Площадь фигур на клетчатой бумаге

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы

Левинская Ю.С. 1

---

1МАОУ "Лицей № 97 г. Челябинска"

Федоренко Ю.В. 1

---

1МАОУ "Лицей № 97 г. Челябинска"

Работа в формате PDF

789.4 KB

Введение

Актуальность темы.В школьном курсе геометрии встречаются задачи на нахождение площади многоугольника на клетчатой бумаге. И эти задачи включены в сборник типовых экзаменационных вариантов ОГЭ по математике. При прохождении темы учитель математики говорил о том, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Но такие задачи имеют огромную ценность для нас, учеников, потому что учат нас думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.Меня заинтересовала тема самого простого способа решения задач на клетчатой бумаге с помощью единственной формулы, которую я выбрала для своего исследования.

Объект исследования - задачи на клетчатой бумаге.

Предмет исследования - методы и приёмы решения задач на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге.

Гипотеза исследования: я предполагаю, что

- площадь вписанного четырехугольника в прямоугольник равна половине площади этого прямоугольника.

Целью работы является познакомиться с разными способами решения задач на нахождение площадей фигур на клетчатой бумаге.

Исходя из цели работы, были поставлены следующие задачи:

- изучить литературу по данной теме;

- рассмотреть историю вычисления площадей фигур;

- выявить способы нахождения площади фигур на клетчатом поле;

- исследовать способы решения задач на клетчатой бумаге;

- провести экспериментальную проверку формулы Пика;

- доказать выдвинутую гипотезу;

- оформить в виде буклета основные сведения по теме исследования.

Методы исследования:

- изучение и анализ;

- поисковый метод;

- эксперимент;

- систематизация и обобщение.

Практическая значимость работы состоит в том, что материалы нашего исследования можно использовать на уроках математики, на дополнительных занятиях, при подготовке к экзаменам как школьникам, также в реальной жизни для вычисления площадей различных фигур.

Глава 1. Теоретические основы исследования

1.1 Из истории вычисления площадей фигур

История вычисления площадей фигур уходит корнями в глубь веков, когда первые математики начали осмыслять геометрические объемы. Ещё 4–5 тыс. лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служил эталоном при измерении площадей, благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов. В Древнем Китае мерой площади был прямоугольник.

Древние египтяне, например, использовали простые методы для определения площадей земельных участков, применяя треугольники и прямоугольники, чтобы разбить сложные формы на более простые. Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приёмами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции.

Древняя Греция стала вехой в развитии геометрии. Евклид и Архимед внесли значительный вклад, формализовав методы измерения плоскостей.

В своих «Началах» Евклид не употреблял слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией. Евклид сравнивал площади разных фигур между собой. Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие.

Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур.

Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников. Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a, b, c:

,где: .

Великому Архимеду принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания. Архимед, в частности, использовал метод исчерпывания для нахождения площадей кругов и сегментов.

Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н. э исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности.

Не остался в стороне и всем известный Пифагор. С помощью его знаменитой теоремы доказаны и выведены многие формулы для вычисления некоторых многоугольников. Его работа легла в основу более поздних теорий, включая теории Кюри и Брауна.

В средние века математические знания продолжали развиваться, в основном благодаря арабским ученым, которые сохранили и дополнительно усовершенствовали греческие идеи. Позже, в эпоху Ренессанса, заново открытие античных текстов привело к бурному росту геометрических исследований, что в конце концов привело к разработке аналитической геометрии Декарта и теории пределов Лейбница и Ньютона. Каждый из этих этапов прокладывал путь для будущих открытий и невероятного разнообразия методов вычисления площадей фигур.

В жизни часто приходится вычислять площади геометрических фигур. Что же такое «Площадь фигуры»?

Площадь фигуры – число, которое показывает сколько единичных квадратов помещается в данную фигуру.

При всяком измерений необходимо заранее иметь меру, с которой сравнивается измеряемая величина. Измерить площадь какой-нибудь геометрической фигуры, значит, узнать, сколько тех или иных единичных квадратов содержится в фигуре, площадь которой измеряется.

