того, что если построить вписанную окружность ω треугольника A1A2A3, то вертикальные касательные к ω пройдут через точки экстремума , а вертикальная прямая, проходящая через центр ω, пройдет через точку перегиба .

При доказательстве этих фактов можно выделить ещё 3 теоремы.

Теорема 1:

Самая левая и самая правая прямые из набора l1, …, ln-1 касаются окружности ω, вписанной в многоугольник A1 …An.

Теорема 2:

Каждой из окружностей ω, ω1, … касаются две прямые из набора l1, …, ln-1.

Отметим, что теорема 1 является частным случаем теоремы 2. А она, в свою очередь, поскольку имеет степень n-1, равносильна следующей теореме.

Теорема 3:

Будем вращать правильный многоугольник A1 …An вокруг O и в каждый момент строить приведенный многочлен . Тогда все коэффициенты получаемого многочлена, кроме свободного члена, не изменяются.

Конкретный пример, в котором можно применить данную математическую модель, связан с изучением динамики трех тел в астрономии, например, в системе из трех звезд или планет, находящихся в гравитационном взаимодействии. Рассмотрим систему из трех звезд, которые вращаются вокруг общего центра масс.

Пример: Система из трех звезд

1. Объекты: Пусть у нас есть три звезды, обозначенные как S1, S2 и S3. Их позиции в пространстве можно описать с помощью координат (например, в плоскости, если мы рассматриваем их движение в двумерном пространстве).

2. Многочлен третьей степени: Мы можем построить многочлен третьей степени P(x), где корни x1, x2 и x3 будут соответствовать моментам времени, когда каждая из звезд достигает определенного положения на своей орбите. Эти корни могут быть получены в результате анализа динамики системы, например, с использованием уравнений движения.

3. Касательные и окружность: Построив правильный треугольник A1A2A3 с вершинами на вертикальных прямых, проведенных через корни x1, x2 и x3 (положения звезд в определенные моменты времени), мы можем провести вписанную окружность ɷ этого треугольника.

- Вертикальные касательные к окружности ɷ будут пересекать ось абсцисс в точках, соответствующих экстремумам функции P(x). Эти экстремумы могут указывать на моменты, когда звезды находятся в особых конфигурациях, например, в точках максимального сближения или разобщения.

4. Центр окружности и точка перегиба: Центр окружности ɷ будет находиться на средней линии, соединяющей звезды, и вертикальная прямая, проходящая через него, будет пересекать точку перегиба функции P(x). Эта точка перегиба может указывать на изменение характера движения звезд, например, переход от устойчивого к неустойчивому состоянию.

Применение

- Анализ устойчивости: Исследуя, как положение звезд меняется в зависимости от времени и как это отражается на экстремумах, можно оценить устойчивость системы. Если система имеет устойчивую конфигурацию, то звездные орбиты будут оставаться в пределах определенных значений.

- Визуализация: Построение графиков, показывающих изменения в положении звезд и их взаимодействия, может быть полезным для астрономов, чтобы визуализировать динамику системы и предсказывать будущие положения объектов.

- Прогнозирование: Используя полученные данные, можно предсказывать будущие положения объектов и их взаимодействия

Таким образом, данная модель может быть использована для анализа динамики системы из трех звезд, где многочлен третьей степени описывает их орбитальное движение, а касательные и окружность помогают в понимании устойчивости и динамики системы. Это лишь один из примеров, и подобные модели могут быть адаптированы для более сложных систем с большим количеством объектов.

Варианты усложнения модели:

Чтобы сделать модель более реалистичной, можно рассмотреть следующие аспекты:

- Взаимное влияние

- Неоднородные массы

- Влияние внешних факторов

Кубический многочлен и квадратичная функция имеют много общих математических и физических признаков. У них схожие свойства графиков, касательных и экстремумов. Эти сходства подчеркивают важность многочленов в математическом моделировании и их применение в различных областях науки. Такие математические исследования могут обогатить астрофизические модели, предоставляя новые инструменты для анализа сложных динамических систем и улучшая наше понимание гравитационных взаимодействий в космосе.

5. ОРБИТАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ГРАВИТАЦИОННЫЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ

1. Орбитальная динамика:

  • Кометы и астероиды обычно движутся по эллиптическим орбитам, но могут перейти на гиперболические орбиты под влиянием гравитационных взаимодействий, например, при сближении с крупными телами, такими как планеты.

  • Переход на гиперболическую орбиту означает, что объект получает достаточную скорость, чтобы покинуть гравитационное поле Солнечной системы.

2. Гравитационные взаимодействия:

  • Кометы, проходящие близко к планетам, могут испытывать значительные изменения в своих орбитальных параметрах. Эти изменения могут быть вызваны как гравитационными эффектами (например, эффектом "прыжка" при сближении), так и воздействием других небесных тел.

3. Наблюдения и данные:

  • Наблюдения за кометами, такими как комета Хейла-Боппа, показывают, что при близком прохождении кометы к планетам, ее орбита может изменяться, что подтверждается как наблюдениями, так и моделированием.

  • Спутники, такие как "Галилео" и "Новые горизонты", предоставили данные о том, как гравитационные маневры могут изменять траектории объектов.