А что такое «единичный квадрат?»

Ед. квадрат - квадрат, сторона которого равна выбранному единичному отрезку.

Для дальнейшего изучения способов нахождения площади фигур, вспомним основные ее свойства:

- площадь квадрата равна квадрату его стороны;

- площадь фигуры равна сумме площадей фигур, из которых она состоит;

- равные фигуры имеют равные площади.

1.2 Способы нахождения площади фигур на клетчатом поле

В сборник типовых экзаменационных вариантов ОГЭ по математике есть целая группа заданий, в которых дан многоугольник, построенный на листе в клетку и стоит вопрос о нахождении площади. Масштаб клетки равен одному квадратному сантиметру.

Рассмотрим способы нахождения площади для решения данных задач:

Способ 1. С помощью палетки.

В тех случаях, когда измерение площади какой-нибудь фигуры не требует большой точности, а также, когда фигура, площадь которой требуется измерить, ограничена криволинейным контуром, для измерения площади используется палетка.

Палетка — прозрачный измерительный прибор, который имеет квадратную сетку и используется для нахождения площади фигур.

Палетку можно изготовить самостоятельно из прозрачной обложки для тетради или из листа кальки. На кусок прозрачного пластика (или кальки) наносится шариковой ручкой сетка размером 10 Х 10 см со стороной ячейки в 1 см. Палетка нужна для приближенного измерения площадей или отсчёта координат:

Надо наложить палетку на изображенную фигуру и подсчитать количество квадратиков. Площадь фигуры (выраженная в сантиметрах) равна количеству квадратиков внутри фигуры, плюс половина количества квадратиков, через которые проходит граница фигуры.

S=N+M/2

- N, количество целых квадратиков внутри фигуры

- M, количеств квадратиков, через которые проходит граница фигуры

При измерении подсчитывается число квадратиков (а значит, и их площадь), целиком содержащихся в фигуре, а также число квадратиков, частично входящих в измеряемую фигуру. Это число делится пополам. Суммируя эти числа, находят приближённое значение площади фигуры.

Способ 2. Использование формул площадей плоских фигур.

Основные формулы для нахождения площадей:

• Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны:

S = a²

• Площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон:

S = a · b

• Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны и длины опущенной на эту сторону высоты:

S = a · h

• Формула площади ромба по длинам его диагоналей. Площадь ромба равна половине произведению длин его диагоналей:

S = (d_(1) d_(2))/2

• Формула площади трапеции по длине оснований и высоте. Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

  S =

• Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты:

• Формула Герона

Площадь треугольника равна корню из произведения разностей полупериметра p треугольника и каждой из его сторон a,b и c на полупериметр:

,где:

Порядок использования:

1. Подсчитывая клеточки и применяя простые теоремы, найти те стороны, высоту, диагонали, которые требуются для применения формулы площади;

2. Подставить найденные значения в уравнение площади.

Этот способ удобен для стандартных фигур: треугольника, трапеции и т.д.

Способ 3. Метод дополнительного построения

• Достроить искомую фигуру до прямоугольника;

• Найти площадь всех получившихся дополнительных фигур и площадь самого прямоугольника;

• Из площади прямоугольника вычесть сумму площадей всех лишних фигур.

Этот способ очень удобен как для простых, так и для сложных фигур.

Способ 4. Метод разбиения на более простые фигуры.

Учитывая 2-е свойство площади: если разбить фигуру на несколько частей, то площадь всей фигуры равна сумме площадей её частей.

• Чтобы найти площадь многоугольника нужно выполнить дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых можно вычислить по формулам.

• Сложить площади полученных фигур S = S1 + S2

Способ 4. Формула Пика.

При решении задач на клетчатой бумаге с помощью формулы Пика необходимы понятия решетки и узлы (внутренние и внешние.) Узел — это пересечение линий, образующих эти самые клеточки.

Клетчатая бумага (точнее – ее узлы), на которой мы часто предпочитаем рисовать и чертить, является одним из важнейших примеров точечной решетки на плоскости. Множество всех точек пересечения этих прямых называется точечной решеткой, просто решеткой или палеткой, а сами точки – узлами решетки.

Внешние узлы, это узлы, находящиеся на сторонах и вершинах геометрических фигур, площади которых нам надо найти. А внутренние узлы, это узлы внутри этих фигур. Клеточки у нас со сторонами равными одному сантиметру (1 см).

Приведем пример, возьмем геометрическую фигуру параллелограмм:

Площадь фигуры по клеточкам находится по формуле:

N - количество узлов, которые находятся внутри фигуры.

В данном проекте я рассказала о новом способе вычисления площади фигур на клетчатой бумаге – формула Пика, который, несомненно, имеет множество полезных функций: простота использования, наглядность и краткость. Однако, мне хотелось бы посмотреть – такая ли уникальная эта формула?

Мною было проведено несколько опытов:

1. К руговой сектор.

п о формуле Пика:

S = 18 + 9/2 -1 =21,5

А теперь посчитаем площадь этого же кругового сектора с помощью площади круга:

S = πr²

S иск = S/8*3

Sиск = (3,14*4²)/8*3=18,84

Исходя из этих вычислений, можно сделать вывод о том, что данная формула для вычисления площади кругового сектора не работает.

2. Фигуры с самопересечением.

П о формуле Пика:

S = 24 + 36/2 -1 =41

П о методу достроения фигуры:

S = 9²

S иск = S/4*2

S иска = 81/4*2= 40,5

Исходя из этих вычислений, можно сделать вывод о том, что данная формула для вычисления площади фигур с самопересечением не работает.

2. Ф игуры с вершинами не на узлах.

По формуле Пика:

S = 2+10/2-1 = 6,5

По способу разбиения:

S = 4*2/2+1*2+1/4=6,25

Исходя из этих вычислений, можно сделать вывод о том, что формула Пика не работает для фигур, имеющих вершины не на узлах.

В результате процесса исследования способов нахождения площади фигур на клетчатой бумаге, мною была замечена одна особенность, а позже выдвинута гипотеза:

Площадь вписанного четырехугольника в прямоугольник равна половине площади этого прямоугольника.

Первоначально данная гипотеза показалась мне полностью верной, однако решив пару задач я убедилась в обратном.

Рассмотри на примерах:

П ример1:

S 1+S2+S3+S4=12.5

Sиск=25-12,5=12,5

Проверим гипотезу:

Sописан. 4-хуг.=25;

Sиск=25:2=12,5.

П ример2:,

S иск. = 7*4 - (3+6+2,5+2)=14,5

П роверим гипотезу

Sиск. =S опис. 4-хуг.:2

Sиск=28:2=14 14,5

Понимая, что в моей гипотезе есть недоработки, а внимательно посмотрела на обе фигуры и заметила:

У одной из фигур одна из диагоналей параллельна одной из сторон прямоугольника, описанного вокруг четырехугольника.

Доработав свою гипотезу, я сформулировала ее таким образом: если хотя бы две противоположные вершины четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника, описанного около четырёхугольника, то площадь четырёхугольника равна половине площади прямоугольника.

Глава 2. Практическая часть

2.1 Решение задач на клетчатой бумаге

Следуя нашей гипотезе, проверим, действительно ли формула Пика позволит нам с необычайной легкостью находить площадь любого многоугольника на клетчатой бумаге с целочисленными вершинами.

В рамках данного исследования у нас есть возможность убедиться в этом на примерах решения конкретных задач на клетчатой бумаге.

Задача 1.

Найдём площадь треугольника:

Отметим узлы: 1 клетка = 1 см

M = 15 (обозначены красным) N = 34 (обозначены синим)

Ответ: 40,5 см²

Задача 2.

Найдём площадь параллелограмма:

Отметим узлы:

M= 18 (обозначены красным) N = 20 (обозначены синим)

Ответ: 28 см²

Задача 3.