4. Теоретические исследования:

  • Исследования в области небесной механики, такие как работы по многотельным системам и методам интеграции орбит, позволили лучше понять, как именно гравитационные взаимодействия влияют на движение малых тел.

  • Также проводятся исследования по анализу данных о кометах и астероидах, чтобы предсказать их будущие траектории и возможные изменения.

5. Примеры объектов:

  • Некоторые известные кометы, такие как комета Галлея и комета Борелли, демонстрируют изменения в своих орбитах, которые могут быть связаны с гравитационными взаимодействиями с планетами.

Наблюдения и теоретические исследования подтверждают, что гравитационные взаимодействия играют ключевую роль в динамике комет и астероидов, способствуя их переходу с эллиптических на гиперболические орбиты. Эти исследования помогают астрономам лучше понять эволюцию малых тел в Солнечной системе и их возможное воздействие на Землю.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В рамках нашего проекта мы выдвинули гипотезу о том, что "родственные" квадратичные функции могут эффективно описывать положение астрономических объектов в пространстве с течением времени, отражая изменения в таких характеристиках, как скорость, эксцентриситет и другие параметры, связанные с гравитационным взаимодействием и динамикой движения в астрономических системах. Исследование графиков этих функций может помочь выявить закономерности, позволяющие глубже понять механизмы, влияющие на поведение объектов в космосе и их взаимодействие с окружающей средой. Очевидно, что “прямые родственники” параболы (эллипс, циклоида, “функция цепи”, гипербола и сама парабола) имеют давно изученные и всем известные применения в физике. Так что главной трудностью было создать математическую модель для кубического полинома, что нам успешно удалось осуществить. Рассмотрим итоги исследовательской работы по пунктам:

  • Гравитационное взаимодействие: Мы подтвердили, что гравитационные силы между звездами определяют их динамику, и многочлен третьей степени позволяет моделировать эти взаимодействия, учитывая начальные условия, такие как позиции и скорости объектов.

  • Экстремумы и точки перегиба: Исследование экстремумов функции многочлена и точек перегиба дало возможность определить моменты, когда звезды находятся в особых конфигурациях, что может указывать на их стабильность или нестабильность.

  • Анализ устойчивости: Мы продемонстрировали, что анализ положения звезд в зависимости от времени и их взаимодействий через экстремумы многочлена позволяет оценивать устойчивость системы.

  • Визуализация и прогнозирование: Построение графиков, отражающих изменения в положении звезд и их взаимодействия, позволяет не только визуализировать динамику системы, но и предсказывать будущие положения объектов, что может быть полезно для дальнейших исследований.

Исходя из всего вышеперчисленного, мы доказали нашу гипотезу. Она демонстрирует, как математические функции могут быть применены для глубокого понимания астрономических явлений и их закономерностей. Перспективы дальнейших исследований могут включать расширение модели на более сложные системы с большим количеством объектов, что откроет новые горизонты в изучении динамики Вселенной.

7. ИСТОЧНИКИ ИНФОРМАЦИИ

1. Библиотека Кенгуру. Вокруг квадратного трёхчлена. - Москва : МЦНМО, 2022. - 128 с.

2. Рябичев А., Щербаков К. Корни многочленов и касательные к окружностям // Квант. - 2024. - № 1. - С. 7-10.

3. Бочкарев, Н. Г. Астрофизика : учебное пособие / Н. Г. Бочкарев. - Москва : Физматлит, 2017. - 336 с.

4. Зельдович, Я. Б. Астрономия и физика : избранные труды / Я. Б. Зельдович. - Москва : Наука, 2018. - 528 с.

5. Самарский, А. А. Математическое моделирование : учебное пособие / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. - Москва : БИНОМ, 2016. - 320 с.

6. Петров, И. П. Применение квадратичных функций в астрофизических исследованиях / И. П. Петров // Успехи физических наук. - 2019. - Т. 189, № 3. - С. 245-267.

7. Сидоров, М. В. Математическое моделирование астрофизических процессов / М. В. Сидоров // Вестник РАН. - 2020. - Т. 90, № 5. - С. 412-429.

8. Астрофизика [Электронный ресурс] // Wikipedia : свободная энциклопедия. - URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Астрофизика (дата обращения: 15.07.2024).

9. Физика космоса [Электронный ресурс] // Научная библиотека. - URL: https://elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka (дата обращения: 11.06.2024).

8.1. ПРИЛОЖЕНИЕ №1

(Изображение с сайта “Математические этюды”: https://etudes.ru/etudes/Dandelin-spheres/)

8.2. ПРИЛОЖЕНИЕ №2

“Функция цепи” (при a=1,1):

(Изображение получено с помощью сайта “GeoGebra”: https://www.geogebra.org/calculator)

Брахистохрона:

(Изображение с сайта: http://iagsoft.imm.uran.ru/brach/netrad_.html)

Циклоида:

(Изображение с сайта: https://www.wikiznanie.ru/wikipedia/)

8.3. ПРИЛОЖЕНИЕ №3

(Изображение из статьи А. Рябичева и К. Щербакова “Корни многочленов и касательные к окружностям”, Квант №1 2024 г)

Просмотров работы: 2