Найдём площадь трапеции:

Отметим узлы:

M= 24 (обозначены красным)N = 25 (обозначены синим)

Ответ: 36 см²

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма, треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта формула работает хорошо.

Некоторые задания из ОГЭ и ЕГЭ содержат рисунки с типовыми фигурами, площадь которых нужно найти. (рис.1)

Рисунок 1. Примеры задач на клетчатой бумаге

При помощи формулы Пика такие задачи решаются за минуту.

Например,

Задача 4.

Найдём площадь фигуры:

Отметим узлы:

M = 11 (обозначены красным) N = 5 (обозначены синим)

Ответ: 9,5 см²

На решение задачи затратили всего 1–2 минуты.

Вычислять площадь по формуле Пика не только быстро, но и очень легко!

При помощи формулы Пика легко вычислить площадь многоугольника даже самой причудливой формы.

Например:

Задача 5.

Найти площадь фигуры

M=16, N=9

S=16:2+9–1=16

Ответ: 16 см²

Формулу Пика можно применять для решения геометрических задач с практическим содержанием.

Задача 6.

Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 3)

Р ешение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

Площадь одной клетки: 1 см² – 200² м²;

S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²

Задача 7.

Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 4)

Р ешение. Найдём S площадь четырёхугольника,

изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1

В = 7, Г = 4. S = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

Площадь одной клетки: 1 см² – 200² м²;

S = 40000 · 8 = 320 000 (м²); Ответ: 320 000 м²

2.2 Экспериментальная проверка формулы Пика

Для того, чтобы проверить, можно ли доверять теореме Пика и получаются ли одинаковые результаты при вычислении площадей разными способами, был проведен эксперимент в ходе которого были решены несколько задач на клетчатой бумаге и найдены площади многоугольников по формуле Пика и обычным способом, применяя формулы геометрии и способы достроения или разбиения на части. Ход решения и результаты приведены в табл.1.

Таблица 1 – Результаты экспериментальной проверки формулы Пика

Вывод по результатам экспериментальной проверки: ответы решений представленных задач разными способами совпали, следовательно формула Пика достоверна.

Итак, формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

–        Формула Пика очень проста для запоминания.

–        Формула Пика очень удобна и проста в применении.

–        Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы. Эта формула экономит время при вычислениях площади фигуры.

Учащиеся при вычислении площадей могут использовать любой способ.  

Заключение

В процессе исследования была изучена учебная, справочная, научно-популярная литература и интернет-источники.

Выяснилось, что существуют различные способы вычисления площадей фигур:

• По формулам площадей.

• По свойству площади фигуры, составленной из нескольких фигур.

• По формуле Пика, но только тогда, когда вершины многоугольника располагаются в узлах клетки, не допускаются фигуры с самопересечениями и круговые сектора.

• Половина площади прямоугольника, описанного вокруг четырёхугольника, при выполнении определенный условий.

• Таким образом, в результате проведенных экспериментов, изначально выдвинутая гипотеза была доработана и практически доказана: если хотя бы две противоположные вершины четырехугольника лежат на прямой, параллельной одной из сторон прямоугольника, описанного около четырёхугольника, то площадь четырёхугольника равна половине площади прямоугольника

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. – М.: Просвещение, 2022.

2. Вавилов В.В, Устинов А.В. Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006.

3. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХмат МГУ. , 2020.

4. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика. Математика, 2019, № 17, с. 24-25.

5. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2020 – 2022.

6. Матвеева, Д. А. Одна за всех... Формула Пика / Д. А. Матвеева, С. Ю. Гуркина. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2019. — № 8 (28). — С. 77-81. — URL: https://moluch.ru/young/archive/28/1661/ (дата обращения: 17.10.2024).

7. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. – М.: Чистые пруды, 2020.

8. Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В6. Планиметрия. Р/т. – М.: МЦНМО, 2021.

9. Ященко И.В. Сборник типовых экзаменационных вариантов ОГЭ по математике. 36 вариантов. – М.: Издательство «Национальное образование», 2021. – 224 с. – (ОГЭ, ФИПИ – школе).